Le forçage fréquentiel au mode naturel est utilisé pour stabiliser les structures tourbillonnaires d'un écoulement cisaillé. Dans une étude précédente, nous avons soumis un jet plan à des excitations sinusoïdales monochromatiques à la fréquence naturelle en utilisant la simulation numérique. Dans cette étude, nous présentons pour la même configuration de jet, les résultats obtenus en faisant varier la fréquence d'excitation. L'objectif est déterminer la réponse du jet et de la comparer à celle de couches de mélange et de jets en mettant en évidence les phénomènes d'appariement. On étudie les jets à profil d'entrée uniforme et à profil d'entrée parabolique. Les simulations numériques montrent que la fréquence de réponse est identique à la fréquence d'excitation dans un intervalle assez large comprenant la fréquence naturelle pour les deux cas. Au delà d'une certaine fréquence d'excitation, les fréquences de réponses sont plus faibles que la fréquence d'excitation et sont liées à la fréquence naturelle. On observe des appariements des structures tourbillonnaires traduits sur le spectre par l'apparition de fréquences sub-harmoniques

BOISSON, Henri-Claude

GIOVANNINI, André

KNANI, Mohamed Ali

LILI, Taieb

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Réponse d’un jet plan à des excitations sinusoïdales 
 
Mohamed Ali Knani*, a,  Henri -Claude Boisson**, b André Giovannini**, c & Taieb Lili*, d 
 
(*) LMF : Laboratoire de Mécanique des Fluides –Département de Physique, Faculté des Sciences de 
Tunis, Université de Tunis el Manar - Campus Universitaire el Menzeh, 1060 Tunis, Tunisie. 
(**) IMFT : Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, UMR 5502 CNRS/INPT/UPS, Avenue 
Professeur Camille Soula, 31400 Toulouse, France. 
(a) mohamedali.knani@ipeit.rnu.tn  (b) boisson@imft.fr  (c)giova@imft.fr (d) taieb.lili@fst.rnu.tn 
 
 
Résumé : 
 
Le forçage fréquentiel au mode naturel est utilisé pour stabiliser les structures tourbillonnaires d’un 
écoulement cisaillé. Dans une étude précédente, nous avons soumis un jet plan à des excitations 
sinusoïdales monochromatiques à la fréquence naturelle en utilisant la simulation  numérique. Dans cette 
étude, nous présentons pour la même configuration de jet, les résultats obtenus en faisant varier la 
fréquence d’excitation. L’objectif est déterminer la réponse du jet et de la comparer  à celle de couches 
de mélange et de jets en mettant en évidence les phénomènes d’appariement. On étudie les jets à profil 
d’entrée uniforme et à profil d’entrée  parabolique. Les simulations numériques montrent que la 
fréquence de réponse est identique à la fréquence d’excitation dans un intervalle assez large comprenant 
la fréquence naturelle pour les deux cas. Au delà d’une certaine fréquence d’excitation, les fréquences de 
réponses sont plus faibles que la fréquence d’excitation et sont liées à la fréquence naturelle. On observe 
des appariements des structures tourbillonnaires traduits sur le spectre par l’apparition de fréquences 
sub-harmoniques. 
 
Abstract : 
 
Periodic forcing at the natural mode is often use for stabilizing vortex structures in shear flows. In a 
previous work we have submitted a plane jet to monochromatic sinusoidal excitations at the natural 
frequency using numerical simulation. In the present study, we present the results obtained varying the 
excitation frequency for the same jet configuration. The goal is to determine the jet response and to 
compare it to the results of mixing layers and jets evidencing the pairing phenomena. We study jets with 
uniform and parabolic entry profiles. Numerical simulations show that the response frequency is equal to 
the excitation frequency in a large range around the natural frequency for both cases. Over a given value, 
the response frequencies are lower than the excitation frequency and linked to the natural frequency. 
Vortex pairing is observed corresponding to a sub-harmonic frequency in the spectra.  
 
Mots-clefs :       jet ; excitation ; fréquence 
 
 
1 Introduction 
 
L’interaction des structures de différentes échelles crée  des instabilités qui produisent la 
rupture des symétries. Ces interactions donne naissance aux phénomènes de développement et 
de dissipation des tourbillons. Il était alors intéressant de réaliser des expériences numériques  
permettant de fixer les moyens de contrôle des tourbillons en agissant sur leurs amplifications. 
La technique adoptée est l’excitation de l’écoulement de jet, qui est une procédure appliquée 
dans des travaux expérimentaux et numériques pour des écoulements cisaillés. On étudie les 
caractéristiques  du jet à travers le développement des instabilités de l’onde la plus amplifiée. 
L’excitation de l’écoulement par des perturbations sinusoïdales monochromatiques à fréquences 
diverses, situées autour de la fréquence d’instabilité naturelle, permet de déterminer les modes 
de réponse. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
Cet article présente les résultats obtenus par simulations numériques 2D pour la 
détermination des modes de réponse à des excitations monochromatiques sinusoïdales des 
écoulements de jet plan libre. 
L’étude a concerné la gamme des nombres de Reynolds entre 100 et 1000 basés sur la 
vitesse uniforme à l’entrée et la largeur de l’orifice. Elle porte sur la caractérisation des 
structures et leur développement. 
On présente uniquement les résultats obtenus pour des jets pour un nombres de  Reynolds 
500 et comparés à ceux de plusieurs auteurs  issus des travaux sur des configurations variées et 
par des approches différentes. 
L’étude théorique de Michalke (1995), qui a permis de déterminer la fréquence dominante, 
était la base pour la comparaison des nombres de Strouhal. En fait, c’est ce nombre qui 
représente la fréquence adimensionnelle caractéristique de l’instabilité. 
Dans le domaine des couches de mélange, nos résultats sont comparés avec ceux de Ho et 
al. (1982) obtenus par des expérience et ceux d’Astruc (1993) et de Sers (1995) obtenus par une 
approche numérique. 
 
2 Méthodologie 
 
Deux codes de calcul ont été utilisés pour résoudre les équations adimensionnelles de 
conservation dans les travaux que nous avons réalisée (Knani et al. (2001), (2006)).  
Le premier code utilise une formulation en variables (U,V,P) c'est-à-dire les deux 
composantes de la vitesse et la pression. Les équations sont discrétisées par la technique des 
volumes finis sur un maillage décalé avec un schéma semi implicite de prédiction et correction. 
Le calcul est effectué sur une configuration de jet de tuyère comme le montre la figure (Fig.1-a). 
Le second basé sur la méthode des tourbillons en cellules « Vortex In Cells » est développé 
dans une formulation vorticité - fonction de courant (ω,ψ). L’application en est réalisée pour un 
jet de canal (Fig.1-b). 
Le domaine d’étude est un jet plan issu de mur et s’écoulant dans un domaine infini rempli par 
le même fluide L’écoulement est incompressible isotherme et considéré comme bidimensionnel. 
Des expériences numériques que nous avons effectuées (Knani et al. (2001)) sur le jet naturel 
ont montré que la fréquence naturelle fn est de l’ordre de 0.168 pour le jet de tuyère. Cette 
valeur est en accord avec celles déterminées par Michalke (1995), et Sers (1995). Les 
excitations imposées utilisent comme conditions initiales les champs obtenus au dernier pas de 
temps du jet non perturbé. 
Des perturbations sinusoïdales, à fréquence d’excitation fe dans l’intervalle [0.2fn ; 6fn] ont été 
appliquées aux profils de la vitesse longitudinale à l’entrée du jet et maintenues pendant toute la 
durée de la simulation égale au temps adimensionnel 200. L’excitation est sinusoïdale 
monochromatique sous la forme :   
2
0,)]2sin(1[),,0( 0
HytfUtyU e ≤≤+= piβ
 
où β est l’amplitude et fe est la fréquence de l’excitation. 
Ces conditions correspondent aux études expérimentales effectuées par Faghani (1999) et 
Meyer (1989), (1990) sur la configuration du jet. Dans leurs travaux, ces auteurs ont signalé que 
les modes variqueux sont dominants dans ce type d’écoulement. Pour cette raison, nous avons 
considéré l’hypothèse de symétrie axiale en 2D et notre étude a été restreinte à la moitié du 
domaine du jet pour les simulations. L’étendue latérale du jet est D=3 contenant l’ouverture du 
jet H=1. La longueur totale L=20 du domaine dans la direction longitudinale est adaptée à la 
largeur D du jet. La longueur du canal a été fixée à l=20. Les paramètres de simulation sont 
indiqués, pour chaque configuration, sur la figure (Fig.1). 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
3 Résultats 
 
On présente sur la figure (Fig.2) les signaux et spectres des composantes de la vitesse et de la 
pression relatifs à la  méthode des volumes finis pour deux fréquences de forçage. 
L’excitation à la fréquence naturelle fn montre que la réponse s’effectue au même mode dans 
la région potentielle du jet (Fig.2-a). Ce résultat confirme ceux de Ho et Huang  (1982). La 
perturbation permet d’introduire une instabilité d’amplitude assez forte  et qui se développe en 
suivant le même processus que le jet naturel. L’effet important de cette perturbation est la mise 
en évidence des sous harmoniques qui marquent plus nettement les phénomènes 
d’appariements.  
La simulation à la fréquence sous harmonique, dans la zone initiale du jet, permet de constater 
que la fréquence de réponse fr est celle de l’excitation (Fig.2-b). 
Nous avons remarqué, qu’au delà de la région linéaire, la fréquence la plus amplifiée 
correspond à la première sous harmonique de la fréquence dominante. 
Une série de simulation  a été réalisée pour des fréquences de perturbation comprises entre 
0.2fn et 6fn. Les fréquences de réponses fr correspondent aux pics d’amplitudes, dans la région 
initiale de l’écoulement. Les valeurs relevées de ces fréquences dominantes ont permis de 
représenter, en échelle logarithmique, l’évolution de la fréquence de réponse en fonction de la 
fréquence de forçage comme le montre la figure (Fig.3). 
 L’analyse de la  figure (Fig.3-a), dans le cas de la technique des volumes finis, montre que 
dans l’intervalle des fréquences d’excitation 0.2fn<fe<2fn, le jet répond à la fréquence de 
perturbation imposée. On retrouve ainsi qualitativement  les résultats de Ho et Huang (1982) et 
Astruc (1993) dans le cas de couches de mélange. Au-delà de la fréquence 2fn la courbe devient 
linéaire et l’écoulement répond à la fréquence naturelle. Les travaux de Sers (1995) sur un jet 
isotherme ont montré que le jet répond à la fréquence d’excitation dans l’intervalle 
0.82fn<fe<1.13fn, et ailleurs à la fréquence naturelle ou à l’une des ses multiples ou sous 
multiples. Ho et Huang (1982) trouvent des fréquences de réponse multiples pour des 
excitations inférieures à 0.5fn. 
La réponse à la fréquence d’excitation est située entre 0.4fn et 2.5fn pour les perturbations 
testées au cas du jet de canal (Fig.3-b). Pour les fréquences élevées, on constate que la réponse  
à l’excitation est à une fréquence supérieure à la fréquence naturelle. 
L’apparition des sous harmoniques dans la zone à noyau potentiel est un signe d’appariement 
des tourbillons. La figure (Fig.4) présente les tracés des iso - vorticités pour une fréquence de 
forçage égale à la première sous harmonique du mode fondamental et pour quatre phases 
différentes du mouvement. On met clairement en évidence le développement des structures 
tourbillonnaires. 
 
4 Conclusions 
 
Les simulations numériques que nous avons menées ont montré que la réponse à l’excitation 
s’effectue à la fréquence naturelle, dans le domaine des fréquences de perturbation supérieures 
au double de la fréquence naturelle.  
Le jet répond à la fréquence de perturbation pour des forçages à  fréquences inférieures ou 
proches de la fréquence dominante. A des fréquences d’excitation élevées, l’instabilité a 
tendance de retrouver sa fréquence naturelle en décrochant la fréquence d’excitation. 
 La présence de fréquences sous harmoniques et harmoniques correspondant aux maximums 
d’amplitudes de l’onde d’instabilité a permis de mettre en évidence des phénomènes non 
linéaires que  la théorie de la stabilité linéaire n’a pas pris en compte. L’écoulement amplifie les  
impulsions imposées à l’entrée, puis elles sont  advectées vers l’extérieur. Cette étude de la 
réponse du jet à des perturbations sinusoïdales monochromatiques confirme que l’écoulement 
est convectivement instable. C’est une caractéristique essentielle de ce type d’écoulement. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
Le comportement de l’écoulement est semblable pour des fréquences proches ou inférieures à 
la fréquence naturelle. Par contre, la réponse au forçage est différente pour les deux 
configurations.  
D’autre part, on peut relever un accord entre nos résultats et ceux existants dans la littérature 
dans certains intervalles de fréquences de perturbation. D’une manière générale, les résultats de 
nos simulations sont en accord avec ceux issus de travaux de certains auteurs. Néanmoins, la 
détermination des limites des intervalles des fréquences reste un problème à examiner. 
Enfin, une simulation numérique en 3D et du domaine complet, en cours de développement 
par les deux techniques, permettra dans un premier temps de comparer les deux codes et vérifier 
l’hypothèse de symétrie, et puis analyser les phénomènes de développement  des instabilités. 
 
Références 
 
Astruc, D. 1993  Instabilité de Kelvin Helmholtz en régime subsonique : développement spatial et 
conditions aux limites ouvertes. These de Doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse. 
 Faghani, D., Sevrain, A. & Boisson, H.C., 1999 Physical eddy recovery through bi-orthogonal 
decomposition in an acoustically forced plane jet. Flow Turbulence and Combustion, 62, 69-88. 
 Ho, C.M. & Huang, L. 1982  Subharmonics and vortex merging in mixing layers.  Journal of Fluid 
Mechanics, 119, 443-473. 
Sers, F. 1995 Contribution à l’étude des instabilités dans les jets plans par simulation numérique. Thèse 
de Doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse. 
 Knani, M.A., Boisson, H.C. & Lili, T. 2001 Response of plane viscous jet to entrance flow rate 
perturbation.  Int. J. Numer. Meth. Fluids, 37, 361-374. 
 Knani, M.A., Boisson, H.C., Giovannini, A. & Lili, T. 2006 Study of a plane free jet exhausting from a 
channel by vortex in cell method.  Int. J. Numer. Meth. Fluids, 52, 529-543.  
 Meyer, J., Sevrain, A., Boisson, H.C. & Ha Minh, H. 1990 Organized structures and transition in the near 
field of a plane jet. Edited by A. GYR, Springer Verlag. 
 Meyer, J. 1989 Structures organisées et transition dans la zone proche du jet plan : synthèse d’analyse 
expérimentale, visuelle et numérique. Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse.  
Michalke, A. 1995 On spatially growing disturbances in an inviscid shear layer. Journal of 
    Fluid Mechanics, 23, 521-544. 
 
Figures 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 1-a – Jet de tuyère : L=20 ; D=3 ; H=1 ; ∆x= ∆y=0.1 ;  ∆t=0.01 ;  β=0.025. 
x=Lx=0
y
x
y=H/2
y=D
axe du jet
2
3
4
1
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5 
 
 
x=L x=Lcx=0x=−l
y
4
5
y=H/2
y=D
2
1
domaine du jet
x
3
6
 
 
                  
FIG. 1-b – Jet de canal : L=20 ; D=3 ; H=1 ; l=20 ; ∆x= ∆y=0.05 ; ∆t=0.1 ; β=0.25. 
 
FIG. 1 – Configurations utilisées pour les simulations numériques 
 
 
 
 
 
0 40 80 120
                                          t
0,20
0,22
0,24
0,26
U
                                                        (a)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f
0,000
0,010
0,020
0,030
A
m
pl
it
ud
e
0 40 80 120
                                          t
-0,02
-0,01
0,00
V
                                                          (b)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f
0,000
0,003
0,006
0,009
A
m
pl
it
ud
e
0 40 80 120
                                          t
-0,01
0,00
0,01
p
                                                            (c)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
A
m
pl
it
ud
e
 
 
 
          (a) Excitation à la fréquence naturelle fn                 (b)  Excitation à une fréquence sous- 
harmonique fn/2 
 
FIG. 2 – Jet de tuyère : signaux et spectres correspondants des composantes de la vitesse (U,V) 
et  de la  pression P. 
0 50 100
                                          t
0,20
0,24
0,28
U
                                                        (a)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f
0,00
0,02
0,04
A
m
pl
it
ud
e
0 50 100
                                          t
-0,08
-0,04
0,00
0,04
V
                                                          (b)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f
0,00
0,02
0,04
0,06
A
m
pl
it
ud
e
0 50 100
                                          t
-0,04
0,00
0,04
p
                                                            (c)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
A
m
pl
it
ud
e
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6 
  
  
    
0,1 1,0 10,0
                                           f
e
/f
n
0,1
1,0
10,0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f r/
f e courbe fr=fn
courbe  f
r
=f
e
 
 
          (a) Jet de tuyère                                                                 (b) Jet de canal 
                                           
                                                 FIG. 3 –  Modes de réponse à une excitation sinusoïdale 
 
 
 
 
 
 
FIG. 4 –  Jet de tuyère : champ du rotationnel pour quatre valeurs 
du temps, 20 lignes de niveaux (min= -1.2, max= 1.0) 
0,1 1,0 10,0
                                           f
e
/f
n
0,1
1,0
10,0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f r/
f e courbe fr=fn
courbe  f
r
=f
e


Réponse d'un jet plan à des excitations sinusoïdales

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