Dans cet article nous proposons un modèle numérique du comportement mécanique d'un coeur de réacteur nucléaire incluant la dynamique complète des assemblages combustibles et du fluide. Chaque assemblage combustible est assimilé à un milieu poreux déformable avec un comportement visco-élastique non linéaire, les équations globales du fluide sont obtenues par moyenne spatiale, le champ de vitesse du fluide et le champ de déplacement de la structure sont définis sur tout le domaine spatial. Les équations du mouvement de la structure sont obtenues par une formulation Lagrangienne, tandis que, pour permettre le coulage fluide structure, les équations de mouvement du fluide sont obtenues par une formulation Arbitrary Lagrangian Eulerian. Des résultats numériques sont confrontés aux données expérimentales

BELLIZZI, Sergio

COCHELIN, Bruno

COLLARD, Bruno

RICCIARDI, Guillaume

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Modélisation d’un reseau de tubes par milieu poreux : comparaison
expérience théorie
Guillaume Ricciardi, Sergio Bellizzi, Bruno Collard & Bruno Cochelin
CEA CADARACHE
DEN/DTN/STRI/LHC
13108, Saint-Paul-Lez-Durance Cedex
guillaume.ricciardi@cea.fr
Résumé :
Dans cet article nous proposons un modèle numérique du comportement mécanique d’un coeur de réacteur nu-
cléaire incluant la dynamique complète des assemblages combustibles et du fluide. Chaque assemblage combus-
tible est assimilé à un milieu poreux déformable avec un comportement visco-élastique non linéaire, les équations
globales du fluide sont obtenues par moyenne spatiale, le champ de vitesse du fluide et le champ de déplacement
de la structure sont définis sur tout le domaine spatial. Les équations du mouvement de la structure sont obtenues
par une formulation Lagrangienne, tandis que, pour permettre le coulage fluide structure, les équations de mouve-
ment du fluide sont obtenues par une formulation Arbitrary Lagrangian Eulerian. Des résultats numériques sont
confrontés aux données expérimentales.
Abstract :
In this paper we propose a numerical model of the nuclear reactor core mechanical behavior including the full
complexity dynamics of both fuel assemblies and fluid. Each fuel assembly is considered as a deformable porous
media with nonlinéar visco-elastic behavior, global motion equations of the fluid are obtained by spatial averaging
method, the velocity field of the fluid and the displacement field of the structure are defined in the whole domain
space. The motion equations of the structure are obtained by a Lagrangian formulation, and to allow the fluid
structure coupling, the motion equations of the fluid are obtained by an Arbitrary Lagragian Eulerian formulation.
Numerical results are presented and compared to experimental data.
Mots-clefs :
fluide-structure ; non-linéaire ; poreux
1 Introduction
Cette étude s’inscrit dans le carde de la sureté des Reacteurs à Eau Pressurisée (REP) sous
seisme. Le but est de réduire les marges d’erreures des codes de calculs simulant le comporte-
ment d’un REP sous seisme, pour se faire nous proposons dans cette article de developper un
modèle numérique incluant le comportement non linéaire de la structure et du fluide. Un calcul
du domaine complet d’un coeur de réacteur donnerait lieu à un trop grand nombre de degré de
liberté, nous proposons donc un modèle global du fluide et de la structure en tenant compte des
non linéarités de chacun.
2 Méthode
La méthode utilisée pour obtenir les équations du modèle est illustrée en Figure 1. La mé-
thode est basée sur une approche milieux poreux en intégrant un modèle de fluide équivalent
ainsi qu’un modèle de structure équivalente. Dans un premier temps les équations du fluide équi-
valent et de la structure équivalente sont établies séparément. Pour la partie fluide : les équations
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globales du fluide s’écoulant au travers d’un réseau de tubes sont obtenues par moyenne spa-
tiale des équations de Navier Stokes. Le fluide équivalent, dont les variables sont moyennées
sur l’espace, est défini sur tout le domaine. Les efforts de la structure (Fstructure→fluid) sont
pris en compte par une force volumique elle aussi définie sur tout le domaine spatial. Pour la
partie structure : chaque assemblage combustible est modélisé par un milieu poreux qui subit
les efforts volumique du fluide Ffluid→structure qui est l’opposée de la force Fstructure→fluid.
Enfin les modèles fluide et structure sont résolut d’un même bloque.
FIG. 1 – Modélisation par milieu poreux
3 Equations du modèle milieu poreux
Dans cette partie les équations du mouvement des fluide et structure équivalents sont établis
avec la méthode proposée au paragraphe 2.
3.1 Hypothèses
Le modèle est basé sur les hypothèses suivantes :
H1 Le fluide est visqueux incompressible et Newtonien.
H2 Les effets de la gravité sont négligés.
H3 La section droite d’un tube ne se déforme pas.
H4 La distance entre deux tubes d’un assemblage combustible reste constante.
H5 La viscosité dynamique est négligeable devant la viscosité turbulente.
H6 L’énergie cinétique turbulente est négligeable devant le gradient de pression.
3.2 Fluide équivalent
Dans cette partie les équations du fluide équivalents sont établies. Dans un premier temps,
les équations de Navier Stokes sont moyennées, dans un second temps les turbulences des plus
petites échelles sont modélisées par une viscosité turbulente, et enfin les efforts de la structure
sur le fluide sont assimilés aux forces agissant sur un tube.
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3.2.1 Arbitrary Lagrangian Eulerian
Classiquement, les équation du fluide sont écrites avec une formulation Eulerienne (le fluide
est observé au travers d’une fenêtre fixe), et les équations de la structure avec une formulation
Lagrangienne (la structure est suivie dans sont mouvement). Pour s’autoriser le couplage du
fluide et de la structure, ces derniers doivent être décrit du même point de vue, c’est pourquoi
nous utiliserons une formulation Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) pour écrire les équations
du fluide. Le fluide est observé au travers d’une fenêtre qui suit le mouvement de la structure.
Les équations de Navier Stokes écrites avec une formulation ALE pour un fluide incompressible
donnent :
ρ
∂V
∂t
+ ρ
(
V − ∂U
∂t
)
· ∇V = divσ (1)
divV = 0 (2)
où U est le déplacement de la structure, V est la vitesse du fluide, et σ est le tenseur des
contraintes. La loi de comportement d’un fluide Newtonien s’exprime :
σ = −PId + µ(∇V +∇VT ) (3)
où P est la pression, µ est la viscosité, et Id est la matrice identité.
3.2.2 Moyenne spatiale
FIG. 2 – Volume de contrôle pour la moyenne spatiale
Considérons un volume de contrôle Ωt(x, y, z) (Figure 2). A(x, y, z) est le centre du vo-
lume de contrôle, Ωf (x, y, z) est le domaine occupé par le fluide et VΩf (x, y, z) son volume,
Ωs(x, y, z) est le domaine occupé par la structure et VΩs(x, y, z) son volume, et Ωt(x, y, z) est
le domaine total et VΩt(x, y, z) son volume.
Ωt(x, y, z) = Ωf(x, y, z) ∪ Ωs(x, y, z) (4)
VΩt(x, y, z) = VΩf (x, y, z) + VΩs(x, y, z) (5)
Les dimensions du volume sont a×a×dx, a est la distance séparant deux centres de deux tubes
successifs (cette grandeur est supposée invariable dans le temps et l’espace), ainsi le volume de
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contrôle contient exactement la section d’un tube, et la fraction de fluide présent dans le volume
ne dépend pas de la position du volume de contrôle. On peut écrire :
VΩt(x, y, z) = VΩt (6)
VΩf (x, y, z) = VΩf (7)
VΩs(x, y, z) = VΩs (8)
L’intégration sur le volume de contrôle des équations de Navier Stokes écrites avec une formu-
lation ALE pour un fluide incompressible Newtonien donne :
ρ
1
VΩt
∫
Ωf (x,y,z)
(
∂V
∂t
+
(
V − ∂U
∂t
)
· ∇V
)
dΩ =
1
VΩt
∫
Ωf (x,y,z)
divσdΩ (9)
1
VΩt
∫
Ωf (x,y,z)
divVdΩ = 0 (10)
Les équations du fluide moyennées sont traitées de sorte à dégager des équations aux déri-
vées partielles de la vitesse moyenne du fluide (voir Robbe et Bliard 2002), pour se faire il nous
a fallu introduire un modèle de viscosité turbulente (Smagorinsky 1963) suposée constante.
Considerons les variables équivalentes :
β =
VΩf
VΩt
(11)
ρeq = βρ (12)
Veq =
1
VΩf
∫
Ωf (x,y,z)
VdΩ (13)
Peq = β
1
VΩf
∫
Ωf (x,y,z)
PdΩ (14)
µTeq = βµT (15)
où β est la porositée.
Apres traitement, (9) et (10) deviennent :
ρeq
∂Veq
∂t
+ ρeqdivVeq ⊗Veq = −∇Peq + µTeq∆Veq
+2ρeq
∂U
∂t
· ∇Veq − ρeq∇
(
∂U
∂t
·Veq
)
+Fstructure→fluid (16)
divVeq = 0 (17)
Les termes de couplage apparaissant dans les équations moyennées (Fstructure→fluid) sont in-
dentifiés à partir des efforts s’exerssant sur un tube soumis à un écoulement axial, nous utilisons
un modèle de Païdoussis (1966) pour exprimer ces efforts.
Finalement nous définissons un fluide équivalent dont les variables sont définis dans tout le
domaine spatial.
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3.3 Structure équivalente
Chaque assemblage combustible est assimilé à un milieu poreux avec un comportement vis-
coélastique non linéaire (voir Collard et al. 2003), comme pour le fluide, le champ de déplace-
ment de la structure équivalente est défini dans tout l’espace. Compte tenu des dimensions d’un
assemblage combustible, nous apliquons un model poutre, mais le module de cisaillement équi-
valent d’un assemblage combustible étant tres faible l’approximation d’Euler Berboulli n’est
plus vérifiée, nous utilisons donc un modèle poutre de type Timoshenko. Les efforts du fluide
sur la structure sont l’opposés des efforts de la structure sur le fluide, ces derniers sont intégrés
sur la section de assemblage combustible pour obtenir les efforts linéiques appliqués au modèle
poutre.
Le fluide et la structure équivalents ont leurs inconnues définies sur tout le domaine spatial , et
les équations de la dynamiqe du fluide équivalent et de la structure équivalente sont fortement
couplées. Le probléme fluide structure est résolut d’un seul bloque.
4 Résultats
Dans cette partie nous proposons la simulation numérique 2D d’un dispositif expérimental.
Deux assemblages combustibles sont soumis à un écoulement d’eau axial, le confinement late-
ral et l’écart entre assemblages est proche des conditions de fonctionnement d’un coeur (voir
Collard et Vallory 2001). L’assemblage combustible gauche est initialement déplacé de sa po-
sition d’équilibre, tandis que l’assemblage combustible droit est au repos (Figure 3), à t = 0,
on lache l’assemblge combustible gauche, et on observe les oscilations libres du système. La
résolution des équations est obtenue à l’aide de la méthode des éléménts finis, avec des mailles
standards, et des schemas d’intégration temporelle classiques.
FIG. 3 – Simulation numerique 2D pour t = 0 (ligne continue), et t = 0.1s (ligne pointillée)
On peut observer en Figure 4 (a) et (b), la comparaison éxperience théorie pour deux vitesse
d’écoulement.
Les simulations donnent de bon résultats pour l’assemblage combustible gauche, l’amortis-
sement augmente avec la vitesse d’écoulement, mais l’énergie transmise à l’assemblage com-
bustible droit semble être surestimée pour une grande vitesse d’écoulement, le modèle 2D en est
surement responsable, en effet le modèle 2D ne tient pas compte des redistributions radiales qui
doivent consommer une partie de l’energie. Des simulation numériques 3D serons effectuées
pour mettre ce point en évidence.
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(a) (b)
FIG. 4 – (a) Simulation numérique 2D (ligne continue) et résultat expérimental (ligne pointillée), pour
une vitesse d’écoulement de 2.4m/s ;(b) Simulation numérique 2D (ligne continue) et résultat expérimen-
tal (ligne pointillée), pour une vitesse d’écoulement de 5.2m/s
5 Conclusion
Dans cet article nous avons proposé un modèle global d’un coeur de réacteur nucléaire pre-
nant en compte les comportements non linéaire du fluide, de la structure, et du couplage fluide
structure. Un modèle numérique 2D a été établi avec la methode de éléménts finis, les simula-
tions numériques donnent des résultats cohérents en accord avec les données expérimentales.
Références
[1] Collard, B., Pisapia, S., Bellizzi, S., Witters, F., 2003. "PWR fuel assembly modal testing
and analysis". Symposium of Flow-Induced Vibration ASME PVP Conference, Cleveland,
Ohio, USA.
[2] Collard, B., Vallory., J., 2001. "Impact forces on a core shroud of an exited PWR fuel
assembly". 9th International Conference on Nuclear Engineering Nice Acropolis, France.
[3] Païdoussis, M.P., 1966. "Dynamics of flexible slender cylinders in axial flow part 1 theory".
Journal of Fluids Mechanics 26 p.717-736.
[4] Robbe, M. F. and Bliard, F., 2002. "A porosity method to describe the influence of inter-
nal structures on a fluid flow in case of fast dynamics problems". Nuclear Engineering and
Design, 215, 217-242.
[5] Smagorinsky, J. 1963. "General circulation experiments with primitive equations". Mon.
Weather Rev., 91, 216-241.
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