Des estimateurs d'erreurs locaux dits en quantités d'intérêt permettent d'obtenir directement l'erreur de discrétisation commise sur une quantité ayant un sens physique, dans une zone définie. On construit un tel estimateur à partir de l'erreur sur la solution du problème primal, celle du problème dual et un estimateur d'erreur basé sur les résidus explicites. Une quantité d'intérêt est développée pour permettre d'estimer l'erreur sur les facteurs d'intensité de contraintes en modes mixtes. Une démarche originale est utilisée, basée sur l'extrapolation des sauts des déplacements entre les lèvres de la fissure. Des exemples numériques traités par Code_Aster permettent de valider cet estimateur

BADEL, Pierre-Bernard

COOREVITS, Patrice

DELMAS, Josselin

GUESSASMA, Mohamed

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Estimation d’erreur pour le calcul de facteurs d’intensité de contraintes 
 
Josselin Delmas1,2,3, Patrice Coorevits3, Pierre-Bernard Badel1,2 & Mohamed Guessasma3 
 
1LaMSID, UMR EDF/CNRS 2832, 1 avenue du Général de Gaulle, 92140 Clamart. 
2EDF R&D, Département AMA, 1 avenue du Général de Gaulle, 92140 Clamart. 
3LTI, EA 3899, Université de Picardie Jules Verne, 48 rue d’Ostende, 02100 Saint-Quentin. 
josselin.delmas@edf.fr 
 
 
 
Résumé : 
 
Des estimateurs d’erreurs locaux dits en quantités d’intérêt permettent d’obtenir directement l’erreur de 
discrétisation commise sur une quantité ayant un sens physique, dans une zone définie. On construit un 
tel estimateur à partir de l’erreur sur la solution du problème primal, celle du problème dual et un 
estimateur d’erreur basé sur les résidus explicites. Une quantité d’intérêt est développée pour permettre 
d’estimer l’erreur sur les facteurs d’intensité de contraintes en modes mixtes. Une démarche originale est 
utilisée, basée sur l’extrapolation des sauts des déplacements entre les lèvres de la fissure. Des exemples 
numériques traités par Code_Aster permettent de valider cet estimateur. 
 
Abstract : 
 
Local error estimators known as in quantities of interest enable to obtain directly the error of 
discretization committed on a quantity with a physical meaning, in a definite zone. Such an estimator is 
build starting from of the error on the solution of the primal problem, the one of the dual problem and an 
error estimator based on the explicit residual. A quantity of interest is developed with the aim to estimate 
the error for mixed-mode stress intensity factors. An original step is used, based on the extrapolation of 
the jumps of displacements between the lips of the crack. Some numerical examples performed by 
Code_Aster allow to validate this estimator. 
 
Mots-clefs : 
 
Erreur en quantité d’intérêt ; estimateurs explicites ; facteurs d’intensité de contraintes. 
 
1 Introduction 
 
La modélisation de phénomènes physiques aboutit à des équations aux dérivées partielles 
en espace et en temps, représentant le modèle mathématique du problème à résoudre. De 
manière générale, une solution analytique de ces équations n’existe pas. Des méthodes 
d’approximation, comme la méthode des éléments finis, sont alors utilisées. Mais l’inconvénient 
de ce genre de méthode numérique est d’induire des erreurs de discrétisation. 
Pour estimer ces erreurs, différentes démarches ont été proposées par Ladevèze (1975), 
Babuska et al. (1978), Zienkiewicz et al. (1987) pour les problèmes linéaires. Elles conduisent 
toutes à l'estimation d'une erreur globale (norme L2, H1 ou semi-H1 ou encore norme en énergie 
du déplacement). Mais le choix d'une précision globale fondée sur une norme du déplacement 
est souvent délicat car il n'y a pas de lien direct quantitatif avec une erreur sur des quantités 
mécaniques locales (contraintes sur une ligne ou sur une surface, maximum des contraintes, 
etc.). Pour y remédier, des estimateurs d’erreurs locaux dits en quantités d’intérêt ont été 
développés ces dernières années. Basés sur les travaux de Becker et al. (2001), ils permettent 
d’accéder directement à l’erreur commise sur une quantité mécanique précise. 
Dans cet article, un estimateur en quantité d’intérêt, basé sur une technique de résidus 
explicites, est décrit. Une quantité d’intérêt de la mécanique de la rupture est développée pour 
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2 
permettre l’estimation de l’erreur sur les facteurs d’intensité de contraintes en modes mixtes. 
Une démarche originale est utilisée, basée sur l’extrapolation des sauts des déplacements entre 
les lèvres de la fissure. Des tests numériques permettant de valider cet estimateur sont 
présentés ; ils ont été réalisés avec Code_Aster, le code de calcul par éléments finis développé à 
la Direction de Recherche et Développement de EDF. 
 
2 Problème modèle 
 
On considère un solide qui occupe un domaine Ω ∈ ℜ3 de frontière régulière ∂Ω de 
normale sortante n. Le contour est l’union de deux parties disjointes ΓU et ΓF. Sur le contour ΓU 
on impose un déplacement ud et sur le contour ΓF, une densité d’effort surfacique F. Le solide 
est élastique linéaire et isotrope, sa loi de comportement est donnée par Cεσ = , où C est le 
tenseur de Hooke et ε la partie symétrique du gradient de u. 
 
Soient ( )⋅⋅,a  une forme bilinéaire et ( ).l  une forme linéaire. La formulation variationnelle 
de ce problème d’élasticité est donnée par : 
( ) ( ) Vvvlvua ∈∀=,  [1] 
La norme en énergie et la norme L2 associée à l’espace V sont respectivement définies de la 
manière suivante : 
∫Ω= dvvvv e )(:)(
2
εσ  et ∫ΩΩ ⋅= dvvvv L
2
)(2  [2] 
Soit hΩ  une partition de Ω  en N  éléments. On construit un espace éléments finis VV h ⊂  
à partir de fonctions continues, polynomiales par morceaux, et de degré p  sur chaque 
élément E . Le problème discrétisé s’écrit de la manière suivante : 
( ) ( ) hhhhh Vvvlv,ua ∈∀=  [3] 
 
3 Estimateurs d’erreur basés sur les résidus d’équilibre 
 
Dans la méthode des éléments finis, l’approximation principale porte sur les équations 
d’équilibre. Ces défauts d’équilibre sont représentés par les résidus qui mesurent la non 
vérification de certaines propriétés des équations du problème. Le résidu global, noté 
( ) ( ) ( )v,uavlvR huh −= , est constitué du résidu intérieur (noté Er , il mesure la non vérification des 
équations d’équilibre intérieur) et du résidu de bord (noté Γt , il représente la non vérification de 
l’équilibre de bord). Enfin on montre qu’une estimation de l’erreur, définie par huue −=  où 
Ve ∈ , dans la norme en énergie s’écrit : 














++≤ ∑ ∑∑∑
Γ⊂Γ
ΓΓΓ
Γ⊄Γ
ΓΓΓ
E F
L
F
L
E
ELEEe
tltlrhCe 2 )(2
2
)(2
2
)(2
22
2
1
 [4] 
où C  est une constante qui dépend du type d’élément et des données du problème, E est 
l’élément courant et Eh  et Γl  sont des longueurs caractéristiques de l’élément. 
 
4 Erreur en quantité d’intérêt 
 
Au lieu d’évaluer une mesure de l’erreur telle que la norme en énergie par exemple, il est 
plus utile d’estimer l’erreur sur une quantité d’intérêt ayant un sens physique. Cette quantité 
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d’intérêt peut être représentée par une fonctionnelle linéaire ( )⋅Q  définie sur l’espace des 
fonctions tests. Deux exemples sont présentés : ils représentent la moyenne d’une composante 
du déplacement et la moyenne d’une composante des contraintes sur un sous-domaine (zone 
d’intérêt) : 
( ) ∫ Ω=
ω
ω
dvvQ
x
1
 ( ) ∫ Ω=
ω
σ
ω
dvQ
xx
1
 [5] 
Le but de l’estimation en quantité d’intérêt est de s’assurer de la qualité de ( )huQ  en 
estimant la quantité ( ) ( )huuQeQ −= . 
 
On définit le problème dual comme le problème d’élasticité linéaire dont la solution ω  est 
appelée fonction d’influence et dont ( )⋅Q  est le chargement. Le problème primal et le problème 
dual peuvent s’écrire de la manière suivante : 
( ) ( )
( ) ( ) VvvQ,va
vlv,ua
∈∀



=
=
ω
 [6] 
On définit l’erreur primale telle que huue −=  et l’erreur duale telle que hωωε −= . 
Prudhomme et al. (1999) ont montré que l’on peut trouver une relation entre l’erreur primale, 
l’erreur duale et le résidu du problème primal. Ceci fournit une expression pour l’erreur en 
quantité d’intérêt : 
( ) ( )ε,eaeQ =  [7] 
Pour estimer cette quantité, il est nécessaire de l’exprimer en termes de normes en énergie. 
En effet grâce à n’importe quel estimateur classique, on dispose d’une estimation de la norme en 
énergie de l’erreur. Ainsi la relation du parallélogramme fournit une relation entre l’erreur en 
quantité d’intérêt et la norme en énergie d’une combinaison entre l’erreur primale et l’erreur 
duale : 
( ) ( ) 2121
4
1
4
1
ee
sesses,eaeQ εεε −− −−+==  [8] 
où s  est un scalaire choisi tel que 
e
e
e
s
ε
=  
 
Un estimateur basé sur la relation précédente et sur un estimateur en résidus explicite a été 
développé et implémenté dans Code_Aster, permettant ainsi d’accéder à une estimation de 
l’erreur en quantité d’intérêt. 
 
5 Application à l’estimation de l’erreur sur les facteurs d’intensité de contraintes 
 
Dans la zone singulière, le champ de contrainte présente une singularité en 21 /r −  à la pointe 
de la fissure. L’intensité de la singularité est caractérisée par des paramètres appelés facteurs 
d’intensité de contraintes, notés IK , IIK  et IIIK  correspondants à chacun des modes de 
sollicitation de la fissure. En déformations planes ou en contraintes planes, Irwin (1957) a 
montré que les déplacements et les contraintes dans la zone singulière peuvent s’exprimer en 
fonction des facteurs d’intensité de contraintes. 
 
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4 
 
FIG. 1 – Les différents modes de sollicitations d’une fissure. 
 
On considère une structure 2D fissurée, libre d’effort volumique. Les lèvres +Γ  et −Γ  de la 
fissure sont libres d’effort surfacique et sur le bord de la structure, des conditions de Dirichlet 
ou de Neumann sont imposées. Les facteurs d’intensité de contraintes, correspondant à chaque 
mode, sont donnés par les relations suivantes : 
[ ]








=
→
1
1
0
2
8
u
rC
ElimK
r
I
pi
 ; [ ]








=
→
2
1
0
2
8
u
rC
ElimK
r
II
pi
 ; ( ) [ ]





+
=
→
30
2
18
u
r
ElimK
r
III
pi
ν
 [9] 
En contraintes planes 11 =C  et en déformations planes ( )21 1 ν−=C . [ ]1u  est le saut de 
déplacement normal au plan de fissure, [ ]2u  le saut de déplacement normal au fond de fissure et 
[ ]3u  le saut de déplacement tangent au fond de fissure. 
 
Une méthode de calcul des facteurs d’intensité de contrainte consiste à une extrapolation 
du saut des déplacements entre les lèvres de la fissure par une méthode des moindres carrés ; ce 
qui s’exprime de la manière suivante : 
( ) [ ]( )∫ −= mr drrk)r(UCkJ minimise K 0 2221  avec 12 8 2CEC pi=  [10] 
Où [ ] ( )infsup UU)r(U −=  est le saut des déplacements entre la lèvre supérieure +Γ  et 
inférieure −Γ , 
m
r  est le rayon maximum à la pointe de fissure sur lequel on considère les sauts 
de déplacements. La formule explicite pour calculer K  est la suivante : 
( )∫Γ −= drrUUCrK infsup
m
22
2
 [11] 
On en déduit facilement la quantité d’intérêt « facteurs d’intensité de contraintes » : 
( ) ( )








Γ−Γ== ∫∫
−Γ+Γ
dvxrdvxrC
r
vKvQ ii
m
i 22
2
 [12] 
Avec III,II,Ii =  ; Ix  le vecteur normal au plan de fissure, IIx  le vecteur normal au fond de 
fissure et IIIx  le vecteur tangent au fond de fissure. Ainsi le chargement à imposer au problème 
dual est un effort surfacique unidirectionnel selon une des trois directions du repère orthonormé 
décrivant la fissure. 
 
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6 Applications numériques et validations 
 
Pour valider l’estimateur, trois exemples sont présentés. Le premier problème est une 
plaque fissurée soumise à un effort de traction uniforme (sollicitation en mode I). Le deuxième 
problème est une poutre cantilever soumise à un effort de cisaillement (sollicitation en mode I et 
en mode II). Enfin le troisième problème est une plaque avec une fissure inclinée, soumise à un 
effort de traction (sollicitation en mode I et en mode II). Les paramètres géométriques sont 
L=10 et θ=45° ; le module d’Young est E=200000 Mpa et le coefficient de Poisson est ν=0.3. 
Les résultats numériques ont été obtenus sur des maillages, comportant des éléments 
triangulaires à six nœuds, issus des maillages des figures 2c et 2e par raffinement uniforme. 
 
  
 
 
 
FIG. 2a, 2b, 2c, 2d et 2e – Problème 1, 2 et 3 et les maillages grossiers correspondants. 
 
Pour chacun des facteurs d’intensité de contraintes, la solution de référence a été obtenue 
sur un maillage raffiné comportant plus de 100 000 éléments. Des « pseudo » bornes sont 
présentées dans les tableaux suivants : elles sont calculées comme la somme ou la différence des 
facteurs d’intensité de contrainte et de la valeur absolue de l’erreur en quantité d’intérêt. 
 
Nombre de ddl 498 1858 7170 28162 
h
IK  8,874 8,931 9,198 9,383 
( )eQ  7,074 E-01 3,349 E-01 2,113 E-01 8,461 E-02 
sup
IK  9,581 9,266 9,409 9,467 
inf
IK  8,166 8,596 8,987 9,298 
TAB. 1 – Problème 1 : Facteur d’intensité de contrainte ( 529,9=refIK ). 
 
Nombre de ddl 498 1858 7170 28162 
h
IK  38,976 36,401 36,183 36,214 
( )eQ  2,803 E+00 1,265 E+00 7,862 E-01 3,117 E-01 
sup
IK  41,780 37,667 36,969 36,526 
inf
IK  36,172 35,135 35,397 35,902 
TAB. 2 – Problème 2 : Facteur d’intensité de contrainte en mode I ( 072,36=refIK ). 
 
Nombre de ddl 498 1858 7170 28162 
h
IIK  2,558 3,357 3,757 4,011 
( )eQ  2,431 E-01 1,526 E-01 1,039 E-01 4,712 E-02 
sup
IIK  2,801 3,509 3,861 4,058 
inf
IIK  2,315 3,204 3,653 3,964 
TAB. 3 – Problème 2 : Facteur d’intensité de contrainte en mode II ( 247,4=refIIK ). 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
 
Nombre de ddl 514 1922 7426 29186 
h
IK  6,740 6,474 6,492 6,498 
( )eQ  1,930 E-01 1,916 E-01 4,487 E-02 2,872 E-02 
sup
IK  6,933 6,665 6,537 6,527 
inf
IK  6,547 6,282 6,447 6,469 
TAB. 4 – Problème 3 : Facteur d’intensité de contrainte en mode I ( 518,6=refIK ). 
 
Nombre de ddl 514 1922 7426 29186 
h
IIK  1,170 1,486 1,630 1,706 
( )eQ  6,853 E-02 6,087 E-02 1,124 E-02 6,488 E-03 
sup
IIK  1,238 1,547 1,641 1,715 
inf
IIK  1,101 1,425 1,619 1,702 
TAB. 5 – Problème 3 : Facteur d’intensité de contrainte en mode II ( 789,1=refIIK ). 
 
7 Conclusions et perspectives 
 
Un estimateur en quantité d’intérêt, basé sur une technique de résidus explicites, a été 
présenté. Une quantité d’intérêt de la mécanique de la rupture a été mise en oeuvre pour 
permettre l’estimation de l’erreur sur les facteurs d’intensité de contraintes en modes mixtes. 
Des tests numériques permettant de valider cet estimateur sont présentés ; ils ont été réalisés 
avec Code_Aster. Les « pseudo » bornes définies permettent d’avoir un encadrement assez 
satisfaisant des facteurs d’intensité de contrainte. Mais la méthode d’extraction étant sensible au 
type d’élément utilisé, l’utilisation d’éléments de Barsoum permettrait certainement d’améliorer 
les résultats. Enfin cette méthodologie pourra être utilisée sans difficulté dans le cas de 
problèmes à 3 dimensions. 
 
Références 
 
Babuska I., Rheinboldt W.C. 1978 A posteriori error estimates for the finite element method. 
Int. J. Numer. Methods Eng., 12, 1597-1659. 
 
Becker B., Rannacher R. 2001 An optimal control approach a posteriori error estimation in 
finite element methods. Acta Numerica, 19, 1-102. 
 
Irwin G.R. 1957 Analysis of stresses and strains near the end of crack traversing a plate. J. Appl. 
Mech., 24, 301-364. 
 
Ladevèze P. 1975 Comparaison de modèles de milieux continus, Thèse d'État, Université Pierre 
et Marie Curie, France. 
 
Prudhomme S., Oden J.T. 1999 On goal-oriented error estimation for elliptic problems : 
Application to the control of point-wise errors. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 176, 
313-331. 
 
Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. 1987 A simple error estimator and adaptive procedure for practical 
engineering analysis. Int. J. Numer. Methods Eng., 24, 334-357. 


Estimation d'erreur pour le calcul de facteurs d'intensité de contraintes

Delmas, Josselin

Coorevits, Patrice

Badel, Pierre-Bernard

Guessasma, Mohamed

HAL-CEA

Estimation d'erreur pour le calcul des facteurs d'intensité de contrainte

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Estimation d'erreur pour le calcul de facteurs d'intensité de contraintes

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