Un modèle numérique 3D utilisant la méthode des éléments discrets a été développé pour prédire la profondeur de pénétration d'un missile impactant une dalle en béton armé. Le modèle a été calibré sur un essai d'impact de référence impliquant un missile à nez plat. Une fois le modèle calibré, des simulations numériques ont été réalisés en faisant varier seulement la forme du nez du missile. Les résultats numériques sont comparés avec les résultats expérimentaux réalisés par CEA-EDF et la loi de prédiction de Li. La bonne prédiction de la profondeur de pénétration par le modèle numérique est confirmée par les observations issues des essais expérimentaux

DAUDEVILLE, Laurent

DONZÉ, Frédéric Victor

SHIU, Wenjie

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27­31 août 2007
Prédiction de la pénétration dans une dalle en béton d'un missile rigide par 
la méthode aux éléments discrets
Wenjie SHIU*, Frédéric Victor DONZÉ, Laurent DAUDEVILLE
Université Joseph Fourier, Laboratoire Sols Solides Structures ­ Risque (3S­R)
BP53, 38041 GRENOBLE cedex 9, FRANCE
*Auteur correspondant: wen­jie.shiu@hmg.inpg.fr Tel. +33 (0)4 76 82 70 04 
Fax. +33 (0)4 76 82 70 00
Résumé :
Un modèle numérique 3D utilisant la méthode des éléments discrets a été  développé  pour prédire la  
profondeur de pénétration d’un missile impactant une dalle en béton armé. Le modèle a été calibré sur un 
essai d'impact de référence impliquant un missile à  nez plat. Une fois le modèle calibré, des simulations  
numériques   ont  été   réalisés   en   faisant   varier   seulement   la   forme  du   nez   du  missile.   Les   résultats  
numériques sont comparés avec les résultats expérimentaux réalisés par CEA­EDF et la loi de prédiction 
de Li. La bonne prédiction de la profondeur de pénétration par le modèle numérique est confirmée par 
les observations issues  des essais expérimentaux.
Abstract :
A three dimensional Discrete Element numerical model  is developed to predict  the penetration depth  
caused by a non­deformable missile against a reinforced concrete slab. The initial calibration of   the  
model was done using a flat­nose missile test. Additional simulations were performed with varying the  
shape of   the missile’s nose.  The present numerical model  is  compared  to  the  experimental   test  data 
provided by the French Atomic Energy Agency (CEA) and the French Electrical power Company (EDF) 
and the Li’s prediction law. The prediction of the penetration depth in terms of the nose shape agrees 
perfectly with the experimental observations.
Mots­clefs : 
méthode aux éléments discrets; pénétration; béton armé; missile
1 Introduction
Les structures en béton sont souvent conçues pour résister à des impacts de fortes énergies, 
comme par exemple, des agressions sur des bâtiments avec des armes à haute énergie cinétique, 
des   impacts  de   fragments  de   lame de   turbine   sur   les   structures  nucléaires,  des   impacts  de 
projectiles générés par des vents violents ou tout objet qui tombe accidentellement. Un modèle 
fiable pour la prédire la réponse de la structure est donc un point crucial pour traiter ce genre de 
problème. 
Ce modèle doit pouvoir prendre en compte quatre phénomènes clefs   pour mesurer les 
effets   de   l’impact   local   sur   la   structure   (Degen,   1980;  Hughes,   1984)   :   la   profondeur   de 
pénétration,   les   épaisseurs   limites   d’écaillage,   de   perforation   et   la   limite   balistique.   La 
profondeur de pénétration est la distance parcourue par un missile dans la dalle sans perforation 
ni écaillage. Les épaisseurs limites d’écaillage et de perforation sont les épaisseurs minimum 
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d'une cible pour éviter l’écaillage ou la perforation de la dalle par le missile. La limite balistique 
est la vitesse minimum pour pouvoir perforer la cible.
La méthode des éléments discrets est une méthode numérique qui utilise une représentation 
discontinue   de   la   matière,   et   qui   présente   l’avantage   de   décrire   de   façon   aisée   la   forte 
dégradation (jusqu’à l’écoulement granulaire) du béton lorsqu’il est soumis à   un impact. De 
plus, cette méthode ne privilégie aucune direction de création ou de propagation des fissures. 
Enfin, comme le milieu est fortement hétérogène, la description particulaire est d’autant plus 
adaptée.
La formulation du modèle est détaillée dans le chapitre suivant. On notera que la procédure 
d'identification   des   paramètres   locaux   est   d’abord   réalisée   en   statique,   par   des   tests   de 
chargement uni­axiaux, de façon similaire à celle utilisée par Hentz  (Hentz et al., 2003). Pour le 
comportement dynamique, le modèle est d'abord calibré sur un essai impliquant le missile à nez 
plat. Les résultats numériques pour différentes vitesses de missile ont ensuite été comparés avec 
les résultats expérimentaux en termes de trajectoire (Shiu et al., 2005). Ici, les simulations ont 
été réalisées pour étudier les effets de la forme du nez du missile.
2 LE MODELE AUX ELEMENTS DISCRETS 
Le code PFC 3D (Particle Flow Code in Three Dimension, Itasca, 2003) a été utilisé pour 
simuler les essais d’impacts réalisés par le CEA/EDF.
Dans   le   code   PFC3D,   les   éléments   discrets   sont   de   géométrie   sphérique   et   une   loi 
d’interaction de  type force­déplacement est  appliquée sur chaque élément.  Les  équations de 
mouvement sont :
F i=K iU i                                                               (1.a)
F i=m x i
. .
−gi               translation motion 
             (1.b)
M i=I ωi
.
                      rotation motion               (1.c)
Où  Fi  est   la   force   d’interaction,  Ki  la   raideur   associée   à   chaque   élément,   Ui 
l'interpénétration entre deux éléments en interaction, m la mass,  x
. .
 et  ω
.
 les accélérations en 
translation et en rotation, g la gravité, Mi le moment résultant appliqué à chaque élément et I est 
le moment d'inertie. Pendant la simulation, la force d’interaction est d'abord calculée  (l'équation 
(1.a)), et la nouvelle position de l’élément est ensuite mise à jour par l'équation (1.b) et (1.c). 
Des informations plus détaillées sont disponibles dans le manuel de PFC3D.
Pour simuler un matériau cohésif, un type de lien « parallel­bond » est disponible dans 
PFC3D qui permet de transférer une force d’interaction incluant le moment. La force appliquée 
par ce type de lien est calculée par la théorie des poutres. La dissipation d'énergie est prise en 
compte dans  le  modèle  numérique.  L'énergie   induite entre  deux éléments en  interaction est 
dissipée par une friction Coulombienne et un amortissement non­visqueux.
2.1 Configuration numérique
La cible en béton armé: Les barres de renfort sont montrées à la figure 1. Chaque barre 
est  composée d’une  ligne d'éléments discrets.  Les éléments de béton sont  générés de façon 
désordonnée autour des barres de renfort en appliquant une contrainte isotrope sur l'échantillon. 
Les « parallel­bonds » sont ici pris en compte. 
La procédure suivante a été adoptée pour générer la cible :
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1. Générer six murs (une boite) qui correspondent aux dimensions de la cible, i.e. 1.46m * 
1.46m * 0.208m (sauf pour deux essais, pour lesquels les dimensions sont : 1.46m * 
1.46m * 0.416m). 
2. Générer les éléments de renfort et fixer leurs positions en rotation et en translation.
3. Générer   les  éléments   de   béton   de   façon   désordonnée.   Pendant   cette  étape,   seul   le 
déplacement des éléments de béton est autorisé. Le calcul se termine lorsque le critère 
de stabilité est atteint.
4. Création des « parallel­bonds » entre les éléments en interaction et suppression des deux 
murs : face avant et face arrière.
5. Enfin, autorisation du déplacement les éléments de renfort.
Figure 1. A gauche, les quatre couches de renfort représentées par 17408 éléments. A droite, la 
configuration initiale de la dalle et le missile.
Cette procédure nous permet d'éviter une force d’interaction résiduelle indésirable pendant 
la génération de l'échantillon. Les éléments représentant le béton sont au nombre de 19403, avec 
des rayons qui varient entre 0.5 et 2 cm.
Le missile: la géométrie est la plus proche possible que celle des essais expérimentaux. La 
commande   “clump”   (clusters   d’éléments   discrets)   est   utilisée   pour   simuler   le   missile 
indéformable.   Le   diamètre   et   la   masse   du  missile   sont   les   mêmes   que   ceux   des   essais 
expérimentaux. Le missile est positionné initialement juste en face avant de la cible (Fig.1).
3    Simulation des essais impacts
3.1 Essais CEA­EDF 
Les données des essais  expérimentaux sont  ceux des essais CEA­EDF (Berriaud et  al. 
1978). Dans les années 1970, le CEA et EDF ont fait une série d’essais d'impacts à l'aide d'un 
canon de marine. L'épaisseur de la cible a été conçue de façon à représenter celle d’une centrale 
nucléaire.  Les propriétés du béton sont gardées constantes.  Les autres paramètres comme la 
vitesse d'impact (25 ­ 450 m/s), la masse du missile (20 ­ 300 kg), le rapport entre le diamètre du 
missile et l'épaisseur de la dalle (0.24 – 2.9), et la géométrie du nez du missile ont été étudiés.
3.2  Effet de la forme de nez du missile
La forme du nez du missile joue un rôle important lorsqu'un missile est lancé contre une 
dalle   en   béton   armé.   Avant   que   la   simulation   numérique   soit   disponible,   plusieurs   lois 
empiriques   avaient   déjà  été   développées   pour  prévoir   la   pénétration   et   la   perforation  d’un 
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missile   lors   d’un   impact.  La  plupart   de   ces   lois   empiriques   reposent   sur   une  méthode   de 
régression numérique basée sur les données expérimentales. Dans ces lois, la forme du nez du 
missile est souvent prise en compte par un coefficient qui représente l'angulation de la tête du 
missile. Néanmoins, ces caractérisations géométriques se sont révélées insuffisantes pour bien 
représenter l'effet de la forme du nez du missile. Une amélioration est apparue en 2002, quand 
Q.M.  Li   (Li,   2002)   a   proposé   une   fonction   représentant   la   forme  de   nez   pour   interpréter 
analytiquement la force de contact entre le missile et la cible pendant l'impact.
Dans notre étude, une comparaison est faite entre le modèle MED et la loi de Prédiction de 
Li en termes de capacité de pénétration. Les comparaisons sont limitées au nez conique dont la 
longueur est variable. L’essai d'impact de référence avec le nez plat possède une masse de 227 
kg, une vitesse d'impact de 90 m/s et un diamètre de 0.305 m. A partir de ce cas de référence, 
trois missiles « numériques » coniques ont été générés avec différentes longueurs de tête (0.1 m, 
0.2  m, 0.25 m)  tout  en conservant,   la  même masse,   le  même diamètre  et   la  même vitesse 
d'impact. 
épaisseur de  la 
cible (m) forme du nez
vitesse 
d'impact 
(m/s)
profondeur de 
penetration (cm)
Tests
expérimentaux
0.4 conique 88 23
0.4 conique 82 20
0.4 plat 90 17~20
Tests
numériques
0.4 plat 90 17
0.4 conique 0.1 90 14.3
0.4 conique 0.2 90 23
0.4 conique 0.25 90 27
0.8 plat 90 7.3
0.8 conique 0.1 90 14.2
0.8 conique 0.2 90 19.9
0.8 conique 0.25 90 25
Table 1. Résultats des essais expérimentaux et numériques
Figure 2.  Profondeur de la pénétration en fonction de la forme de nez du missile
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Le tableau 1 montre les profondeurs de pénétration obtenues par le modèle numérique et 
les tests réalisés par le CEA­EDF. Les tests expérimentaux étant assez peu nombreux pour les 
têtes coniques, les résultats numériques sont comparés avec la loi de prédiction de Q.M. Li. Les 
résultats sont montrés sur les figures 2 et 3. La loi de Prédiction de Li (Li et Tong, 2003) montre 
que plus le missile est pointu, plus il peut  pénétrer profondément. Le fait est bien expliqué si on 
se place sous l’angle de la consommation d'énergie : quand les deux missiles consomment la 
même quantité  de l'énergie, celui qui est plus pointu peut pénétrer d’avantage. Cependant, le 
résultat numérique montre que, pour une cible dont l’épaisseur est de 40 cm, le missile avec un 
nez plat d’un diamètre de 30 cm, pénètre plus qu'un missile conique de longueur de 10 cm. Ce 
phénomène peut s’expliquer par la propagation des ondes de pression (Magnier et Donzé, 1998). 
Lorsqu'un missile vient impacter la cible, une partie de l'énergie d'impact est convertie en 
ondes   de   pression.   Si   la   cible   a   une   épaisseur   comparable   au   diamètre   du  missile,   cette 
conversion d'énergie est plus importante dans le cas d’un missile à nez plat que dans celui d’un 
missile à nez conique. En effet, en raison de l’importance de la traction liée à la réflexion des 
ondes en face arrière, la profondeur de l’écaillage rejoint la zone de pénétration du missile à nez 
plat (Figure 4). Dans ce cas de configuration, apparaît un paramètre important qui est le rapport 
entre le diamètre du missile et l'épaisseur de la cible. Si l’on génère une autre cible avec une 
épaisseur plus importante, cet effet de « détente » des ondes réfléchies tend à disparaître.
Figure 3. Trajectoire du missile (résultats numériques)
Figure 4. Images capturées a la fin de la simulation. A gauche, un missile à nez plat (l’écaillage 
est important), à droite un missile avec une longueur de nez de 10 cm (pas d’écaillage). 
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4. Conclusion
L’avantage   de   l’utilisation   la  MED   est   d’une   part,   la   prise   en   compte   de   la   nature 
hétérogène du béton et d’autre part, de pouvoir simuler la sollicitation du milieu à l’échelle de la 
structure. De plus, le modèle éléments discrets peut prendre en compte la réponse complète de la 
structure jusqu’à sa ruine. La loi de comportement locale est simple à formuler et reste proche 
d’une   formulation  macroscopique.   L'identification   des   paramètres   est   d’abord   issue   d'une 
technique de calibration quasi­statique, puis une calibration dynamique est réalisée sur un cas de 
référence.
Les   résultats   numériques   issus   de   la  modélisation   des   essais   d'impact   du  CEA­EDF 
montrent que  le modèle  aux éléments discrets  est capable de reproduire quantitativement  la 
réponse de la cible en termes de pénétration, d’écaillage de perforation.
De plus, à   travers  les études sur  l’influence de la forme du nez du missile,   le  modèle 
montre l’importance de cette géométrique pour la perforation des cibles dont l’épaisseur est du 
même ordre de grandeur que le diamètre du missile.  Dans cette configuration là,   le modèle 
numérique   semble   plus   performant   que   les   lois   de   prédiction   classiques.   Notons   que   si 
l'épaisseur   de   la   cible   augmente,   les   résultats   numériques   montrent   une   profondeur   de 
pénétration comparable à celle prévue par les lois de prédiction semi­empiriques classiques. 
Références
Berriaud, C., Sokolovsky, A., Gueraud, R., Dulac, J. and Labrot, R. 1978. Local behavior of 
reinforced concrete walls under missile impact, Nuclear engineering and Design, 45(2), 457­
469.
Degen, P.P., 1980.  Perforation of reinforced concrete slabs by rigid missiles,  ASCE Journal of  
the Structural Division, 106(7), 1623­1642.
Hentz,  S.,  Daudeville,  L.  and  Donzé,  F.V.  2003.  Identification  and  validation  of  a  discrete 
element model for concrete, Journal of Engineering Mechanics. 130(6), 709­719.
Hughes, G. 1984. Hard missile impact on reinforced concrete. Nuclear engineering and Design. 
77(1), 23­35.
Li,  Q.M.   and  Tong,  D.J.   2003.   Perforation   thickness   and   ballistic   limit   of   concrete   target 
subjected to rigid projectile impact, Journal of Engineering Mechanics. 129(9), 1083­1091.
Li, Q.M., Reid, S.R., Wen, H.M. and Telford, A.R. 2006. Local impact effects of hard missiles 
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Magnier, S.A. and Donzé, F.V. 1998. Numerical simulations of impacts using a discrete element 
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Minneapolis, Minnesota. 
Shiu, W, F.V. Donzé and L. Daudeville, 2005, Missile impact on a concrete slab: a 3D discrete 
element   study,   Annual   report   “Discrete   Element   Group   for   Hazard   Mitigation”, 
http://geo.hmg.inpg.fr/frederic/Discrete_Element_Group_FVD.html
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Prédiction de la pénétration dans une dalle en béton d'un missile rigide par la méthode aux éléments discrets

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceUn modèle numérique 3D utilisant la méthode des éléments discrets a été développé pour prédire la profondeur de pénétration d'un missile impactant une dalle en béton armé. Le modèle a été calibré sur un essai d'impact de référence impliquant un missile à nez plat. Une fois le modèle calibré, des simulations numériques ont été réalisés en faisant varier seulement la forme du nez du missile. Les résultats numériques sont comparés avec les résultats expérimentaux réalisés par CEA-EDF et la loi de prédiction de Li. La bonne prédiction de la profondeur de pénétration par le modèle numérique est confirmée par les observations issues des essais expérimentaux

Prédiction de la pénétration dans une dalle en béton d'un missile rigide par la méthode aux éléments discrets

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