Nous rappelons ici brièvement les méthodes numériques introduites dans la cadre du modèle récent SURF_WB introduit par Marche et col. pour l'étude de la propagation des vagues en zone de surf. Une extension vers un schéma équilibre d'ordre élevé est ensuite présentée, en vue de l'étude des macro-structures de vorticité générée dans la zone de surf, suivie de validations simples. Enfin, nous proposons une extension vers un modèle de type Boussinesq afin d'être en mesure de simuler l'ensemble des processus concernant la propagation de la houle en milieu littoral

BONNETON, Philippe

MARCHE, Fabien

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Un modèle “équilibre” d’ordre élevé pour les équations de Saint-Venant et
extensions au cas dispersif pour la propagation de la houle en milieu littoral
Fabien Marche, Philippe Bonneton
EPOC, Université Bordeaux 1
Avenue des Facultés, 33405 Talence, France
fmarche@epoc.u-bordeaux1.fr
Abstract :
This paper is devoted first to the introduction of the numerical methods developed in the framework of the
SURF
−
WB model, recently introduced in (10) and based on a Finite-Volume well-balanced scheme for the
shallow water equations with a bed-slope source term. In a second time we introduce some recent developments
leading to a high-order of accuracy well-balanced scheme which can handle wetting and drying phenomena.
Lastly, we say a few words concerning the possible extension towards an hybrid Finite-Volumes/Finite-Differences
method for Boussinesq-like models, in the scope of studying surf-zone hydrodynamics
Résumé :
Nous proposons ici d’évoquer la méthodologie numérique développée pour le modèle de type Volumes-Finis
SURF
−
WB introduit récemment dans (10), reposant sur un schéma de type “équilibre” pour les équations
de Saint-Venant avec terme source. Une extension vers un schéma “équilibre” d’ordre élevé permettant de gérer
les phénomènes de recouvrement/découvrement est ensuite introduite, suivie de validations numériques adaptées.
Enfin, les possibilités d’extension vers une méthode hybride de type Volume-Fini/Différence-Finie pour équations
de type Boussinesq sont évoquées, en vue de l’étude de la dynamique instationnaire en zone de surf.
Mots-clefs :
équations de Saint-Venant, schéma équilibre, effets dispersifs
1 Introduction
Plusieurs études ont mis en évidence la capacité des équations de Saint-Venant (SV) 1D à
décrire avec précision les transformations non-linéaires des vagues dans les zones de surf et
de swash. Citons par exemple les travaux de Hibbert et Peregrine (7) ou encore Kobayashi et
col. (8). En particulier, les équations de Saint-Venant permettent une description précise de la
dissipation d’énergie au travers des fronts d’onde dans la zone de surf (voir Bonneton, (2)).
En outre, les travaux récents de Brocchini et col. (3) et Peregrine et col. (14) ont montré que la
simulation numérique SV de la propagation de fronts d’onde dans la zone de surf était un sujet
réellement délicat. En effet, la variabilité de la dissipation d’énergie au travers d’un front 2D,
dans la direction perpendiculaire à sa propagation, conduit à la génération de larges structures
de vorticité d’axes verticaux, se propageant vers la ligne d’eau, et cela même en l’absence de
viscosité. Les premières tentatives de simulations proposées par Brocchini et col.(3) ont montré
quelques limitations. En particulier, la nécessité d’obtenir une précision plus importante que
celle fournie par les schémas classique d’ordre 2 à pas fractionnaires est apparue. Plus préci-
sément, un traitement numérique efficace du terme de topographie nécessite l’utilisation d’un
schéma de type “équilibre” permettant de s’affranchir des oscillations non-physiques observées
par Brocchini et col. (3) et de calculer avec une grande précision les interactions entre les ondes
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
incidentes et les fortes variations du fond. Enfin, l’expérience tend à justifier la nécessité d’intro-
duire un schéma d’une précision élevée, typiquement d’ordre 3 ou 4, afin de simuler l’évolution
temporelle des macro-structures de vorticité.
Dans cette optique, Marche et col. (10) ont introduit récemment un modèle de type Volumes-
Finis (VF) pour les équations de Saint-Venant, nommé SURF−WB, dédié à la simulation de
la propagation et du run-up d’ondes longues sur des topographies 2D complexes. Contraire-
ment aux modèles VF classiques reposant sur un “splitting” pour gérer le terme de topographie,
ce nouveau modèle a la particularité d’ être construit selon une approche de type “équilibre”
menant à une discrétisation globale du système complet, levant ainsi les limitations des pré-
cédents modèles. Cette approche a également mené à un traitement efficace des phénomènes
de découvrement/recouvrement, en utilisant un solveur de Riemann adapté (12), qui préserve
la positivité de la hauteur d’eau, autorisant un calcul précis des oscillations de la ligne d’eau.
Enfin, une reconstruction de type MUSCL-TVD adaptée a permis d’obtenir un schéma d’ordre
2 peu dissipatif, efficace pour l’étude de la propagation des fronts d’onde.
Partant de ce modèle, nous proposons ici d’améliorer la précision du schéma numérique, tout
en préservant les propriétés de type well-balanced et de préservation de la positivité. Un schéma
robuste, formellement d’ordre 4 en espace et 3 en temps, est ainsi obtenu. En réalité, une telle
précision est obtenue pour les parties régulières des solutions étudiées, tandis qu’une perte clas-
sique de précision est observable pour les solutions non-régulières ou faisant intervenir des
zones sèches. Des validations numériques simples sont proposées.
Dans une dernière partie, nous abordons l’extension de ces méthodes à un modèle de type Bous-
sinesq. En effet, une importante limitation des équations SV est certainement l’absence d’effets
dispersifs dans l’ensemble des processus modélisés, limitant considérablement leur domaine de
validité. La prise en compte de ces effets dispersifs est pourtant fondamentale pour l’étude de
la propagation des vagues dans la zone de levée. Ainsi, une approche hybride de type Volume-
Fini/Différence-Finie est proposée pour le modèle introduit par Madsen et Sorensen (9), qui
présente la particularité de dégénérer vers les équations classiques de Saint-Venant lorsque les
effets dispersifs sont négligés. Des résultats numériques préliminaires seront exhibés lors de la
conférence.
2 Le modèle numérique
On s’intéresse ici au modèle de Saint-Venant 1D avec terme de topographie :
U,t + F (U),x = S(U), (1)
U =
(
h
hu
)
, F (U) =
(
hu
hu2 +
g
2
h2
)
, S(U) =
(
0
−g h dx
)
, (2)
Nous rappelons brièvement la méthode numérique de type “équilibre” développée dans Marche
et col. (12). La discrétisation Volumes-Finis de ce système s’écrit de la manière suivante :
U
∗
i (t)−U
n
i (t)
∆t
+
1
∆x
(
F
n,−
i+ 1
2
− F
n,+
i− 1
2
)
= Snc,i, (3)
avec les flux numériques au travers des interfaces entre chaque cellule :
F
n,−
i+ 1
2
= Fn
i+ 1
2
+ Sn
i+ 1
2
−
, F
n,+
i+ 1
2
= Fn
i+ 1
2
+ Sn
i+ 1
2
+
, (4)
F
n
i+ 1
2
= F (Ui+ 1
2
(0, Un
i+ 1
2
−
,Un
i+ 1
2
+
)). (5)
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
La valeur de la solution Ui+ 1
2
(0, Ui+ 1
2
−
, Ui+ 1
2
+) à l’interface entre les cellules i et i + 1
est obtenue à l’aide d’un schéma linéarisé de type VFRoe (voir Gallouet et col.(5) et Marche
et Berthon (12)). Ce schéma repose sur un changement de variable et un décentrement adapté
permettant de justifier la préservation de la positivité de la hauteur d’eau. Le point clé ici est de
calculer cette solution à l’interface à partir des valeurs Ui+ 1
2
−
et Ui+ 1
2
+ issues d’étapes préa-
lables de reconstruction linéaire d’une part et reconstruction “hydrostatique” d’autre part. Plus
précisément, considérant la cellule i, on évalue tout d’abord des valeurs reconstruites linéaire-
ment selon le formalisme MUSCL-TVD, Ui,r et Ui,l, respectivement aux interfaces i + 12− et
i− 1
2
+. Les valeurs Hi,l et Hi,r, où H = h+ d, sont aussi reconstruites et nous en déduisons les
reconstructions di,l et di,r. La quantité di+ 1
2
,j est alors introduite, avec di+ 1
2
= max(di,r, di+1,l).
La reconstruction hydrostatique (1) est alors effectuée ainsi :
hi+ 1
2
−
= max(0, hi,r + di,r − di+ 1
2
), hi+ 1
2
+ = max(0, hi+1,l + di+1,l − di+ 1
2
), (6)
et les nouvelles valeurs des quantités conservatives de part et d’autre de l’interface sont données
par :
Ui+ 1
2
−
=
(
hi+ 1
2
−
hi+ 1
2
−
ui,r
)
, Ui+ 1
2
+ =
(
hi+ 1
2
+
hi+ 1
2
+ ui+1,l
)
. (7)
Finalement, on introduit la discrétisation suivante pour le terme source :
S
n
i+ 1
2
−
=
(
0
g
2
h2
i+ 1
2
−
−
g
2
h2i,r
)
, Si− 1
2
+ =
(
0
g
2
h2i,l −
g
2
h2
i− 1
2
+
)
, (8)
complétée par une discrétisation centrée permettant de préserver la consistance du schéma et
d’atteindre des propriétés well-balanced avec une précision d’ordre 2 (12) :
Sc,i =
(
0
g
hi,l + hi,r
2
(di,l − di,r)
)
. (9)
2.1 Reconstruction d’ordre élevé
La plupart des ingrédients utilisés ici ont déjà été introduits dans la littérature. On trouve plu-
sieurs méthodes pour atteindre une précision élevée, avec en particulier les approches de type
MUSCL-TVD (16) ou les reconstructions polynomiales well-balanced de type ENO/WENO
(17). La principale limitation de ces méthodes concerne la non préservation de la positivité de
la hauteur d’eau, propriété fondamentale pour la gestion du découvrement/recouvrement. Dans
cette optique, une procédure très simple, introduite dans (12), permet de construire des schémas
well-balanced d’ordre élevé avec l’assurance de préserver la positivité, sous réserve de disposer
d’un schéma à l’ordre 1 bénéficiant de cette propriété.
Considérant des valeurs reconstruites à l’ordre choisi par la méthode souhaitée, nommée comme
dans la section précédente Ui,r et Ui,l respectivement aux interfaces i + 12− et i−
1
2
+, la pro-
cédure suivante permet de s’assurer de la positivité des états reconstruits. L’approche complète
n’est pas développée ici, nous indiquons uniquement la procédure de sur-limitation des variables
reconstruites utilisée (voir Marche et Berthon (12)). On introduit les notations suivantes :
hni,l = h
n
i +∆
− , hni,r = h
n
i +∆
+ (10)
où ∆− et ∆+ sont les incréments de reconstruction, issus de la méthode de reconstruction
choisie. Nous proposons la limitation de variable suivante :
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
-0.15
-0.1
-0.05
 0
 0.05
 0.1
 0.15
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2  0  0.2
h*
x*
Numerical results
Analytical solutions
-0.15
-0.1
-0.05
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 2  4  6  8  10  12
hs
*
t*
FIG. 1 – Solution périodique de Carrier et Greenspan. Comparaison entre résultats numériques (traits
pleins) et analytiques (pointillés). A gauche : profils adimensionnés de la surface libre h∗/e à plusieurs
instants durant une demi-période. A droite : évolution de la ligne d’eau en fonction du temps.
1. Si ∆− +∆+ > hni on introduit :
∆−, lim = hni /(1 + ∆
+/∆−) , ∆+, lim = hni − h
n
i /(1 + ∆
+/∆−)
2. Si ∆− +∆+ < hni , 2 cas sont à considérer :
– Si ∆− < −hni et ∆+ ≥ ∆+ alors
∆−, lim = −hni , ∆
+, lim = −hni (∆
+/∆−)
– Si ∆+ < −hni et ∆+ ≤ ∆+ alors
∆−, lim = −hni (∆
−/∆+) , ∆+, lim = −hni
Si les incréments ne vérifient aucune de ces conditions, alors les états reconstruits restent na-
turellement positifs et aucune sur-limitation n’est nécessaire. Après cette étape, les quantités
reconstruites sont définies selon l’équation (10), en utilisant les nouveaux incréments ∆−, lim et
∆+, lim.
La dernière étape consiste à introduire une loi de quadrature adéquate pour la discrétisation
du terme de topographie. Cette quadrature doit préserver l’aspect “équilibre” du schéma, c’est
à dire préserver les états stationnaires au repos. Pour un schéma d’ordre 4, nous utilisons la
discrétisation suivante, proposée par Noelle et col.(13) :
Sc,i =
(
0
2g((hni,l + h
n
i,c)(di,l − di,c) + (h
n
i,c + h
n
i,r)(di,c − di,r)− (h
n
i,l + h
n
i,r)(di,l − di,r))/3
)
.
2.2 Validation numérique
Nous proposons à titre de validation une comparaison entre résultats numériques et la so-
lution analytique obtenue par Carrier et Greenspan (4). Cette solution (Fig.1) décrit l’évolution
périodique de la ligne d’eau correspondant aux oscillations d’une onde stationnaire sur une
plage de pente constante. Cette solution illustre l’aptitude du modèle à calculer les phénomènes
oscillants de recouvrement/découvrement.
La solution analytique obtenue à t = 0 est utilisée comme condition initiale et la condition à
la limite à gauche est imposée par l’évolution de la surface libre issue de la solution analytique.
Un pas ∆x = 0.01 et une condition CFL = 0.2 ont été utilisés. La Fig.1 montre que les oscil-
lations de la ligne d’eau sont calculées de manière très précise, même après plusieurs périodes.
Une étude de l’erreur confirme la très bonne précision de ces résultats et les ordres de conver-
gence obtenus sont 2.8 pour le débit et 2.9 pour la hauteur d’eau. La perte de précision vis à
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
vis du schéma formellement d’ordre 4 est classique et imputable aux reconstructions fortement
limitées près des zones sèches. La simulation des phénomènes de macro-vorticité dans la zone
de surf, abordée dans (11), est actuellement à l’étude.
3 Extension vers un modèle de type Boussinesq
Nous introduisons dans cette dernière section une approche simple permettant d’étendre les
méthodes numériques précédemment développées au cas d’équations dispersives. Nous nous
intéressons ici au modèle 1D suivant, introduit par Madsen et Sorensen (9) :{ ∂h
∂t
+ ∂hu
∂x
= 0,
∂
∂t
(hu) + ∂
∂x
( (hu)
2
h
+ 1
2
gh2) = −gh ∂d
∂x
+ ψx.
(11)
avec
ψx = (B +
1
3
)z2
( ∂3hu
∂x2∂t
)
+Bgz3
(∂3η
∂x3
)
− z
∂d
∂x
(1
3
∂2hu
∂x∂t
+ 2Bgz
∂2η
∂x2
)
où η représente les variations de la surface libre vis à vis du niveau moyen défini par z (i.e.
η = h+d−z). Remarquons que lorsque ψx = 0, nous retrouvons le modèle classique de Saint-
Venant. L’idée développée ici est d’introduire une discrétisation Différence-Finie pour ψx tout
en conservant l’approche VF développée pour la partie hyperbolique, en s’inspirant des travaux
de Soraes-Frazao et Zech (15) :
(hu)n+1i = (hu)
n
i −
∆t
∆x
(
F
∗
i+ 1
2
− F
∗
i− 1
2
)
+ Sc,i + (B +
1
3
)z2i
((∂2hu
∂x2
)n+1
i
−
(∂2hu
∂x2
)n
i
)
+
zi
3
(∂d
∂x
)n
i
((∂hu
∂x
)n+1
i
−
(∂hu
∂x
)n
i
)
+∆tBgz3i
((∂3η
∂x3
)n
i
+ 2
(∂d
∂x
)n
i
(∂2η
∂x2
)n
i
) (12)
Notons que cette approche nous permet de négliger simplement les effets dispersifs lorsque
l’on s’intéresse uniquement à la zone de surf. Des résultats numériques seront présentés lors de
la conférence.
4 Conclusions
Nous avons dans ce papier rappelé brièvement les fondements du modèle numérique intro-
duit récemment dans (10) et permettant de simuler avec précision la propagation et le run-up
d’ondes longues 2D sur des topographies variables. Motivés par l’étude numérique de la géné-
ration et de l’évolution temporelle des macro-structures de vorticité générées dans la zone de
surf, nous avons introduit une méthode permettant d’obtenir un schéma “équilibre” très pré-
cis dans les zones régulières des solutions et préservant la positivité de la hauteur d’eau. Une
validation sur un cas simple impliquant un phénomène de run-up périodique sur une plage de
pente constante a également été présentée. Enfin, une approche permettant d’étendre les outils
numériques développés à un modèle de type Boussinesq est présentée, afin d’être en mesure de
simuler l’ensemble des processus liés à la propagation de la houle en domaine littoral.
Références
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http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16441/1/CFM2007-0822.pdf

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