Le but du présent travail est d'étudier, sur la base d'un modèle numérique Euler-Lagrange, la manière dont la dynamique d'un lit fluidisé gaz-solide peut être modifiée en fonction de son degré de couplage acoustique avec le système d'injection. Dans cette étude, les conditions d'entrée (pression et vitesse du fluide au bas du lit) prennent en compte les effets résistifs créés par le distributeur et capacitifs provenant du système de ventilation (plenum). Ce travail se concentre principalement sur la transition entre le régime à bulles multiples et le régime à bulle unique qui se produit pour des conditions d'injection différentes

BONNIOL, Florian

OCCELLI, René

SIERRA, Christophe

TADRIST, Lounès

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Etude numérique du couplage acoustique d’un lit fluidisé avec ses conditions 
aux limites 
Florian Bonniol, Christophe Sierra, René Occelli, Lounes Tadrist
Laboratoire de l’IUSTI
Polytech’Marseille-DME
5, rue Enrico Fermi
13453 Marseille cedex 13
florian.bonniol@polytech.univ-mrs.fr
Résumé :
Le  but  du  présent  travail  est  d’étudier,  sur  la  base  d’un  modèle  numérique  Euler-Lagrange,  la 
manière dont la dynamique d’un lit fluidisé gaz-solide peut être modifiée en fonction de son degré de 
couplage acoustique avec le système d’injection. Dans cette étude, les conditions d'entrée (pression et 
vitesse du fluide au bas du lit) prennent en compte les effets résistifs créés par le distributeur et capacitifs 
provenant du système de ventilation (plenum). Ce travail se concentre principalement sur la transition 
entre le régime à bulles multiples et le régime à bulle unique qui se produit pour des conditions d'injection 
différentes.
Abstract :
The aim of this paper is to understand the complex spatio-temporal patterning of the dense bed when the 
inlet conditions can be modified by the bed itself. In this study, the inlet conditions (fluid pressure and 
velocity upstream the bed) take into account resistive effects from the distributor and capacitive ones  
from the air-supply system (plenum). The present work addresses particularly the issue of the transition  
between multiple and single bubble regimes that occurs for some particular inlet conditions.
Mots-clefs : 
Fluidisation ; simulations numériques ; couplage acoustique
1 Introduction
La plupart des lits fluidisés industriels sont caractérisés par une faible perte de charge au 
niveau du distributeur afin de réduire le coût des installations. Dans ce cas, les fluctuations de 
pression générées par le mouvement des particules sont transmises au système d’injection ce qui 
peut, sous certaines conditions, modifier la dynamique du lit. Quelques études expérimentales 
ont mis en évidence différents types de comportement du lit, mais le phénomène reste très peu 
étudié sur le plan numérique. En effet, la majorité des simulations prennent en compte un débit 
de fluide constant à l’entrée du lit, ce qui n’est pas pertinent quand le lit possède la capacité de 
rétroagir  sur  ses  conditions  d’entrée.  C'est  ce  qui  a  déjà  été  observé  dans  les  travaux  de 
Johnsson et al. (1996) où la perte de charge du distributeur modifie la dynamique du lit et aussi 
dans ceux de Kage et al. (1991), Borodulya et al. (1985), Baird et Klein (1973) où le volume de 
tranquillisation en amont du lit (plenum) apparaît comme un paramètre important. La variation 
de ces deux paramètres induit deux types de comportement décrit dans Johnsson et al. (1996) : 
le régime à bulle unique et le régime à bulles multiples. Quand la perte de charge du distributeur 
est assez faible et quand le volume  du plenum est adapté, le lit suit un régime à « bulle unique » 
1
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
caractérisé par l’éclosion d’une unique et large bulle à fréquence très précise. Dans ce cas, les 
fluctuations  de  pression  sont  directement  transmises  au  plenum  sans  atténuation :  c’est  le 
« régime couplé ». A l’opposé, pour de fortes pertes de charge au niveau du distributeur, le lit 
est dans le régime à « bulles multiples », caractérisé par un spectre de fluctuation de pression 
« large bande »  et l’absence d’interaction avec le plenum (« régime découplé »). Pour décrire 
ces  phénomènes,  les  simulations  numériques  peuvent  jouer  un  rôle  important.  L’approche 
eulérienne pour décrire à la fois les particules et la phase gazeuse est la plus utilisée (Peirano et  
al. (2002), Sasic et al. (2006)) mais avec l’augmentation des capacités de calcul, les simulations 
Euler-Lagrange (Helland et al. (2000), Hoomans et al. (1998)) sont très intéressantes du fait de 
leur capacité à décrire les phénomènes à l’échelle de la particule.
2 Modèle numérique
Cette partie est basée sur le travail d’Helland et al. (2000). Dans les simulations, on met en 
place  l’approche Euler-Lagrange en  résolvant les équations de Navier-Stokes pour la phase 
gazeuse  (discrétisation  aux  volume  finis  avec  un  algorithme  SIMPLE),  et  l’équation  du 
mouvement de Newton pour les particules. Pour la phase gazeuse, les équations de conservation 
de la masse et de quantité de mouvement sont :
0)(
)(
=⋅∇+
∂
∂
u
t g
g ε ρε ρ
∑
=
−+⋅∇+⋅∇−=⋅∇+∂
∂ )(
1
,)()()(
)( VN
i
idraggggg
g
p
fgIpuut
u 
ε ρτεµεε ρε ρ
Pour la phase solide, pour chaque particule, on résout l’équation du mouvement :
idragi
i
i Fgmdt
vdm ,


+=   , :dragF

 force de traînée (N),  :dragf

 force de traînée volumique (N/m3).
Le premier terme est dû à la gravité et le second aux forces de frottement entre les particules 
et le gaz. La force induite par le gradient de pression, la force d’Archimède ainsi que les forces 
instationnaires, ont été négligées du fait du ratio important entre la densité des particules et celle 
du gaz.  La force de lift de Magnus et celle de Saffman ont aussi été négligées car les particules 
ont un faible diamètre. La force de traînée est donnée par : 
)()(
8
22 εερpi fvuvudCf iigpddrag

−−=
Le coefficient de frottement Cd pour une sphère seule est donné par Schiller et Naumann 
(1954) :
f(ε) est une fonction dépendant de la porosité prenant en compte la présence des autres 
particules sur la force de traîné (Helland  et al. (2000)). Le model collisionnel utilisé dans les 
simulations est celui proposé par Walton(1988) (« hard sphere model »).
Conditions limites d’entrée du fluide :
L’interaction entre le lit et ses conditions aux limites, expliquée dans Sierra et al. (2000), est 
caractérisée par une relation de couplage, dans laquelle chaque élément (plenum et distributeur) 
agit de manière différente.  Le distributeur est une singularité qui crée une perte de charge (
dP∆ ) ; son effet est caractérisé par un coefficient de dissipation dξ  qui dépend de la géométrie 
du distributeur et du nombre de Reynolds : 2)2/1( ddgd uP ξρ=∆ . Le plenum est une simple cavité, 
utilisée pour permettre une injection uniforme du fluide dans le lit, qui réagit comme un volume 
2
1000Re,
Re
)Re15.01(24 687.0
<
+
= p
p
p
dC
1000Re,44.0 ≥= pdC
( pN  : nombre de 
particules)
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
compressible  en  réponse aux  variations  de  pression  au  bas  du  lit.  Dans  ce  modèle  chaque 
paramètre (pression au bas du lit, dans le plenum et vitesse d’injection du fluide) est séparé en 
une partie stationnaire et une partie fluctuante. 
)(~)( ,,, tpptp bpbpbp +=
)(~)( tuutu ddd +=
En  appliquant  la  continuité  du  champ  de  pression  le  long  du  système  ainsi  que  la 
conservation de la masse sur le fluide, le couplage de la pression entre le lit et le plenum est 
alors donné par une équation différentielle du 1er ordre :
b
ddg
p
p
ddg
pp p
u
C
p
u
C
dt
pd ~~
~
ξρξρ =+  avec Ω
Σ
=
p
p
p
C
γ  , γ: coefficient adiabatique (1.4 pour l’air)
Ω  : volume du plenum (m3), Σ  : section droite de la colonne (m2).
Cette équation nous montre comment le plenum réagit (via le distributeur) à une variation 
de pression imposée au lit : )(~ tpb . Cette forme est équivalente à un filtre passe-bas avec comme 
fréquence  de  coupure :  ddgpc uC ξρω /= .  L’équation  précédente  écrite  pour  la  vitesse 
d’injection du fluide devient : 
  dt
pd
u
u
dt
ud b
ddg
dc
d
~1~~
ξρω
−
=+
C’est cette relation que nous utilisons dans notre résolution pour déterminer les conditions 
limites d’injection du fluide. En étudiant cette équation on voit que lorsque Ω → 0, ωc → ∞ et 
comme  dtpd b /~ est fini alors  du~ → 0 : la vitesse du  fluide est imposée. Et pour  Ω grand  ωc 
diminue : le plenum ne peut plus suivre la dynamique que le lit essaye de lui imposer à cause de 
sa fréquence naturelle. Entre ces deux situations, il y a une zone où les conditions limites on une 
très grande influence sur la dynamique du lit : il existe un volume du plenum pour lequel le 
couplage est maximal (Baird et Klein (1973)).
Données de la simulation : 
Pour la programmation les paramètres sont résumés dans le tableau 1 :
Vitesse superficielle d’injection du 
gaz
0.2 m/s
Diamètre des particules 300 µm
Densité des particules 3000 kg/m3
Viscosité du fluide 1.8x10-5 kg/m/s
Densité du gaz 1.2 kg/m3
Vitesse minimale de fluidisation 0.1 m/s
Pas de temps (fluide) 10-5 s
Nombre de particules 200
Colonne hauteur x largeur 0.03x0.003 m
Nombre de cellule de calcul (gaz) 16x45
Tableau 1: Données des simulations
Les simulations sont effectuées dans le cas couplé avec ξd = 350 et 2.0/ =ΩΣ . Pour le cas 
découplé la vitesse d’injection est imposée au bas du lit.
Conditions initiales et conditions limites :
- Simulations 2D.
- Chaque simulation commence avec les particules aléatoirement disposées dans le domaine de 
calcul avec une vitesse de glissement nulle.
- Des conditions de symétrie sont utilisées sur les faces latérales pour le fluide et les particules.
- L’injection d’air est modélisée comme un écoulement 1D uniforme.
- La sortie est localisée en haut de la colonne avec une condition aux limites ouverte pour le gaz.
3
  
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
3 Résultats et discussion
La figure  1 montre  que,  dans  le  cas  couplé,  le  lit  est  au début  dans  une configuration 
compacte ;  une  bulle  apparaît  ensuite,  remonte  le  lit  jusqu’à  ce  que  celui-ci  retrouve  sa 
configuration compacte ; un nouveau cycle commence alors. D’autre part, dans le cas découplé, 
le lit n’atteint jamais un état aussi compact et de multiples bulles sont présentes dans le lit au 
même moment.
(a)                                                             (b)
FIG 1 –  Séquence d’images de la position des particules dans la colonne dans le cas couplé (a) 
et découplé (b)
3.1 Analyse dans le domaine temporel et fréquentielle
Les signaux de vitesse et de pression au bas du lit peuvent être utilisés pour caractériser le 
régime de fluidisation. Dans les simulations, on impose la pression en sortie du lit (pression 
atmosphérique) et on calcule la pression au bas du lit. Les résultats des simulations numériques 
sont évalués sur une période de 8s. Le signal de pression avec et sans couplage est présenté dans 
la figure 2. Les spectres correspondant sont sur la figure 3.
4 4,5 5 5,5 6
0
20
40
60
80
100
120
140
160
t(s)
In
st
an
ta
ne
ou
s 
be
d 
pr
es
su
re
 d
ro
p 
(P
a)
4 4,5 5 5,5 6
0
20
40
60
80
100
120
140
t(s)
In
st
an
ta
ne
ou
s 
be
d 
pr
es
su
re
 d
ro
p 
(P
a)
(a) (b)
FIG 2 –  Fluctuations de la perte de charge instantanée du lit dans le cas couplé (a) et le cas 
découplé (b)
0 10 20 30 40 50 60 70
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
f (Hz)
A
f = 12Hz
0 10 20 30 40 50 60 70
0
1
2
3
4
5
6
7
f (Hz)
A
f = 7,5 Hz
(a) (b)
FIG 3 –  Transformée de Fourier rapide (FFT) du signal de pression dans le cas couplé (a) et 
le cas découplé (b)
4
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Dans le cas découplé (forte perte de charge du distributeur), on a la génération de petites 
bulles distribuées dans le lit et la FFT montre que le signal est caractérisé par un spectre large 
bande autour de la fréquence principale du lit  (la  fréquence dominante avec la plus grande 
amplitude est autour de 12 Hz, elle est proche de la fréquence théorique donnée par Baskakov 
(2000) : pi/)/( 2/1cpb hgf = = 12.8 Hz, hcp: hauteur du lit compacte). Ce régime est similaire aux 
observations faites par Svensson et al. (1996) Dans le cas couplé (faible perte de charge, volume 
résonnant adéquat pour le plenum) la fréquence principale est plus faible (7.5 Hz), l’amplitude 
des fluctuations est plus grande et la largeur du spectre diminue ; le lit génère de larges bulles 
qui apparaissent très régulièrement : c’est le régime à bulle unique. La fréquence d’éruption des 
bulle n’est plus uniquement contrôlée par la dynamique intrinsèque du lit : le lit interagit avec le 
distributeur ainsi qu’avec le plenum et modifie par conséquent son comportement caractérisé 
par un plus faible fréquence. Cette fréquence s’accorde assez bien avec le modèle masse-ressort 
de  Davidson (1968)  donné  par :  piργ 2/)/( 2/1ΩΦΣ= cpcpspd hpf = 8.1  Hz.  Le  même type  de 
résultats a été trouvé dans les expériences de Svensson  et al. (1996) et  Kage  et al. (1991). 
L’amplitude du signal de pression augmente également. Du fait de l’interaction entre le lit et le 
plenum il y a une modification de la vitesse d’injection du fluide qui n’est plus constante (à 
0.2m/s dans notre cas) : le lit contrôle l’écoulement du fluide et induit de telles variations du 
débit volumique que la vitesse du fluide peut descendre au minimum de fluidisation durant un 
cycle d’oscillation (cf. figure 4).
4 4,5 5 5,5 6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
t(s)
In
le
t v
el
oc
ity
 o
f t
he
 fl
ow
 (m
/s
)
FIG 4 –  Variations de la vitesse d’injection du fluide au bas du lit dans le cas couplé et 
découplé
3.2 Analyse spatiale
Pour mieux illustrer la rétroaction mutuelle  entre l’écoulement du fluide et la dynamique 
des grains, la figure 5 montre la variation de la hauteur du lit dans le cas couplé et découplé. 
Comme  on  l’attendait,  dans  le  cas  couplé  le  déplacement  de  la  surface  libre  montre  une 
dynamique plus régulière et de plus grande amplitude.
4 4,5 5 5,5 6
0
5
10
15
20
25
t(s)
ha
ut
eu
r d
u 
lit
 (x
10
-3
m
)
           
4 4,5 5 5,5 6
0
5
10
15
20
25
t(s)
ha
ut
eu
r d
u 
lit
 (x
10
3 m
)
(a)                                                          (b)
FIG 5 –  Variation de la hauteur du lit dans le cas couplé (a) et dans le cas découplé (b)
5
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
En parallèle avec  la figure 4 on observe que les minima de la vitesse d’injection du fluide 
sont en phase avec les hauteurs de lit. La chute de la vitesse d’injection en dessous de la vitesse 
de fluidisation induit un processus de recompaction qui provoque la violente éruption d’une 
bulle projetant fortement les particules vers le haut, jusqu’à (dans notre cas) deux fois la hauteur 
statique du lit. Pour le cas découplé les variations de la hauteur du lit sont moins prononcées du 
fait de l’éruption irrégulière de plus petites bulles. Il est à noter que l’un des points faibles de 
ces  simulations  provient  de  la  taille  des  systèmes.  Le  confinement  assez  prononcé  des 
simulations gêne une comparaison plus détaillée des deux régimes.
4 Conclusions
L’influence des conditions d’entrée du fluide a été étudiée à l’aide d’une relation qui prend 
en compte les effets du distributeur et du plenum. Les simulations numériques Euler-Lagrange 
ont été capables de reproduire les comportements expérimentaux à la fois d’un point de vue 
qualitatif et quantitatif (pour la dynamique temporelle). Nous avons été capables d’identifier les 
régimes à bulles  multiples  et  à  bulle  unique avec leurs  propres caractéristiques  spatiales  et 
temporelles. En prolongement à ce travail, nous prévoyons d’utiliser cette approche numérique 
sur de plus grandes simulations dans le but d’améliorer notre analyse des phénomènes d’un 
point de vue local et global. D’autres travaux sont aussi en préparation pour prendre en compte 
les effets spatiaux du distributeur pour un fluide ayant un profil d’entrée non uniforme.
Références
Baird,  M.  H.  I.  &  Klein,  A.  J.  Spontaneous  oscillation  of  a  gas-fluidised  bed,  Chemical  
Engineering Science, 28 (1973) 1039.
Baskakov,  A.  P.,  Tuponokov,  V.G.  & Fillippovsky,  N.  F.  A study of  pressure  of  pressure 
fluctuation in a bubbling fluidized bed, Powder Technology, 45 (1986) 113.
Borodulya,  V.  A.,  Zav’yalov,  V.  V.  &  Buyevich,  Y.  A.  Fluidized  bed  self-oscillations, 
Chemical Engineering Science, 40 (1985) 353.
Davidson, J. F. Inst. Chem. Eng. Symp. Sr., 30 (1968) 3.
Helland, E., Occelli, R. & Tadrist, L. Numerical study of cluster formation in a gas-particle 
circulating fluidized bed, Powder Technology, 110 (2000) 210
Hoomans, B. P. B. , Kuipers, J. A. M.  & Van Swaaij, W. P. M. Granular dynamics simulation 
of cluster formation in dense riser flow, 3rd Int. Conf. on Multiphase Flow, (1998).
Kage,  H.,  Iwasaki,  N.,  Yamaguchi,  H.  &  Matsuno,  H.  Frequency  analysis  of  pressure 
fluctuation in fluidized bed plenum, Journal of Chem. Engineering of Japan 24, 1 (1991) 76.
Peirano, E., Delloume, V., Johnsson, F., Leckner, B. & Simonin, O.  Numerical simulation of 
the fluid dynamics of a freely bubbling fluidized bed: influence of the air supply system, 
Powder Technology, 122 (2002) 69.
Sasic,  S.,  Johnsson,  F.  & Leckner,  B.  Inlet  boundary conditions for  the simulation of fluid 
dynamics ingas-solid fluidized beds, Chemical Engineering Science, 61 (2006) 5183.
Schiller, L.  & Naumann, A. Z. A drag coefficient correlation, Ver. Deut. Ing., 32 (1954) 35.
Sierra, C.  & Tadrist, L. About frequency coupling between riser and plenum in a gas fluidized 
bed, Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Series IIB Mechanics Physics Astronomy,  
328 (2000) 323.
Svensson, A., Johnsson, F. and Leckner, B. Fluidization regimes in non slugging fluidized beds: 
the influence of pressure drop across the air distributor, Powder Technology, 86 (1996) 299.
Walton, O. R. Quarterly report Jan-Mar 1988, Lawrence Livermore National Laboratory.
6


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