Les combustibles à particules sont constitués de particules sphériques d'oxyde d'uranium enrobé de plusieurs couches de confinement, noyées dans une matrice graphite. Pour prendre en compte l'influence de la répartition aléatoire des particules sur les chargements thermomécaniques locaux, une modélisation multi-échelles est nécessaire. Le choix s'est porté vers la méthode des éléments-finis au carré, où interviennent deux échelles distinctes de discrétisation : une structure « macroscopique» homogène dont les propriétés en chaque point d'intégration sont calculées sur une seconde structure «microscopique» hétérogène (Volume Elémentaire Représentatif). La première partie de l'étude vise à caractériser la microstructure aléatoire par un indicateur morphologique basé sur la distribution des distances minimales entre les centres des particules. Le comportement élastique des VER, obtenu par calcul éléments finis, a ensuite été comparé à un modèle analytique. Enfin, nous avons défini des indicateurs de représentativité thermique et mécanique basés sur les modes de rupture des particules sous irradiation

BLANC, Victor

GARAJEU M.

MICHEL, Brice

MICHEL, Jean-Claude

RICAUD J.M.

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Modélisation du comportement des combustibles à particules : 
caractérisation d’un Volume Elémentaire Représentatif  
pour un milieu hétérogène aléatoire 
 
Victor Blanc1,2, B. Michel1, JM. Ricaud1, M. Garajeu2, JC. Michel2 
 
1
 Laboratoire de Simulations des Combustibles, 
CEA Cadarache, DEN/DEC/SESC 
13108 St Paul Lez Durance 
Victor.Blanc@cea.fr 
2 Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique, 
CNRS, 31 chemin Joseph Aiguier,  
13402 Marseille CEDEX 20 
 
Résumé : 
 
Les combustibles à particules sont constitués de particules sphériques d’oxyde d’uranium enrobé de 
plusieurs couches de confinement, noyées dans une matrice graphite. Pour prendre en compte l’influence 
de la répartition aléatoire des particules sur les chargements thermomécaniques locaux, une 
modélisation multi-échelles est nécessaire. Le choix s’est porté vers la méthode des éléments-finis au 
carré, où interviennent deux échelles distinctes de discrétisation : une structure « macroscopique» 
homogène dont les propriétés en chaque point d’intégration sont calculées sur une seconde structure 
«microscopique» hétérogène (Volume Elémentaire Représentatif). La première partie de l’étude  vise à 
caractériser la microstructure aléatoire par un indicateur morphologique basé sur la distribution des 
distances minimales entre les centres des particules. Le comportement élastique des VER, obtenu par 
calcul éléments finis, a ensuite été comparé à un modèle analytique. Enfin, nous avons défini des 
indicateurs de représentativité thermique et mécanique basés sur les modes de rupture des particules 
sous irradiation. 
 
Abstract : 
HTR fuel is based on spherical coated particles of uranium dioxide inserted in graphite blocks. To take 
into account the effects of the random distribution of fuel particles on local thermomechanical fields, the 
simulation propose a multi scale approach based on  the Finite Element Square method. This method 
make use of a two scale discretization: a finite element computation on the Representative Volume 
Element (RVE) is carried out simultaneously at each integration point of the homogeneous 
macrostructure. The first characterization of the random geometry is given by a distribution indicator: 
the minimal distance between centres of particles. After, we used finite element computation to obtain the 
effective behaviour, which have been compared with an analytic model. Finally, we define thermal and 
mechanical representativity criteria, inspired by particles failure under irradiation. 
Mots-clefs : Homogénéisation ; Volume Elémentaire représentatif ; Combustible à 
particules 
 
1 Introduction 
 
Le CEA travaille actuellement au développement 
d’une nouvelle génération de réacteurs à fission à 
caloporteur gaz à haute température, le concept HTR 
(High Temperature Reactor). Le combustible HTR est 
constitué de particules sphériques d’un millimètre de 
diamètre composées d’Oxyde d’Uranium enrobé de 
plusieurs couches de confinement, constituées de 
carbone pyrolytique (PyC) et de carbure de silicium 
(SiC). Ces particules sont noyées dans une matrice 
graphite, de forme  sphérique, les « boulets », de six 
centimètres de diamètre (cf. Fig.1), ou cylindrique de 
quinze millimètres de diamètre, les « compacts ». La 
fraction volumique de particules y est respectivement de 
FIG. 1 : Coupes d’un boulet et 
d’une particule 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
dix et quinze pourcent, ce qui correspond à environ dix mille particules par boulet et quatre 
mille par compact.  
Notre étude s’intègre dans un travail de thèse visant à développer un outil de simulation du 
comportement thermo-mécanique du combustible sous irradiation ; l’objectif est l’estimation 
des chargements locaux, dont dépend l’intégrité de la couche de SiC. Dans cette optique, une 
modélisation multi-échelles est nécessaire pour prendre en compte l’influence de la répartition 
aléatoire des particules sur l’intégrité du combustible. Le choix s’est porté vers la méthode des 
Eléments-finis au carré (EF²) développée par F. Feyel (2000), où interviennent deux échelles 
distinctes de discrétisation : une structure « macroscopique » homogène (échelle du boulet) dont 
les propriétés en chaque point d’intégration sont calculées sur une seconde structure 
« microscopique » hétérogène (Volume Elémentaire Représentatif), où le comportement 
individuel des phases ainsi que leurs interactions sont pris en compte. 
 Le VER doit donc être représentatif de l’hétérogénéité du milieu, tout en étant aussi petit 
que possible pour limiter le temps de calcul, Kanit et Al. (2003). Le changement d’échelle se 
base sur l’homogénéisation des milieux périodiques, ce qui détermine le type de conditions aux 
limites à imposer au VER. 
 
2 Caractérisation morphologique des VER 
  
Le choix d’un VER, pour le calcul EF², est basé dans un premier temps sur un critère 
morphologique. La sélection sur des critères thermomécaniques se fait dans un second temps. 
Un des objectifs de fabrication pour le combustible à particules est d’obtenir une distribution de 
particules homogène dans le boulet. Ne disposant pas de données expérimentales, nous avons 
généré des microstructures à partir d’un schéma de sphères dures, dans un cube périodique. La 
fraction volumique de particules a été fixée à 10 %, ce qui correspond au combustible de type 
boulet, et les particules ont été supposées de taille identique. 
  
2.1 Indicateur morphologique : fonction distance 
 
La fonction distance est un outil efficace pour distinguer les microstructures aléatoires en 
amas, Bilger (2003). Cependant elle nécessite de discrétiser entièrement l’image. Afin de 
pouvoir accéder à des structures de grande taille sans alourdir les temps de calcul, nous avons 
utilisé une fonction distance simplifiée : la fonction de distribution des distances minimales 
entre les centres des particules. A chaque particule correspond sa distance minimale : 
 






−+−+−==
≠
=
)²()²()²(min
,..,1 ijijijj
ij
Nji
zzyyxxdd , 
où ),,( iii zyx sont les coordonnées du centre de la particule i. 
Cette fonction ne fait donc intervenir que les coordonnées des centres des particules.  
 
2.2 Donnée asymptotique 
 
A ce jour, nous ne disposons pas de données expérimentales récentes sur la distribution 
géométrique des particules dans le combustible, le procédé de fabrication étant en cours 
d’amélioration. Afin de définir un milieu de référence, nous avons généré des microstructures 
aléatoires tridimensionnelles contenant 1000 et 10.000 particules, sur lesquelles nous avons 
mesuré la fonction de distribution des distances minimales centre à centre. 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,875 1,125 1,375 1,625 1,875 2,125
Distances minimales centre-à-centre [mm]
Probabilité associée 
tirages aléatoires VER à
10000 particules
 
FIG. 2 : a) Tirage aléatoire de 1000 particules. b) Fonctions de distribution des distances 
minimales centre à centre associées à dix VER de 10.000 particules. 
 
Les résultats de cette série de mesure sur des tirages aléatoires montrent que plus le 
nombre de particules est important, moins la fonction distance utilisée devient sensible au 
tirage. Cette fonction tend bien vers une forme « asymptotique », qui a été utilisée comme 
forme de distribution référence, pour pouvoir y comparer les microstructures périodiques dont la 
cellule de base contient une dizaine de particules.  
 
2.3 Critère morphologique de représentativité  
 
Afin de caractériser la représentativité morphologique du VER, nous avons défini un 
indicateur basé sur la variance. Il est égal à la somme des carrés des écarts obtenus entre la 
distribution du VER et la distribution idéale, pour chaque valeur distance : 
     
 
 
Nous avons ensuite généré des microstructures aléatoires périodiques contenants 3, 5, 7, 8 
et 10 particules. Ne pouvant obtenir sur ces VER à quelques particules une fonction de 
distribution riche, nous avons mesuré celle-ci sur des milieux d’environ 10.000 particules, 
reconstruits par périodicité à partir de ces mêmes cellules de base, comme l’indique la figure 3.  
 
          
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 3 5 7 9 11
nombre de particules du ver de base
E : erreur / distrib. 
asymptotique
Valeurs moyennes sur 10 tirages
 
FIG. 3 : a) Milieu périodique de VER à 10 particules. b) évolution de l’indicateur 
morphologique mesuré sur des milieux périodiques avec la taille de cellule de base. Les barres 
d’erreur représentent l’écart type mesuré sur dix tirages. 
∑
=
−=
Ni
ueasymptotiqii dpdpE
..1
2
.))()((
a) b) 
a) b) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
On observe sur la figure 3b que l’indicateur diminue en moyenne de façon significative. Il 
en est de même pour les écarts types. Cependant, ce n’est pas le cas des tirages à 8 particules. Le 
nombre de tirages en est peut-être une cause. La fonction de distribution des distances 
minimales permet  néanmoins d’apprécier une forme de représentativité géométrique de ces 
microstructures vis-à-vis du milieu purement aléatoire. L’indicateur sera donc utilisé par la suite 
pour sélectionner les tirages de microstructure. 
 
3 Comportement effectif des VER 
 
Pour la mise en œuvre de la méthode EF², le comportement thermomécanique du 
combustible à particules doit être décrit à deux échelles distinctes :  
- l’échelle de la microstructure, les particules, de l’ordre du millimètre ; 
- l’échelle du combustible, boulet ou compact, de l’ordre du centimètre. 
A l’échelle inférieure, le comportement effectif est déterminé par un Volume Elémentaire 
Représentatif (VER). Pour caractériser la représentativité thermomécanique du VER, nous 
avons comparé deux méthodes : une première méthode par éléments finis sur différentes tailles 
de VER, et une deuxième méthode admettant une solution analytique, le modèle n+1-phases 
proposé par Hervé et Zaoui (1993). 
 
3.1 Modélisation en élasticité linéaire 
 
Une série de 50 tirages de VER contenant 5, 10 et 20 particules a été sélectionnée, en 
fonction du critère morphologique basé sur la fonction de distribution des distances minimales. 
Chaque VER a ainsi été sélectionné parmi 1000 tirages. Pour pouvoir étudier l’intégrité du 
combustible, le modèle éléments finis devait prendre en compte les 4 couches de confinement, 
dont les propriétés sont décrites dans le tableau 1. Le maillage des couches contient donc 
plusieurs éléments dans l’épaisseur, malgré sa dimension. Les éléments utilisés sont des prismes 
coniques centrés sur le centre des particules ou sur leur intersection avec les frontières du cube.  
Le combustible est macroscopiquement isotrope. Afin de vérifier la pertinence de la 
réponse mécanique du VER vis-à-vis de cette isotropie, nous avons simulé  la réponse de ces 
microstructures à 6 chargements élémentaires, trois de traction et trois de cisaillement, pour 
retrouver 21 coefficients indépendants définissant le comportement élastique. 
  
Désignation du 
matériau des couches 
Module 
d’Young [MPa] 
Coefficient 
de Poisson 
Module de 
compressibilité [MPa] 
Module de 
cisaillement [MPa] 
Rayon 
extérieur [µm] 
Noyau UO2 186 000 0.3 155 000 71 538.46 250 
Buffer PyC poreux 1 0.3 0.833 0.385 345 
PyC interne 13 000 0.21 7 471.26 5 371.9 385 
SiC 421 000 0.3 350 833.33 161 923.08 420 
PyC externe 19 000 0.21 10 919.54 7 851.24 460 
Matrice Graphite 12 000 0.126 5 347.59 5 328.6 - 
 
TAB. 1 : Récapitulatif des dimensions et des propriétés élastiques des constituants 
 
Dans la matrice de raideur, on observe une erreur maximale de 1 % entre les coefficients 
qui devraient être identiques non nuls, ainsi qu’entre ceux qui devraient être nuls et ceux non 
nuls. Ce premier résultat que nous n’avons pas développé ici, obtenu par calcul éléments finis 
dès 5 particules, est une validation de l’isotropie du comportement. Ceci a également pu être 
vérifié dans le cadre de la thermique linéaire. Les coefficients indépendants du modèle isotrope, 
k et µ, ont ensuite été calculés en moyennant les valeurs obtenues suivant les trois directions (cf. 
Fig. 4). En raison de problèmes de mémoire (maillages à 160 000 nœuds), nous n’avons obtenu 
le résultat que sur 11 VER  à 20 particules.  
  Le second modèle utilisé pour calculer le comportement effectif est une sphère 
multicouche noyée dans un milieu infini. Lorsqu’on assimile le comportement effectif du milieu 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
infini à celui du milieu homogène équivalent, le module de compressibilité effectif peut être 
déduit d'une équation de récurrence simple, et le module de cisaillement d'une équation du 
second degré (Hervé et Zaoui, 1993). La valeur de ces modules est montrée Figure 4. 
6,08E+09
6,10E+09
6,12E+09
6,14E+09
6,16E+09
6,18E+09
6,20E+09
6,22E+09
0 5 10 15 20 25
Nombre de particules
Module de compressibilité 
[Pa]
5 particules
10 particules
20 particules
moyennes
n+1-phases
5,72E+09
5,74E+09
5,76E+09
5,78E+09
5,80E+09
5,82E+09
0 5 10 15 20 25
Nombre de particules
Module de cisaillement 
[Pa]
5 particules
10 particules
20 particules
moyennes
n+1-phases
   
 FIG. 4 : Evolution des modules de compressibilité (a) et de cisaillement (b) effectifs 
calculés par EF. et comparaison avec le modèle n+1-phases. 
 
3.2 Validation du comportement effectif 
 
Les calculs éléments finis montrent que, pour des VER à 5 et 10 particules, l’écart 
maximal est de 1,5 pourcent sur les modules de compressibilité et de cisaillement. Pour les VER 
à 20 particules cet écart serait apparemment réduit, mais le nombre de réalisation ne permet pas 
de conclure. Contrairement à nos attentes, la valeur moyenne sur les tirages augmente 
légèrement dans les deux cas ; peut-être que,  là encore, un plus grand nombre de réalisations 
serait nécessaire pour tirer une conclusion. En effet les travaux de Michel et Al. (1999) montrent 
en utilisant une méthode par Transformée de Fourier Rapide que la moyenne du comportement 
est identique pour des réalisations contenant 8, 64 et 420 inclusions, cela à partir d’une centaine 
de réalisations à 8 particules. D’autres réalisations par EF sur des VER à 20 particules sont en 
cours, pour confirmer cette tendance. L’augmentation de ces valeurs moyennes reste toutefois 
en accord avec l’estimation autocohérente. 
 
4 Modélisation du comportement sous irradiation 
 
Une méthode de choix du VER sur des critères locaux nous a paru nécessaire. Nous avons 
donc cherché à évaluer l’influence de la répartition des particules, et donc des interactions, sur 
les champs de température et de contrainte locaux dans les conditions d’irradiation. 
 
4.1 Fonctionnement sous irradiation 
 
Sous irradiation, la réaction de fission des noyaux d’UO2 provoque un fort dégagement de 
chaleur dans les noyaux des particules (3.109 W/m3), qui est évacué vers l’extérieur du 
combustible et provoque un flux de chaleur radial, d’où une dissymétrie du chargement des 
particules. D’autre part, la fission produit des gaz qui, eux, doivent rester confinés dans les 
particules par les couches d’enrobage. Leur tenue mécanique est alors assurée par la mise en 
compression de la couche de SiC, grâce à la densification des couches de PyC sous l’effet du 
flux neutronique. Malgré ce procédé, une fraction des particules est rompue après irradiation.  
 
 
a) b) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
4.2 Critère thermique   
 
 Nous avons simulé par EF la réponse thermomécanique linéaire à un chargement 
d’irradiation, pour la série de VER déjà utilisée. Afin de reproduire l’effet du flux de chaleur,  
un « gradient macroscopique » de température entre deux des faces du VER a été imposé, tout 
en tenant en compte de la périodicité. Les sources de chaleur ont été appliquées dans les noyaux. 
Seuls les résultats en thermique sont présentés pour des raisons de concision, la démarche est 
identique en mécanique. 
  
FIG. 5 : a) Evolution du gradient thermique maximal dans l’OPyC pour différents tirages de 
VER. b) champ de température associé a un gradient macroscopique unidirectionnel. 
  
Ces calculs ont montré que les interactions influencent le gradient thermique maximal dans 
les couches de PyC externe au sein d’un VER. Nous avons donc relevé la valeur maximale du 
gradient par VER, ce qui est tracé sur la figure 5a. Les valeurs fluctuent respectivement de 10, 5 
et 7 % pour les VER à 5, 10 et 20 particules. Leur moyenne augmente d’un degré avec le 
nombre de particules. Ce critère du gradient thermique maximal par VER peut donc être utilisé 
pour une première sélection. Sa valeur moyenne sur le VER, ou sa fonction de distribution 
pourront aussi intervenir dans le choix du VER.  
 
5 Conclusion 
 
Cette étude du comportement du combustible permet de choisir un VER en fonction de 
trois critères : un critère morphologique, un critère lié au comportement effectif, et un critère lié 
au comportement local. Ces deux derniers pourront de plus être choisis en thermique ou en 
mécanique. L’impact de ce choix sera ensuite évalué sur la réponse globale du modèle EF². 
 
Références 
 
Bilger, N., 2003. Etude micromécanique de l’effet de la présence d’amas d’inclusions sur la transition 
fragile-ductile d’aciers nucléaires. Thèse de doctorat de l’Ecole Polytechnique. 
Feyel, F., Chaboche, J.L. 2000. FE2 multiscale approach for modelling the elastoviscoplastic behaviour of 
long fibre SiC/Ti composite materials. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol.183, p 309-330. 
Hervé, E., Zaoui, A., 1993. n-layered inclusion-based micromechanical modelling. Int. J. Engng. Sci., 
Vol. 31, No. 1, p 1-10. 
Kanit, T., Forest, S., Galliet, I., Mounoury, V., Jeulin, D., 2003. Determination of the size of the 
representative volume element for random composites: statistical and numerical approach. Int. J. 
Sol. Stru. Vol. 40, p 3647-3679.    
Michel, JC., Moulinec, H., Suquet, P., 1999. Effective properties of composite materials with peiodic 
microstructure: a computational approach. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol. 172, p109-143.  
26,5
27
27,5
28
28,5
29
29,5
30
30,5
31
0 5 10 15 20 25
Nombre de particules
Gradient thermique  
maximal [°C]
5 particules
10 particules
20 particules
 
 
Champ de température dans un VER 
à 10 particules (∆Tx = 75 °) 
1.27E+03 
 
 
1.29E+03 
 
 
1.31E+03 
 
 
1.33E+03 
 
 
1.35E+03 
 
 
1.37E+03 
 
T [K] 
 
b) a) 


Modélisation du comportement des combustibles à particules : caractérisation d'un volume élémentaire représentatif pour un milieu hétérogène aléatoire

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues