La prise en compte et l'optimisation de la forme et de la position de détails structuraux sont des étapes importantes dans le dimensionnement, entraînant très souvent des temps de calcul prohibitifs. Faire appel à une méthode d'optimisation multi-niveaux de modèles permet de réduire ces temps de calcul. La stratégie présentée ici s'appuie sur trois points fondamentaux. Le premier permet de décrire la géométrie du détail à optimiser indépendamment du maillage. Il combine une méthode d'enrichissement locale (X-FEM) et l'utilisation de fonctions Level-Set pour décrire facilement le détail. Le deuxième utilise une technique de résolution micro-macro. Elle est basée sur une méthode de décomposition de domaine mixte et une stratégie de résolution multi- échelle. Enfin, le troisième est une technique de multirésolution qui permet de réduire les coûts de calcul lorsque l'on traite un problème où certains paramètres peuvent varier

BOUCARD, Pierre-Alain

BUYTET, Sandrine

GUIDAULT, Pierre-Alain

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Stratégie multi-échelle pour l’optimisation de détails structuraux
Sandrine Buytet, Pierre-Alain Boucard & Pierre-Alain Guidault
LMT-Cachan
61 avenue du Président Wilson 94235 Cachan Cedex
buytet@lmt.ens-cachan.fr
Résumé :
La prise en compte et l’optimisation de la forme et de la position de détails structuraux sont des étapes importantes
dans le dimensionnement, entraînant très souvent des temps de calcul prohibitifs. Faire appel à une méthode
d’optimisation multi-niveaux de modèles permet de réduire ces temps de calcul. La stratégie présentée ici s’appuie
sur trois points fondamentaux. Le premier permet de décrire la géométrie du détail à optimiser indépendamment
du maillage. Il combine une méthode d’enrichissement locale (X-FEM) et l’utilisation de fonctions Level-Set pour
décrire facilement le détail. Le deuxième utilise une technique de résolution micro-macro. Elle est basée sur une
méthode de décomposition de domaine mixte et une stratégie de résolution multi-échelle. Enfin, le troisième est une
technique de multirésolution qui permet de réduire les coûts de calcul lorsque l’on traite un problème où certains
paramètres peuvent varier.
Abstract :
The optimization of the position and shape of structural details is an important step for the design, that leads to
large computational costs. A multi-level optimization method allows to reduce this computational times. In this
paper, the proposed approach is based on three fondamental points. The first one allows to describe the structural
detail without remeshing. It uses, on the one hand, a local enrichissement method (X-FEM) and on the other hand,
Level-Set functions to describe the detail. The second one deals with the micro-macro approach. It is based on a
mixed domain decomposition and a multiscale resolution strategy. Finally, a multi-resolution approach is used in
order to reduce the computational costs when design parameters are changed during the optimization process.
Mots-clefs :
optimisation multi-niveaux, approche micro-macro, multi-résolution
1 Introduction
L’optimisation complète d’un modèle de niveau fin conduit rapidement à des coûts de calcul
prohibitifs. A l’opposé, la procédure d’optimisation d’un modèle beaucoup plus grossier, bien
qu’économique risque d’engendrer des résultats peu fiables. Il apparaît donc nécessaire de pou-
voir faire évoluer la finesse d’un modèle au cours du processus d’optimisation afin de rendre
la procédure à la fois performante et abordable en terme de coûts de calcul. Cette stratégie de
plus en plus utilisée, est ce que l’on appelle l’optimisation multi-niveaux de modèles. Elle est
tout à fait adaptée pour traduire le comportement complexe d’une structure tout en prenant en
compte l’influence d’un certain nombre de détails. Dans la littérature on distingue deux grandes
catégories d’optimisation multi-niveaux de modèles : les modèles hiérarchiques et les modèles
imbriqués. Dans les méthodes dites hiérarchiques, considérées par Robinson et al. (1999) et
Keane et al. (2000), le modèle mécanique est enrichi progressivement à partir de la solution is-
sue de l’optimisation du modèle de niveau supérieur. Dans cette approche le modèle dit «parent»
est définitivement oublié lors de l’optimisation du niveau de modélisation plus fin dit «enfant».
Dans notre étude, nous nous plaçons dans le cadre plus élaboré de l’optimisation imbriquée,
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
traitée par Engels et al. (2004). Dans cette approche, les modèles parent et enfant sont optimi-
sés de façon couplée et peuvent ainsi communiquer entre eux. C’est à dire que l’optimisation à
l’échelle fine du détail aura une influence sur l’optimisation globale à l’échelle de la structure
et vice versa.
Ici, nous proposons une méthode multi-échelle comme nouvel outil pour l’optimisation
multi-niveaux. L’optimisation d’un modèle nécessitant un nombre important d’appels à une
fonction coût, nous proposons une méthode permettant de réduire considérablement le temps
de calcul d’un appel à un autre. Nous présenterons brièvement les bases théoriques de notre
approche avant d’introduire un exemple simple montrant les performances obtenues.
2 Une méthode multi-échelle au service de l’optimisation multi-niveaux de modèles
L’approche appelée "micro-macro" proposée dans cette étude permet de séparer les dif-
férentes échelles de modélisation tout en permettant une communication naturelle entre ces
échelles. Ce dernier point rentre tout à fait dans le cadre de l’optimisation multi-niveaux de
modèles imbriqués. L’approche micro-macro s’articule autour de trois points :
Un partitionnement de la structure en sous-structures et interfaces
Une sous-structureE, occupant le domaineΩE , est soumise à l’action de son environnement
(les interfaces voisines) qui se traduit par une distribution d’effort FE et une distribution de dé-
placement WE (Figure 1). Ce partitionnement confère le caractère mixte de cette méthode de
décomposition de domaine. Le comportement d’une interface ΓEE′ entre deux sous-structures
Stratégie de calcul multiéchelle 3
aspects ont ainsi été étudiés. Le premier est l’utilisation d’une interface permettant
la mise en place d’une description fine dans le voisinage de la fissure et traitant le
problème d’incompatibilité de maillage de façon naturelle. Le second est le choix de
l’échelle macro et de ses enrichissements pour inclure l’effet macro d’une fissure.
Enfin, le troisième point porte sur l’intégration de la X-FEM au niveau micro. Il est
montré que, dans le cadre de l’approche multiéchelle utilisée, celle-ci ne pose pas de
difficultés particulières.
2. L’approche multiéchelle p ur le suivi de fissure
L’approche micro-macro s’articule autour de trois points fondamentaux :
– Un partitionnement de la structure en sous-structures et interfaces
Une sous-structure E, occupant le domaine ΩE , est soumise à l’action de son en-
vironnement (les interfaces voisines) qui se trad it par une distribution d’effort FE et
une distribution de déplacementWE (Figure 2). Ce partitionnement confère le carac-
tère mixte à cette méthode de décomposition de domaine.
ΩE
ΩE′
ΓEE′
F
E
W
E
F
E′
W
E′
Figure 2. Échange sous-structures / interfaces
– Un aspect multiéchelle introduit au niveau des interfaces
Contrairement à la plupart des approches multiéchelles, la séparation entre les
échelles ne se fait qu’au niveau des interfaces. Les quantités d’interface s’écrivent ainsi
comme la somme d’une partie macro et d’une partie micro. Ainsi, FE = F
M
E + F
m
E .
– Une vérification partielle des conditions de transmission
Les efforts macro d’interface doivent systématiquement vérifier les conditions de
transmission a priori. L’espace associé est noté FMad .
FMad =
{
FM ∈ FM | ∀E ∈ E, ∀E′ ∈ VE , FME + FME′ = 0
}
[1]
oùVE représente la liste des sous-structures voisines de ΩE .
FIG. 1 – Echange sous-structures / interfaces
ΩE et ΩE′ dépend de la liaison que l’interface doit modéliser. Ce comportement peut être écrit
comme une relation de comportem nt mixte entre l s int rdéplacements et les interefforts agis-
sant sur l’interface. Les deux comport ments d’interface uti isés dans le cadr d notre étude
sont :
• Interfa e parfaite
Les déplacements sont ontinus à travers l’i terface et les effort sont en équilibre. La relation
de comportement se traduit alors par les deux équations : FE + FE′ = 0 etWE −WE′ = 0.
• Interface de contact unilatéral avec frottement
On note µ le coefficient de frottement de Coulomb. n désigne le vecteur normal à ΓEE′ au point
courant et sortant par rapport à ΩE . Pt désigne le projecteur orthogonal associé. La relation de
comportement se traduit alors par :
– équilibre des efforts : FE + FE′ = 0,
– non-pénétration : n · (WE′ −WE) ≥ 0 et n · FE ≤ 0,
– complémentarité : (n · (WE′ −WE))(n · FE) = 0,
– lois de Coulomb :
si ‖PtFE‖ < µ|n · FE|, alors Pt(WE′ −WE) = 0 (adhérence)
si ‖PtFE‖ = µ|n · FE|, alors
2
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Pt(WE′ −WE) ∧PtFE = 0 et Pt(WE′ −WE) ·PtFE ≥ 0 (glissement)
Un aspect multi-échelle introduit au niveau des interfaces
Contrairement à la plupart des approches multi-échelles, la séparation entre les échelles
s’introduit ici au niveau des interfaces (voir Ladevèze et al. (2002)). Les quantités d’interface
s’écrivent comme la somme d’une partie macro et d’une partie micro. Ainsi, FE = F
M
E + F
m
E
et WE = W
M
E +W
m
E . F
M
E et W
M
E sont choisis tels qu’ils vérifient le découplage des travaux
micro et macro. ∫
ΓEE′
F.WdS =
∫
ΓEE′
FM .WMdS +
∫
ΓEE′
Fm.WmdS (1)
Une stratégie de résolution spécialisée
L’algorithme itératif LATIN développé par Ladevèze (1999) permet d’une part de résoudre
de façon indépendante les problèmes «micro» au sein des différentes sous-structures, et d’autre
part de transmettre l’information «macro» via les interfaces par un problème global assurant
une convergence rapide de l’algorithme.
3 Description du détail structural indépendamment du maillage
La seconde force de la méthode provient de la description même du détail à partir des mé-
thodes X-FEM et des fonctions Level-Set. Au cours de l’optimisation, la variation de la position
du détail ne nécessite pas de remaillage de la structure. Dans toute la suite, on se restreindra à
l’étude d’un trou circulaire.
3.1 Modélisation d’un trou par la X-FEM
L’aspect multi-échelle n’étant introduit qu’au niveau des interfaces, il est possible d’enrichir
l’approximation du champ de déplacement uE sur une sous-structure E en utilisant la X-FEM
Guidault et al. (2006). En considérant un trou :
• L’interpolation du champ de déplacement par la X-FEM est donnée par (voir Sukumar et
al. (2000)) :
uEh(x) =
∑
i∈N
ϕi(x)H(x)ui où H(x) =
{
1 si x est dans la matière
0 si x est dans le vide (2)
N étant l’ensemble des nœuds du maillage, ui les degrés de liberté correspondants et H la
fonction d’enrichissement .
Seuls les éléments traversés par la frontière du trou font l’objet d’un traitement spécifique.
• L’intégration numérique de la formulation faible ne se fait pas sur la portion de l’élément
située dans le vide.
• Les nœuds à l’intérieur du trou dont aucun élément n’est coupé par sa frontière sont éli-
minés du maillage en supprimant leurs degrés de liberté dans le système final.
3.2 Description du détail par level-set et multi-résolution
La méthode des level-sets proposée par Osher et al. (1988) est une technique numérique
permettant de suivre l’évolution d’une surface mobile facilement indépendamment du maillage.
Dans le cas d’un trou la fonction level-set est donnée par ϕ(x) = min(‖x− xc‖ − rc), où xc et
rc sont respectivement la position de l’origine et le rayon du trou.
3
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Il est facile alors d’exprimer la fonction d’enrichissementH en fonction de la fonction distance
ϕ comme suit :
H(x)=
{
1 si ϕ(x) ≥ 0
0 si ϕ(x) < 0
Lors de la phase d’optimisation, une simple mise jour de ϕ et de H est réalisée, le maillage
éléments finis et la structure du problème restant inchangés.
On profite aussi dans le processus d’optimisation de la stratégie multi-résolution. On uti-
lise les résultats d’un précédent calcul pour un jeu de variables de conception données comme
solution pour initialiser l’algorithme itératif LATIN de l’approche micro-macro d’un nouveau
calcul. Un faible nombre d’itérations est alors suffisant pour atteindre la convergence associée
au nouveau jeu de paramètres (voir Boucard et al. (2003)). L’algorithme général d’optimisation
multi-niveaux à partir de la méthode multi-échelle est donné sur la figure 2.
6ARIABLES DE CONCEPTION
X	xXI	xXN		
-
5
,4)2¡3/
,5
4)/
.
X	xXI	xXN		
#ALCUL ITÏRATIF
 MICROMACRO
CALCUL
NIVEAU STRUCTURE
CALCUL
NIVEAU DÏTAIL
-ISE Ì JOUR
DE LA ,EVEL 3ET
%VALUTION DE 
LA FONCTION 
DgENRICHISSEMENT
"/5#,%3 $g/04)-)3!4)/.
FIG. 2 – Algorithme général de résolution
4 Résultats numériques
On considère une structure Ω1 encastrée suivant sa longueur et en contact avec frotte-
ment avec une structure Ω2 soumise à une pression uniforme p = 100 Pa sur ses bords. Les
constantes du matériau et le coefficient de frottement sont respectivement égales à E = 210000
MPa, ν = 0.3 et µ = 0.6. Le domaine est décomposé en 13 sous-structures identiques et
l’interface de contact est représentée en gras rouge sur la figure 3 (a). Un trou de rayon 8 mm
est percé dans la structure du haut. À l’échelle du système (L = 243 mm et l = 162 mm), le
trou est assimilé à un détail structural. Les coordonnées de son centre xc et yc constituent les
variables de conception du problème. Elles sont optimisées de façon à ce que la répartition de
pression normale au niveau de l’interface de contact, assimilée à la fonction coût, soit la plus
uniforme possible. La fonction coût f est alors donnée par f = (pmax − pmin)/pmoy où pmax,
pmin et pmoy sont respectivement les pressions maximale, minimale et moyenne.
L’optimisation s’effectue en trois temps :
•On construit un méta-modèle constituant le premier niveau de modèle. Pour cela, on calcul
en multi-résolution la fonction coût pour différentes positions du trou variant à l’intérieur de la
zone grisée, (points noirs sur la figure 3 (b)). La surface de réponse est ensuite obtenue par
interpolation cubique.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
p
p
L
l
x
c
l 7 
(8 sous-structures)
7 
(5 sous-structures)
y
x
y
c
050100150200250
180
190
200
210
220
230
4
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
xc (mm)
yc (mm)
f
FIG. 3 – (a) Modèle (b) Surface de réponse
• L’optimisation avec le méta-modèle, pauvre en terme de temps de calcul, effectuée par
exemple avec un algorithme génétique, permet de déterminer très rapidement la (les) zone(s)
d’intérêt. Concrètement, l’information obtenue à l’issu de l’optimisation de la fonction coût est
la sous-structure à l’intérieur de laquelle se situe le trou.
• On procède à l’optimisation de niveau fin à proprement parler. La fonctionnelle coût est
calculée à chaque appel à partir du code multi-échelle. La minimisation s’effectue sous les
contraintes traduisant que le trou doit rester à l’intérieur de la sous-structure préalablement
identifiée. La minimisation sous contrainte se fait à partir d’un algorithme de descente où les
gradients de f sont évalués numériquement par différences finies. En initialisant à (x0c , y
0
c ) =
(83, 183.5), l’algorithme converge en 14 boucles d’optimisation et 84 appels à la fonction coût
f pour la position optimale (xc, yc) = (79.5, 186, 9).
Dans notre approche, seul le premier appel à f est réellement coûteux, que se soit lors de la
construction du méta-modèle ou au cours du processus d’optimisation. Pour les calculs suivants,
lorsque la position du trou varie, on initialise l’algorithme LATIN avec la solution convergée
issue du calcul précédent. De plus grâce à la décomposition de domaine, on ne re-évalue la
matrice de rigidité que des sous-structures concernées par le détail. Pour illustration, le ta-
bleau ci-après compare pour les trois phases de calcul, les temps CPU requis par notre méthode
à ceux évalués pour une méthode «classique» (sans multi-résolution). Pour évaluer ce temps
«classique», on estime que le temps de calcul de chaque fonction coût est toujours égal à celui
nécessaire au premier calcul de notre approche. Le ratio «temps classique /temps multirésolu-
tion» supérieur à 6 montre sans équivoque la force de la méthode multi-échelle/multi-résolution.
Lors de la phase d’optimisation du modèle fin, on distingue deux types d’appel à la fonction
coût, les appels «réels» qui requièrent en moyenne 50 s de temps CPU et tous les appels né-
cessaires pour évaluer les gradients. Ces derniers impliquant de plus petites variations de la
position du trou engendrent par conséquent des temps de calculs plus faibles de l’ordre de 20 s.
Notons tout de même que les calculs ayant été éffectués sous un code MATLAB orienté objet,
les temps CPU, bien que réduits grâce à notre approche, peuvent paraître importants, ils ne sont
donnés qu’à titre comparatif.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Etape Nombre d’appels Temps calcul Temps calcul
à la fonction coût LATIN LATIN (multirésolution)
Construction méta-modèle 144 144× 326 s 326 + 10716 s
(calcul LATIN)
Optimisation modèle fin 84 84× 386 s 386 + 2595 s
(algo de descente + LATIN)
total 79368 s 14023 s
5 Conclusions
La méthode proposée ici, est une alternative intéressante aux techniques d’optimisation
multi-niveaux de modèle. L’approche micro-macro permet un couplage naturel entre les deux
échelles de modélisation constituant ainsi un atout majeur pour l’optimisation imbriquée de
modèles. De plus la technique de multirésolution réinitialisant le calcul LATIN à partir de la
solution issue d’un calcul précédent, permet d’effectuer un nombre important d’appels à la
fonction coût et ceci pour des temps de calcul relativement raisonnables.
Ces travaux ont reçu le soutien de l’Agence Nationale de la Recherche dans le cadre du
programme RNTL 2005.
Références
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Keane A.J., Petruzzeli N. 2000 Aircraft wing design using GA-Based multi-level strategies
AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization, 8th,
Long Beach, CA Sept. 6-8, 2000.
Engels H., Becker W., Morris A. 2004 Implementation of a multi-level optimisation metho-
dology within the e-design of a blended wing body Aerospace Science and technology 8
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Ladevèze P., Nouy A., Loiseau O. 2002 A multiscale computational approach for contact pro-
blems. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 191 4680-4891
Ladevèze P. 1999 Nonlinear Computational Structural Mechanics - New Approaches and non-
Incremental Methods of Calculation Springer Verlag
Guidault P.A, Allix O., Champanay L., Cornuault C. Une approche micro-macro pour le suivi
de fissure avec enrichissement local Revue Européenne de Mécanique Numérique 15 187-198
Sukumar N., Chopp D.L, Moës N. , Belytschko T. Modeling holes and inclusions by level sets
in the extended finite-element method Comput. methods Appl. Mech. Engrg. 190 6183-6200
Osher S., Sethian J.A 1988 Fronts propagating with curvature-dependent speed : Algorithms
based on Hamilton-Jacobi formulations J. Comput. Phys. 79 12-49
Boucard, P.A., Champaney, L. 2003 A suitable computational strategy for the parametric ana-
lysis of problems with multiple contact. International Journal for Numerical Methods in En-
gineering 57 1259-1282
6


Stratégie multi-échelle pour l'optimisation de détails structuraux

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16487/1/CFM2007-0230.pdf

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