Dans ce travail, on propose une nouvelle technique de régularisation pour résoudre des problèmes élastoplastiques dans le cadre de la MAN en grandes déformations. En effet, le comportement élastoplastique présente de fortes non linéarités et combine deux conditions unilatérales. Deux régularisations sont alors introduites; la première permet le passage du domaine élastique au domaine plastique et dépend du champ des contraintes. La deuxième, quant à elle, permet de prendre en compte la décharge élastique et dépend à la fois de la contrainte et de sa dérivée par rapport au temps. Une application sur des structures discrétisées par éléments finis est alors présentée pour évaluer l'efficacité de l'algorithme

ASSIDI, Mohamed

POTIER-FERRY, Michel

ZAHROUNI, Hamid

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Une méthode de perturbation pour les problèmes de plasticité en grandes 
déformations 
 
 
Mohamed Assidi, Hamid Zahrouni & Michel Potier-Ferry 
 
LPMM-ISGMP 
 Université Paul Verlaine de Metz, Ile du Saulcy, 57045 Metz, France 
 
Email : assidi@univ-metz.fr 
 
 
 
 
Résumé : 
 
Dans ce travail, on propose une nouvelle technique de régularisation pour résoudre des problèmes 
élastoplastiques dans le cadre de la MAN en grandes déformations. En effet, le comportement 
élastoplastique présente de fortes non linéarités et combine deux conditions unilatérales. Deux 
régularisations sont alors introduites; la première permet le passage du domaine élastique au domaine 
plastique et dépend du champ des contraintes. La deuxième, quant à elle, permet de prendre en compte la 
décharge élastique et dépend à la fois de la contrainte et de sa dérivée par rapport au temps. Une 
application sur des structures discrétisées par éléments finis est alors présentée pour évaluer l'efficacité 
de l'algorithme. 
 
Abstract: 
 
In this work, we introduce new regularization technique to solve elastic plastic structures by ANM within 
finite strain framework. As, the elastic plastic behaviour exhibits strong non linearities and involves two 
unilateral conditions, we introduce two regularization functions; the first one permits the elastic plastic 
transition and depends upon the stress field. The second function allows us to take into account elastic 
unloading and depends on both the stress field and its time derivative. An application to structural 
plasticity problems using finite element method is presented to assess the ability of the proposed 
algorithm.  
 
Mots-clefs :  
 
Technique de perturbation ; plasticité ; régularisation 
 
1 Introduction 
 
La méthode asymptotique numérique (MAN) s'est révélée un outil très efficace pour résoudre 
des problèmes fortement non linéaires invoquant généralement des conditions unilatérales grâce 
à sa technique de régularisation [Aggoune06], [Cochelin07]. Elle combine la technique de 
perturbation et la méthode des éléments finis. Dans ce travail, on introduit une nouvelle 
technique de régularisation pour résoudre des problèmes de plasticité dans le cadre de la MAN 
en petites et grandes déformations. En effet, le comportement élastoplastique combine deux 
conditions unilatérales. La première concerne le passage du domaine élastique au domaine 
plastique et la seconde concerne la décharge élastique. Dans le cadre de la MAN, le problème 
non régulier est remplacé par un problème régulier afin de pouvoir appliquer la technique de 
perturbation qui consiste à développer toutes les variables du problème en séries entières. Deux 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
régularisations sont alors introduites permettant le passage élastique plastique et la décharge 
élastique. Pour avoir toute la branche solution, on utilise une technique de continuation. Les 
résultats sont évalués dans le cadre des éléments finis bidimensionnel en contraintes planes. 
Seuls les résultats en petites déformations sont présentés dans ce manuscrit. 
 
2 Plasticité dans le cadre de la MAN 
 
2.1 Cadre des petites déformations 
 
On présente dans cette section la loi élastoplastique régularisée basée sur le modèle de Prandtl-
Reuss. La formulation du problème est basé sur la décomposition additive du tenseur de 
déformation en une partie élastique et une plastique, la loi d’évolution np λε && =  est déterminée 
à partir des conditions classiques de Kuhn-Tucker : 0,0,0 =≤≥ yy ff λλ && . On considère le 
critère de von Mises et un écrouissage isotrope en loi puissance (loi de Lüdwick) dans le cadre 
des petites perturbations. Ainsi, le modèle modifié s’écrit sous la forme suivante: 
 
 
)(: peC εεσ &&& −=                                                      (1) 
np λε && =                                                                      (2) 
q
n
dσ
2
3
=                                                                   (3) 
GHcελ && =                                                                  (4) 
)(22 ξη −= HH                                                         (5) 
εξε && :nc =                                                                 (6) 
e
e
y
qf
σ
σ−
=                                                               (7) 
( )








+++
=
−
)1(
22
3
2
1
1
2
1
y
p
ey fhf
G
µ
εαη
µ
σ
η
α
                        (8) 
22
3
2 :
2
3
y
ddq σησσ +=           (9) 
( )αεσσ pye h+=       (10) 
 
 
où εσσ ,, d et pε désignent le tenseur des contraintes de Cauchy, sa partie déviatorique, le 
tenseur des déformations totales et le tenseur des déformations plastiques. eC est la matrice des 
constantes élastiques. µ est le module de cisaillement.α  et h sont des paramètres dépendant du 
matériau. eqn σλ ,,,& et yf étant le multiplicateur plastique, la normale à la surface de charge, la 
contrainte équivalente, la contrainte effective et la fonction de charge. pε et yσ représentent la 
déformation plastique équivalente et la contrainte limite d’écoulement initiale. Les variables 
HG, et ξ sont des fonctions introduites pour le besoin de la régularisation qui seront traitées de 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
la même façon que les variables principales du problème. cε& est une vitesse de déformation 
caractéristique introduite pour rendre les régularisations adimensionnelles. 
 
 
 
2.1 Cadre des grandes transformations 
 
Dans cette section on présente les équations de plasticité en grandes déformations. Les variables 
du problème sont exprimées dans le cadre de la formulation lagrangienne actualisée. Pour 
satisfaire l’objectivité des taux des contraintes, on introduit la dérivée de Jaumann (dérivée 
objective) qui peut s’écrire sous la forme suivante: 
   ττττ wwJ +−=&                                             (11) 
où τ est la contrainte de Kirchoff Jτ s’écrit comme suit : 
)(: peJ DDC −=τ                                         (12)                     
 
où pDD, et w sont respectivement le taux de déformation totale, le taux de déformation 
plastique et le taux des rotations qui représente la partie antisymétrique du gradient de vitesse de 
déformation L qui s’écrit comme suit :  
X
vL
∂
∂
=                               (13) 
où v  est la vitesse de déformation. Nous utilisons les relations de comportement (2-10) avec les 
mêmes fonctions de régularisation G  et H . Dans le cadre des transformations finies, les 
variablesε& , pε& et dσ sont remplacées respectivement par les variables D , pD  et dτ . Où  dτ  
représente le déviateur des  contraintes de kirchoff. Ainsi, on a définit le modèle élastoplastique 
régularisé dans le cadre des transformations finies. 
 
 
3   Technique de résolution 
 
3.1 Formulation variationnelle 
 
Dans ce travail, on se limite à des problèmes quasi statiques en transformation finie. Ainsi le 
problème variationnel s’écrit dans la configuration lagrangienne: 
)()(:).(
0
vPtCdLf extt δδτ∫
Ω
=Ω                                       (14) 
où f est l’inverse du tenseur de gradient de déformation et extP est le travail virtuel des forces 
extérieures. C (t) est une fonction de chargement dépendante d’un paramètre de développement 
"t" . 
 
3.2 Technique de perturbation 
 
Afin d’appliquer la technique de perturbation, les relations du problème doivent être régulières 
et de préférence écrites sous forme quadratique. Ce qui revient à réécrire les équations (3) et (7) 
sous une forme quadratique, à introduire des variables additionnelles dans (8) et à remplacer (9) 
par une relation différentielle [Potier-Ferry97]. Ainsi les équations (3) et (7) sont réécrites sous 
une forme quadratique : dqn σ
2
3
=  et eey qf σσ −= . 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
 En introduisant trois variables additionnelles dans l’équation (8), cette dernière  est remplacée 
par les relations suivantes : 
 
1η=GDen  






+++= )1(
22
3
2 1 y
ey fFDen β
µ
αη
µ
σ
 
2
yy fF =  
ye
p σσεβ −=  
 Enfin, l’équation (10) est transformée en un système d’équations : une relation 
quadratique Zhye += σσ  et une équation différentielle:
pp dZdZ εαε = . Ainsi, les 
équations du problème sont écrites dans un cadre favorable à l’application de la MAN. On 
applique donc la technique de perturbation qui consiste à développer toutes les variables du 
problème sous forme de séries entières tronquées à un ordre N choisi par l’utilisateur.   
 
L’équation d’équilibre à l’ordre ‘k’ compris entre 1 et N s’écrit alors sous la forme suivante : 
∫
Ω
=Ω+
0
)(:)( 00 vPCLdff extktktk δδττ                         (15) 
Les différentes équations (2-13) à l’ordre ‘k’ sont substituées dans l’équation (15) pour obtenir 
le problème linéaire qui est résolue par la méthode des éléments finis. 
 
Pour avoir toute la branche solution, on utilise une technique de continuation qui consiste à 
déterminer le rayon de validité de toutes les variables en fonction d’un paramètre de contrôle δ  
imposé par l’utilisateur et choisir le minimum comme longueur de pas asymptotique. La fin de 
chaque pas est utilisée comme point de départ pour le pas suivant.   
  
 
4   Application numérique 
 
On propose dans cette section une application de la MAN pour la résolution d’un problème 
élastoplastique dans le cadre de petites perturbations. L’application concerne un test de flexion 
d’une structure poutre dont les caractéristiques géométriques et les conditions aux limites sont 
présentées sur la figure (1).  
 
Pendant le processus de chargement, la distribution des contraintes n’est pas homogène. En 
effet, la transition du domaine élastique au domaine plastique et la décharge élastique 
n’apparaissent pas en même temps pour tous les points de Gauss. Les résultats sont évalués dans 
le cadre bidimensionnel en contraintes planes avec des éléments finis quadrangulaires à quatre 
nœuds.  
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 1 Test de flexion : caractéristiques géométriques et conditions aux limites. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
 
Les caractéristiques du matériau sont : 3.0,200000 == νMPaE . On considère deux cas 
d’écrouissage ; le premier avec les paramètres )1,2000( == αMPah qui correspond à un 
écrouissage linéaire et le deuxième cas avec )51.0,757( == αMPah pour la loi puissance.  
Les résultats sont obtenus avec un ordre de troncature 15=N  et un paramètre de 
contrôle 510−=δ . Les paramètres de régularisation sont : )10.5,1.0,10( 23241 −− === ηηη .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 2 – Courbe de réponse du point Pt1; contrainte équivalente déformation totale dans le cas 
d’un écrouissage linéaire. Les points représentent les fins des pas asymptotiques. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 3 – Courbe de réponse du point Pt1; contrainte équivalente déformation totale dans le cas 
d’un écrouissage loi puissance. Les points représentent les fins des pas asymptotiques. 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
 
Les courbes de réponse sont comparées avec celles obtenues à l’aide du code industriel Abaqus 
qui utilise la méthode de Newton-Raphson pour son algorithme itératif au niveau de l’équilibre 
globale et la technique du retour radial pour les équations de plasticité au niveau de chaque 
point d’intégration [Belytschko], [Chen]. Les résultats sont en bon accord et le nombre de pas 
reste raisonnable par rapport aux algorithmes classiques. Plusieurs tests ont été réalisés avec 
succès en utilisant différentes valeurs du paramètre de contrôle δ  et pour différentes valeurs 
des paramètres de régularisation ce qui confirme la robustesse et l’efficacité de notre algorithme 
dans le traitement des problèmes de plasticité.  
Les solutions sont obtenues en utilisant seulement des séries entières. L’utilisation des 
approximants de Padé apportera une amélioration appréciable en réduisant le nombre de pas. 
 
 
5   Conclusion 
 
On a présenté dans ce travail une approche par méthode de perturbation pour résoudre des 
problèmes de plasticité. Cette technique consiste à introduire une nouvelle technique de 
régularisation qui permet à la fois le passage élastoplastique et la prise en compte de la décharge 
élastique. Contrairement aux méthodes classiques qui nécessitent des itérations au niveau local 
pour satisfaire la loi de comportement et au niveau global pour satisfaire l’équilibre, la MAN 
n’a besoin d’aucune correction.  
L’extension de la MAN pour des problèmes dans le cadre des transformations finies, ne pose 
aucun souci ni au niveau du comportement ni au niveau de la cinématique. Les résultats des 
grandes déformations seront présentés prochainement. 
 
 
 
 
 
 
Référence :  
 
W. Aggoune, H. Zahrouni & M. Potier-Ferry, Asymptotic numerical method for unilateral 
contact,  International Journal for Numerical Method in Engineering, pp 605-631,2006. 
 
B. Cochelin, N. Damil & M. Potier-Ferry, Méthode Asymptotique Numérique, une technique de 
résolution des équations non linéaires, Hermes Science Publishing, 2007 
 
M. Potier-Ferry et al. Traitement des fortes non linéarités par la méthode asymptotique 
numérique. Comptes Rendus de l’Académie des sciences Séries IIB-Mechanics-Physics-
Chemestry-Astronomy, pp 171-177, 1997. 
 
T. Belytschko, K. L. Wing & B. Moran. Non linear finite elements for continua and structures, 
John Willey & sons, New York, Wiley, 2000. 
 
W.F. Chen & D.J. Han, Plasticity for structural engineers, New York: Springer-Verlag, 1988. 
 
 


Une méthode de perturbation pour les problèmes de plasticité en grandes déformations

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16483/1/CFM2007-1239.pdf

Une méthode de perturbation pour les problèmes de plasticité en grandes déformations

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