La calorimétrie modulée est une méthode de détermination indirecte de la capacité calorifique et de la conductivité thermique d'alliages métalliques. Associée à la lévitation électromagnétique, elle est particulièrement intéressante lorsque les alliages sont très réactifs en phase liquide ou surfondus. Cette technique, mise au point sur des alliages solides, doit être validée pour les liquides. Notre contribution est basée sur des simulations numériques 2D-Axisymétriques, permettant de mettre en évidence l'influence de la convection sur les valeurs de températures mesurées à la surface de l'échantillon. Nous observons une augmentation des transferts thermiques dans l'échantillon menant à une surestimation de la conductivité thermique mesurée, sans nuire à la mesure de la capacité calorifique

ETAY, Jacqueline

SCHETELAT, Pascal

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceLa calorimétrie modulée est une méthode de détermination indirecte de la capacité calorifique et de la conductivité thermique d'alliages métalliques. Associée à la lévitation électromagnétique, elle est particulièrement intéressante lorsque les alliages sont très réactifs en phase liquide ou surfondus. Cette technique, mise au point sur des alliages solides, doit être validée pour les liquides. Notre contribution est basée sur des simulations numériques 2D-Axisymétriques, permettant de mettre en évidence l'influence de la convection sur les valeurs de températures mesurées à la surface de l'échantillon. Nous observons une augmentation des transferts thermiques dans l'échantillon menant à une surestimation de la conductivité thermique mesurée, sans nuire à la mesure de la capacité calorifique

Schetelat, Pascal

Etay, Jacqueline

Hal - Université Grenoble Alpes

Influence de la convection sur la mesure indirecte de la capacité calorifique et de la conductivité thermique d'alliage métallique en lévitation utilisant la calorimétrie modulée

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
1 
Influence de la convection sur la mesure indirecte de la capacité calorifique 
et de la conductivité thermique d’alliage métallique en lévitation utilisant la 
calorimétrie modulée. 
 
Pascal SCHETELAT, Jacqueline ETAY 
 
Laboratoire SIMAP – EPM BP 95 
38402 Saint Martin d'Hères FRANCE 
pascal.schetelat@hmg.inpg.fr 
 
 
 
 
 
 
Résumé : 
 
La calorimétrie modulée est une méthode de détermination indirecte de la capacité calorifique et de la 
conductivité thermique d’alliages métalliques. Associée à la lévitation électromagnétique, elle est 
particulièrement intéressante lorsque les alliages sont très réactifs en phase liquide ou surfondus. Cette 
technique, mise au point sur des alliages solides, doit être validée pour les liquides. Notre contribution 
est basée sur des simulations numériques 2D-axisymétriques, permettant de mettre en évidence 
l’influence de la convection sur les valeurs de températures mesurées à la surface de l’échantillon. Nous 
observons une augmentation des transferts thermiques dans l’échantillon menant à une surestimation de 
la conductivité thermique mesurée, sans nuire à la mesure de la capacité calorifique. 
 
Abstract : 
 
Modulation calorimetry is an indirect method to measure specific heat capacity and thermal conductivity. 
When using electromagnetic levitation, this technique allows the measurement for highly reactive molten 
and undercooled alloys. Initially developed for solid sample characterization, this technique has to be 
validated for liquid sample. This work presents 2D-axisymetric simulations showing evidences of 
convective effects on the sample inner and surface temperatures. An increase of heat transfer in the 
sample is observed, leading to an overestimation of the measured thermal conductivity. No negative 
impact has been observed on specific heat capacity measurement.  
 
Mots-clefs :  
Calorimétrie ; lévitation électromagnétique ; convection 
 
1 Introduction 
 
La calorimétrie modulée en lévitation consiste à analyser le comportement thermique d’un échantillon 
dans lequel se développent des courants électriques induits. Ces courants génèrent une puissance Joule 
totale P modulée en amplitude. Les transferts thermiques ont lieu, d’une part à l’intérieur de l’échantillon, 
par conduction et convection, d’autre part à l’extérieur de l’échantillon, par rayonnement. Le rapport de 
ces transferts définit le nombre de Biot global Bi du système. Dans cet article nous présentons le 
dispositif expérimental ainsi que le principe de la mesure par calorimétrie modulée. Nous présentons les 
ordres de grandeur caractéristiques qui y sont associés. Un code commercial de volumes finis auquel a été 
joint un module de calcul de l’induction est utilisé pour résoudre l’électromagnétisme, l’hydrodynamique 
et la thermique dans l’échantillon. Une expérience de calorimétrie modulée est ainsi simulée pour 
différents nombres de Reynolds. L’influence de la convection interne sur les mesures de températures 
obtenues est mise en évidence. Nous présentons les résultats de ces calculs et les expliquons. 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
2 
2 Principes de la calorimétrie modulée 
 
Un échantillon sphérique de rayon R de conductivité électrique eσ , est placé dans un inducteur 
parcouru par un courant électrique alternatif de haute fréquence  ( =piω 21 300 à 400 kHz). La 
représentation schématique de l’échantillon dans l’inducteur est donnée Figure 1. Cet inducteur 
engendre dans l’échantillon des courants localisés au voisinage de la surface dans une peau 
électromagnétique δ  d’épaisseur:  
 
eσωµ
=δ
10
2
 
(1) 
où 170 .104
−−pi=µ mH  est la permittivité du vide. Ces courants interagissent avec le champ 
électromagnétique, engendrant d’une part un champ de forces permettant le positionnement de 
l’échantillon, d’autre par, une distribution de puissance Joule χ permettant le chauffage et la 
fonte de l’échantillon. Les équations de l’induction donnent l’ordre de grandeur χ0 de la 
puissance Joule volumique : 
 
0
2
01
0 µ
ω
=χ B
 
(2) 
où B0  est une valeur caractéristique du champ électromagnétique. On appelle P la puissance 
totale chauffant l’échantillon, l’intégrale de χ sur le volume de l’échantillon.  
La calorimétrie modulée consiste à perturber l’équilibre thermique de l’échantillon en modulant 
la puissance Joule totale P(t) fournie à l’échantillon autour de sa valeur d’équilibre P  à une 
pulsation ω2 très faible (0,01 à 50 Hz) devant la pulsation du champ électromagnétique ω1.  
 ))sin(1( 2tPP ωα+=
 
(3) 
où α est l’amplitude relative de la perturbation. En régime harmonique établi, on mesure par 
pyrométrie la température de surface Tp(t) de l’échantillon en position polaire. Elle est décrite 
comme la somme d’un terme moyen et d’une perturbation sinusoïdale de moyenne nulle :  
 
)sin(~ 20, pppp tTTT ϕ+ω+=
 
(4) 
où )(~ 0, tTp  est l’amplitude des perturbations, et ϕp le déphasage par rapport à la modulation de 
la puissance (Figure 1 à droite).  
 
 
FIG 1- Vue schématique de l’échantillon à l’intérieur de l’inducteur et principe de mesure. 
 
Une modélisation analytique simplifiée des transferts thermiques internes et externes pour 
un échantillon solide a été proposée par Fecht et al (1991). Ce modèle donne une expression 
 
)(tT p
)(tP
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
3 
analytique de 0,
~
pT  et de ϕp en fonction de la capacité calorifique cp, de la pulsation de 
modulation ω2 et des temps caractéristiques τint et τext, respectivement associés aux transferts 
thermiques internes et externes à l’échantillon. Pour des nombres de Biot suffisamment faibles 
(Bi < 0,01), il existe une gamme de pulsation telle que 1010 1int2
1 −− τ<ω<τext , pour laquelle 
le rapport 00,
~~ TTp  tend vers 1, où 0
~T  est l’amplitude caractéristique de la variation de la 
température (Equation 9). Cette expression permet de déduire la capacité calorifique de 
l’échantillon. La conductivité thermique d’un échantillon est déduite grâce à la mesure indirecte 
du temps caractéristique τint. Cette mesure indirecte est réalisée par interpolation du modèle 
analytique sur les valeurs du déphasage ϕp en fonction de ω2.  
 
3 Géométrie et hypothèses de la simulation  
 
La géométrie de la simulation est représentée sur la figure 2. Les caractéristiques de 
l’échantillon sont portées dans le tableau 1. 
 
Masse volumique ρ, kg.m-3 3860 
Capacité calorifique cp, J.K-1.kg-1 663 
Conductivité thermique κth, W.m-1.K-1 23,1 
Conductivité électrique σe, Ω-1.m-1 5,26.10
5
 
Emissivité totale hémisphérique ε 0,4 
 Rayon R, mm 4 
FIG. 2 - Géométrie de l’inducteur TAB. 1 - Caractéristiques de l’échantillon 
 
Les simulations numériques proposées ci-après reposent sur les hypothèses suivantes :  
(H1) Les problèmes électromagnétique, hydrodynamique et thermique sont supposés 
axisymétriques par rapport à l’axe passant par les pôles de l’échantillon.  
(H2) L’échantillon est une sphère de volume constant, indéformable.  
(H3) Les propriétés physiques de l’échantillon sont indépendantes de la température. 
(H4) Il n’y a pas de gravité. 
(H5) Le champ de vitesse induit par brassage est supposé stationnaire. 
(H6) Le champ de vitesse dans l’échantillon n’a pas d’influence sur l’induction.  
(H7) Les transferts thermiques de la sphère vers l’atmosphère se font par rayonnement 
isotrope uniquement. 
 
4 Grandeurs caractéristiques 
 
Des ordres de grandeurs caractéristiques sont dérivés des bilans thermiques local et global :  
 
              Inertie          Convection        Diffusion          Source Joule  
Bilan local χ=∇κ−∇ρ+
∂
∂ρ TTc
t
T
c thpp
2).(U  (5) 
          Rayonnement  
Bilan global PdSTTdVt
T
c
surfvol
p =−εσ+∂
∂ρ ∫∫ )( 404  (6) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
4 
 On définit à l’aide de l’équation 6 surfT , la température caractéristique de la surface en 
régime stationnaire :  
 
4
1
4
0
4
0
44
0
4 )()( 





+
εσ
=⇒−εσ=−εσ= ∫ TA
PTTTAsdTTP surfsurf
surface
r
 (7) 
où ε est l’émissivité hémisphérique totale, σ la constante de Stefan-Boltzmann, A l’aire de 
l’échantillon et T0 la température ambiante du milieu. 
 En régime stationnaire l’égalité des termes de diffusion et de source Joule dans l’équation 
5 donne un ordre de grandeur de l’écart de température maximal ∆T dans l’échantillon dû à la 
répartition des sources Joules volumiques donnée par l’équation 2 :  
 2δ
∆
κ
T
th  ~ Tbienou ∆χ0 ~ 2
0
2
02
µσκ eth
B
 (8) 
 De même, en régime harmonique établi, l’égalité des termes d’inertie et de source Joule 
dans l’équation 6 permet de donner un ordre de grandeur de l’amplitude de la variation de la 
température moyenne de l’échantillon:  
 
dV
t
T
V
vol
∫ ∂
∂1
~ 002
~~ TdonneTω ~
pVc
P
ρω
α
2
 (9) 
où V est le volume totale de l’échantillon et ρ la masse volumique du liquide. 
 Ces dimensions de températures conduisent à adimensionnaliser les températures de la 
manière suivante : 
 
T
TT surf
∆
−
=Θ  (10) 
 Dans l’échantillon liquide, les forces électromagnétiques génèrent un brassage dans 
l’échantillon auquel on associe les grandeurs suivantes :  
Vitesse d’Alfvèn ρµ
=
0
0BU A  (11) 
Nombre de Reynolds 
ν
=
RU
R AA  (12) 
Nombre de Peclet ∫>=<κ
ρ><
=
v
th
p dVU
V
U
cRU
Pe 1avec  (13) 
 
où ν est la viscosité cinématique de l’alliage liquide et <U> la vitesse moyenne 
calculée dans l’échantillon. Les paramètres électriques ainsi que les valeurs des  
grandeurs caractéristiques sont reportées dans les tableaux 2 et 3.  
 
Courant inducteur  I0, A.tours 390  Tsurf, K 1467,17 UA, m.s-1 0,18 
Pulsation du champ  
électromagnétique ω1, rad.s-1 
2pi 350.103 
 ∆T
,
 K 15,01 Bi (solide) 0,06 
Pulsation de la modulation  
de la puissance  ω2, rad.s-1 
5 
 0
~T , K 0,307 RA 0, 7, 15, 37, 
 47 et 148 
TAB. 2 - Paramètres 
électromagnétiques de la simulation 
 
TAB. 3 - Grandeurs caractéristiques  
(Equations 7,8,9,11 et 12) 
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5 
 
5 Résultats  
 
5.1 Conditions de la simulation 
 
Le problème électromagnétique est résolu une seule fois en utilisant un formalisme 
harmonique du champ électromagnétique en 2D axisymétrique grâce à un module développé au 
sein du laboratoire EPM (Delannoy et al (2002)). Les résultats de ce calcul sont les champs de 
force volumique F et de sources Joule χ dans l’échantillon. Le problème hydrodynamique 
stationnaire est résolu pour une sphère indéformable soumise au champ de force volumique F 
issu du calcul électromagnétique. Une condition limite de cisaillement nulle à la surface libre est 
imposée. Le nombre de Reynolds RA est modifié en faisant varier la viscosité (4.10-6 <ν< 9.10-5). 
Le résultat de ce calcul est le champ de vitesse stationnaire U dans l’échantillon. Le problème 
thermique est résolu dans l’échantillon liquide dont l’écoulement stationnaire est issu du calcul 
hydrodynamique. Une condition limite de rayonnement isotrope est prise pour le flux à la 
surface de l’échantillon. Les sources de chaleur χ sont issues du calcul électromagnétique. La 
thermique est résolue dans un premier temps pour un champ de puissance stationnaire. Les 
résultats sont présentés dans les figures 3 et 4. Par la suite, le champ de puissance Joule est 
modulé en amplitude ))sin(1()( 2tt ωα+χ=χ  avec %5=α . On choisi une pulsation de 
modulation ω2 = 5 rad.s-1, telle que 2
110 ω<τ−ext  mais ne satisfaisant pas 10
1
int2
−τ<ω  pour 
le cas solide (RA = 0). Le problème thermique instationnaire est résolu. On relève la température 
au pôle Tp(t) au cours du temps, on mesure son amplitude 0,
~
pT  et son déphasage ϕp avec la 
source de puissance Joule. Les résultats sont présentés dans le tableau 4.  
 
 
    
 
Θmax= 0,35 
Θmin= -0,46 
Θmax= 0,32 
Θmin= -0,24 
Θmax= 0,28 
Θmin=-0,10 
Θmax= 0,19 
Θmin= 0,00 
Θmax=0,16 
Θmin= -0,02 
Θmax= 0,15 
Θmin= -0,02 
RA=0 RA=7 RA=15 RA=37 RA=74 RA=148 
 
FIG 3 - Champs de température normalisés pour différents Reynolds 
 
5.2 Interprétation 
 
Les cartes de température présentées figure 3 mettent en évidence l’homogénéisation 
croissante de la température dans le volume et à la surface lorsque RA croit. La figure 4, 
représente la température normalisée à la surface pour les différents RA. En présence de 
convection, la température normalisée tend vers Θ = 0. Ceci est conforme à l’intuition 
physique : une forte convection homogénéise le champ de température à la surface de 
l’échantillon. En accord avec Fecht et al (1991), on constate que pour le solide 1~~ 00, ≠TTp . 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
6 
Pour les RA croissants, on remarque que le rapport 00,
~~ TTp  augmente rapidement et tend vers 
1 à partir de RA = 37. On en déduit que les conditions du modèle de Fecht et al (1991) 
101int2
−τ<ω  et Bi < 0,01 sont vérifiées, toutes choses étant égales par ailleurs. Les 
conductivités thermiques apparentes κth,ap pour RA > 37 sont donc supérieures à celle du solide. 
Les déphasages mesurés sont utilisés pour déduire les conductivités thermiques apparentes pour 
les différents RA. (Tableau 4).  
 
 
 
6 Conclusions et perspectives  
 
 Une modélisation 2D-axisymétrique a été utilisé pour simuler les phénomènes 
électromagnétique, hydrodynamique et thermique dans l’échantillon. Les simulations 
stationnaire et instationnaire mettent en évidence une augmentation des transferts thermiques à 
l’intérieur de l’échantillon. On prouve ainsi que l’utilisation de la calorimétrie modulée pour des 
échantillons liquides est validée pour la mesure de la capacité calorifique. Toutefois, les 
phénomènes convectifs augmentant les transferts thermiques dans l’échantillon, l’utilisation 
d’un modèle de conduction dans des systèmes liquides amène à surestimer la conductivité 
thermique. Cette surestimation atteint jusqu’à 400% dans le cadre de cette étude.  
 
Références  
 
Sullivan, Seidel, 1968 Steady State, AC-Temperature Calorimetry. Phys. Rev. 173:679  
Fecht, Johnson, 1991 A conceptual approach for non-contact calorimetry in space. Rev. Sci. 
Instr. 62:1299  
Wunderlich, R.K., Fecht, H-J. 2005 Modulated electromagnetic induction calorimetry of 
reactive metallic liquids. Measurement Science and Technology 
Delannoy, Y., Pelletier, D., Etay, J., Fautrelle, Y. 2002 Stirring and mass transfer in a 1-phase 
induction system. actes de la Conférence Internationale PAMIR Ramatuelle (France), section 
II 39–44. 
 
Remerciements 
 
Ce travail est réalisé grâce au soutien financier de l'ESA [MAP-Thermolab], du CNES 
[Maglev] et de l'EC [PI-IMPRESS - Contract Number: NMP3-CT-2004-500635]. 
RA 0 7 15 37 74 148 
Pe 0 0,76 1,5 3,7 6,8 11,7 
00,
~~ TTp  0.73 0.77 0.91 1 1 1 
pϕ (°) 131 139 132 111 104 101 
thapth κκ ,  1 0,8 0,9 2,2 3 ,5 4,1 
Tableau 4 : Synthèse des résultats obtenus avec 
une puissance modulée (eq 3) 
Figure 4 – Température à la surface de l’échantillon  


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