Dans le cadre de la surveillance vibratoire des roues aubagées de turbines, l'analyse par mesure optique des temps de passage des aubes permet d'étudier les modes vibratoires d'une roue aubagée en fonctionnement. A partir d'un jeu de capteurs disposés sur le carter en regard de l'aubage, on peut en déduire l'amplitude vibratoire de chaque pale au passage devant le capteur. La principale difficulté d'un tel signal est qu'il est fortement sous-échantillonné et replié. On se propose dans cette étude d'appliquer des méthodes de la théorie de l'échantillonnage non-uniforme pour des structures à support fréquentiel multi-bande afin de diminuer les effets du repliement

BERTHILLIER, Marc

LARDIES, Joseph

STEPHAN, Cyrille

TALON, Arnaud

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceDans le cadre de la surveillance vibratoire des roues aubagées de turbines, l'analyse par mesure optique des temps de passage des aubes permet d'étudier les modes vibratoires d'une roue aubagée en fonctionnement. A partir d'un jeu de capteurs disposés sur le carter en regard de l'aubage, on peut en déduire l'amplitude vibratoire de chaque pale au passage devant le capteur. La principale difficulté d'un tel signal est qu'il est fortement sous-échantillonné et replié. On se propose dans cette étude d'appliquer des méthodes de la théorie de l'échantillonnage non-uniforme pour des structures à support fréquentiel multi-bande afin de diminuer les effets du repliement

Stephan, Cyrille

Berthillier, Marc

Lardies, Joseph

Talon, Arnaud

HAL Descartes

Comportement vibratoire des pièces tournantes à l'aide de données sous-échantillonnées

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceThe technology named Tip-Timing enables to monitor the vibratory modes of bladed disks. A set of optical sensors is mounted on an engine casing in front of a disk and measures the times of arrival of every blade. These timings are then used to calculate the vibratory motions. Nevertheless, the obtained signals are undersampled and aliased. In this study, we will apply a spectral estimation which is designed to process this kind of dataDans le cadre de la surveillance vibratoire des roues aubagées de turbines, l'analyse par mesure optique des temps de passage des aubes permet d'étudier les modes vibratoires d'une roue aubagée en fonctionnement. A partir d'un jeu de capteurs disposés sur le carter en regard de l'aubage, on peut en déduire l'amplitude vibratoire de chaque pale au passage devant le capteur. La principale difficulté d'un tel signal est qu'il est fortement sous-échantillonné et replié. On se propose dans cette étude d'appliquer des méthodes de la théorie de l'échantillonnage non-uniforme pour des structures à support fréquentiel multi-bande afin de diminuer les effets du repliement

HAL - Université de Franche-Comté

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Comportement vibratoire des pièces tournantes à l’aide de données
sous-échantillonnées
Cyrille Stéphan∗, Marc Berthillier∗, Joseph Lardiès∗ & Arnaud Talon∗∗
∗ Institut FEMTO-ST
Département de Mécanique Appliquée
24 chemin de l’Epitaphe, 25000 BESANCON, FRANCE
cstephan@univ-fcomte.fr
∗∗Turboméca
64511 BORDES CEDEX, FRANCE
Résumé :
Dans le cadre de la surveillance vibratoire des roues aubagées de turbines, l’analyse par mesure optique des temps
de passage des aubes permet d’étudier les modes vibratoires d’une roue aubagée en fonctionnement. A partir d’un
jeu de capteurs disposés sur le carter en regard de l’aubage, on peut en déduire l’amplitude vibratoire de chaque
pale au passage devant le capteur. La principale difficulté d’un tel signal est qu’il est fortement sous-échantillonné
et replié. On se propose dans cette étude d’appliquer des méthodes de la théorie de l’échantillonnage non-uniforme
pour des structures à support fréquentiel multi-bande afin de diminuer les effets du repliement.
Abstract :
The technology named Tip-Timing enables to monitor the vibratory modes of bladed disks. A set of optical sensors
is mounted on an engine casing in front of a disk and measures the times of arrival of every blade. These timings
are then used to calculate the vibratory motions. Nevertheless, the obtained signals are undersampled and aliased.
In this study, we will apply a spectral estimation which is designed to process this kind of data.
Mots-clefs :
Surveillance vibratoire ; Tip-timing ; Sous-échantillonnage
1 Introduction
La technique de mesure du niveau vibratoire de roues aubagées appelée tip-timing est déve-
loppée depuis 1967. Elle consiste à placer des capteurs autour d’un rotor, en face des aubes, afin
de mesurer leurs temps de passages. A partir des temps de passage des aubes et de la vitesse de
rotation, il est possible d’en déduire le déplacement vibratoire de chaque aube.
Chaque capteur collecte une information par tour et par aube, ce qui est faible par rapport
à la largeur de bande d’une roue aubagée. Même en multipliant le nombre de capteurs, il est
difficile voire impossible d’atteindre la fréquence minimale d’échantillonnage requise par le
théorème de Nyquist. Le repliement spectral est alors nécessairement utilisé pour l’exploitation
des mesures. De part leurs natures, l’analyse des données tip-timing ne peut pas être effectuée
par des outils de résolution classique. Plusieurs approches ont été développées pour identifier les
caractéristiques des aubes et des excitations. Les plus abouties permettent de surveiller quelques
modes (Garrido et al. (2004), Schlagwein et al. (2006), Zielinski et al. (2000)), mais sont
souvent basées sur des modèles mécaniques restreignants.
Le but de cette communication est de présenter une méthode permettant de résoudre le
problème du sous-échantillonnage sans information a priori sur les réponses des aubages. Dans
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
cette optique, un simulateur de roue aubagée a été réalisé. Il permet de générer des signaux tem-
porels des vibrations en bout d’aube à partir de paramètres connus. Puis ces signaux sont sous-
échantillonnés afin de les rendre représentatifs de ceux obtenus par la technologie tip-timing.
La méthode d’analyse spectrale que nous proposons sera alors présentée et nous évaluerons ses
performances sur des effets de repliement.
2 Le simulateur
La première fonction du simulateur est de calculer les instants de passage d’aubes devant des
capteurs répartis sur le carter moteur autour du rotor. De plus, il se doit de représenter les com-
portements mécaniques spécifiques aux roues aubagées. Il sert de référence pour l’évaluation
des méthodes de traitement des données.
2.1 Le modèle cyclique
La symétrie cyclique d’une roue aubagée permet de discrétiser celle-ci en secteurs répétitifs.
Chaque secteur est constitué d’une aube et de la portion de disque qui lui correspond. Dans notre
cas, une aube est modélisée par deux degrés de liberté, ce qui lui permet d’avoir un mode de
flexion et un mode de torsion (voir la figure 1). La portion de disque est modélisée par un degré
de liberté. Les amortisseurs ne sont pas représentés sur la figure par souci de simplification.
Le vecteur déplacement de l’ensemble des aubages s’écrit x(t) = [x1(t) . . . xN(t)]
T avec N le
FIG. 1 – Modèle d’un secteur
nombre de secteurs et xi(t) le vecteur déplacement de l’aubage i .
La méthode de Lagrange permet d’obtenir les équations matricielles suivantes
Mx¨(t) + (C + Caero(Ω, x))x˙(t) +K(Ω)x(t) = F (t) (1)
avec M : matrice de masse, C : matrice d’amortissement, Caero : matrice d’aéroélasticité, K :
matrice de raideur, F(t) : force excitatrice et Ω : pulsation de rotation. Les équations obtenues
sont résolues afin d’obtenir les réponses temporelles de tous les secteurs.
Lors de l’usinage d’une roue aubagée, des erreurs de fabrication sont inévitables. La symé-
trie de la roue n’est donc pas parfaite. Ce phénomène s’appelle le désaccordage. Les fréquences
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
propres des aubes et les amplitudes vibratoires diffèrent toutes sensiblement. Des variations
sont introduites sur les raideurs kb et kc pour modéliser ce désaccordage.
Le couplage fluide-structure est représenté par une matrice d’aéroélasticité proportionnelle
à la vitesse. Les couplages en masse et en raideur ont été négligés. Dans certains cas, le système
devient instable : c’est le phénomène de flottement. Certains amortissements de modes peuvent
devenir négatifs. L’onde vibratoire croît alors exponentiellement.
En pratique, l’instabilité exponentielle est rarement observée à cause de phénomènes non
linéaires que l’on a modélisé ici par des coefficients de couplage aéroélastique dépendant de
l’amplitude :
caeroi = atan(100
y − ymax
ymax
)caerovali
2
pi
(2)
avec y l’amplitude en bout de d’aube, ymax une amplitude maximale en bout d’aube que l’on
se fixe et caeroval une valeur de coefficient qui permet d’avoir du flottement. En début de
simulation, le coefficient caeroi est négatif. Il y a alors du flottement. Lorsque le déplacement
en bout d’aube devient trop important, la fonction arctangente permet un brusque changement
de signe, ce qui permet au système de redevenir stable.
2.2 Le modèle d’excitation
Le flux passe par un nombre d’obstables Nob en amont, ce qui va lui donner une forme
spatiale en sillages. Vu par l’aube en rotation, cette hétérogénéité se traduit par une excitation
harmonique
F (t) =
n+1∑
k=1
Akcos(2pikNobFr ∗ t) +Bksin(2pikNobFr ∗ t) (3)
avec n le nombre d’harmoniques et Fr la fréquence de rotation. Dans notre cas, les Bk seront
nuls.
Les sillages sont repésentés par des ondes propagatives dans le référentiel tournant de la
roue aubagée. Dans le simulateur, la fondamentale et les deux premiers harmoniques de la force
sont retenus.
3 Méthode d’analyse spectrale
A partir des temps de passage des aubes devant les capteurs, il est possible de calculer les
déplacements vibratoires des aubes au cours du temps. Malheureusement, les signaux obtenus
sont fortement sous-échantillonnés. Une technique permettant de passer outre cet inconvénient
a été décrite par Greitans (2001).
Cette méthode est basée sur l’échantillonnage non uniforme, le filtrage par minimum de la
variance et un algorithme itératif de la matrice d’autocorrélation. L’idée de base est de mini-
miser la variance du signal de sortie d’un filtre à bande étroite. La réponse fréquentielle de ce
filtre s’adapte aux composantes spectrales du signal d’entrée pour chaque fréquence étudiée. La
variance du processus de sortie est déterminée par
ρ = aHRa, (4)
a étant le vecteur des coefficients du filtre, le symbole H symbolisant le transposé conjugué
et R la matrice d’autocorrélation du signal. Les coefficients doivent vérifier que sur chaque
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
fréquence f0 le gain du filtre doit être unitaire, soit
eH(f0)a = 1 (5)
avec ei(f0) = ej2pif0ti . Cette condition montre qu’une sinusoïde à la fréquence f0 traverse le
filtre sans distorsion. Les coefficients du filtre sont obtenus par (Marple (1987)) :
a(f0) =
R−1e(f0)
eH(f0)R−1e(f0)
. (6)
La sortie s du filtre est alors s(f0) = xa(f0), x étant le signal. Elle peut être alors interprétée
comme étant la composante spectrale complexe de x. On peut alors calculer la densité spectrale
de puissance par p(f0) = s(f0)s∗(f0), l’étoile ∗ désignant le complexe conjugué.
Conformément à l’équation 6, les coefficients du filtre dépendent de la matrice d’autocorré-
lation du signal. Il nous faut alors estimer cette matrice. Pour y parvenir, l’approche tradition-
nelle est basée sur des moyennes de produits mutuels des échantillons. Dans le cas général où
les capteurs ne sont pas équirépartis autour du rotor, les intervalles de temps d’échantillonnage
ne sont pas réguliers, ce qui rend cette approche inapplicable.
Greitans propose de se baser sur le théorème de Wiener-Khintchin qui lie les fonctions
d’autocorrélation et de densité spectrale de puissance d’un signal
R(τ) =
∫ ∞
−∞
P (f)ej2pifτdf. (7)
Le moyen le plus simple pour obtenir une première approximation de la densité spectrale de
puissance P (f) à partir des échantillons non-uniformes est d’utiliser une transformée de Fourier
discrète irrégulière :
P (f) =
1
N
∣∣∣∣∣
N∑
k=1
xke
−j2piftk
∣∣∣∣∣
2
, (8)
N étant le nombre d’échantillons considéré.
Les valeurs de la matrice d’autocorrélation obtenue alors sont faussées par des artefacts. Un
algorithme itératif permet d’améliorer les résultats obtenus (Greitans (2001)).
Cette méthode d’analyse spectrale atténue en grande partie les artefacts dûs aux repliements.
Toutefois, les modes faiblement excités peuvent avoir des niveaux vibratoires qui apparaîtront
de même amplitude que ceux des artefacts, ce qui peut limiter les capacités de la méthode.
4 Validation
4.1 Cas test
La structure considérée est une roue aubagée à 25 aubes désaccordée. 100 rotations de la
structure ont été simulées, pour une fréquence de rotation de 332 Hz, soit une durée de 0.3 s.
La force d’excitation principale est un ordre moteur 3, auquel il faut rajouter ses deux harmo-
niques 6 et 9. Ces excitations sont des multiples de la fréquence de rotation. Les fréquences
correspondantes sont donc 996 Hz, 1992 Hz et 2988 Hz.
Les coefficients d’aéroélasticité sont choisis afin d’observer du flottement sur la famille de
modes de flexion autour de 1390 Hz. La figure 2 montre la réponse théorique obtenue pour une
aube et le spectre obtenu par périodogramme. La fréquence d’échantillonnage simulée est de
9000 Hz. La résolution fréquentielle est de 3,33 Hz.
On peut aussi observer la réponse faible vers 3600 Hz de la famille de modes de torsion.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 2 – Réponse temporelle et spectre théorique d’une aube
4.2 Analyse des données tip-timing
A partir des mesures des temps de passage des aubes devant les capteurs et des temps de
passage théoriques, il est possible de calculer les écarts temporels dûs aux vibrations des aubes.
Le déplacement vibratoire d’une aube au tour k sera alors donné par xk = 2piRFr∆tk, ∆tk
étant l’écart temporel, R le rayon du rotor et Fr la fréquence de rotation.
Pour simuler l’échantillonnage propre à cette technologie, sept capteurs sont répartis au
hasard autour du rotor, sans à priori sur l’ordre moteur escompté. Chaque capteur a donc une
fréquence d’échantillonnage égale à la fréquence de rotation du rotor, soit 332 Hz.
Une transformée de Fourier discrète est opérée sur le signal afin d’avoir une première ap-
proximation du spectre (figure 3 à gauche).
La présence importante de pics de résonance ne nous permet pas de conclure, certains étant
représentatifs de la réalité, et d’autres étant des repliements spectraux aux amplitudes non né-
gligeables.
Le spectre obtenu par minimisation de la variance sur les données sous-échantillonnées est
indiqué sur la figure 3 à droite. La résolution fréquentielle est donnée par Res = Fr/Ntours,
FIG. 3 – Spectres obtenus par transformée de Fourier discrète irrégulière et par minimisation de la va-
riance
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
avec Fr la fréquence de rotation et Ntours le nombre de tours. Ici Res = 3, 32Hz.
On peut observer que la fréquence principale d’excitation due à l’ordre moteur 3 à 996 Hz
et la première famille de modes à 1394 Hz sont identifiables. La famille de modes de torsion
vers 3600 Hz et les deux harmoniques de l’excitation à 1992 et 2988 Hz sont quant à eux
d’amplitudes faibles et sont difficilement différentiables des artefacts restants.
Il n’est pas possible pour l’instant de comparer les amplitudes obtenues par cette technique
avec les amplitudes théoriques du périodogramme (figure 2) car les deux spectres sont basés
sur des théories de traitement différentes, qui ont chacune leurs propres biais et qui n’ont pas
les mêmes résolutions fréquentielles. Toutefois, les lieux fréquentiels des deux maximums de
chaque spectre sont proches de 0.06 %, ce qui permet d’identifier l’excitation principale et la
famille de modes de flexion à partir des données sous-échantillonnées.
5 Conclusions
Un simulateur de données tip-timing a été présenté. Il permet de prendre en compte des
phénomènes propres à la physique des roues aubagées, telles que les excitations par des sillages
ou le flottement. Une méthode de traitement de ces données a été implémentée et les résultats
explicités. Elle a permis de déterminer la fréquence d’excitation à 996 Hz et la famille de modes
de flexion à 1394 Hz à partir de données sous-échantillonnées. Par contre, il n’est pas possible
de conclure quant aux harmoniques de l’excitation et à la famille de modes de torsion. L’origi-
nalité de cette méthode est qu’elle ne fait d’hypothèses ni sur le comportement vibratoire de la
structure (désaccordage) ni sur la nature des excitations (synchrones et asynchrones).
La suite de ce travail portera sur l’optimisation de la méthode proposée afin de surveiller des
modes à niveau vibratoire faible. D’autres phénomènes pourront être modélisés (recouvrement
de modes, frottement en bout d’aube, excitations particulières). De plus, on s’intéressera à la
possibilité de reconstruction du signal, afin de pouvoir utiliser des techniques propres à l’analyse
modale.
Références
Schlagwein, G., Schaber, U. 2006 Non-contact blade vibration measurement analysis using a multi-
degree-of-freedom model Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part A : Journal of
Power and Energy 220 p.611-618
Garrido, J. G., Dimitriadis, G. 2004 Multiple frequency analysis methods for blade tip-timing data analy-
sis 7th Biennal Conference on Engineering Systems Design and Analysis Manchester, United Kingdom
Zielinski, M., Ziller, G. 2000 Noncontact vibration measurements on compressor rotor blades Measure-
ment Science and Technology 11 p.847-856
Greitans, M. 2001 Multiband signal processing by using nonuniform sampling and iterative updating
of autocorrelation matrix Proceedings of the 2001 International Conference on Sampling Theory and
Application pp. 85-89, Orlando, Florida, USA
Marple, S.M. Jr. 1987 Digital spectral analysis with applications Prentice-Hall
6


https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00330052

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