La modélisation de l'écoulement des pâtes cimentaires est un problème difficile car le matériau a non seulement un comportement rhéologique complexe mais il peut également présenter des hétérogénéités induites par l'écoulement. L'apparition de ces hétérogénéités résulte de la filtration de phases fluides au travers de phases solides et peut conduire au blocage de l'écoulement. Pour modéliser l'écoulement d'un tel matériau il est nécessaire de prendre en compte la présence d'au moins deux phases. Dans notre modélisation nous considérons que les deux phases sont continues et admettent un comportement rhéologique en loi de puissance. Le couplage entre les deux phases est pris en compte au moyen d'une loi de Darcy généralisée à un fluide en loi de puissance. Le modèle est résolu par la méthode des éléments finis et validé dans le cas d'un test d'écrasement. Nous montrons que ces simulations permettent d'établir des diagrammes d'ouvrabilité des pâtes cimentaires

CHAOUCHE M.

KACI, Abdelhak

RACINEUX G.

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 1
Simulation de l’écoulement des pâtes cimentaires par un modèle diphasique  
 
A. KACI1,a, G. RACINEUX2, M. CHAOUCHE1 
 
 (1)Laboratoire de Mécanique et Technologie, Ecole Normale Supérieure  de Cachan/CNRS 
61, Av. du Président Wilson, 94235 Cachan Cedex 
(2)Institut de Recherche en Génie-Civil et Mécanique, Ecole Centrale de Nantes 
1 rue de la Noë,  44321 NANTES cedex 3 
(a) e-mail : kaci@lmt.ens-cachan.fr 
 
 
 
 
Résumé :  
 
La modélisation de l’écoulement des pâtes cimentaires est un problème difficile car le matériau a non seulement 
un comportement rhéologique complexe mais il peut également présenter des hétérogénéités induites par 
l’écoulement. L’apparition de ces hétérogénéités résulte de la filtration de phases fluides au travers de phases 
solides et peut conduire au blocage de l’écoulement. Pour modéliser l’écoulement d’un tel matériau il est 
nécessaire de prendre en compte la présence d’au moins deux phases. Dans notre modélisation nous 
considérons que les deux phases sont continues et admettent un comportement rhéologique en loi de puissance. 
Le couplage entre les deux phases est pris en compte au moyen d’une loi de Darcy généralisée à un fluide en loi 
de puissance. Le modèle est résolu par la méthode des éléments finis et validé dans le cas d’un test 
d’écrasement. Nous montrons que ces simulations permettent d’établir des diagrammes d’ouvrabilité des pâtes 
cimentaires. 
 
Mots clefs : modèle diphasique ; test d’écrasement ; matériaux cimentaire  
 
Abstract:  
 
Modelling the flow of cementitious pastes is a difficult task since such materials have a complex rheological 
behaviour and are often subject of flow-induced heterogeneities and blockage. This may be due to the filtration 
of the liquid phase through the porous media made up by the solid particles. In order to deal with this 
phenomenon, one has to consider that the material is composed of at least two different phases. In our model we 
consider that these phases are continuous and behave as power-law fluids. The two phases are coupled up using 
the Darcy’s filtration law generalized to power-law fluids. The model is solved numerically using the finite 
elements method and applied to the case of a squeeze flow. Flow conditions for blockage are determined and 
phase diagrams mapping out the blockage and flowability zones are derived.  
 
Key words: diphasic model; squeeze test; cimentitious material 
 
1 Introduction  
 
 Les adjuvants du type minéral ou organique sont de plus en plus utilisés dans la formulation des 
pâtes cimentaires afin d’améliorer leur comportement rhéologique et de faciliter leur mise en œuvre. 
Cependant plusieurs problèmes tels que la ségrégation ou le blocage peuvent apparaître lors de leur 
mise en oeuvre. Ces phénomènes sont dus à la filtration de phases fluides au travers de phases solides. 
Plusieurs auteurs ont montré, sur différents types de suspensions (milieux modèles, boues, pâtes de 
ciment), que des essais d’écrasement à différentes vitesses permettent de mettre en évidence une 
éventuelle hétérogénéité induite par l’écoulement [Racineux et al. (1999), Chaouche et al. (2003), 
Poitou et al. (2001), Chaari et al. (2003), Delhaye et al.(2000)]. Les résultats expérimentaux montrent 
l’existence de deux régimes d’écoulement. Au dessus d’une vitesse critique l’effort d’écrasement 
augmente lorsque la vitesse de compression augmente. Au dessous de cette même vitesse critique, le 
phénomène est inversé. Les auteurs attribuent ce phénomène à une dissociation au sein du matériau et 
montrent que la vitesse critique est liée à un nombre de Peclet. Aux faibles vitesses (en dessous de la 
vitesse critique) la phase fluide filtre au travers du réseau poreux formé par le squelette granulaire 
[Lantéri et al.(1996)] ce qui peut conduire à un blocage de l’écoulement (effort brutalement très 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 2
important) tandis qu’aux vitesses élevées la phase fluide n’a pas le temps de migrer et le matériau reste 
homogène. La modélisation de ce comportement rhéologique reste aujourd’hui encore un défi. 
Certains auteurs [Bown et al.(1976), Coussy et al.(1987), Racineux (1999)] utilisent un modèle 
hétérogène à deux phases. Une méthode d’identification des paramètres rhéologiques est proposée par 
Racineux (1999) et Kolenda et al. (2003), en utilisant une technique d’homogénéisation. 
 Dans cette étude nous nous intéressons à la simulation de l’essai d’écrasement d’une pâte 
cimentaire en utilisant un modèle diphasique avec, pour chacune des phases, une loi de comportement 
non linéaire du type pseudoplastique. L’interaction est prise en compte par une loi de Darcy isotrope 
non linéaire [Fadili et al. (2002)] dont la perméabilité suit le modèle de Kozeny-Carman. Les résultats 
de la simulation confirment les observations expérimentales. Une courbe d’ouvrabilité est construite 
séparant ainsi les zones d’écoulement et de blocage. Dans la section 2 nous présentons les équations 
de la modélisation. Dans la section 3 nous présentons succinctement la technique de résolution 
numérique du problème d’écrasement. Finalement, dans la section 4, nous présentons et commentons 
le résultat de nos simulations et nous terminons par une conclusion et des perspectives.      
 
2 Modélisation  
 
 Sous l’hypothèse d’existence d’un volume élémentaire représentatif, la pâte de ciment peut être 
décrite comme la superposition de deux milieux continus. En chaque point macroscopique, chacune 
des phases coexistent dans des proportions indiquées par leur fraction volumique cφ . On désigne 
respectivement les phases fluide et solide par les indices f et s . Dans ces conditions, chaque phase est 
décrite par : sa vitesse macroscopique cV
r
, son tenseur des contrainte macroscopique 
c
σ , son tenseur 
des taux de déformation 
c
D  et ses propres conditions aux limites. 
 
Conservation de la masse - Si l’on suppose que la pâte de ciment est non réactive pendant sa mise en 
forme et que ses constituants, à l’échelle microscopique, sont individuellement incompressibles alors, 
la conservation de la masse pour chacune des phases s’écrit : 
 ( ) ( )div 0 et div 0f sf f s sv vt tφ φφ φ∂ ∂+ = + =∂ ∂ur ur  (1) 
Conservation de la quantité de mouvement - Dans les conditions de mise en forme, les forces de 
gravité et les effets d’inertie peuvent être négligés par rapport aux effets visqueux. Les équations de 
conservation de la quantité de mouvement s’écrivent alors : 
 ( ) ( )div σ 0 et div σ 0f ssf π π+ = + =uur uur r uur uur r  (2) 
Etant donné que l’écoulement est supposé isotherme il n’est pas nécessaire d’écrire la conservation de 
l’énergie. 
 
Comportement de la phase fluide - Compte tenu de la nature des différents adjuvants utilisés dans la 
formulation des bétons, en accord avec les expériences réalisées par Phan et al.(2005), nous supposons 
que le comportement de la phase fluide est pseudoplastique à l’échelle macroscopique. 
 ( )( ) 12f2 ,    avec 2tr fmf f ff ff pI D K Dσ φ η η −= − + =  (3) 
où fK et fm  désignent respectivement la consistance et l’indice de sensibilité à la vitesse de 
déformation de la phase fluide. 
 
Comportement de la phase solide - La phase solide est constituée de particules solides entourées d’une 
fine couche de fluide. Le comportement de ce constituant ne peut pas être mesuré séparément. Dans 
ces conditions nous supposons comme Lantéri et al.(1996) que la phase solide à un comportement 
purement visqueux qui dépend uniquement de la vitesse de la phase solide : 
( )( ) 12s2 ,    avec 2tr sms s ss ss pI D K Dσ φ η η −= − + =     (4) 
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 3
où sK et sm  désignent respectivement la consistance et l’indice de sensibilité à la vitesse de 
déformation de la phase solide. 
 De nombreuses approches théoriques et expérimentales [Kreiger et al.(1959), Quemada (1977)] 
permettent de supposer que la consistance diverge à l’approche de l’empilement compact mφ . Nous 
étendons ce résultat au comportement de notre phase solide :  
 0 / 1 ,   avec 0,
s
s
m
K K
αφ αφ= − >
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 (5) 
où α  est choisi de façon à vérifier le modèle d’Einstein dans le cas d’une suspension diluée de sphères 
rigides ( ( )0 1 2,5s sK K φ= + ). On obtient ainsi 2,5 mα φ= . En première approximation nous supposons 
que la fraction volumique maximum est égale à la fraction d’empilement compact de sphères rigides 
désordonnées, soit 64%. 
 
Terme d’interaction - L’interaction entre les deux phases est modélisée par une loi de Darcy isotrope 
non linéaire [Fadili et al. (2002)], couplée à une force de réaction due au gradient de la fraction 
volumique. Pour un fluide en loi de puissance les forces d’interactions s’écrivent :  
 ( ) ( ) ( )12 gradfms f f s f s sk v v v v pπ π φ−= − = − − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
r r ur ur ur ur uuur
 (6) 
où k  est le coefficient d’interaction entre la phase solide et la phase fluide, c’est à dire le rapport entre 
la viscosité du liant fη et la perméabilité B  du squelette granulaire. Ce dernier dépend de nombreux 
paramètres tels que la taille des particules, leur forme, leur morphologie, leurs propriétés chimiques 
etc. Afin de limiter le nombre de paramètres à identifier, nous supposons que la perméabilité B  suit la 
loi de Kozeny : 
 ( )2
3
1 f
fbB φ
φ
−=   avec  1002
1 2
22
D
SCT
b ≅=  (7) 
où T  est la tortuosité des pores, S  la surface spécifique du squelette granulaire, C  le coefficient de 
circularité qui définit la forme des pores et D  le diamètre moyen des particules. 
 
Conditions aux limites - Nous supposons que les phases fluides et solides collent aux parois. Sur les 
bords latéraux, les conditions aux limites de chacune des phases respectent l’équilibre local avec le 
milieu extérieur (FIG. 1) : 
 0   ,    et  f s f a s af sV V V n p n n p nσ φ σ φ= = = − = −
r r r r r r r
 (8) 
où n
r
 désigne la normale extérieure et ap  la pression atmosphérique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 1 – Conditions aux limites pour la simulation du test d’écrasement  
 
 
 
Paroi  
R 
h r
e
ze
zs eVV 0−=
zf eVV 0−=
0s zV V e= +
ur r
0f zV V e= +
ur r
r s as
e p nσ φ= −r r
r f af
e p nσ φ= −r r
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 4
3 Etude numérique : test d’écrasement 
 
 La résolution du problème d’écrasement a été réalisée à l’aide du code µFill développé par G. 
Racineux. Le test d’écrasement présentant une symétrie de révolution, le problème en 3D peut être 
ainsi réduit à un problème 2D axisymétrique (FIG. 1). Le problème étant instationnaire nous avons 
adopté une approche incrémentale en 3 étapes [Poitou et al. (2005)]. 
 
(i) Dans la première étape nous supposons la fraction volumique connue et nous résolvons le problème 
d’écoulement, qui est du même ordre de complexité que le problème de Stokes. Nous utilisons la 
méthode des éléments finis avec une formulation mixte en vitesse-pression et un algorithme de 
Newton-Raphson pour résoudre les non linéarités. Pour éviter le phénomène de blocage numérique 
nous utilisons une interpolation quadratique en vitesse et linéaire en pression.  
 
(ii) Ensuite, la fraction volumique est actualisée en utilisant un algorithme implicite et une formulation 
de Taylor-Galerkin pour résoudre l’équation de conservation de la masse. La difficulté numérique du 
calcul résulte du caractère hyperbolique de cette équation.  
 
(iii) A la fin de l’incrément de temps le maillage est convecté. 
 
4 Résultats et discussions  
 
Nous avons effectué des simulations pour des matériaux de caractéristiques proches de celles 
d’une pâte de ciment en faisant varier la vitesse de compression. Les figures 2 et 3 correspondent à 
deux fractions volumiques initiales ( 0,3sφ =  et 0,5sφ = ). Plusieurs points peuvent être notés : 
 
− Pour les vitesses les plus faibles, l’effort d’écrasement peut diverger ce qui correspond à un 
blocage de la phase solide. Ce blocage (abscisse faisant une asymptote verticale avec l’effort) 
apparaît à différentes hauteurs suivant la vitesse de compression (FIG. 2). 
− Plus la fraction volumique initiale de solide est élevée et plus le blocage apparaît rapidement 
c'est-à-dire pour des épaisseurs élevées (FIG. 2 et 3). 
 
 
0
100
200
300
400
500
600
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
V = 0.01 mm/s
V = 0.1 mm/s
V = 0.4 mm/s
V = 1mm/s
V = 4mm/s
V = 10 mm/s
F(
N
)
h/h0  
FIG. 2 – Courbes simulées pour différentes vitesses 
d’écrasement ( )7100, m 0,6, 10, mf 1.0, 10 , 0,3 sKs s Kf k φ= = = = = =  
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
V = 0.01 mm/s
V = 0.1 mm/s
V = 0.4 mm/s
V = 1 mm/s
V = 4 mm/s
V = 10 mm/s
F(
N
)
h /h0  
FIG. 3 – Courbes simulées pour différentes vitesses 
d’écrasement   ( )7100, m 0,6, 10, mf 1,0, 10 , 0,5 sKs s Kf k φ= = = = = =  
  Blocage   Blocage 
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 5
0
1000
2000
3000
4000
5000
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
V = 0.01 mm/s
V = 0.1 mm/s 
V = 0.4 mm/s
V = 1 mm/s
V = 4 mm/s
V = 10 mm/s
F(
N
)
h/h0  
FIG. 4 – Courbes simulées pour différentes vitesses 
d’écrasement   ( )7100, m 1,0, 10, mf 1.0, 10 , 0,3 sKs s Kf k φ= = = = = =  
0
200
400
600
800
1000
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
V = 0.01 mm/s
V = 0.1 mm/s
V = 0.4 mm/s
V = 1 mm/s
V = 4 mm/s
V = 10 mm/s
F 
(N
)
h/h0
FIG. 5 – Courbes simulées pour différentes vitesses 
d’écrasement   ( )7100, m 1,5, 10, mf 1,0, 10 , 0,3 sKs s Kf k φ= = = = = =  
 
Les figures 2, 4 et 5  correspondent à trois indices de sensibilité à la vitesse de déformation de la phase 
solide qui correspondent à une phase solide rhéofluidifiante ( 0, 6sm =  - FIG. 2), Newtonienne 
( 1, 0sm =  - FIG. 4) et rhéo-épaississante ( 1,5sm =  - FIG. 5). Ces différents comportements peuvent 
être obtenus à l’aide d’adjuvants. On peut remarquer que : 
 
− La FIG. 4, montre l’existence d’une épaisseur de blocage unique, indépendante de la vitesse 
d’écrasement. Ce résultat peut être confirmé par l’approximation donnant l’expression de la 
vitesse critique en définissant un nombre de Peclet [Chaouche et al.(2003), Chaari et al. 
(2003), Delhaye et al.(2000), Phan et al.(2005)]. On peut en déduire l’expression de la hauteur 
critique suivante : 
 ( ) ( )12
1
1
1/ /
m f s
m mf s
m
critique s fh K k K V
+
−
+⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (9) 
− L’équation (9), montre que la hauteur critique ne dépend pas de la vitesse de compression 
lorsque f sm m= . Si on fait une application numérique avec les valeurs utilisées dans les 
simulations, on trouve une hauteur de blocage de 1 mm ce qui est très proche de la valeur 
obtenue numériquement ( mm 1,075  mm 2,5 x 0,43  h0 x 0,43h === ). 
− Lorsque la phase solide est rhéo-épaississante (FIG. 5), l’épaisseur de blocage est d’autant 
plus importante que la vitesse augmente. 
 
A partir de ces simulations il est possible de construire des diagrammes d’ouvrabilité (FIG. 6). Ces 
diagrammes sont obtenus en traçant les zones d’écoulement et de blocage. D’un point de vue pratique 
ces diagrammes permettent de montrer qu’il est préférable d’utiliser, à faible vitesse (0.01 mm/s), une 
phase solide rhéo-épaississante pour avoir une large gamme d’écoulement avant blocage. Au contraire, 
pour les vitesses élevées (1 mm/s), il vaut mieux choisir une phase solide rhéo-fluidifiante. 
 
5 Conclusions 
 
 La modélisation proposée pour les pâtes cimentaires permet de représenter qualitativement le 
comportement de ces pâtes notamment les phénomènes de ségrégation et blocage observés lors 
d’essais d’écrasement à différentes vitesses. La construction des diagrammes d’ouvrabilité permet de 
situer la zone où le matériau peut s’écouler et rester homogène, de celle où des hétérogénéités peuvent 
apparaître et conduire à un blocage. Cette étude préliminaire doit se poursuivre par une identification 
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des modèles de comportement et par une validation dans le cas d’écoulements plus complexes tels que 
l’essais classique d’étalement du génie-civil ou de la boite en L.      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliographie  
 
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Eringen, Academic, New York, vol 3 
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Coussy O. 1987 Mécanique des milieux poreux. Technip. Paris  
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Kolenda F., Retana P., Racineux G., Poitou A. 2003 Identification of rheological parameters by the 
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a. ms = 0,6 
Zone 
d’écoulement 
Zone 
d’écoulement 
FIG. 6 – Courbes d’ouvrabilité 
0.01
0.1
1
0.35 0.4 0.45 0.5
Vi
te
ss
e 
(m
m
/s
)
h/h0
0.01
0.1
1
0.35 0.4 0.45 0.5
Vi
te
ss
e 
 (m
m
/s
)
h/h0
0.01
0.1
1
0.35 0.4 0.45 0.5
Vi
te
ss
e 
(m
m
/s
)
h/h0
Zone de 
blocage 
Zone de 
blocage 
Zone de 
blocage 
Zone 
d’écoulement 
b. ms = 1,0 c. ms = 1,5 


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