Le travail présenté ici porte sur le développement d'une nouvelle loi de comportement mécanique élasto-viscoplastique. Cette dernière est développée dans le but de dimensionner à la fatigue thermomécanique des structures de l'industrie automobile travaillant à hautes températures en décrivant au mieux la viscosité sur une large gamme de sollicitation. Ce nouveau modèle a été implémenté dans le code Abaqus en se basant sur l'algorithme du retour radial. Des simulations thermomécaniques ont été ensuite réalisées sur des collecteurs d'échappement et ont permis de prédire la tenue dimensionnelle ainsi que les zones à risque du point de vue fissuration

BOURGEOIS, Myriam

KÖSTER, Alain

MAITOURNAM, Habibou

NGUYEN TAJAN, Thi Mac Lan

REMY, Luc

SZMYTKA, Fabien

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Détermination d’une nouvelle loi de comportement élasto-viscoplastique
pour une fonte à graphite sphéroïdal
Application au dimensionnement à la fatigue oligocyclique d’un collecteur
d’échappement de moteur Diesel automobile
Fabien Szmytka1 2 3, Luc Rémy2, Habibou Maïtournam3, Alain Köster2, Myriam Bourgeois1, Thi Mac
Lan Nguyen Tajan1
1 PSA Peugeot Citroën - Direction de la Recherche et de l’Innovation Automobile,
Route de Gisy - 78 943 Vélizy-Villacoublay Cedex
2Centre des Matériaux P.M. Fourt (CNRS UMR 7633),
École Nationale Supérieure des Mines de Paris, BP87 - 91003 Evry Cedex
3Laboratoire de Mécanique des Solides (CNRS UMR 7649),
École Polytechnique - 91 128 Palaiseau Cedex
fabien.szmytka@mpsa.com, luc.remy@mat.ensmp.fr, habibou@lms.polytechnique.fr, alain.koster@mat.ensmp.fr,
myriam.bourgeois@mpsa.com, maclan.nguyen@mpsa.com
Résumé :
Le travail présenté ici porte sur le développement d’une nouvelle loi de comportement mécanique élasto-
viscoplastique. Cette dernière est développée dans le but de dimensionner à la fatigue thermomécanique des struc-
tures de l’industrie automobile travaillant à hautes températures en décrivant au mieux la viscosité sur une large
gamme de sollicitation. Ce nouveau modèle a été implémenté dans le code Abaqus en se basant sur l’algorithme
du retour radial. Des simulations thermomécaniques ont été ensuite réalisées sur des collecteurs d’échappement
et ont permis de prédire la tenue dimensionnelle ainsi que les zones à risque du point de vue fissuration.
Abstract :
A new elasto-viscoplastic behaviour law and its numerical integration scheme have been developped. Our aim is
to design hot automotive components with a good description of all the viscous effects for a wide load range. This
new model has been integrated in the Abaqus code thanks to a return-mapping algorithm. Thermo-mechanical
simulations performed on exhaust manifolds had led to good estimation of the component lifetime.
Mots-clefs :
Essais mécaniques de caractérisation, loi de comportement élasto-viscoplastique aniso-
therme, fonte à graphite sphéroïdal
1 Introduction
La réduction de la taille des cylindrées des moteurs Diesel qui vise à réduire les
consommations de carburant ainsi que les diverses stratégies de dépollution soumettent des
pièces comme la culasse ou le collecteur d’échappement à des cycles thermiques de plus en
plus sévères pouvant entraîner des dérives dimensionnelles par accumulation de déformation
anélastique. Le dimensionnement de ces structures métalliques, travaillant à hautes tempéra-
tures, fait de plus en plus souvent appel à des lois de comportement élasto-viscoplastique. Ces
lois macroscopiques, parmi lesquelles on peut citer celles issues des travaux de Lemaitre et
Chaboche (Lemaitre et Chaboche (1996)), doivent décrire avec précision l’évolution des défor-
mations et des contraintes qui sont à la base des critères de dimensionnement. Néanmoins, ces
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
modèles ne parviennent souvent pas à décrire efficacement le comportement visqueux sur une
large gamme de sollicitation mécanique et de température (de l’ambiante à 700˚C).
Ainsi, la modélisation du comportement de la fonte GS des collecteurs d’échappe-
ment a été jusqu’alors abordée en séparant les déformations visqueuses des déformations plas-
tiques et en s’attachant à bien décrire les zones de chargement maximale en température et en
contrainte où apparaissent les fissures de fatigue (Charkaluk (1999)). Cependant, une telle loi
ne permet pas de connaître avec précision la répartition des déformations inélastiques en tout
point du collecteur et les dérives dimensionnelles qu’elles occasionnent sur la structure globale.
La mise au point de modèles de comportement prenant mieux en compte l’ensemble des phé-
nomènes visqueux agissant sur les matériaux et permettant, après implémentation numérique,
d’aboutir à des calculs de structure prédictifs et d’une durée compatible avec les exigences de
bureaux d’étude industriels est donc une étape essentielle du dimensionnement de ces pièces.
Nous nous intéressons ici au développement d’une telle loi de comportement depuis la
phase expérimentale jusqu’à l’écriture des équations du modèle et leur implémentation dans un
code de calcul éléments finis dans le but de réaliser des calculs de dimensionnement d’organes
automobile comme le collecteur d’échappement. Dans un premier temps, nous détaillerons donc
la constitution d’une base expérimentale robuste permettant de mieux comprendre le compor-
tement visqueux de la fonte. Cela nous permet alors d’expliciter les équations du modèle de
comportement mis au point et de tester leur capacité à reproduire les données expérimentales
avant de valider notre démarche par des calculs éléments finis.
2 Stratégie Expérimentale
La constitution d’une base expérimentale robuste est nécessaire pour caractériser le
matériau, mettre au point une loi de comportement et en identifier les paramètres. Afin de nous
permettre d’appréhender au mieux le comportement visqueux de la fonte GS considérée1, nous
avons essentiellement effectué des essais d’écrouissage cyclique.
D
éf
o
rm
a
ti
o
n
Temps
ε1
ε1
−
FIG. 1 – Principe d’un essai d’écrouissage cyclique
Ces essais, réalisés dans des conditions isothermes, consistent (voir figure 1), pour un niveau
de déformation ε1 positif donné, en une compression jusqu’à −ε1 suivie d’une traction jusqu’à
ε1 et d’une phase de relaxation avant un retour à déformation nulle. Cette pénultième étape
se révèle très riche d’enseignement car elle permet de solliciter le matériau sur une très large
1contenant principalement du silicium et du molybdène et dénommée par la suite SiMo
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
gamme de vitesse de déformation inélastique (de 10−3s−1 à 10−9s−1) et alors d’observer toute
la variété du comportement visqueux de la fonte. Ainsi, nous avons pu constater, lors de phases
de relaxation à différentes températures, une évolution quasi linéaire de la contrainte en fonction
de la vitesse de déformation inélastique dans un diagramme semi-logarithmique.
1e-7
1e-6
1e-5
1e-4
1e-3
V
it
es
se
 d
e 
d
éf
o
ra
m
ti
o
n
 i
n
él
as
ti
q
u
e
Contraintes
1e-7
1e-6
1e-5
1e-4
1e-3
Contraintes
400°C 500°C
FIG. 2 – Évolution de la contraintes en fonction de la vitesse de déformation inélastique - Phase de
relaxation des essais d’écrouissage cyclique
Par ailleurs, ces essais sont pilotés en déformation à fréquence constante. Ainsi, pour
une température donnée, chacune des phases a une durée fixe quel que soit ε1. On sollicite alors
l’éprouvette d’abord pour des valeurs de ε1 faibles de l’ordre de 0, 1% et une fois la boucle
contraintes déformations stabilisée, on augmente cette valeur. Un essai complet, se composant
d’environ 8 à 10 paliers, est ainsi très riche d’informations et, répété pour différentes tem-
pératures puis complété par des essais de tractions simples, permet de mieux appréhender le
comportement de la fonte sur une large gamme de sollicitations thermomécaniques. Nous pou-
vons alors envisager sa modélisation, qui pourra être ensuite validée notamment par des essais
anisothermes uniaxiaux (Rémy (2003)).
3 Vers un nouveau modèle de comportement
Nous nous plaçons ici dans le cadre de la viscoplasticité unifiée. Le matériau, homo-
gène et isotrope, obéissant au critère de von Mises, nous avons tout d’abord recours à un écrouis-
sage cinématique non linéaire selon le modèle d’Armstrong-Frederik (Armstrong et Frederick
(1966)) :
X =
2 C
3
α (1)
α˙ = ε˙
vp
−
3 γ˙ D
2C
X (2)
avec C et D, 2 paramètres à identifier, X la variable d’écrouissage et α, sa variable associée. La
base expérimentale met de plus en évidence un adoucissement cyclique de la fonte considérée.
Nous complétons donc la description de la plasticité par un écrouissage isotrope non linéaire
selon le modèle de Chaboche (Lemaitre et Chaboche (1996)) :
R˙ = b(Q−R)γ˙, avec R(t = 0) = R0 (3)
avec b, Q et R0, 3 paramètres supplémentaires à identifier et γ, le multiplicateur viscoplastique.
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Comme nous l’avons vu (figure 2), l’évolution de la contrainte lors des phases de
relaxation ainsi que la présence d’une forte viscosité pour les températures supérieures à 400˚C,
ne nous permettent pas le recours à un potentiel visqueux de type Norton, couramment utilisé
(Rémy (2003)).
-0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15
Déformation
43200 43600 44000 44400 44800 45200
Temps (s)
C
o
n
tr
a
in
te
s
C
o
n
tr
a
in
te
s
Relaxation à 0,5%
-0,10 -0,06 -0,02 0,02 0,06 0,10
Déformation
C
o
n
tr
a
in
te
s
500°C 500°C
700°C
26300 26600 26900 27200
700°C
Temps (s)
C
o
n
tr
a
in
te
s
Relaxation à 0,5%
-0,08 -0,04 0,00 0,04 0,08
C
o
n
tr
a
in
te
s
Déformation
300°C
26400 26600 26800 27000 27200 27400
Relaxation à 0,5%
300°C
0
0
0
FIG. 3 – Essai d’écrouissage cyclique à 300 ˚C, 500˚C et à 700˚C - les traits pleins représentent la
simulation
En nous basant sur les mécanismes de déformation à l’échelle microscopique (Poirier (1976)),
nous avons mis au point un nouveau potentiel viscoplastique :
γ˙ = ˙0

1 +
(
J2(σ −X)−R
H
)
2

 (sinh
(
J2(σ −X)−R
K
))
(4)
avec ˙0, H et K, 3 nouveaux paramètres à identifier. Ce potentiel s’écrit donc comme la
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
combinaison d’un terme en sinus hyperbolique valant pour les plus hautes températures et qui
a montré son efficacité pour décrire le fluage à température élevée (Chateau et Rémy (2001),
Dyson et McLean (1998)) et d’un terme multiplicatif polynomial en σ, lié à la viscoplasticité à
basse température. L’écriture d’un potentiel de dissipation φ, positif, convexe et nul en l’origine
selon f = J2(σ −X) et qui s’écrit sous la forme :
φ∗ = ˙0.K
[(
1 + 2.
K2
H2
+
f 2
H2
)
. cosh
〈
f
K
〉
−
(
1 + 2.
K2
H2
)
− 2.
K
H2
.〈f〉. sinh
〈
f
K
〉]
(5)
permet à la loi de comportement de rentrer dans le cadre thermodynamique des matériaux
standards généralisés (Halphen et Nguyen (1975)).
À l’aide d’un algorithme de type Levenberg Marquardt, nous identifions et optimisons
les 7 paramètres matériaux pour chacune des températures où nous disposons d’essais, en cher-
chant la meilleure correlation possible entre le modèle et l’expérience. Les résultats obtenus
présentent une bonne concordance que ce soit pour les hystérèses de contrainte déformation ou
pour l’évolution temporelle de la contrainte lors des relaxations et ce quelque soit la température
comme le représente la figure 3.
4 Applications : calcul d’un collecteur d’échappement
Une fois les paramètres de la loi identifiés, il convient, afin de l’utiliser pour réaliser
des calculs éléments finis, d’écrire son schéma d’intégration numérique. Nous utilisons alors un
schéma implicite utilisant la technique du retour radial (Nguyen (1977), Simo et Taylor (1985))
afin de développer une sous-routine matériau Umat pour Abaqus.
121µm              84µm               46µm                  8µm                -29µm               -67µm
FIG. 4 – Calcul EF thermomécanique d’un collecteur d’échappement - Déformée après retour à l’am-
biante
Un calcul thermomécanique (Lederer et al. (2000)) est réalisé sous Abaqus pour 10
cycles de sollicitations suivis d’un retour à température ambiante. Ce dernier consiste d’abord
en un calcul thermique représentatif d’un essai collecteur sur banc moteur et recalé au plus juste
sur des mesures de températures. Les résultats obtenus (essentiellement une cartographie ther-
mique du collecteur d’échappement fonction du temps) augmentés de différentes conditions de
bridage seront ensuite utilisés comme données d’entrée à un calcul mécanique.
Les simulations ainsi effectuées (voir figure 4), dans des temps de calcul comparables
à ceux obtenus avec les lois classiques, donnent des résultats relativement semblables en terme
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
de tenue à la fissuration mais présentent une meilleure corrélation expérimentale en terme de
déformée globale après retour à l’ambiante. En effet, l’amplitude des déplacements relatifs du
collecteur sont plus marqués, ce qui concordent avec les observations sur banc moteur.
Nous pouvons alors dimensionner la pièce au plus juste et en anticipant les déformées
après retour à froid, éviter tout problème de perte d’étanchéité du collecteur.
5 Conclusions et perspectives
Nous avons ici succinctement présenté les différentes étapes du développement d’une nou-
velle loi de comportement élasto-viscoplastique depuis la création d’une base expérimentale
jusqu’à la simulation par élément fini. Ce modèle macroscopique, basé sur un potentiel vis-
queux innovant issu de phénomènes physiques microscopiques, nous permet aujourd’hui de
fournir des calculs de structures donnant des résultats plus conformes à la réalité que les lois
classiquement utilisées.
Références
ARMSTRONG, P. et FREDERICK, C. (1966). A mathematical representation of the multiaxial
bauschinger effet. Rapport technique, Berkeley Nuclear Laboratories.
CHARKALUK, E. (1999). Dimensionnement des structures à la fatigue Thermomécanique.
Thèse de doctorat, École polytechnique.
CHATEAU, E. et RÉMY, L. (2001). Oxidation-assisted creep damage in udimet 720li. In Asso-
ciazione Italiana di METALLURGICA, M., éditeur : EUROMAT 2001, proceedings of the 7th
European Conference on Advanced Materials and Processes, RImini, Italy.
DYSON, B. et MCLEAN, M. (1998). Microstructural stability of creep resistant alloys for
high temperature plant applications, chapitre Microstructural evolution and its effects on the
creep performance of high temperature alloys, pages 371–392. A. Strang, J. Cawley, G.W.
Greenwood Eds, Institute of Materials, Londres.
HALPHEN, B. et NGUYEN, Q. (1975). Sur les matériaux standards généralisés. Journal de
Mécanique, 14(1):39–63.
LEDERER, G., CHARKALUK, E., VERGER, L. et CONSTANTINESCU, A. (2000). Numerical
lifetime assesment of engine parts submitted to thermomecanical fatigue. SAE Technical
paper series, 2000-01-0789.
LEMAITRE, J. et CHABOCHE, J.-L. (1996). Mécanique des matériaux solides. Dunod, 2ème
édition.
NGUYEN, Q. (1977). On the elastic plastic initial-value problem and its numerical integration.
International Journal for Numerical Method in Engineering, 11(817-832).
POIRIER, J.-P. (1976). Plasticité à haute température des solides cristallins. Édition Eyrolles.
RÉMY, L. (2003). Comprehensive Structural Integrity, volume 5, chapitre Thermal-Mechanical
Fatigue, pages 113–200. Elsevier.
SIMO, J. et TAYLOR, R. (1985). Consistent tangent operators for rate-independent elastoplasti-
city. Computer methods in applied mechanics and engineering, 48:101–118.
6


Détermination d'une nouvelle loi de comportement élasto-viscoplastique pour une fonte à graphite sphéroïdal. Application au dimensionnement à la fatigue oligocyclique d'un collecteur d'échappement de moteur Diesel

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceLe travail présenté ici porte sur le développement d'une nouvelle loi de comportement mécanique élasto-viscoplastique. Cette dernière est développée dans le but de dimensionner à la fatigue thermomécanique des structures de l'industrie automobile travaillant à hautes températures en décrivant au mieux la viscosité sur une large gamme de sollicitation. Ce nouveau modèle a été implémenté dans le code Abaqus en se basant sur l'algorithme du retour radial. Des simulations thermomécaniques ont été ensuite réalisées sur des collecteurs d'échappement et ont permis de prédire la tenue dimensionnelle ainsi que les zones à risque du point de vue fissuration

Détermination d'une nouvelle loi de comportement élasto-viscoplastique pour une fonte à graphite sphéroïdal. Application au dimensionnement à la fatigue oligocyclique d'un collecteur d'échappement de moteur Diesel

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues

HAL Descartes