La rupture ductile des matériaux métalliques est un processus se déroulant en trois étapes : la nucléation, la croissance et la coalescence de vides. Aux grandes vitesses de sollicitation, les effets de micro-inertie, engendrés par la croissance rapide des cavités, influencent le comportement macroscopique du matériau. Nous proposons dans un premier temps un modèle d'endommagement dynamique par nucléation et croissance de vides, basé sur une approche d'homogénéisation. Ce modèle tient compte du comportement élasto-viscoplastique du matériau et est une extension de précédents travaux. Dans un second temps, le modèle est implanté dans le code de calculs par éléments finis Abaqus/Explicit via un sous-programme utilisateur Vumat. Les résultats de simulations numériques du test d'impact de plaques révèlent une bonne concordance avec les données expérimentales sur le tantale obtenues par Roy (2003) et permettent d'interpréter finement les expériences

CZARNOTA, Christophe

JACQUES, Nicolas

MERCIER, Sébastien

MOLINARI, Alain

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Comportement dynamique des matériaux ductiles. Modèle
d’endommagement élasto-viscoplastique et simulation numérique du
test d’impact de plaques
Christophe Czarnota 1, Nicolas Jacques 2, Sébastien Mercier 1, Alain Molinari 1
1Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux
Université Paul Verlaine - Metz
Ile du Saulcy 57045 Metz Cedex
czarnota@lpmm.univ-metz.fr
2Laboratoire des structures navales
ENSIETA
2 rue François Verney 29806 Brest Cedex
Résumé :
La rupture ductile des matériaux métalliques est un processus se déroulant en trois étapes : la nucléation,
la croissance et la coalescence de vides. Aux grandes vitesses de sollicitation, les effets de micro-inertie,
engendrés par la croissance rapide des cavités, influencent le comportement macroscopique du matériau.
Nous proposons dans un premier temps un modèle d’endommagement dynamique par nucléation et crois-
sance de vides, basé sur une approche d’homogénéisation (Molinari et Mercier (2001)). Ce modèle tient
compte du comportement élasto-viscoplastique du matériau et est une extension des travaux précédents de
Czarnota et al. (2006). Dans un second temps, le modèle est implanté dans le code de calculs par éléments
finis Abaqus/Explicit via un sous-programme utilisateur Vumat. Les résultats de simulations numériques du
test d’impact de plaques révèlent une bonne concordance avec les données expérimentales sur le tantale
obtenues par Roy (2003) et permettent d’interpréter finement les expériences.
Abstract :
Ductile fracture is a three stages process: nucleation, growth and coalescence of voids. For high strain
rate loadings, micro-inertia effects inherited from the rapid growth of micro-voids have an influence on
the overall behaviour. In the present contribution, we propose a model of dynamic damage based on void
nucleation and growth, established using homogenization procedure (Molinari et Mercier (2001)). The
elastic-viscoplastic behaviour of the matrix material is taken into account in this modelling which is an
extension of a previous contribution of Czarnota et al. (2006). The model is implemented into a finite ele-
ment code Abaqus/Explicit via a user subroutine Vumat. Plate impact tests are simulated. A good accuracy
is observed when computed results are compared to experimental data on tantalum material obtained by
Roy (2003).
Mots-clefs :
micro-inertie ; écaillage ; simulation numérique
1 Introduction
La rupture ductile des matériaux métalliques soumis à des conditions extrêmes de
chargement (grandes vitesses de sollicitations pour des temps de chargement très courts)
est gouvernée par un processus se déroulant en trois étapes : la nucléation, la croissance
et la coalescence de micro-cavités. Dans des conditions particulières de chargement, la
rupture peut intervenir par apparition d’une fissure au cœur même du matériau, résultat
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
de la coalescence des micro-vides. Ce phénomène d’écaillage est rencontré dans le test
d’impact de plaques, voir Antoun et al. (2003).
Nous présentons un nouveau modèle d’endommagement ductile dynamique dérivé des
travaux de Czarnota et al. (2006), qui tient compte du comportement élasto-viscoplas-
tique du matériau. Dans ce travail, le matériau considéré est initialement sain et l’étape
de nucléation est prise en compte par une description statistique de pressions de nucléa-
tion. Une fois le vide nucléé, sa croissance est gouvernée principalement par les effets
de micro-inertie. Pour les matériaux ductiles étudiés, la phase de coalescence se fait par
empiètement géométrique et se traduit en terme de porosité critique. Le modèle est en-
suite implanté dans le code de calculs par éléments finis Abaqus/Explicit. Les résultats de
simulations numériques du test d’impact de plaques sont confrontés aux données expéri-
mentales de Roy (2003) sur le tantale.
2 Equations générales
Le tenseur des vitesses de déformation d se décompose en une partie élastique, notée
de, et une partie d’origine viscoplastique notée dvp :
d ′ = de ′ + dvp ′ et dm = dem + d
vp
m , (1)
où ( · )′ désigne le déviateur et ( · )m la partie sphérique du tenseur de second ordre ( · ).
Dans l’équation (1), dvpm est non nul en raison de la croissance des vides. L’endommage-
ment conduit à la dégradation des propriétés mécaniques du matériau. En particulier, les
modules élastiques sont pris dépendants de la porosité. Les modules de compressibilité K
et de cisaillement G sont donnés par, voir Mackenzie (1950) :
K = Ko
4Go(1− f)
4Go + 3Kof
G = Go(1− f)
(
1− 6Ko + 12Go
9Ko + 8Go
f
)
, (2)
où Ko et Go sont les modules élastiques du matériau sain, f est la porosité. Le comporte-
ment élastique isotrope est décrit par une loi hypoélastique :
σ˜
′
= 2Gde ′ +
G˙
G
σ
′
et p˙ = 3Kdem +
K˙
K
p , (3)
où σ˜′ est une dérivée objective du déviateur du tenseur des contraintes σ′ (dérivée de Jau-
mann ou de Green-Naghdi par exemple) et p˙ la dérivée temporelle de la partie sphérique
du tenseur des contraintes p = tr(σ)/3.
2.1 Partie déviatorique
Le comportement plastique de la matrice est écrouissable et sensible à la vitesse de
déformation. La limite d’écoulement σy est alors donnée par la relation suivante :
σy = k(do + deq)
m(²o + ²eq)
n (4)
où ²o et do sont des déformation et vitesse de déformation plastiques de référence. k est un
paramètre d’ajustement du niveau de la limite d’écoulement. n et m sont les coefficients
d’écrouissage et de sensibilité à la vitesse de déformation. deq =
√
2
3
(dvp ′ : dvp ′) est la
vitesse de déformation plastique équivalente et ²eq =
∫
deqdt la déformation plastique
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
cumulée. (:) désigne le produit doublement contracté. Soulignons que pour les vitesses
d’impact considérées dans cette étude, les effets de température peuvent être négligés.
La surface de plasticité Φ fait intervenir l’endommagement de la matrice, voir Eftis et
al. (1991) :
Φ =
σeq
1− (f/fc)0,5 − σy(deq,²eq) (5)
Dans l’équation (5), fc désigne la porosité critique à partir de laquelle la rupture est effec-
tive. En cas de charge plastique, la loi de normalité fournit la relation entre le déviateur
du tenseur des vitesses de déformation viscoplastiques dvp ′ et le déviateur du tenseur des
contraintes de Cauchy :
dvp ′ =
3
2
deq
σ
′
σeq
(6)
où σeq =
√
3
2
(σ′ : σ′) est la contrainte équivalente. Dans le cas d’un matériau sain (f =
0), les équations (5) et (6) redonnent le modèle de plasticité de von Mises.
2.2 Partie sphérique - Croissance de vides
Le matériau étudié ne contient initialement aucune cavité. Cependant, des sites po-
tentiels de nucléation sont répartis dans la matrice. Les pressions de cavitation peuvent
varier d’un site à un autre en raison notamment des hétérogénéités microstructurales ou
encore des champs de contraintes internes. La répartition des pressions de nucléation pc
est décrite par la densité de probabilité de Weibull :
W (pc) =
βw
ηw
(
pc − poc
ηw
)βw−1
exp
[
−
(
pc − poc
ηw
)βw]
, pour pc ≥ poc (7)
où ηw et βw sont respectivement les paramètres d’échelle et de forme de la distribution.
poc est la valeur minimale de pression de nucléation; Au-dessous de cette valeur, aucun
site n’est activé et le matériau reste sain.
La distribution (7) est discrétisée en NF familles distinctes, chacune identifiée par une
pression de nucléation et une fréquence d’apparition. Lorsque la pression appliquée vient
à dépasser la valeur de la pression de nucléation pci d’un site i donné, un vide apparaît et
commence à croître par déformation plastique de la matrice. Soit ai son rayon actuel. Afin
de tenir compte de la présence de nombreux micro-vides, localement, le vide de rayon ai
se trouve entouré d’une matrice saine finie de rayon actuel noté bi. La cellule élémentaire
dans notre analyse est alors identifiée à une sphère creuse (rayons intérieur ai, extérieur
bi). Comme dans Czarnota et al. (2006), l’évolution du vide est gouvernée par la relation
suivante :
pi = p
lim
i + ρ
{
aia¨i
(
1− f 1/3i
)
+
3
2
a˙2i
(
1− 4
3
f
1/3
i +
1
3
f
4/3
i
)}
, (8)
avec
plimi = min(pci ,pGi) . (9)
où fi = (a3i /b3i ) désigne la porosité de la cellule élémentaire. L’incompressibilité de la
matrice conduit a :
f˙i = 3(1− fi)fi a˙i
ai
= 3(1− fi) b˙i
bi
. (10)
3
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La relation (8), avec plimi = pGi , dérive d’une analyse micromécanique développée pour
les matériaux poreux par Molinari et Mercier (2001). La pression pi appliquée se scinde
en une contribution inertielle (terme multiplié par ρ dans l’équation (8)) et une contri-
bution quasi-statique représentée par plimi . A mesure que les vides évoluent, la matrice
oppose une plus faible résistance à la croissance de l’endommagement. Cet aspect ap-
paraît au travers du terme pGi dont l’expression dérive du potentiel de Gurson (1977)
modifié par Tvergaard (1981) :
pGi =
2k
3q2
ln
(
1
q1fi
){
²0 + ²
pre
i +
2
3q2
ln
[
[1/(q1fi)]
fi/(1−fi)
1− fi
]}n
· · ·
· · ·
{
d0 +
2
3q2
ln
(
1
q1fi
)
f˙i
(1− fi)2
}m
, (11)
où q1, q2 sont des paramètres d’ajustement introduits par Tvergaard (1981). Dans la suite,
q1 = 1, q2 = 1,25. Plusieurs schémas d’homogénéisation ont été envisagés. Dans ce
travail, nous supposons que le chargement macroscopique p coïncide avec celui appliqué
à la frontière de chaque sphère creuse et donc pi = p dans l’équation (8).
3 Application à l’impact de plaques - Ecaillage du tantale
Le modèle d’endommagement dynamique est implanté dans le code de calculs par
éléments finis Abaqus/Explicit (via un sous-programme utilisateur Vumat) pour simu-
ler le test d’impact de plaques sur le tantale. Ce matériau, en raison de sa haute densité
(ρ ' 16600kg/m3), est particulièrement sensible aux effets micro-inertiels. Roy (2003)
a observé, pour un tantale de très haute pureté, un mécanisme de coalescence par empiè-
tement géométrique sans phénomène de localisation.
Le problème d’impact étant axisymmétrique (chargement et géométrie), seule une analyse
sur une section est nécessaire, voir Figure 1. Le maillage est réalisé à l’aide d’éléments
quadrangles possèdant un unique point d’intégration nommés CAX4R. Une analyse de
sensibilité au maillage a été conduite et nous retiendrons pour l’ensemble des tests une
taille d’éléments 25µm × 75µm. Lorsque la porosité globale (moyenne sur toutes les
ie
Vimpact
50m
m
4.95
mm
Vimpact
axe de révolution
CAX4Rmesure de la vitessede surface libre
FIG. 1 – Géométrie et configuration du test d’impact de plaques. Compte tenu de la symétrie du
problème, seule une section des plaques est modélisée (approche axisymmétrique). Le nœud situé
sur l’axe de symétrie sert à la mesure de la vitesse de surface libre de la plaque impactée.
4
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K0[GPa] G0[GPa] ρ[kg.m−3] k[SI] ε0 n d0[GPa] m fc
200 68,3 16600 528 0,055 0,155 10−4 0,058 0,30
TAB. 1 – Paramètres utilisés pour décrire le comportement du tantale.
poc[GPa] βw ηw[GPa]
3 2 51,19
TAB. 2 – Paramètres relatifs à la distribution des sites potentiels de nucléation dans le tantale.
cellules élémentaires) atteint la valeur critique fc = 0,30 (estimée sur la base de mesures
expérimentales, Roy (2003)), l’élément est numériquement supprimé.
Dans le but de confronter les résultats de simulations numériques à ceux obtenus expé-
rimentalement, les géométries et vitesses d’impact séléctionnées correspondent à celles
utilisées dans les travaux de Roy (2003). Nous considérons plusieurs vitesses d’impact,
Vimpact = 207, 303, 306, 307, 415m/s et trois épaisseurs de projectile, ei = 2, 3, 4mm.
La cible est de dimension constante (diamètre 50mm, épaisseur 4.95mm), voir Figure 1.
L’effet de la vitesse d’impact est illustré sur la Figure 2(a). L’épaisseur de l’impacteur
est ei = 3mm et trois vitesses d’impact Vimpact = 212, 306, 412m/s sont considérées.
Le saut de vitesse, correspondant à la différence entre Vimpact et la vitesse minimale (ré-
accélération de la face arrière aux alentours de 3µs sur la Figure 2(a)), est approxima-
tivement identique pour les trois vitesses considérées. Cette observation expérimentale
temps ( )
vi
te
ss
e
de
su
rfa
ce
lib
re
(
)
0 1 2 3 4 5 60
100
200
300
400
500
m
/s
µs
modélisation
résultats expérimentaux, Roy (2003)∇∇∇∇∇∇∇∇
1
3
2
V =412impact1
2
m/s
V =306impact m/s
3 V =212impact m/s
(a)
temps ( )
vi
te
ss
e
de
su
rfa
ce
lib
re
(
)
0 1 2 3 4 5 60
100
200
300
400
m
/s
µs
V =303impact
13 2
1
2
e =4i m/smm
V =306impacte =3i m/smm
3 V =307impacte =2i m/smm
modélisation
résultats expérimentaux, Roy (2003)∇∇∇∇∇∇∇∇
(b)
FIG. 2 – Comparaison de la modélisation et des résultats expérimentaux de Roy (2003) sur le
tantale pour les profils de vitesses en surface libre. La configuration des tests est définie sur la
Figure 1. Effet de la vitesse d’impact (a) pour une épaisseur de cible constante ei = 3mm, et de
l’épaisseur (b) pour une vitesse d’impact Vimpact ' 300m/s.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
est parfaitement restituée par les simulations. La période des oscillations après le saut de
vitesse est également bien estimée. Un très bon accord est observé pour les grandes vi-
tesses Vimpact = 306 et 412m/s. On montre que le pic lié à la réaccélération de la face
arrière a pour origine le début de la croissance rapide de l’endommagement dans le plan
d’écaillage. La porosité atteinte à cet instant restant limitée, l’écaillage (i.e. f = fc) se
produit alors plus tardivement. Il s’observe sur la vitesse de surface libre aux alentours de
4µs lorsque Vimpact = 306m/s.
L’effet de l’épaisseur de l’impacteur est à présent analysé sur la Figure 2(b). L’épaisseur de
l’impacteur varie de ei = 2mm à ei = 4mm. La vitesse d’impact est d’environ 306m/s.
La durée du maintien du signal de vitesse à l’amplitude Vimpact est liée à l’épaisseur de
l’impacteur et est plus grande pour l’épaisseur ei = 4mm. Les résultats obtenus sont en
très bon accord avec les expériences : l’augmentation du saut de vitesse lorsque l’épais-
seur diminue est bien retrouvée. Soulignons que les paramètres, pour la plupart identifiés
à partir de résultats expérimentaux, sont identiques pour toutes les configurations d’essai
considérées.
4 Conclusion
Ce travail porte sur la modélisation élasto-viscoplastique de l’endommagement dyna-
mique ductile par nucléation et croissance de vides avec effets micro inertiel. Le nouveau
modèle, implanté dans le code de calculs par éléments finis Abaqus/Explicit, permet de
retrouver avec précision des résultats expérimentaux de tests d’écaillage sur le tantale.
Références
Antoun, T., Seaman, L., Curran, D., Kanel, G.I., Razorenov, S.V., Utkin, A.V. 2003 Spall
Fracture (ed. Springer-Verlag)
Czarnota, C., Mercier, S., Molinari, A. 2006 Modelling of nucleation and void growth
in dynamic pressure loading, application to spall test on tantalum. Int. J. Fract. 141
177-194
Eftis, J., Nemes, J.A., Randles, P.W. 1991 Viscoplastic analysis of plate-impact spallation.
Int. J. Plast. 7 15-39
Gurson, A.L. 1977 Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth:
Part I - Yield criteria and flow rules for porous ductile media J. Eng. Mater. Technol. 99
2-15
Mackenzie, J.K. 1950 The elastic constants of a solid containing spherical holes. Proc.
Phys. Soc. 63 2-11
Meyers, M.A. 1994 Dynamic behavior of materials (ed. John Wiley & Sons), 1994
Molinari, A., Mercier, S. 2001 Micromechanical modelling of porous materials under
dynamic loading. J. Mech. Phys. Solids 49 1497-1516
Roy, G. 2003 Vers une modélisation approfondie de l’endommagement ductile dyna-
mique. Investigation expérimentale d’une nuance de tantale et développements théo-
riques. Thèse, Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aéronautique, Université
de Poitiers
Tvergaard V. 1981 Influence of voids on shear bands instabilities under plain strain condi-
tions Int. J. Fract. 17 389-407
6


Comportement dynamique des matériaux ductiles. Modèle d'endommagement élasto-viscoplastique et simulation numérique du test d'impact de plaques

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