Nous utilisons les modes globaux bi-dimensionnels comme base de projection pour étudier la dynamique et en tant que modèle réduit pour contrôler un prototype de couche limite décollée. Une zone de recirculation est induite dans une couche limite par la présence d'une cavité. Une étude de croissance transitoire optimale montre que la famille de modes globaux fortement non-normaux est capable de représenter la croissance convective d'une perturbation initiale localisée. De plus, un modèle réduit de l'écoulement construit en projetant les équations de Navier-Stokes sur ces modes globaux permet de décrire correctement la dynamique. Nous utilisons ce modèle linéaire dans une procédure de contrôle optimal en boucle fermée, avec une sonde et un actionneur, et montrons que l'écoulement peut être stabilisé

EHRENSTEIN, Uwe

HENNINGSON, Dan

HOEPFFNER, Jérôme

ÅKERVIK, Espen

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceNous utilisons les modes globaux bi-dimensionnels comme base de projection pour étudier la dynamique et en tant que modèle réduit pour contrôler un prototype de couche limite décollée. Une zone de recirculation est induite dans une couche limite par la présence d'une cavité. Une étude de croissance transitoire optimale montre que la famille de modes globaux fortement non-normaux est capable de représenter la croissance convective d'une perturbation initiale localisée. De plus, un modèle réduit de l'écoulement construit en projetant les équations de Navier-Stokes sur ces modes globaux permet de décrire correctement la dynamique. Nous utilisons ce modèle linéaire dans une procédure de contrôle optimal en boucle fermée, avec une sonde et un actionneur, et montrons que l'écoulement peut être stabilisé

Hoepffner, Jérôme

Åkervik, Espen

Ehrenstein, Uwe

Henningson, Dan

HAL Descartes

Réduction de modèle et contrôle en couche limite décollée, au moyen de modes globaux.

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Réduction de modèle et contrôle en couche limite décollée, au moyen de
modes globaux
Jérôme Hoepffner1, Espen Åkervik2, Uwe Ehrenstein1, & Dan Henningson2
1 IRPHÉ, Marseille, 2 Linné flow center, KTH Stockholm.
Résumé :
Nous utilisons les modes globaux bi-dimensionnels comme base de projection pour étudier la dynamique et en tant
que modèle réduit pour contrôler un prototype de couche limite décollée. Une zone de recirculation est induite dans
une couche limite par la présence d’une cavité. Une étude de croissance transitoire optimale montre que la famille
de modes globaux fortement non-normaux est capable de représenter la croissance convective d’une perturbation
initiale localisée. De plus, un modèle réduit de l’écoulement construit en projetant les équations de Navier-Stokes
sur ces modes globaux permet de décrire correctement la dynamique. Nous utilisons ce modèle linéaire dans une
procédure de contrôle optimal en boucle fermée, avec une sonde et un actionneur, et montrons que l’écoulement
peut être stabilisé.
Abstract :
Two-dimensional global eigenmodes are used as a projection basis both for analysing the dynamics and building a
reduced model for control in a prototype separated boundary layer flow. In the present configuration, a high aspect
ratio smooth cavity-like geometry confines the separation bubble. Optimal growth analysis using the reduced basis
shows that the sum of the highly non-normal global eigenmodes are able to describe a localized disturbance. Sub-
ject to this worst-case initial condition, a large transient growth associated with the development of a wavepacket
along the shear layer followed by a global cycle related to the two unstable global eigenmodes is found. The flow
simulation procedure is coupled to a measurement feedback controller, which senses the wall shear stress at the
downstream lip of the cavity and actuates at the upstream lip. A reduced model for the control optimization is
obtained by a projection on the least stable global eigenmodes, and the resulting linear-quadratic-gaussian con-
troller is applied to the NavierÐStokes time integration. It is shown that the controller is able to damp out the
global oscillations.
Mots-clefs :
Modes globaux, croissance transitoire, réduction de modèle, contrôle optimal.
1 Introduction
Pour répondre à la demande de moyens de transports moins coûteux en énergie et plus
respectueux de l’environnement, ainsi que pour améliorer les performances des écoulements
industriels, les géométrie des écoulements évoluent. Le contrôle actif des écoulements ouvre de
nouvelles possibilités dans l’évolution de ces écoulements, car il permet d’agir au niveau des
procédés dynamiques. On peut par exemple réduire les instabilités sur les ailes d’avion de sorte
à retarder la transition à la turbulence et ainsi réduire la traînée. On peut également interrompre
les mécanismes qui donnent naissance à un fort rayonnement acoustique.
Pour agir sur un écoulement, il est nécessaire de pouvoir bien le décrire. Depuis longtemps,
des méthodologies de contrôle sont utilisées qui se basent sur une modélisation heuristique
des processus dynamiques. On peut par exemple introduire une onde en opposition de phase à
une onde instable de sorte à réduire son amplitude par superposition linéaire. Il est cependant
possible de modéliser la dynamique des écoulements directement par les équations de Navier-
Stokes. Cela permet l’utilisation de méthodes d’optimisation pour le contrôle.
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Le contrôle en rétroaction suppose l’installation d’un capteur qui mesure une quantité de
l’écoulement, par exemple la variation au cours du temps de la pression en un point stratégique
à la paroi. Ce signal de mesure est traité par un contrôleur, et est réinjecté immédiatement dans
l’écoulement grâce à un actionneur. Le système composé de l’écoulement, le capteur, l’action-
neur, et le contrôleur est un nouveau système dont les propriétés dynamiques sont changées.
Lorsque la dynamique de l’écoulement est essentiellement linéaire — c’est le cas des in-
stabilités — on peut modéliser l’écoulement grâce à un système linéaire. La construction du
contrôleur se fait en deux étapes. Tout d’abord, le signal de mesure est injecté dans le modèle
linéaire, pour être filtré afin d’obtenir une estimation du champ de vitesse de l’écoulement. Ce
champs de vitesse estimé est alors utilisé pour obtenir un signal de contrôle qui commandera
l’actionneur. La manière dont le signal de mesure est injecté dans le modèle numérique, ainsi
que la manière dont le champ de vitesse est utilisé pour obtenir le signal d’action est décrit par
deux fonctions linéaires qui sont optimisées, ce sont les gains de rétroaction. Pour l’optimi-
sation, on définit une fonction objective de contrôle, par exemple la minimisation de l’énergie
cinétique de l’écoulement. Les conditions d’optimalité pour l’estimation et le contrôle s’ob-
tiennent alors par une technique de multiplicateurs de Lagrange, ce qui donne deux équations
quadratiques matricielles, les équations de Riccati, qui seront résolues numériquement afin de
d’obtenir les gains de rétroaction (voir Bewley & Liu (1993))
Une fois ces calculs effectués, le contrôleur peut être appliqué dans l’écoulement. En temps
réel, le signal de mesure est extrait de l’écoulement, digitalisé, et traité numériquement par le
biais du modèle dynamique. Le signal de contrôle obtenu est transformé en signal analogique,
et réinjecté dans l’écoulement par l’actionneur.
Cependant, le modèle linéaire obtenu par discretisation des équations de Navier-Stokes aura
un grand nombre de degrés de liberté, ce qui rend difficile d’une part les procédures d’optimisa-
tion, et d’autre part la simulation numérique en temps réel. Il faut donc réduire la dimension du
modèle. Pour cela, nous pouvons projeter les équations dynamiques sur une base de fonctions
de l’espace qui vont representer au mieux les phénomènes dynamiques en jeu. L’écoulement qui
nous intéresse dans cet article est globalement instable, les modes globaux les moins atténués
sont susceptibles de bien représenter les phénomènes dynamiques.
L’augmentation de la puissance de calcul et de la mémoire des ordinateurs ainsi que l’utilisa-
tion de procédés itératifs associés aux espaces de Krylov permettent aujourd’hui de calculer nu-
mériquement les modes propres globaux pour des écoulement fortement non-parallèles. L’étude
de stabilité par les modes globaux permet de rapprocher les deux phénomènes de l’instabilité
convective et de la croissance transitoire. En effet, du point de vue local, un écoulement pa-
rallèle convectivement instable donnera lieu à un ou plusieurs modes propres (modes normaux)
instables. Traité du point du vue global cependant, cet écoulement apparaîtra asymptotiquement
stable, mais la sensibilité aux perturbations en amont due à l’instabilité convective se traduira en
la possibilité de large croissance énergétique transitoire. La dynamique associée corrrespond à
la propagation d’un paquet d’ondes initialement localisé en amont de l’écoulement, dont l’am-
plitude subira une forte croissance en se propageant vers l’aval. Cette possibilité de croissance
énergétique transitoire est représentée du point du vue global par une forte non-orthogonalité
des modes propres globaux.
Dans cet article, nous allons tout d’abord étudier les propriétés de stabilité d’un écoulement
decolé de couche limite par le biais du calcul des modes globaux et de l’optimisation de la
croissance transitoire. Nous utiliserons ensuite les modes globaux pour projeter les équations
dynamiques afin de construire un contrôleur qui stabilisera l’écoulement Åkervik et al. (2007).
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 1 – Lignes de courant de l’écoulement stationnaire dans la cavité. On observe une bulle de recircu-
lation confinée dans la cavité par une couche de cisaillement. En amont et en aval, c’est un écoulement
de couche limite.
FIG. 2 – Valeurs propres correspondant à l’écoulement stationnaire dans la cavité.
2 Condition initiale optimale et croissance transitoire
L’écoulement est représenté sur la figure 1 par les lignes de courant de l’écoulement station-
naire pour Re= 350. Le nombre de Reynolds est basé sur la vitesse longitudinale de l’écou-
lement uniforme loin de la paroi et l’épaisseur de couche limite en amont de la cavité. L’état
stationnaire a été obtenu par une technique de filtrage qui amortit les fréquences instables (Åker-
vik et al. (2006)).
Nous calculons ensuite le spectre par la méthode de Krylov. Pour cela nous calculons numé-
riquement les modes propres du système projeté sur l’espace de Krylov de dimension approxi-
mativement 500 associé à l’inverse de l’opérateur dynamique linéarisé autour de l’écoulement
stationnaire. Le spectre ainsi obtenu est représenté sur la figure 2. On observe deux modes
instablesm2 etm3.
Les fonctions propres les moins atténuées, m1 − m6 sont représentées sur la figure 3. Ils
correspondent à une instabilité convective de type Kelvin-Helmholtz le long de la couche de
cisaillement, leur croissance spatiale est exponentielle. La fonction propre adjointe correspon-
dant au mode propre le plus instablem3 est également représentée. La localisation en amont du
mode adjoint désigne la région en laquelle ce mode propre est sensible à un forçage externe.
Nous avons ensuite calculé par optimisation la conditions initiale pour laquelle l’écoulement
subira la plus forte croissance énergétique transitoire. Ceci est réalisé par une décomposition en
vecteurs singuliers de la matrice exponentielle associée à l’opérateur dynamique projeté sur les
modes propres globaux calculés (voir Schmid & Henningson (2000)). L’évolution temporelle
de l’énergie cinétique ainsi obtenue est représentée sur la figure 4. On observe une forte crois-
sance initiale associée à la propagation d’un paquet d’onde en amont de la couche de cisaille-
ment, puis un cycle oscillant superposé à la croissance exponentielle des deux modes propres
instables. Les oscillations sont dues à la régénération du paquet d’onde en amont de la couche
de cisaillement. En effet, après avoir subit une forte croissance énergétique, le paquet d’onde
induit une perturbation globale du champ de pression lorsqu’il atteint le bord aval de la cavité,
qui va régénérer le paquet d’onde en amont. C’est ce phénomène de couplage amont-aval dû à la
pression, qui vient transformer l’instabilité convective de type Kelvin-Helmholtz en instabilité
globale.
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 3 – a)-f) Vitesse verticale des modes propres les moins atenués de m1 − m6. g) : mode propre
adjoint au mode le plus instablem3.
FIG. 4 – a) : Evolution de l’énergie cinétique pour la condition initiale optimale en incorporant 1,2,3
. . .144 modes globaux lors de l’optimisation. b) : Comparaison DNS/modèle réduit
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 5 – Diagram spatio-temporel en réponse à la perturbation initiale optimale. a) : vitesse verticale à
y = 2, b) : pression à y = 10.
FIG. 6 – Positionnement de l’actionneur et du capteur en amont et en aval de la cavité
Ce phénomène est illustré sur la figure 5, par le biais d’un diagramme spatio-temporel de la
vitesse verticale et pression pour y constant. On observe la propagation du paquet d’ondes, et
la génération de perturbations globales de pression qui donnent naissance à un nouveau paquet
d’ondes en amont.
3 Contrôle
Pour l’optimisation du contrôleur, nous projetons les équations de Navier-Stokes sur les
modes propres les moins atténués. Nous positionnons un capteur qui mesure le frottement pa-
riétal en aval de la cavité, ainsi qu’un actionneur qui effectue un forçage volumique localisé en
amont de la cavité, comme schématisé sur la figure 6.
Le contrôleur, possédant un nombre réduit de degrés de liberté, est interconnecté avec une
simulation numérique directe de l’écoulement. L’action stabilisatrice du contrôleur est illustrée
sur la figure 7, où l’énergie cinétique de l’écoulement contrôlé est comparée avec l’évolution
énergétique sans contrôle. Après la croissance initiale du paquet d’onde le long de la couche de
cisaillement — sur laquelle nous ne pouvons pas agir — on observe une décroissance exponen-
tielle de l’énergie, ce qui montre que le contrôleur à été capable de réduire la régénération du
paquet d’onde en amont, et a ainsi interrompu le mécanisme d’instabilité globale.
Nous avons représenté l’évolution énergétique de l’écoulement contrôlé pour un contrôleur
construit à partir de 25 modes et 4 modes. On observe que le contrôleur reste efficace malgré
cette réduction extrême. C’est le signe que le contrôleur focalise sur le mécanisme principal
d’instabilité qui est bien décrit par les modes propres globaux.
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 7 – Performance du contrôleur. a) : Evolution de l’énergie cinétique avec et sans contr{nˇole. Ligne
épaisse : 25 modes, ligne pointillée : 4 modes (insert : comparaison du signal de mesure avec et sans
contrôle). b) Diagramme spatio-temporel de la vitesse verticale avec contrôle.
Le diagramme spatio-temporel pour la vitesse verticale est également représenté avec contrôle,
où l’on observe que le paquet d’onde est régénéré en amont, mais avec une amplitude plus faible,
ce qui induit la stabilisation.
4 Conclusions
Nous avons montré pour un écoulement fortement non parallèle, comment les mécanismes
d’instabilité convective donnent lieu à une instabilité globale due au couplage amont-aval par
le biais de la pression. Nous avons calculé les conditions initiales optimales et montré que la
dynamique de cet écoulement était bien représentée par les modes propres globaux les moins at-
ténués. Le calcul d’un contrôleur optimal avec rétroaction a été rendu possible par la projection
de la dynamique sur la famille des modes propres globaux. Ce contrôleur est capable d’inter-
rompre le processus d’instabilité globale à l’aide d’un actionneur en amont et d’un capteur en
aval de la cavité. Cette méthode de réduction de modèle offre de nombreuses ouvertures pour
l’application du contrôle avec rétroaction en mécanique de fluides.
Références
Åkervik, E. Brandt, L., Henningson, D., Hoepffner, J., Marxen, O., & Schlatter, P. 2006 Steady
solutions of the Navier-Stokes equations by selective frequency damping Phys. Of Fluids, 18.
Åkervik, E. Hoepffner, J., Ehrenstein, U., & Henningson, D. 2007 Optimal growth, model re-
duction and control in a separated boundary-layer flow using global modes J. Fluid Mech. in
press.
Bewley, T.R. & Liu, S. 1993 Optimal and Robust Control and Estimation of Linear Paths to
Transition. J. Fluid Mech. 365.
Schmid, P. & Henningson, D. 2000 Stability and transition in shear flows Springer.
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Akervik, Espen

Henningson, Dan S.

HAL AMU

Réduction de modèle et contrôle en couche limite décollée, au moyen de modes globaux

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00213434

Réduction de modèle et contrôle en couche limite décollée, au moyen de modes globaux.

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