L'écoulement de fluide en loi puissance à travers des milieux fibreux anisotropes est étudié en s'appuyant sur les résultats théoriques obtenus par la méthode d'homogénéisation des structures périodiques. Afin de determiner la structure de la loi d'écoulement, des simulations numériques ont été réalisées sur des volumes élémentaires représentatifs d'un milieu fibreux modèle 2D constitué d'un arrangement carré de fibres parallèles de sections circulaires ou elliptiques. Enfin une méthodologie, basée sur l'étude de courbes d'iso-dissipation mécanique ainsi que la théorie de représentation des fonctions tensorielles, est proposée afin de formuler la loi d'écoulement macroscopique. Cette méthodologie est illustrée sur les résultats numériques obtenus

AURIAULT, Jean-Louis

BLOCH, Jean-Francis

GEINDREAU, Christian

IDRIS, Zakaria

ORGÉAS L.

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Modélisation de l’écoulement de fluides en loi puissance en milieux fibreux
anisotropes
Z. Idrisa, C. Geindreaua, L. Orgéasa, J.-F. Blochb, & J.-L. Auriaulta
aLaboratoire Sols-Solides-Structures (3S), CNRS - Universités de Grenoble (UJF-INPG)
BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9
bLaboratoire de Génie des Procédés Papetiers (LGP2), Ecole Française de Papeterie (INPG)
38000 Grenoble
Résumé :
L’écoulement de fluide en loi puissance à travers des milieux fibreux anisotropes est étudié en s’appuyant sur les
résultats théoriques obtenus par la méthode d’homogénéisation des structures périodiques. Afin de determiner
la structure de la loi d’écoulement, des simulations numériques ont été réalisées sur des volumes élémentaires
représentatifs d’un milieu fibreux modèle 2D constitué d’un arrangement carré de fibres parallèles de sections
circulaires ou elliptiques. Enfin une méthodologie, basée sur l’étude de courbes d’iso-dissipation mécanique ainsi
que la théorie de représentation des fonctions tensorielles, est proposée afin de formuler la loi d’écoulement
macroscopique. Cette méthodologie est illustrée sur les résultats numériques obtenus.
Abstract :
The flow of power-law fluids through fibrous media is investigated using the homogenization method for periodic
structures with multiple scale expansions. To determine the complete structure of the macroscopic flow law, nu-
merical simulations have to be performed on representative elementary volume of porous media. In this paper, this
has been achieved on 2D periodic arrays of parallel fibers with elliptical cross section of different aspect ratios.
A novel methodology is proposed to establish the macroscopic tensorial seepage law within the framework of the
theory of anisotropic tensor functions and using mechanical iso-dissipation curves. This methodology is illustrated
through our numerical results.
Mots-clefs :
fluide non-Newtonien ; milieux poreux ; perméabilité
1 Introduction
Les écoulements de fluides non-Newtoniens dans les milieux poreux anisotropes concernent
de nombreux domaines comme par exemple, la mise en forme des matériaux composites, l’im-
pression du papier, l’exploitation de ressources naturelles comme le pétrole. Si dans le cas de
fluides Newtoniens des extensions de la loi de Darcy ont depuis longtemps été proposées et sont
largement utilisées, on recense en revanche très peu de modèles tensoriels d’écoulement dans le
cas de fluides non-Newtoniens en milieux poreux anisotropes. Les travaux existants ne sont va-
lables que pour des microstructures fibreuses élémentaires (Woods et al., 2003), et même dans
ce cas, présentent des domaines de validité restreints (Idris et al., 2004; Orgéas et al., 2006).
Suite à ce constat, une méthode permettant de formuler les lois d’écoulement macroscopiques
est proposée. Cette méthode s’appuie d’une part sur les résultats théoriques obtenus par la mé-
thode d’homogénéisation des structures périodiques et d’une autre part sur l’étude de courbes
d’iso-dissipation mécanique ainsi que sur la théorie de représentation des fonctions tensorielles
(Boehler, 1987). Son application au cas des milieux fibreux modèles étudiés dans ce travail,
illustre les capacités du modèle d’écoulement macroscopique ainsi construit, et ce, dans un
large domaine en terme de sollicitations, de rhéologie du fluide et de microstructures.
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
2 Microstructures étudiées
Nous nous intéressons à l”écoulement lent d’un fluide incompressible purement visqueux
en loi puissance, dont la viscosité µ , i.e. µ = µ0γ˙n−1 où γ˙ est le taux de cisaillement, au
travers un milieu fibreux anisotrope. Les milieux fibreux modèles considérés sont constitués
d’arrangements carrés de fibres parallèles de sections circulaires ou elliptiques. Le rapport de
forme des sections est noté r = b/a. La compacité du milieu est c = pia2/l2.
En s’appuyant sur les résultats théo-












 
FIG. 1 – Arrangement carré de cylindres à section droite
elliptiques. Le VER utilisé pour la simulation est donné
par le maillage d’éléments finis.
riques obtenus par homogénéisation (Au-
riault et al., 2002; Idris et al., 2004; Orgéas
et al., 2006), on peut montrer que a loi dé-
coulement au sein de ce milieu, i.e. la re-
lation entre le gradient de pression macro-
scopique ∇p et la vitesse moyenne ma-
croscopique 〈v〉 peut être obtenue en ré-
solvant sur un volume elémentaire repré-
sentatif (VER), le problème aux limites sui-
vant :
2µ0∇ ·
(
γ˙ n−1 D
)−∇p˜−∇p = 0, (1)
∇ · v = 0, (2)
v = 0 adherence à la paroi, (3)
où D est le tenseur de vitesse de déformation. Les inconnues, i.e. la vitesse microscopique
v et la fluctuation de la pression p˜, sont périodiques. Afin de déterminer la loi d’écoulement,
des simulations numériques 2D (code éléments finis COMSOL) sur des VER (figure 1) ont été
réalisées en imposant un gradient de pression ∇p qui fait une angle α avec l’axe de symétrie
eI puis en calculant la vitesse moyenne 〈v〉 correspondante. Quand n = 1, on peut montrer
théoriquement que la loi macroscopique d’écoulement est isotrope si r = 1 et orthotrope si
r 6= 1. Quand n 6= 1, les résulats numériques montrent que de manière générale, la vitesse de
filtration 〈v〉 n’est pas alignée avec le gradient de pression macroscopique, sauf lorsque celui-ci
se situe dans les axes de symétrie. L’ensemble de ces résultats montre que le couplage entre la
rhéologie du fluide et la microstructure est complexe pour l’écoulement hors axes de symétrie.
Afin de décrire ces couplages, nous proposons dans la suite d’établir la forme générale de la loi
d’écoulement macroscopique, en s’appuyant sur les résultats de la théorie des représentations
des fonctions tensorielles et les courbes d’isodissipation mécaniques.
3 Courbes d’isodissipation
On peut montrer théoriquement par la méthode de changement d’échelle utilisée que compte
tenu du type de fluide étudié (fluide Newtonien en loi puissance), il est possible de définir un po-
tentiel macroscopique de dissipation visqueuse Ω(〈v〉) proportionnel à la puissance mécanique
macroscopique dissipée P(〈v〉) :
P = −f(〈v〉) · 〈v〉 = −∇p · 〈v〉. (4)
Dans le cas particulier des microstructures 2D étudiées, les courbes d’isodissipation peuvent
être tracées dans l’espace des invariants de la vitesse (II, III) définis par (Boehler, 1987) :
Ii = 〈v〉 ·Mi · 〈v〉,Mi = ei ⊗ ei, i = I, II où les Mi sont appelés tenseurs de microstructure et
les ei sont les axes d’orthotropie. La figure 2 présente les courbes d’isodissipation déduites des
simulations numériques obtenues pour deux valeurs de rapport de forme r, deux compacités de
fibres c et différentes valeurs de n. Ces figures montrent que :
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007






     

	







 











     

	













     

	







 














   

	
















FIG. 2 – Courbes d’isodissipation mécanique obtenues pour deux compacités (c = 0.1 et 0.7), l = 1 m,
deux rapports de forme (r = 1 et 0.2), µ0 = 1 Pa sn,P0 = 1W m−3. Les marques représentent les
résultats numériques. Les lignes continues sont l’ajustement de (8) avec les valeurs de m présentées dans
la figure 3.
– quand r = 1 et n = 1, les courbes d’isodissipation sont circulaires (cf. figure 2-a) : ceci
est une conséquence directe de l’isotropie de la loi d’écoulement dans cette situation.
– quand r 6= 1, les courbes d’isodissipation sont étirées verticalement : ceci caractérise
l’anisotropie de la loi d’écoulement. Cette anisotropie est directement liée à la taille des
entre-fer : 2h2 est plus petit que 2h1 (cf. la figure 1) si bien que l’écoulement dans la
direction de eII est plus facile que dans la direction eI .
– la courbure des isodissipations dépend de n : la forme des isodissipations est proche de
celle d’un losange pour les fluides rhéo-fluidifiants (n < 1) et d’un rectangle pour des
fluides rhéo-épaississants (n > 1).
4 Règle de normalité
Nous avons vérifié numériquement que la force f = ∇p respecte la règle de normalité
(Orgéas et al., 2006). Par conséquent cette force peut s’écrire (Lemaitre and Chaboche, 1994) :
f = ∇p = −∂Ω(〈v〉)
∂〈v〉 , (5)
où Ω est un potentiel de dissipation visqueuse. La relation précédente fixe ainsi un cadre de
modélisation intéressant : la force f associée au vecteur vitesse 〈v〉 est normale à la surface
d’iso-dissipation mécanique tracée dans l’espace des vitesses. On peut choisir alors d’exprimer
Ω en fonction d’une norme veq de la vitesse appelée "vitesse équivalente" :
f = − ∂Ω
∂veq
∂veq
∂〈v〉 = feq
∂veq
∂〈v〉 , (6)
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
où feq est une force de résistance "équivalente" telle que P = −feqveq. La vitesse équivalente
veq dépend des invariants (II , III). En tenant compte de cette propriété, la loi d’écoulement (6)
d’un fluide en loi puissance au sein d’un milieu poreux orthotrope 2D quelconque peut se mettre
sous la forme (Orgéas et al., 2006) :
f = −ζµ0
l2c
(
ζveq
lc
)n−1(
veq
II
∂veq
∂II
MI +
veq
III
∂veq
∂III
MII
)
· 〈v〉. (7)
où ζ est une constante telle que ζ = vc/veq, et où vc, lc sont respectivement la vitesse et la
longueur caractéristique à l’échelle microscopique. En introduisant la relation (7) dans (6), on
peut montrer que les courbes d’issodissipations correspondent aussi à des courbes iso-vitesse
équivalente.
5 Vitesse équivalente
Pour décrire l’écoulement au sein des microstructures 2D étudiées, nous proposons d’utiliser
une forme simple de la vitesse équivalente, i.e. une superellipse, qui introduit une paramètre
positif d’anisotropie, A , et un paramètre de courbure m (1 < m < ∞), qui dépendent tous
deux de la rhéologie du fluide et de la microstructure du milieu poreux :
vmeq = I
m
I +
(
III
A
)m
, (8)
En utilisant (7) et (8), la loi macroscopique d’écoulement peut se mettre sous la forme (Orgéas
et al., 2006) :
f = −
µ0
(√
Φ/ra
)n+1
vn−1eq(
λ1(1−
√
Φ)
)2n+1
((
II
veq
)m−2
MI +
1
Am
(
III
veq
)m−2
MII
)
· 〈v〉. (9)
où λ1 est une fonction rhéologique qui dépends de c, n, et r :λ1 = lc/h2 (cf. figure 1) et
Φ = c/cmax. Notons qu’il est possible d’inverser cette loi d’écoulement, i.e. 〈v〉 = g(∇p).
Cette expression est utile car combinée à l’équation d’incompressibilité, i.e. ∇ · v = 0, elle
permet de traiter des problèmes aux limites classiques à l’échelle macroscopique en terme de
∇p = f uniquement.
Les valeurs de m ont été déterminées en ajustant (8) avec les résultats numériques présentés
sur la figure 2. Cette figure montre que (8) permet un bon ajustement des résultats numériques.
La figure 3 présente les valeurs de m obtenues pour deux valeurs de r et de c, et différentes
valeurs de n. Cette figure montre que
– lorsque n = 1, m = 2 et ∀ c et r : la loi d’écoulement est linéaire,
– lorsque n 6= 1, m n’est pas constant et dépend de c, r et de n. Quand c tend vers cmax
ou r tend ∞, alors m tend (n + 1). Une telle tendance montre que le modèle proposé par
Woods et al. (2003), et le nouveau modèle (9) sont équivalents lorsque la compacité est
proche de cmax ou lorsque les sections sont très allongées.
6 Comparaison avec la loi proposée par Woods et al. (2003)
Afin de vérifier l’amélioration apportée par le nouveau modèle, nous avons comparé les
valeurs de ‖〈v〉‖ et β (l’angle entre le gradient de pression macroscopique imposé et la vitesse
macroscopique calculée, cf. figure 1) données par le modèle Woods et al. (2003) et par notre
modèle (figures 4 et 5). Ces figures montrent que la nouvelle formulation permet une meilleure
description des résultats numériques dans une large gamme de compacités des fibres (c), de
rapports de forme (r) et d’exposants de loi puissance (n).
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007





    	
















    	











 
FIG. 3 – Evolution du paramètre m en fonction de la compacité c, pour différentes valeurs de n et pour
r = 1 et 0.2.





  
	

	
	
	




 







 
	



	
	
	

	 








  
	

	
	
	
	







  
	

	
	
	
	
	





  
	

	
	




 







 
	



	
	
	
 
 
FIG. 4 – Evolution de ‖〈v〉(α)‖/‖〈v〉‖ en fonction de α, pour différentes valeurs de n, pour deux com-
pacité (c = 0.7 et 0.1) et pour deux rapports de forme (r = 1 et 0.2). Les marques sont les résultats
numériques obtenus. Les lignes et traits continus représentent les prévisions données par notre modèle et
celui de Woods et al. (2003).
7 Conclusion
Une nouvelle loi macroscopique d’écoulement a été proposée les résultats de la théorie des
représentations des fonctions tensorielles et en s’appuaynat sur les courbes d’isodissipation mé-
caniques. Ce modèle permet une meilleure description des résultats numériques dans une large
gamme de compacités du réseau fibreux c, de rapports de forme r et de sensibilités à la vi-
tesse n. Par rapport au modèle proposé par Woods et al. (2003), ce modèle exige uniquement
un paramètre constitutif additionnel. Celui-ci peut être déterminé à partir des courbes d’iso-
dissipation. Les courbes d’isodissipation peuvent être déduites des simulations numériques sur
le volume élémentaire représentative (VER), mais également par des expériences de filtration
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007









  



	

	

	










 









  





















  















  








 
 
FIG. 5 – Evolution de l’angle β en fonction de α, pour différentes valeurs de n, pour deux compacité
(c = 0.7 et 0.1) et pour deux rapports de forme (r = 1 et 0.2). Les marques sont les résultats numé-
riques obtenus. Les lignes et traits continus représentent les prévisions données par notre modèle et celui
proposé par Woods et al. (2003).
avec différentes orientations du gradient de pression par rapport à la microstructure. La métho-
dologie présentée a été validée pour des microstructures 2D et des fluides en loi puissance. Elle
peut être étendue à des microstructures 3D complexes et des fluides non-newtoniens généralisés
(Carreau...).
Références
Auriault, J.-L., Royer P., Geindreau C. : 2002, AFiltration law of power law fluids in anisotropic
porous media. Int. J. Eng. Sci. 40, 1151-1163.
Boehler, J.-P. : 1987, Applications of Tensor Functions in Solid Mechanics. Wien, NY. : CISM
Courses and Lectures, Springer Verlag.
Idris, Z., L. Orgéas, C. Geindreau, J.-F. Bloch, and J.-L. Auriault : 2004, ‘Microstructural Ef-
fects on the Flow Law of Power Law Fluids Through Fibrous Media’. Mod.and Sim. in Mat.
Sc. and Eng. 12, 995–1015.
Lemaitre, J. and J.-L. Chaboche : 1994, Mechanics of Solid Materials. Cambridge, 3rd edition.
Orgéas, L., Z. Idris, C. Geindreau, J.-F. Bloch, and J.-L. Auriault : 2006, ‘Modelling the Flow
of Power-Law Fluids Through Anisotropic Porous Media at Low-Pore Reynolds Number’.
Chem. Eng. Sci. 61, 4490–4502.
Woods, J. K., P. D. M. Spelt, P. D. Lee, T. Selerland, and C. J. Lawrence : 2003, ‘Creeping Flows
of Power-Law Fluids Through Periodic Arrays of Elliptical Cylinders’. J. Non-Newtonian
Fluid Mech. 111, 211–228.
6


Modélisation de l'écoulement de fluides en loi puissance en milieux fibreux anisotropes

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceL'écoulement de fluide en loi puissance à travers des milieux fibreux anisotropes est étudié en s'appuyant sur les résultats théoriques obtenus par la méthode d'homogénéisation des structures périodiques. Afin de determiner la structure de la loi d'écoulement, des simulations numériques ont été réalisées sur des volumes élémentaires représentatifs d'un milieu fibreux modèle 2D constitué d'un arrangement carré de fibres parallèles de sections circulaires ou elliptiques. Enfin une méthodologie, basée sur l'étude de courbes d'iso-dissipation mécanique ainsi que la théorie de représentation des fonctions tensorielles, est proposée afin de formuler la loi d'écoulement macroscopique. Cette méthodologie est illustrée sur les résultats numériques obtenus

Idris, Zakaria

Geindreau, Christian

Orgéas, L.

Bloch, Jean-Francis

Auriault, Jean-Louis

Hal - Université Grenoble Alpes

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16539/1/CFM2007-0097.pdf

Modélisation de l'écoulement de fluides en loi puissance en milieux fibreux anisotropes

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues

Hal - Université Grenoble Alpes