Sur la base d'un protocole utilisé par G.B. Wallis il y a plus de quarante ans, nous proposons une étude où nous mesurons la vitesse de propagation d'une discontinuité de porosité (front de décompaction) pour une gamme étendue de propriétés particulaires. Les objectifs atteints par ce travail sont doubles. Tout d'abord, il a permis de compléter la base de données de mesures disponibles dans la littérature qui est, sur ce point particulier, peu conséquente et ancienne. De plus, ce travail a permis de mettre en évidence deux types de comportements distincts que les modèles théoriques existants ne prédisent pas. En effet, en fonction des particules utilisées, nous avons observé soit la propagation d'un front de décompaction plan à vitesse lente, soit la déstabilisation de ce dernier (qui devient tridimensionnel et instationnaire) associée à une augmentation brutale de la vitesse de propagation. Sur la base d'une analyse à l'échelle du grain du phénomène de décompaction, nous proposons un ensemble de nombres adimensionnels qui expliquent qualitativement nos observations

OCCELLI, René

SIERRA, Christophe

TADRIST, Lounès

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Propagation et instabilité des chocs de porosité dans les suspensions
liquide-solide
Christophe Sierra, Lounès Tadrist & René Occelli
Laboratoire de l’IUSTI (UMRS CNRS 6595)
Technopôle de Château Gombert
5, rue Enrico Fermi
13453 Marseille Cedex 13
christophe.sierra@polytech.univ-mrs.fr
Résumé :
Nous proposons dans ce travail l’étude expérimentale du comportement dynamique d’une suspension fluidisée
dans une situation ’hors d’équilibre’ où se propage spontanément un choc de porosité. On met en évidence deux
types de comportements distincts avec des caractéristiques associées que les modèles ne prédisent pas. De plus,
sur la base d’une analyse à l’échelle du grain du phénomène de décompaction, nous proposons un ensemble de
nombres adimensionnels qui expliquent qualitativement nos observations.
Abstract :
We propose in this work an experimental study of the dynamic behavior of fluidized suspensions submitted to an
’out-of-equilibrium’ situtation where porosity shocks spontaneously propagate. We evidence two types of behaviors
with proper characterstics which literature models do not predict. An analysis of the decompction dynamics at the
grain scale leads us to propose non-dimensional parameters that explain our observations on qualitative grounds.
Mots-clefs :
fluidisation, instabilité, rhéologie
1 Introduction
La grande variété des comportements observés dans les suspensions fluidisées dépend à la
fois des propriétés particulaires et du fluide porteur. Le choix des différents paramètres (den-
sités, tailles des particules, viscosité) donne lieu à des interactions entre phases plus ou moins
complexes qu’il est souvent difficile de modéliser précisément à toutes les échelles. Dans le
cas des suspensions fluidisées non Browniennes, les caractéristiques des hétérogénéités spatio-
temporelles de concentration provoquées par le caractère instable de ces écoulements ne sont
pour l’instant décrites par aucune loi rhéologique universelle et ce malgré une littérature abon-
dante. Dans ce contexte, il nous a semblé important de développer une approche expérimentale
simple, où le système est suffisamment contraint et de manière maîtrisée pour n’avoir qu’une
gamme restreinte de comportements dont l’analyse est plus aisée. Ainsi, sur la base d’un proto-
cole utilisé par Wallis (1962), nous proposons une étude où nous mesurons la vitesse de propa-
gation d’une discontinuité de porosité (front de décompaction - voir figure 1) pour une gamme
étendue de propriétés particulaires. Le fluide utilisé est de l’eau, les tailles de particules vont de
290 µm à 6 mm et leur densité de 1.2 à 8. Les objectifs de ce travail sont doubles. Tout d’abord,
il s’agit là de compléter la base de données de mesures disponibles dans la littérature qui est, sur
ce point particulier, peu conséquente et ancienne. De plus, ce travail met en évidence deux types
de comportements distincts que les modèles théoriques existants ne prédisent pas. En effet, en
fonction des particules utilisées, nous observons soit la propagation d’un front de décompaction
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
plan à vitesse lente, soit la déstabilisation de ce dernier (qui devient tridimensionnel et insta-
tionnaire) associée à une augmentation brutale de la vitesse de propagation. Sur la base d’une
analyse à l’échelle du grain du phénomène de décompaction, nous proposons un ensemble de
nombres adimensionnels qui expliquent qualitativement nos observations.
2 Technique experimentale
Le dipositif expérimental est schématisé sur la figure 2. Il s’agit d’un tube cylindrique en
plexiglas (diamètre interieur D = 6 cm) équipé de deux distributeurs poreux (6) à chaque extré-
mité. Leur rôle est de confiner les particules (9) et d’assurer une vitesse de fluidisation uniforme.
Afin de faciliter l’étape de compaction au début de chaque expérience le tube est équipé d’un
axe de rotation horizontal (7) en son milieu. Le fluide utilisé est de l’eau du robinet qui circu-
lue dans un boucle fermée qui comprend un bac de stockage (1) et une pompe centrifuge (2).
Deux vannes de régulation (5) ainsi que deux electro-vannes (4) sont utilisées pour régler les
débits (minimum et maximum) et permuter entre les deux pour initier la décompaction du lit.
La température de l’eau est contrôlée par un thermocouple (10) et les débits sont mesurées par
un débitmètre à turbine (3) connecté à un analyseur de signaux. La décompaction est filmée à
l’aide d’une caméra CCD monochrome (8) à 30 i/s. Les caractéristiques des particules utilisées
sont dans le tableau 1.
Designation ρs (kg/m3) d (µm) D/d εmf n ut (m/s)
Plastique set A 1425 5000 12 0.487 2.59 0.159
Verre set B 2533 6000 10 0.471 2.27 0.281
set C 2533 5000 12 0.451 2.02 0.247
set D 2533 4000 15 0.446 2.44 0.295
set E 2533 3000 20 0.456 2.55 0.246
set F 2533 2000 30 0.450 2.77 0.197
set G 2533 1500 40 0.430 2.76 0.171
set H 2533 512.5 117 0.450 5.04 0.097
Silicate de zircone set I 3800 1100 54.5 0.453 3.27 0.209
set J 3800 700 85.7 0.446 3.63 0.154
set K 3800 300 200 0.442 4.15 0.075
Acier set L 7960 1000 60 0.446 2.71 0.239
Bronze set M 8420 755 79.5 0.439 3.37 0.319
set N 8420 290 207 0.431 4.13 0.124
TAB. 1 – Caractéristiques des particules. εmf est la porosité du lit seuil de fluidisation juste avant la
décompaction, ut est la vitesse terminale d’une particule isolée et n l’exposant de Richarson-Zaki (Ri-
chardson & Zaki, 1954)
Une expérience type commence par la compaction des particules sur le distributeur du haut
en augmentant la vitesse du fluide au delà de γumf (1.4 < γ < 3) et en retournant le lit. Ensuite,
le débit est brusquement réduit au minumum de fluidisation umf à l’aide des électro-vannes. A
chaque expérience, un film est enregistré et post-traitée avec ImageJ (Abramoff et al., 2004).
On extrait les niveaux de gris le long d’une génératrice du tube et on construit un diagramme
spatio-temporel. Dans ce dernier, le contraste entre les particules statiques et celles qui chutent
crée une ligne démarcation dont la pente permet de calculer la vitesse du front de décompaction
cd.
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
3 Résultats expérimentaux
Au cours des expériences, nous avons observé deux types de comportements. Pour les par-
ticules les plus grosses (du set A à G), le front reste plan i.e. pendant la décompaction les
particules tombent couches par couches, et son interface est aisément repérable à l’oeil nu (voir
illustration sur la figure 3). Pour les particules plus petites (set H à N), le front de décompaction
qui est plan au tout début de l’expérience, se déstabilise très vite au cours de sa propagation
et présente un aspect instationnaire et turbulent. Ce comportement est observé pour une large
gamme de densité. Sur la figure 4, nous comparons les valeurs expérimentales de cd avec le
seul modèle quantitatif de la litérature (Foscolo & Gibilaro, 1984; Gibilaro et al., 1989) où la
vitesse du front de décompaction est donnée par cd,1 = (3.2g˜dφmf )1/2 avec g˜ = g(1− ρf/ρs),
d le diamètre des particules et φmf la compacité du lit au minimum de fluidisation. Ce gra-
phique montre que le modèle prédit assez bien la vitesse de décompaction quand le régime est
3D (cercles noirs) alors qu’il la surestime nettement (presque deux fois) quand le front reste 1D
(cercles blancs). Ceci montre que la dynamique du front est très fortement conditionnée par sa
structure en cours de décompaction. Ce comportement particulier avait était évoqué par Wallis
(1962) mais la très grande dispersion de ses mesures ne lui avait pas permis de mettre en évi-
dence la corrélation entre le comportement du front et sa vitesse. Sur une seconde figure (fig.
5), nous comparons cette fois nos mesures avec la vitesse de l’onde cinématique (Kynch, 1952)
ck = nutφmf (1− φmf )n−1. Pour les fronts avec une décompaction 1D, leur vitesse correspond
plutôt bien à ck malgré une légère sur-estimation pour les particules les plus grosses. Ceci est
assez naturel dans la mesure où ck représente la vitesse de propagation d’une perturbation de
porosité pour des particules sans inertie. D’un autre côté, les particules présentant un front de
décompaction 3D, ce dernier se propage avec une vitesse bien supérieure à celle de l’onde ci-
nématique i.e. ≈ cd,1.
Ainsi, nous voyons que la vitesse du front est très fortement dépendante de sa structure spatio-
temporelle. Les vitesses de propagation associées à chacun des de deux modes correspondent
aux deux vitesses caractéristiques en fluidisation : celle de l’onde cinématique ck et celle de
l’onde dynamique (au moins telle que définie par (Foscolo & Gibilaro (1984); Gibilaro et al.
(1989)). La signification physique de cette dernière fait débat (voir Batchelor (1988)) mais une
discussion de ce problème sort du cadre de ce travail.
Fort de ce résultat original, une question intéressante est de savoir si l’on est capable de distin-
guer a priori les particules qui ont tendance à produire l’une ou l’autre des dynamiques obser-
vées. C’est l’objet de la section suivante.
4 Analyse dimensionelle de la décompaction et discussion
Les paramètres sans dimension qui gouvernent le processus de décompaction peuvent être
déduits de l’analyse des évènements élémentaires à l’échelle de la particule. En effet, de manière
idéalisée, la propagation d’un front de décompaction n’est rien d’autre que la chute successive
des particules soumises à leur poid et à la traînée du fluide. A l’équilibre à l’intérieur du lit, les
particules se trouvent à l’arrivée du front dans une situation où la gravité domine sur la traînée
à cause d’une porosité locale réduite (Campos & de Caravalho, 1992). A partir de l’équation de
la dynamique pour une particule, il est alors possible de déduire les nombres caractéristiques
contrôlant la décompaction.
ρs
pid3
6
dw
dt
= CD
pid2
8
ρf |u−w|(u−w) + pid
3
6
(ρs − ρf )g (1)
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
avec CD = CD0f(ε) le coefficient de traînée d’une particule isolée corrigé par f(ε) une fonc-
tion de la porosité locale qui prend en compte la présence des autres particules (Crowe et al.,
1998).
Cette analyse est inspirée du travail de Courrech Du Pont et al. (2003) sur la dynamique des
avalanches sous-marines. A partir de l’équation (1) il est possible de définir trois temps carac-
téristiques importants : τff le temps de chute libre (en absence de frottement) d’une particule
sur la distance d’un diamètre d (choisi comme échelle de longueur), τi un temps inertiel et τv
un temps visqueux (fonctions du régime d’écoulement autour des particules). Les rapports croi-
sés de ces temps caractéristiques donne trois nombres sans dimensions qui, en fonction de leur
valeur relative, indique le type de dynamique à l’échelle particulaire. Tout d’abord un nombre
de Reynolds défini par Re = τv/τi qui renseigne sur le caractère visqueux ou inertiel de la
traînée du fluide, puis un nombre de Stokes St = τv/τff qui compare l’inertie des particules
aux effets visqueux et le troisième r = τi/τff = St/Re qui correspond à un ratio de densité
particule/fluide. Ces nombres sont définis par,
St =
1
18
√√√√ρs∆ρgd3
2f 2µ2f
, Re =
√√√√8ρf∆ρgd3
3fµ2f
, r =
1
24
√
3f
(
ρs
ρf
)1/2
(2)
Les différents comportements possibles sont consignés dans le tableau 2.
Petit St Grand St
Petit r régime dépendant de Re régime inertiel
Grand r régime visqueux régime de chute libre
TAB. 2 – Régimes de décompaction pour une particule unique. L’analyse originelle est de Courrech Du
Pont et al. (2003).
Le régime de chute libre est caractéristique des lits fluidisés gaz-solide. Pour les suspensions
liquide-solide considérées dans ce travail, il est vraisemblable que la plage de caractéristiques
particulaire est assez large pour couvrir les régimes visqueux et inertiels. De manière qualitative
nous avons utiliser cette analyse locale pour essayer de classifier les systèmes particulaires
de nos expériences. Pour calculer différents nombre adimensionnels nous avons utilisés les
paramètre expérimentaux (diamètre, densité, porosité et viscosité) et f(ε) = ε−3.7mf (Wen & Yu,
1966).
La figure 6 montre dans le plan (St,r) la localisation de nos expériences. La ligne grisée indique
la frontière entre les régimes 1D (cercles blancs) et 3D (cercles noirs) qui correspond à un
Reynolds critique Rec ' 84. Cette séparation permet effectivement de classer les différents
systèmes de particules : un régime 3D pour les particules à petit St et 1D pour les particules à
grand St. D’un point de vu qualitatif cette séparation est assez intuitive. Quand une particule
au passage du front de décompaction quitte le lit, son mouvement induit des perturbations de
l’écoulement autour d’elle qui sont susceptibles d’influencer ses voisines. Les particules à petit
St à cause de leur faible inertie sont très sensibles aux mouvement de leurs voisines ainsi,
on s’attend dans ce cas à obtenir une dynamique de type collective avec de forte interaction
hydrodynamiques entre elles. Cette image corresond aux observations expérimentales où les
particules chutent par paquets avec une dynamique corrélé (apparition de tourbillons) ce qui
donne l’apparence d’un front de décompaction instable et fluctuant. A l’opposé les particules
avec un grand St sont assez insensibles aux perturbations de l’écoulement autour d’elle et donc
se comporte de manière individuelle : elle chutent couches par couches sans trop interagir entre
elles et avec le reste de celles en amont du choc.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
5 Conclusion et perspective
Les chocs de porosité ont été imaginé par Wallis (1962) comme un moyen simple de tester la
rhéologie des écoulements à phase dispersée tels les suspensiosn fluidisées. La mesure de leur
vitesse de décompaction est un paramètre clé qui contient de nombreuses informations sur la
rhéologie de la phase particulaire. Dans ce but, le présent travail a permis tout d’abord de four-
nir de nouvelles mesures expérimentales permettant de renfocer une litérature peu abondante.
Ensuite, nous avons également pu mettre en évidence deux régimes de décompaction différents
caractérisés chacun par des vitesses de décompaction qui correspondent aux cas asymptotiques
des ondes cinématiques et dynamiques. Une analyse dimensionelle a permis de définir trois
nombres sans dimensions qui caractérisent et différencient qualitativement ces deux régimes.
Cependant, cela n’explique pas l’existence d’une transition comportementale brusque pour une
Reynolds critique particulier. On s’attendrait plutôt à une transition graduelle d’un régime à
l’autre (à St croissant par exemple) mais les expériences montre une dichotomie franche. Des
expériences sont en cours pour éclaircir l’effet du confinement sur la stabilité des chocs.
Références
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nics International 11 (7), 36–42.
BATCHELOR, G. K. 1988 A new theory of the instability of a uniform fluidized bed. J. Fluid
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CAMPOS, J. B. L. M. & DE CARAVALHO, J. R. F. G. 1992 Drag force on the particles at the
upstream end of a packed bed andthe stability of the roof of bubbles in fluidised beds. Chem.
Eng. Sci. 47 (15/16), 4057–4062.
COURRECH DU PONT, S., GONDRET, P., PERRIN, B. & RABAUD, M. 2003 Granular Ava-
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CROWE, C., SOMMERFELD, M. & TSUJI, Y. 1998 Multiphase flows with droplets and par-
ticles. CRC Press.
FOSCOLO, P. U. & GIBILARO, L. G. 1984 A fully predictive criterion for the transition bet-
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GIBILARO, L., FELICE, R. D. & FOSCOLO, P. 1989 The experimental determination of one-
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KYNCH, G. J. 1952 A theory of sedimentation. Trans. Faraday Soc. 48, 66–76.
RICHARDSON, J. F. & ZAKI, W. N. 1954 Sedimentation and fluidization : part i. Trans. Inst.
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WALLIS, G. B. 1962 One-dimensional waves in two-component flow (with particular referen-
ceto the stability of fluidized beds). UKAEA Report AEEW-R162 .
WEN, C. Y. & YU, Y. H. 1966 A generalised method for predicting minimum fluidization
velocity. AIChe Journal 12, 610.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
decompaction
shock
permeable grid φ
rlp
particle
stacking
shock tail
fluid injection
φ
FIG. 1 – Schéma de principe de l’expérience
proposée par Wallis (1962). φrlp est la porosité
de l’empilement aléatoire lâche (random loose
packing), elle est égale à la compacité au seuil
de fluidisation φmf .
 
DSA 5
4
3
2 
6
8
1 9
7
10
FIG. 2 – Schéma du dispositif expérimental.
 
t=0 
t=t’ 
g 
t=0
t=t’ 
t=t’’ 
1D 3D 
upper fluid 
distributor 
packed bed
FIG. 3 – Schématisation des deux différents
modes de décompaction.
Experimental decompaction velocity (m/s)
0.040 0.080 0.120 0.160 0.200 0.240
c d
,1
  (
m
/s
) -
 S
P
M
0.040
0.080
0.120
0.160
0.200
0.240
FIG. 4 – cd,1 (Single Phase Model - SPM) versus
cd. Les lignes en pointillés correspondent à un
intervallle de confiance de ± 20%.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Experimental decompaction velocity (m/s)
K
in
e
m
a
ti
c
 w
a
ve
 v
e
lo
c
it
y
 (
m
/s
)
FIG. 5 – ck versus cd.
0.1 0.3 1 3 10
6x10-3
8x10-3
10-2
1.2x10-2
1.4x10-2
1.6x10-2
Stokes number (-)
D
e
n
s
it
y 
ra
ti
o
 (
-)
FIG. 6 – Localisation de nos expériences dans
le plan (St,r). La ligne grise correspond au Rey-
nolds critique Rec ' 84.
6


Propagation et instabilité des chocs de porosité dans les suspensions liquide-solide

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