Le comportement thermo-élasto-viscoplastique endommageable de deux alliages de cuivre, que l'on nommera Cu-I et Cu-II, est identifié à partir d'essais uniaxiaux isothermes de fluage, traction et fatigue oligocyclique sur une plage de vitesses de déformation comprise entre 10-6 et 10-1 s-1 et une plage de température 0.5 T/Tm  0.8, où Tm représente la température de fusion du matériau. Le modèle de viscoplasticité additive utilisé est basé sur le critère de von Mises et une contrainte visqueuse en sinus hyperbolique de la vitesse de déformation plastique cumulée. Quatre variables d'écrouissage non-linéaire sont introduites afin de distinguer les mécanismes d'écrouissage, isotropes ou cinématiques, à cinétique "lente" ou "rapide". Deux variables d'endommagement sont introduites afin de distinguer les mécanismes d'endommagement ductile –sous sollicitation monotone– et de fatigue –sous sollicitation oligocyclique–. La procédure d'identification de ce modèle "hiérarchique" est décrite en détail

BILLARDON, René

PÉTRY, Charles

VINCENT, Sébastien

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Modélisation du comportement et de l’endommagement  
à haute température de deux alliages de cuivre. 
 
Sébastien Vincent, Charles Pétry & René Billardon 
 
LMT-Cachan (ENS de Cachan, CNRS (UMR 8535), Université Paris 6) 
61 Avenue du Président Wilson 
94235 CACHAN Cedex 
Sebastien.Vincent@lmt.ens-cachan.fr 
 
Résumé : 
 
Le comportement thermo-élasto-viscoplastique endommageable de deux alliages de cuivre, que 
l’on nommera Cu-I et Cu-II, est identifié à partir d’essais uniaxiaux isothermes de fluage, traction et 
fatigue oligocyclique sur une plage de vitesses de déformation comprise entre 10-6 et 10-1 s-1 et une plage 
de température 0.5 ≤ T/Tm ≤ 0.8, où Tm représente la température de fusion du matériau. 
Le modèle de viscoplasticité additive utilisé est basé sur le critère de von Mises et une contrainte 
visqueuse en sinus hyperbolique de la vitesse de déformation plastique cumulée. Quatre variables 
d'écrouissage non-linéaire sont introduites afin de distinguer les mécanismes d’écrouissage, isotropes ou 
cinématiques, à cinétique "lente" ou "rapide". Deux variables d'endommagement sont introduites afin de 
distinguer les mécanismes d'endommagement ductile –sous sollicitation monotone– et de fatigue –sous 
sollicitation oligocyclique–.  
La procédure d'identification de ce modèle "hiérarchique" est décrite en détail. 
 
Abstract : 
 
The damageable thermo-elasto-viscoplastic behaviour of two copper alloys, hereafter denoted by 
Cu-I and Cu-II, is identified from isothermal uniaxial creep, tension and low cycle fatigue tests within the 
strain rate range [10-6, 10-1] s-1 and the temperature range 0.5 ≤ T/Tm ≤ 0.8 where Tm denotes the melting 
temperature of the material. 
The additive viscoplasticity model used is based on the von Mises criterion and a viscous stress 
that is proportional to an hyperbolic sine of the cumulated plastic strain. Four non-linear hardening 
variables are introduced in order to distinguish isotropic or kinematic mechanisms with slow or fast 
evolutions. Two damage variables are introduced in order to distinguish ductile and fatigue damage 
mechanisms respectively predominant under monotonous and cyclic loading.  
The identification procedure of this “hierarchical” model is described in details. 
 
Mots-clefs : élasto-viscoplasticité; endommagement; fatigue-fluage 
 
1 Introduction 
 
Les chargements thermomécaniques imposés aux matériaux constitutifs d'une tuyère de 
moteur fusée sont extrêmement complexes. Par ailleurs, différentes évolutions technologiques 
des fusées et de leurs moteurs conduisent régulièrement à des modifications de ces chargements 
et donc à des évolutions des critères de dimensionnement de ces structures. Enfin, la recherche 
permanente de performance de l'ensemble de la fusée implique le développement d'outils 
efficaces de prévision de la durée de vie de tous ses composants, et en particulier l'identification 
de modèles de comportement robustes –sur des domaines de validité de très grandes 
amplitudes–.  
Les matériaux étudiés dans le cadre de cette étude sont deux alliages de cuivre que l’on 
nomme pour les besoins de cette étude Cu-I et Cu-II. Les propriétés thermiques –très haute 
conductibilité– et mécaniques –bonne résistance– de ces deux matériaux ainsi que leur bonne 
stabilité microstructurale en font de bons candidats pour les chambres de combustion.  
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Pour des raisons de confidentialité industrielle les résultats présentés ci-dessous sont 
normés. 
 
2 Un modèle de viscoplasticité endommageable 
 
Ce modèle hiérarchique appartient à la classe des lois d’élasto-viscoplasticité 
endommageable (Lemaitre et Chaboche, 1988). On fait l’hypothèse d’un découplage d’état 
entre écrouissages et élasticité, et d’un découplage d’état entre plasticité et endommagement. On 
se limite ici aux petites déformations. 
Ce modèle comprend deux écrouissages isotropes –avec des cinétiques de type Voce– et 
deux écrouissages cinématiques –avec des cinétiques de type Armstrong et Frederick–. Pour 
chacun des mécanismes –isotrope ou cinématique– il est ainsi possible de distinguer une 
composante qui sature lentement et une autre qui sature rapidement. 
La loi de viscosité additive est en sinus hyperbolique de la déformation plastique cumulée 
à trois paramètres matériau. En outre, l’un de ces paramètres respecte une loi d’évolution de 
type Arrhénius à haute température.  
Les alliages métalliques objet de cette étude, présentent deux modes d’endommagement 
macroscopique : un endommagement "monotone" lié à l’amplitude de la déformation et un 
endommagement "cyclique" lié à l’accumulation de la déformation (Petry (2006)). Deux 
variables d’endommagement sont donc introduites avec des lois d’évolution fortement inspirées 
du formalisme proposé par Lemaitre (1985) pour modéliser l’endommagement ductile. 
Les variables introduites dans ce modèle sont respectivement notées : 
• σ la contrainte, 
• ε, ε
e
, ε
p
 les déformations totale, élastique, et (visco)plastique, 
• X1 et X2 les écrouissages cinématiques, 
• R1 et R2 les écrouissages isotropes, 
• Dc et Dd les endommagements cyclique et ductile, 
• T la température. 
 
Le modèle employé dans le cadre de cette étude est donné ci-dessous sous sa forme 
unidimensionnelle isotherme ; une écriture tridimensionnelle de ce même modèle est explicitée 
dans Petry (2006) : 
Partition des déformations : e pε ε ε= +  
Loi de thermo-élasticité : 
( )
( ) ( )ε =
− −
σ
+ α −e
ref
d c
refT;T
T(1 D )(1 D )E
T T
   
où E(T) et α(T ; Tref) représentent des paramètres matériau. 
Critère de plasticité :  
( )
( )
σ − +
= − + − σ
− −
1 2
p 1 2 y
d c
(T)
3
X X
2f R R(1 D )(1 D )  
où σy(T) représente un paramètre matériau.  
 
(2.1) 
 
 
(2.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2.3) 
Déformation plastique : 
( )
•
•
= σ − +
− −
 ε  ε      
(T )
p0p
1 2
d c
N
3
2(T)
signe X X
f
sinh(1 D )(1 D ) K avec
•
= −
 ε  
 
0
Q
f exp
RT
 
où K(T), N(T), f, Q représentent des paramètres matériau et R la constante de Boltzmann. 
(2.4) 
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Ecrouissages isotropes : 
( ) ( )• •= − ε  
 
T
p
i 0 i i i( T ) (T )
N
(T)
f
sinh a b R
K
R
  avec i=1,2 
où ai (T) et bi(T) représentent des paramètres matériau. 
(2.5) 
Ecrouissages cinématiques : 
•
••
= −ε pi i i i(T ) ( T )
2
C D X p
3
X
     avec 
• •
= εpp
 et i=1,2  
où Ci(T) et Di(T) représentent des paramètres matériau. 
(2.6) 
Endommagement ductile : ( )• •σ= ε − ε
− −
 
 
 
 
d(T )2
p p
d d2 ( T )
d c d(T )
s
D p
2E S (1 D )(1 D ) H  
tant que Dd≤Dd(crit) 
où Sd(T), sd(T), ε
p
d(T )
représentent des paramètres matériau et Dd(crit) un paramètre d’endommagement 
critique.   
(2.7) 
Endommagement cyclique : 
( )
( )
•
•σ
=
− −
 
 
 
 
c T2
c 2
c d cT
s
D p
2ES (1 D )(1 D )   tant que Dc≤Dc(crit) 
 
où Sc(T), sc(T) représentent des paramètres matériau et Dc(crit) un paramètre d’endommagement critique. 
(2.8) 
 
Il est fait l’hypothèse qu’il y a rupture locale lorsque Dd≥Dd(crit) ou Dc≥Dc(crit). 
 
3 Une procédure d’identification 
 
3.1 Domaine de validité et stratégie 
 
La plage de température considérée s’échelonne entre 0.5T/Tm et 0.8 T/Tm où Tm 
représente la température de fusion du matériau. 
Le modèle doit être identifié à partir d’essais uniaxiaux isothermes pour des chargements 
monotones (traction et fluage) et oligocycliques jusqu’à rupture, sur une plage de vitesses de 
déformation pouvant être comprise entre 10-6 et 10-1 s-1. 
 
Pour ce domaine de validation, la stratégie d’identification optimale du comportement est 
la suivante (cf. Petry (2006)) : 
 
La première identification du modèle se fait en plusieurs étapes à chaque température : 
 On détermine les paramètres relatifs à la thermoélasticité : le module d’Young E à partir des 
essais de fatigue oligocyclique et de traction, et le coefficient de dilatation thermique α à 
partir d’un essai de dilatométrie. 
 On détermine un jeu de paramètres de viscosité (K, N, •ε0 ) à partir d’essais de relaxation et 
de fatigue-relaxation.  
 A partir d’essais de fatigue oligocyclique, on associe directement le 
durcissement/adoucissement cyclique rapide à l’évolution de l’écrouissage isotrope R1 puis 
le durcissement/adoucissement cyclique lent à l’évolution de l’écrouissage isotrope R2. 
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 On détermine l’évolution de l’écrouissage cinématique rapide X1 à partir des essais de 
fatigue et de fluage (principalement sur le fluage primaire). On détermine l’évolution de 
l’écrouissage cinématique lent X2 à partir des essais de traction. 
 On détermine la limite d’élasticité σy sur les essais de traction et de fatigue. 
 
Enfin, on itère (généralement deux ou trois fois) afin de déterminer un jeu de paramètres 
optimal pour toutes ces sollicitations et sur toute la plage de température. 
 
La procédure d’identification des endommagements s’effectue elle aussi suivant plusieurs 
étapes : 
 On détermine Sc(T), sc(T) de l’endommagement cyclique cD  à partir des courbes enveloppes 
des essais de fatigue. Le paramètre d’endommagement critique Dc(crit) est ajusté afin 
d’obtenir un nombre de cycles à rupture cohérent avec l’expérience. 
  Le seuil εpd(T ) est déterminé au début des essais de fluage. On détermine Sd(T) et sd(T) sur les 
essais de traction. 
 Au final, le paramètre d’endommagement critique Dd(crit) est ajusté afin d’avoir des temps à 
rupture en fluage et des déformations à rupture en traction cohérents avec les expériences. 
 
3.2 Base expérimentale 
 
La base expérimentale disponible pour cette étude n’est pas directement applicable à la 
procédure d’identification décrite précédemment. Elle est –comme souvent– limitée : par 
exemple pour chaque matériau, à une température donnée, on ne dispose d’essais de fluage qu’à 
deux niveaux de contrainte, d’essais de traction qu’à trois vitesses de déformation et d’essais de 
fatigue ondulée (Rε=εmin/εmax=0) qu’à des vitesses de déformation ayant le même ordre de 
grandeur. 
Par ailleurs, on ne dispose actuellement d’aucun essai de relaxation ou de fatigue-
relaxation. De ce fait, il a fallu itérer plusieurs fois afin d’obtenir un jeu de paramètres optimal. 
 
4 Résultats de l’identification du modèle pour les deux alliages de cuivre et conclusions  
 
Les résultats typiques d’essais de fluage pour les deux matériaux sont donnés FIG. 1.  
 
 
FIG. 1 – Comparaisons expériences/simulations en fluage à 0,52T/Tm 
(alliage Cu-I à droite, alliage Cu-II à gauche) 
 
Les résultats typiques d’essais de traction pour les deux matériaux sont donnés FIG. 2. 
 
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FIG. 2 – Comparaisons expériences/simulations en traction 
(alliage Cu-I à droite, alliage Cu-II à gauche) 
 
Aux grandes déformations, le modèle a tendance à surestimer l’endommagement ductile 
et sous-estimer le niveau de contrainte observé expérimentalement pour des sollicitations de 
traction.  
 
Sur les premiers cycles des essais de fatigue, on observe une bonne concordance avec la 
simulation. En effet, l’endommagement cyclique n’a que très peu d’influence sur les premiers 
cycles, en d’autres termes, c’est l’identification du comportement qui est prépondérante. 
Les résultats typiques d’essais de fatigue des cinq premiers cycles pour les deux 
matériaux sont donnés FIG. 3. 
  
 
FIG. 3 – Comparaisons expérience/simulation en fatigue oligocyclique sur les 5 premiers cycles 
(alliage Cu-I à droite, alliage Cu-II à gauche) 
 
Par ailleurs, le modèle prévoit des nombres de cycles à rupture cohérents avec les essais 
mais le niveau de contrainte simulé est plus faible qu’expérimentalement. Ce phénomène 
s’explique d’autant plus à haute température que ces alliages de cuivre peuvent présenter un 
adoucissement cyclique qui, associé à l’endommagement cyclique, amplifie la sous estimation 
du niveau de contrainte du modèle. 
 
 
Il est à noter que l’endommagement cyclique n’influe que très faiblement sur les résultats 
des simulations sous sollicitations monotones (de l’ordre du pourcent). Réciproquement, 
l’endommagement ductile n’a aucune influence sur les résultats des simulations sous 
sollicitations cycliques car le seuil de l’endommagement ductile est supérieur aux déformations 
imposées. 
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6 
Il est rappelé que ces premières identifications pourront être affinées après la réalisation 
d’essais complémentaires, en particulier de fatigue-relaxation. 
 
En outre, quelques améliorations du modèle pourraient être considérées. D’après 
certaines observations (Petry (2006)) l’endommagement cyclique peut être anisotrope. De plus, 
on pourrait aussi rajouter un paramètre dans la loi de viscosité qui permettrait une identification 
plus fine du comportement sur une plus grande plage de température (Vincent (2007)). 
 
Enfin, ce modèle reste à être validé pour des chargements bi-axiaux proportionnels et/ou 
anisothermes représentatifs des conditions réelles que subissent les tuyères de moteurs fusées. 
 
 
Remerciements 
 
Cette étude est effectuée en partenariat avec SNECMA, groupe SAFRAN (S. Sagnier, D. 
Guichard, D. Cornu). 
 
 
Références 
 
Lemaitre,  J., Chaboche, J.L., 1988 Mécanique des matériaux solides, Ed. Dunod. 
 
Lemaitre, J., 1985 A continous damage mechanics model for ductile fracture. J. Engineering 
Materials and Technology. 107, pp. 83-89. 
 
Petry, C., 2006 Caractérisation et modélisation du comportement et de l’endommagement 
d’alliages métalliques sur une grande plage de température. Thèse de doctorat de l’ENS 
Cachan. 
 
Vincent, S., 2007 Modélisation du comportement et de l’endommagement sur une grande plage 
de température d’un alliage de cuivre. Colloque National MECAMAT Aussois, pp. 531-534. 


Modélisation du comportement et de l'endommagement à haute température de deux alliages de cuivre

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