Une nouvelle formulation du modèle de Biot pour les matériaux poroélastiques est ici proposée, cette formulation diffère par le choix des coordonnées généralisées. Elles sont choisies de manière à simplifier l'expression de l'énergie de déformation. Il est à noter qu'aucune hypothèse supplémentaire n'est ainsi formulée. Cette simplification du formalisme est étendue aux résultats classiques de la théorie de Biot. Une adaptation rigoureuse des modèles fluide équivalent et limp découle alors naturellement du nouveau formalisme. Il est aussi montré que dans le cas particulier de matériaux acoustiques, des simplifications additionnelles du formalisme peuvent être obtenues

BROUARD, Bruno

DAZEL, Olivier

DÉPOLLIER, Claude

GRIFFITHS, Stéphane

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Variations sur un thème de Biot - Une nouvelle formulation déplacement
pour les matériaux poreux
Olivier Dazel, Bruno Brouard, Stéphane Griffiths & Claude Dépollier
Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine
UMR CNRS 6613
Avenue O. Messiaen
olivier.dazel@univ-lemans.fr
Résumé :
Une nouvelle formulation du modèle de Biot pour les matériaux poroélastiques est ici proposée, cette formulation
diffère par le choix des coordonnées généralisées. Elles sont choisies de manière à simplifier l’expression de l’éner-
gie de déformation. Il est à noter qu’aucune hypothèse supplémentaire n’est ainsi formulée. Cette simplification
du formalisme est étendue aux résultats classiques de la théorie de Biot. Une adaptation rigoureuse des modèles
fluide équivalent et limp découle alors naturellement du nouveau formalisme. Il est aussi montré que dans le cas
particulier de matériaux acoustiques, des simplifications additionnelles du formalisme peuvent être obtenues.
Abstract :
This paper proposes an alternative formulation of Biot’s linear model for poroelastic materials. Its advantage is
to simplify the formalism of the model without making any assumption. The main difference between the method
proposed in this paper and the original one is in the choice of the generalized coordinates. In the proposed
approach, the generalized coordinates are chosen in order to simplify the expression of the strain energy, which
is expressed as the sum of two decoupled terms. A rigorous derivation of equivalent and limp models is then
proposed. It is finally shown that for the particular case of acoustical materials, additional simplifications of the
formalism can be obtained.
Mots-clefs :
Matériaux poreux ; Modèle de Biot
1 Introduction
Le but de ce papier est de proposer une écriture alternative de la théorie de Biot [Biot (1956)]
qui sert à modéliser la déformation de solides poroélastiques saturés par un fluide visqueux
compressible. Cette formulation est de nos jours la référence pour la modélisation du compor-
tement dynamique des milieux poreux saturés. Le principal désavantage de cette théorie est sa
lourdeur formelle impliquant des formules analytiques complexes. Ceci est souvent dissuasif et
empèche bien souvent l’obtention de nouveaux résultats (analytiques ou numériques), en parti-
culier lorsque les structures poreuses sont couplées avec d’autres composants. Il est aussi bien
connu que les modèles numériques basés sur les équations de Biot sont complexes et impliquent
des besoins de calculs énormes. Ainsi, il semble nécessaire de trouver des solutions alternatives
et il est donc naturel de se concentrer en premier lieu sur les équations de Biot elles-mêmes
puisqu’elles sont le point de départ de toutes ces différentes modélisations.
Dans ce papier, une formulation alternative en déplacement pour le modèle de Biot est pro-
posée. Ses avantages sont de simplifier les équations du modèle linéaire sans faire d’hypothèses
supplémentaires. L’originalité de ce papier est la simplification du formalisme en particulier
dans le cas de matériaux acoustiques.
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
2 Formulation à énergie de déformation déformation découplée
Les coordonnées cartésiennes sont notées {xi} avec i = 1, 2, 3. Le déplacement vectoriel
de la phase homogénéisée solide (resp. fluide) est noté us (resp. uf ). Pour tous les champs
de déplacement, la dérivée par rapport à l’espace est notée ui,j =
∂ui
∂xj
. La déformation est
εij =
1
2
(ui,j + uj,i) et la dilatation de la phase solide et fluide sont respectivement e = usi,i et
ε = ufi,i avec la convention des indices répétés. Le tenseur des déformations est noté sous forme
tensorielle ε.
Posons u1 et u2 un jeu de coordonnées généralisées adapté. Sans perte de généralité, les
relations linéaires suivantes peuvent être écrites :
us = au1 + bu2 , u
f = cu1 + du2.
L’énergie de déformation W2 s’écrit alors :
W2 =
e2
1
2
(
Aa2 + Rc2 + 2Qac
)
+
e2
2
2
(
Ab2 + Rd2 + 2Qbd
)
+ e1e2 (Aab + Rcd + Q(ad + bc)) + 2N
(
a2ε1ijε
1
ij + b
2ε2ijε
2
ij + 2abε
1
ijε
2
ij
)
.
Afin de simplifier l’écriture, il semble naturel d’éliminer les termes ε1ijε2ij et ε2ijε2ij ce qui im-
plique que b = 0 est un bon choix. De plus le terme e1e2 est également éliminé si c = −
Q
R
a
ainsi nous obtenons :
W2 = a
2 Aˆ
e2
1
2
+ d2 R
e2
2
2
+ 2N a2 ε1ijε
1
ij,
avec Aˆ =
(
A−
Q2
R
)
. Les termes a et d pouvant être choisi arbitrairement, un bon choix est
donc a = 1 afin que u1 = us et d = φ−1, choix qui s’avèrera simplifiant la suite des dévelop-
pements. Les nouvelles coordonnées généralisées sont maintenant totalement déterminées et la
nouvelle formulation généralisée est appelée formulation {us, uW} avec
uW = φ
(
uf +
Q
R
us
)
,
et
W2 = Aˆ
e2
2
+ Keq
ζ2
2
+ 2Nεsijε
s
ij , ζ = ∇.u
W , Keq =
R
φ2
.
Keq correspond à la compressibilité du modèle de fluide équivalent. La relation contrainte-
déformation s’écrit alors :
σˆsij = 2Nε
s
ij + Aˆeδij , pf = −Keqζ
L’énergie de déformation fait apparaître 3 termes au lieu de 4 dans les formulations de Biot.
Remarquons que chaque contrainte est associée à son déplacement conjugué et que la pression
pf s’exprime à partir de la divergence de uW , faisant apparaître une similitude avec les fluides
classiques. Dans le cas d’une phase solide immobile, on obtient uW = φuf et uW correspond
donc à la moyenne du déplacement microscopique du fluide sur le volume total du poreux. En
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
exprimant le tenseur des contraintes totales, cela fait apparaître un coefficient γ′ interessant qui
joue un rôle central dans la suite du papier :
τij = σˆij − γ
′pf , γ
′ = φ
(
1 +
Q
R
)
.
3 Energie cinétique et équations du mouvement
Les équations du mouvements s’obtiennent à l’aide du lagrangien et nous devons donc en-
core écrire l’énergie cinétique. Celle-ci est obtenue en substituant les expressions de uf dans
l’expression donnée par Biot. On obtient :
T2 =
ρs
2
u˙s 2 +
ρeq
2
u˙W
2
+ ρeqγ u˙
su˙W ,
où
γ = φ
(
ρ12
ρ22
−
Q
R
)
, ρs = ρ1 + ρ2
(
Q
R
)2
− ρ12
γ′2
φ2
.
avec
ρ1 = (1− φ)ρs , ρ2 = φρf , ρ12 = −φρf (α∞ − 1),
ρ11 = ρ1 − ρ12 , ρ22 = ρ2 − ρ12 , ρeq =
ρ22
φ2
.
où ρs est la densité du solide ρf est la densité du fluide, ρ12 est un terme de couplage inertiel
relié à la tortuosité α∞ et ρeq est la densité du modèle de fluide équivalent.
Les équations du mouvement peuvent donc s’écrire :
∇.σˆ(us) = ρsu¨
s + ρeqγu¨
W et Keq∇ζ = ρeqγu¨
s + ρequ¨
W . (2)
Ces équations sont équivalentes à celle proposées par Biot mais il n’y a pas de terme de
couplage élastique, chaque tenseur de contraintes est seulement fonction du déplacement cor-
respondant et la symétrie est préservée pour les termes inertiels.
4 Adaptation des résultats classiques de Biot
Biot et Willis [Biot et al. (1957)] ont présenté quatre expériences pensées permettant d’ob-
tenir des expressions pour les coefficients élastiques apparaissant dans la théorie de Biot. L’ap-
plication de ces trois expériences pensées permet d’obtenir des expressions plus simples des
coefficients Aˆ, N , Keq et γ′ apparaissant dans le modèle simplifié ici présenté. Ces expériences
peuvent être adaptées à notre formalisme et nous donnerons ici seulement les résultats :
Aˆ = Kb, γ
′ = 1−
Kb
Ks
et Keq = Kf/
[
φ + (1− φ)
Kf
Ks
−
KbKf
K2s
]
(3)
où Ks et Kb sont respectivement le module d’incompressibilité du squelette et le module d’in-
compressibilité de l’air. N reste inchangé. Il est interessant de noter que premièrement Aˆ ne
dépend pas de Kf contrairement au coefficient A de Biot et deuxièmement γ′ est indépendant
la compressibilité du fluide et il est possible d’exprimer uW par :
uW = φuf + (1− φ)us −
Kb
Ks
us = ut −
Kb
Ks
us.
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
où ut est le déplacement total du matériau poreux. Il est montré ici que le déplacement total est
en fait indépendant de la porosité.
Pour obtenir les nouvelles expressions des nombres d’ondes de Biot, on réécrit les déplace-
ment en terme de potentiels. Les potentiels scalaires, associés aux ondes de compression, sont
solutions d’un problème aux valeurs propres dont les nombres d’ondes constituent les valeurs
propres et s’écrivent :
δ2i =
[(
δ2s2 + δ
2
eq
)
±
√(
δ2s2 + δ
2
eq
)2
− 4δ2eqδ
2
s1
]
/2,
à l’aide des 3 nombres d’ondes intrinsèques suivant
δeq = ω
√
ρeq
Keq
, δs1 = ω
√
ρ
Pˆ
, δs2 = ω
√
ρs
Pˆ
et ρ = ρs − γ2ρeq. (4)
Ces expressions sont équivalentes à celles obtenues par [Allard (1993)] et on peut également
obtenir les relations de symétrie. Les vecteurs propres, définis par les rapports µWi peuvent être
exprimés sous les deux formes équivalentes :
µWi =
uW
us
= γ
(δ2i − δ
2
s2)
δ2s2 − δ
2
s1
= γ
δ2eq
δ2i − δ
2
eq
.
Il est également intéressant d’introduire les rapports suivants :
µ′i =
µWi
µWi − µ
W
j
=
δ2j − δ
2
eq
δ2j − δ
2
i
avec (i, j) ∈ {1, 2}.
La même démarche à partir d’un potentiel vecteur pour l’onde de cisaillement nous permet
d’obtenir les expressions suivantes δ3 = ω
√
ρ/N et µW
3
= −γ.
5 Modèles de fluide équivalent et modèle limp
Le modèle de fluide équivalent correspond à une phase solide immobile (us = 0 ). L’équa-
tion (2) devient une simple équation de propagation dans un fluide :
Keq∇
2uW = ρequ¨
W
dont le nombre d’onde (resp. l’impédance caractéristique) est δeq (resp. Zeq = pf/
∥∥vW∥∥ =√
ρeqKeq).
Le modèle limp est également un modèle avec une seule onde de compression mais contrai-
rement au modèle précédent, la phase solide n’est pas sans mouvement. Le modèle limp (souple
en anglais) prend en compte l’inertie du squelette et néglige la rigidité de celui-ci. Il est adapté
aux matériaux dont la raideur est négligeable (laine minéral légère, coton. . . )
L’énergie de déformation de la phase solide est négligeable en comparaison des autres phé-
nomènes. Cela implique Aˆ ≃ 0 ≃ N donc le terme de compression ∇.σˆ peut être négligé dans
(2) ce qui donne la relation suivante
ρsu¨
s = −ρeqγu¨
W .
Elle peut être injectée dans (2) afin d’obtenir l’équation de propagation suivante pour uW :
Keq∇ζ = ρeq
(
1−
ρeqγ
2
ρs
)
u¨W .
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
La différence entre les deux modèles est donc dans la définition de la densité :
ρlimp = ρeq
(
δs1
δs2
)2
.
Le nombre d’onde peut s’exprimer comme une fonction des 3 nombres d’ondes intrinsèques
définis en (4)
δlimp = ω
√
ρlimp
Keq
= δeq
δs1
δs2
et l’impédance caractéristique s’écrit Zlimp = pf/
∥∥vW∥∥ = √ρlimpKeq.
6 Avantages de la formulation {us, uW} pour les matériaux acoustiques
Pour les matériaux acoustiques, la grande rigidité de la partie solide du matériau implique :∣∣∣K˜b∣∣∣ ≪ ∣∣∣K˜s∣∣∣ et ∣∣∣K˜f ∣∣∣ ≪ ∣∣∣K˜s∣∣∣ ce qui simplifie les expressions de γ′ ≃ 1 et de uW ≃ ut.
Par conséquent, uW correspond au déplacement total dans le matériau poreux. Dans la suite du
papier, tous les exposants W seront donc remplacés par t.
Il est également possible de simplifier R˜ et K˜eq dans (3) de la manière suivante :
R˜ = φK˜f , K˜eq =
K˜f
φ
.
En ce qui concerne les relations de continuité, les simplifications suivantes apparaissent. Le
couplage avec un milieu élastique (exposant e) s’écrit :
ue.n = ut.n , ue.t = us.t et σe.n = (σˆs.n− pf n) , σe.t = σˆs.t,
celui avec un milieu fluide (exposant a) :
ua.n = ut.n, et pa = pf , σˆ
s
.n = 0,
et celui entre deux milieux poreux :
us
1
= us
2
, ut
1
.n = ut
2
.n. et pf,1 = pf,2 , σˆ
s
1
= σˆs
2
.
Dans les équations précédentes, n désigne la normale à l’interface et t sa tangente. Ces simpli-
fications concernent à la fois les déplacements et les contraintes.
Une expression simplifiée de l’impédance de surface d’un matériau collé sur un sol rigide
en incidence normale est maintenant donnée. Grâce à la nouvelle formulation proposée, l’ex-
pression des conditions aux limites permet d’aboutir directement à l’expression de l’annulation
d’un déterminant qui mène à l’expression suivante :
Z =
K˜eq
jω
/
[
µ′
2
δ2
tan(δ2 l) +
µ′
1
δ1
tan(δ1 l)
]
,
où µ′i est défini par l’équation (4). Cette expression est très simple et il a été montré qu’elle four-
nissait des résultats identiques à ceux obtenus à partir de calculs à l’aide de matrice de transfert.
On peut d’ailleurs le remarquer sur la figure 1. Des expressions alternatives plus simples pour
les coefficients de réflexion et transmission d’une couche en incidence normale ont également
été obtenues [Dazel et al. (2007)].
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
400 600 800 1000 1200 1400
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Re(Z)
Im(Z)
Frequency (Hz)
Z 
(Z 0
 
u
n
it)
Maine3A (TMM)
Analytical proposed approach
FIG. 1 – Impédance de surface sur fond rigide
7 Conclusions
Une nouvelle formulation des équations poroélastique de Biot a été proposée. Elle permet
une expression plus simple des différents paramètres du modèle de Biot grâce à un choix de
coordonnées généralisées qui permet un découplage de l’énergie de déformation dans le poreux.
Les termes de couplage en contraintes disparaissent de l’équation du mouvement. L’expression
des coefficients constitutifs est plus simple. La formulation est bien adaptée à la définition du
modèle de fluide équivalent et du modèle limp. Des simplifications supplémentaires peuvent être
faites pour les matériaux utilisés en acoustique menant à des expressions beaucoup plus simples
des indicateurs classiques tels que l’impédance de surface d’une couche de matériau poreux par
exemple. Cet acte avait pour but de présenter en détail les éléments relatif à l’obtention de la
formulation. Des compléments sur celle-ci ainsi que des résultats physiques supplémentaires
peuvent être trouvés dans [Dazel et al. (2007)].
Références
M. Biot, “Theory of propagation of elastic waves in a fluid-filled-saturated porous solid”, Jour-
nal of the Acoustical Society of America 28, 168–191 (1956).
M. Biot, “Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media”, Journal of
Applied Physics 33(4), 1482–1498 (1962).
J. Allard, Propagation of sound in porous media, Modelling sound absorbing materials (New
York and London) (1993).
N. Atalla, R. Panneton, and P. Debergue, “A mixed displacement-pressure formulation for po-
roelastic materials”, Journal of the Acoustical Society of America 104, 1444–1452 (1998).
M. Biot and D. Willis, “The elastic coefficients of the theory of consolidation”, Journal of
Applied Mechanics 24, 179–191 (1957).
O. Dazel, B. Brouard, C. Depollier and S. Griffiths, “A new displacement formulation for porous
material”, Journal of the Acoustical Society of America accepted for publication.
6


Variations sur un thème de Biot - Une nouvelle formulation déplacement pour les matériaux poreux

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16533/1/CFM2007-0406.pdf

Variations sur un thème de Biot - Une nouvelle formulation déplacement pour les matériaux poreux

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