Le but cette étude est de procéder à des simulations numériques tridimensionnelles (3-D) de l'écoulement d'un fluide viscoélastique de Phan-Thien-Tanner dans une conduite de section carrée courbée à 180°. On considère tout particulièrement l'apparition d'écoulements secondaires (vortex de Dean). Pour aborder cette problématique, un code de calcul volumes finis 3-D a été développé pour résoudre les équations de conservation, ainsi que l'équation constitutive, écrites en coordonnées orthogonales généralisées. La présence de deux recirculations secondaires stationnaires, ainsi que l'apparition et le développement de deux vortex supplémentaires sont mis en évidence. L'influence de la rhéofluidification et des paramètres matériels sur l'apparition de ces vortex est également étudiée. On montre en particulier que l'apparition de ces recirculations est d'autant plus rapide que la rhéofluidification est marquée

BOUTABAA, Mohamed

HELIN, Lionel

MOMPEAN, Gilmar

THAIS, Laurent

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Etude des vortex de Dean pour l’écoulement d’un fluide viscoélastique dans
une conduite courbe tridimensionnelle
Lionel HELIN (a), Laurent THAIS(a), Gilmar MOMPEAN(a) & Mohamed BOUTABAA(b)
(a) Laboratoire de Mécanique de Lille, UMR-CNRS 8107
Université des Sciences et Technologies de Lille, Polytech’Lille
Cité Scientifique, 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France
lionel.helin@polytech-lille.fr
(b) Université Hassiba Benbouali de Chlef (UHBC)
BP 151 Hay Essalam
Chlef 02000 Algérie
Résumé :
Le but cette étude est de procéder à des simulations numériques tridimensionnelles (3-D) de l’écoulement d’un
fluide viscoélastique de Phan-Thien-Tanner dans une conduite de section carrée courbée à 180◦. On considère tout
particulièrement l’apparition d’écoulements secondaires (vortex de Dean). Pour aborder cette problématique, un
code de calcul volumes finis 3-D a été développé pour résoudre les équations de conservation, ainsi que l’équation
constitutive, écrites en coordonnées orthogonales généralisées. La présence de deux recirculations secondaires
stationnaires, ainsi que l’apparition et le développement de deux vortex supplémentaires sont mis en évidence.
L’influence de la rhéofluidification et des paramètres matériels sur l’apparition de ces vortex est également étudiée.
On montre en particulier que l’apparition de ces recirculations est d’autant plus rapide que la rhéofluidification
est marquée.
Abstract :
The purpose of the present study is to proceed to three-dimensional (3-D) numerical simulations of the flow of
a Phan-Tien-Tanner viscoelastic fluid through a curved channel of square section. Particular attention is drawn
onto secondary flows (Dean cells). A finite volume code was devised to solve on a staggered grid the conservation
equations, as well as the constitutive equation, written in general orthogonal coordinates. The presence of two
steady Dean cells, as well as the development of two additional vortices are demonstrated. The influence of
shear-thinning and material parameters on Dean vortices is also studied. We show in particular that decreasing
shear-thinning retards secondary flows.
Mots-clefs :
Vortex de Dean ; fluide viscoélastique ; conduite courbe tridimensionnelle
1 Introduction
Présents dans de nombreuses applications industrielles, les écoulements fluides dans des
conduites ou géométries courbes suscitent un intérêt scientifique certain. Les premières études
théoriques ont été menées par Dean pour l’écoulement d’un fluide Newtonien dans une conduite
tridimensionnelle courbe (3), et montrent notamment que des recirculations transverses à l’écou-
lement principal peuvent être observées. Dans cette étude, un nombre adimensionnel (nombre
de Dean), fonction des forces d’inertie, de viscosité et de Coriolis, a été défini, et il est prouvé
que les recirculations apparaissent lorsque le nombre de Dean excède une valeur critique proche
de 36. De nombreuses études ont ensuite été menées traitant des instabilités de Dean pour
l’écoulement tridimensionnel d’un fluide Newtonien dans une conduite courbe. On peut citer
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
par exemple les études théoriques et numériques de Joseph et al. (8) et Cheng et al.(2). Finlay
et al. (4) montrent également que pour des nombres de Reynolds importants, les structures de
Dean deviennent instables et non-axisymétriques. Ces observations sont en bon accord avec les
études expérimentales de Ligrani et Niver (9). Bara et al. (1) proposent une étude expérimentale
et numérique pour l’écoulement dans une conduite tridimensionnelle de section carrée. L’écou-
lement secondaire est ainsi visualisé pour trois nombres de Dean (125, 137 et 150) et pour
différentes positions angulaires. La présence de deux cellules de Dean, et l’apparition de deux
cellules supplémentaires est également montrée. Un travail identique mais pour des nombres de
Dean plus élevés a été proposé par Mees et al. (10). Dans une étude similaire pour l’écoulement
d’un fluide viscoélastique (6), (7), il a été prouvé que les écoulements secondaires apparaissent
en absence d’inertie, c’est-à-dire pour un nombre de Dean infiniment petit (instabilité purement
élastique).
Le but de notre contribution est de procéder à des simulations numériques viscoélastiques 3-D
pour un fluide de Phan-Thien-Tanner s’écoulant dans une conduite de section carrée courbée
à 180◦. La méthode des volumes finis est ici adoptée et les équations de conservation sont
écrites en coordonnées orthogonales généralisées sur un maillage décalé. Cette méthode nous
permet ainsi de généraliser le travail de Joo et Shakfeh. Dans une première partie, l’écriture
des équations du mouvement en coordonnées orthogonales généralisées sera explicitée. La mé-
thode numérique utilisée sera ensuite exposée et la dernière partie sera consacrée aux résultats
obtenus.
2 Equations du mouvement en coordonnées orthogonales généralisées
Bien qu’induisant des complications dans l’écriture des équations de conservation, l’utilisa-
tion des coordonnées orthogonales généralisées est une méthode particulièrement adaptée pour
appréhender les simulations d’écoulements dans des géométries présentant des frontières ou un
obstacle courbés. Pope (11) a écrit les équations de Navier-Stokes en coordonnées orthogonales
généralisées et a appliqué cette méthode pour simuler un écoulement turbulent bidimension-
nel dans un diffuseur. Thais et al. (13) utilisent une méthode identique pour la simulation du
sillage derrière un cylindre. Nous utiliserons une technique similaire pour résoudre l’écoule-
ment d’un fluide viscoélastique dans une conduite courbée à 180◦. Les équations du mouve-
ment sont exprimées en fonction des coordonnées orthogonales généralisées Ψ1 = Ψ1(x1, x2),
Ψ2 = Ψ2(x1, x2), Ψ3 = x3 où x1,x2,x3 désignent les coordonnées cartésiennes (voir fig. 1). Le
traitement et l’écriture en coordonnées orthogonales généralisées des équations du mouvement
Ψ1
Ψ3 3=x
2x
x1Ψ2
FIG. 1 – Coordonnées orthogonales généralisées
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
sont présentés ci-dessous.
(i) Conservation de la masse
∑
i
∇.(i) (Vi) = 0, (1)
où Vi est le champ de vitesse contravariante physique et
∑
i∇.(i) l’opérateur de divergence gé-
néralisé.
(ii) Conservation de la quantité de mouvement
∂ (ρVj)
∂t
+
∑
i
∇.(i) (ρViVj − Tij − 2ηsDij) = −
∂p
∂ξj
−
∑
i
H ij(ρViVj − Tij − 2ηsDij)
+
∑
i
Hji (ρViVi − Tii − 2ηsDii),
(2)
où Dij désigne les composantes du tenseur des taux de déformation D =
(
∇u +∇uT
)
/2,
exprimées en coordonnées orthogonales généralisées (u est le vecteur vitesse) ; Tij sont les
composantes physiques du tenseur des contraintes viscoélastiques T. Les facteurs d’étirements
Hji sont définis à partir de la matrice jacobienne de la transformation de coordonnées xi → ψi
(voir (11) pour plus de détails) ; ηs représente la viscosité du solvant (Newtonienne), p la pres-
sion, ρ la masse volumique du fluide et ∂ξj les variations des longueurs physiques curvilignes.
(iii) Equation constitutive de Phan-Thien-Tanner
L’équation constitutive de Phan-Thien Tanner (PTT) en coordonnées orthogonales généralisées
est :
f({T })Tij + λ


∂Tij
∂t
+
∑
k
∇.(k) (VkTij)−
∑
k
H ikVkTkj +
∑
k
Hki ViTkj
−
∑
k
HjkVkTik +
∑
k
Hkj VjTik −
∑
k
LikTkj −
∑
k
LjkTki


= 2ηpDij,
(3)
où λ est le temps de relaxation du fluide viscoélastique, Lij les composantes du gradient de
vitesse, et ηp la viscosité polymérique (non-newtonienne) définie par la loi de Carreau :
ηp = ηpo(1 + Γ
2γ˙2)(1−n)/2. (4)
Ici γ˙ =
√
{D2}/2 est le taux de cisaillement généralisé, ηpo la viscosité polymérique à taux de
cisaillement nul, Γ une constante de temps et n l’indice de la loi-puissance. Dans l’équation (3),
la fonction f est donnée par :
f({T }) = exp (
λ
ηpo
{T }). (5)
où  est un paramètre matériel de la loi PTT, permettant de faire intervenir la trace du tenseur T
et donc de donner un poids particulier aux phénomènes élongationnels.
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
-10
0
10
x
2
-10
-5
0
5
10
15
x 1
-0.5 00.5x
3
Débit
Paroi
Symétrie
Conditions limites
Débit
Conduite courbée à 180°
Maillage 95 x 16 x 31
(a)
x1
x 2
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15 p
10.01
9.33
8.66
7.99
7.31
6.64
5.96
5.29
4.61
3.94
3.27
2.59
1.92
1.24
0.57
Coupe suivant x2=0.
H=1
Ri=14.6
Le=10
Maillage 95 x 31
Le=10
(b)
Re=15.6
O
x3
r
0 0.25 0.5 0.75 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Section transverse Maillage 31 x 16
Symétrie
(c)
FIG. 2 – Maillage et géométrie
3 Géométrie et méthode numérique
On considère l’écoulement 3-D d’un fluide viscoélastique dans une conduite courbée à 180o.
Le domaine de calcul est présenté sur la figure (2a). La géométrie est scindée en trois parties :
(i) un canal d’entrée de hauteur H = 1.0, de largeur l = 0.5H et de longueur Le = 10H
(ii) relié à un canal courbé de rayon intérieur Ri = 14.6H et de rayon extérieur Re = 15.6H
(iii) un canal de sortie de dimensions identiques au canal d’entrée (fig.2b). Une condition de
symétrie est imposée en x3 = 0 pour obtenir la section carrée complète (fig.2c). Un profil de
vitesse de Poiseuille est imposé à la sortie et à l’entrée du domaine de calcul et l’origine du
repère cartésien est placé au centre O de la conduite courbée (fig.2b). Pour cette géométrie, un
maillage cartésien est utilisé pour chacune des conduites rectangulaires en amont et en aval de
la partie courbée. Ces deux maillages cartésiens sont connectés à un maillage polaire dans la
partie incurvée de la conduite. Le maillage comporte 95 noeuds dans la direction principale de
l’écoulement (10 noeuds dans chaque canal rectangulaire et 75 dans la partie courbe) et une
grille de 31x16 noeuds est utilisée dans la section transverse (fig.2c).
Les équations de conservation (eq. 1,2) couplées à l’équation constitutive de Phan-Thien-Tanner
(3) sont utilisées pour résoudre l’écoulement d’un fluide viscoélastique incompressible. la mé-
thode des volumes finis est utilisée sur un maillage décalé : la pression p ainsi que les compo-
santes normales du tenseur des contraintes viscoélastiques sont traitées au centre des volumes
de contrôle, les vitesses sont évaluées aux centres des faces du volume de contrôle, et les com-
posantes de cisaillement du tenseur des contraintes viscoélastiques sont situées aux centres des
arêtes du volume de contrôle. La méthode de projection de Harlow et Welch (5) est utilisée
pour le découplage pression-vitesse. Pour le modèle de Phan-Thien-Tanner, le schéma EVSS
(Elastic Viscous Split Stress) est utilisé pour améliorer la stabilité numérique du schéma (12).
La formulation générale est précise à l’ordre 2 dans l’espace et à l’ordre 1 dans le temps.
4 Résultats
4.1 Influence de l’indice n de la loi-puissance
On considère dans cette section l’écoulement d’un fluide viscoélastique à un nombre de
Reynolds Re = ρ 〈U1〉H/(ηs + ηpo) = 485 défini à partir de la vitesse moyenne dans le
canal d’entrée 〈U1〉. Le nombre de Dean Dn = Re
√
H/Ri et le nombre de Deborah De =
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
PTT ; Dn=125 , De=0.4 , n=1.0
Paroi externe
Paroi interne
θ
=
10
0°
PTT ; Dn=125 , De=0.4 , n=0.7
Paroi externe
Paroi interne
θ
=
10
0°
8.7E-03
7.5E-03
6.2E-03
4.3E-03
3.7E-03
2.5E-03
1.2E-03
2.4E-04
-2.7E-05
-4.2E-05
-3.2E-04
-5.3E-04
PTT ; Dn=125 , De=0.4 , n=0.3
SF
θ
=
10
0°
Paroi externe
Paroi interne
FIG. 3 – Contours de la fonction de courant (SF) sur la section transverse à θ = 100◦. Modèle PTT avec
n = 0.3, 0.7 et 1.0 et  = 0.1. Dn = 125, De = 0.4.
λ 〈U1〉 /H sont respectivement fixés à 125 et 0.4. La viscosité du solvant ηs et la viscosité
polymérique ηpo sont choisies telles que ηs/(ηs + ηpo) = 1/9. Le paramètre matériel  est fixé
à 0.1 et nous prendrons enfin Γ = λ dans l’équation (5). On souhaite ici mesurer l’importance
de la rhéofluidification sur les cellules de Dean de l’écoulement secondaire. Pour cela, diverses
valeurs de l’indice de la loi puissance n seront considérées. La figure 3 montre les contours de
la fonction de courant sur une section transverse placée dans la partie courbe de la conduite à
θ = 100◦ en fonction de l’indice n de la loi puissance. Les contours sont ici adimensionnés
par ρ 〈U1〉H . On remarque que la taille des recirculations proches de la paroi externe diminue
lorsque l’indice n augmente. L’apparition des cellules de Dean est d’autant plus précoce dans
l’écoulement que la rhéofluidification du fluide est marquée (n→ 0).
4.2 Influence du paramètre matériel 
On s’intéresse dans cette partie à l’influence du paramètre  sur l’apparition des cellules de
Dean. On considère donc l’écoulement d’un fluide de Phan-Thien-Tanner de nombres adimen-
sionnels Re = 485, Dn = 125 et De = 0.5. Les paramètres de viscosité sont inchangés par
PTT ; Dn=125 , De=0.5 , ε=0.25
θ
=
10
0°
Paroi externe
Paroi interne
PTT ; Dn=125 , De=0.5 , ε=0.2
θ
=
10
0°
Paroi externe
Paroi interne
8.8E-03
8.0E-03
7.2E-03
6.4E-03
5.6E-03
4.8E-03
4.0E-03
3.2E-03
2.4E-03
1.6E-03
7.8E-04
-1.9E-05
-8.2E-04
-1.6E-03
-2.4E-03
PTT ; Dn=125 , De=0.5 , ε=0.1
θ
=
10
0°
SF
Paroi externe
Paroi interne
FIG. 4 – Contours de la fonction de courant (SF) sur une section transverse à θ = 100◦. Modèle PTT
avec  = 0.1, 0.2, 0.25 et n = 1. Dn = 125, De = 0.5.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
rapport au paragraphe précédent et l’indice de la loi puissance est fixé à n = 1. (pas de rhéoflui-
dification). La figure 4 montre les contours de la fonction de courant sur la section transverse
θ = 100◦ pour plusieurs valeurs de  : 0.1, 0.2, et 0.25. On remarque que l’augmentation du
paramètre  provoque une augmentation de la taille des recirculations proches de la paroi ex-
terne. Cette évolution peut être expliquée par l’influence du paramètre  sur la croissance de la
viscosité élongationnelle du fluide viscoélastique.
5 Conclusions
Dans cette étude, l’influence de la rhéofluidification et du paramètre matériel  sur l’appari-
tion des cellules de Dean pour un fluide viscoélastique de Phan-Thien-Tanner ont été montrées.
Pour aborder cette problématique, un code volumes finis a été développé pour résoudre les
équations du mouvement écrites dans un système de coordonnées orthogonales généralisées.
On montre que l’apparition d’une structure comportant 4 vortex dans les sections transverses à
l’écoulement se fait d’autant plus rapidement que la rhéofluidification est importante, ou que le
paramètre matériel  est grand.
Références
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the Fifth World Congress on Computational Mechanics (WCCM V), Vienna, Austria, July 7-12 2002.
6


Etude des vortex de Dean pour l'écoulement d'un fluide viscoélastique dans une conduite courbe tridimensionnelle

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