Une étude de l'influence de la précontrainte sur l'estimation des paramètres élastiques de matériaux poreux acoustiques est réalisée. Le dispositif expérimental utilisé pour cette étude, dérivant d'un système masse de précontrainte-ressort, est celui décrit par. Deux classes de comportement de la rigidité en fonction de la précontrainte sont identifiées : une pour les matériaux cellulaires (ou mousses), une seconde pour les matériaux fibreux ou agglomérés. Enfin, des indications quant au choix de la masse permettant d'atteindre le comportement élastique linéaire d'un matériau poreux quelconque, en compression unixiale, sont données

ATALLA, Noureddine

JAOUEN, Luc

RENAULT, Amélie

SGARD, Franck

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Influence de la prédéformation sur la mesure des propriétés mécaniques de
matériaux poreux acoustiques
Amélie Renault1,2, Luc Jaouen2,3, Franck Sgard2, Noureddine Atalla1
1 Université de Sherbrooke, GAUS, Boulevard de l’Université J1K2R1 QC, Canada
2 ENTPE, DGCB (URA CNRS 1652), rue M. Audin 69518 Vaulx-en-Velin Cedex, France
3 Matelys - Acoustique & Vibrations, 20/24 rue R. Desnos, 69120 Vaulx-en-Velin, France
contact : amelie.renault@usherbrooke.ca
Résumé :
Une étude de l’influence de la précontrainte sur l’estimation des paramètres élastiques de matériaux poreux
acoustiques est réalisée. Le dispositif expérimental utilisé pour cette étude, dérivant d’un système masse de
précontrainte-ressort, est celui décrit par Pritz (1980). Deux classes de comportement de la rigidité en fonc-
tion de la précontrainte sont identifiées : une pour les matériaux cellulaires (ou mousses), une seconde pour les
matériaux fibreux ou agglomérés. Enfin, des indications quant au choix de la masse permettant d’atteindre le
comportement élastique linéaire d’un matériau poreux quelconque, en compression unixiale, sont données.
Abstract :
A study of the static stress applied to acoustic porous materials in order to estimate their elastic parameters
is presented. The experimental set-up used for this study, which is based on a mass-spring system, is the one
described by Pritz (1980). Two stiffness-static stress behavior classes are identified: one for cellular materials (or
foams) and a second for fibrous materials or agglomerate ones. Finally, guidelines are provided on how to choose
the mass for the material to behave elastically under uniaxial compression excitation.
Mots-clefs :
matériaux poreux acoustiques ; paramètres élastiques
1 Introduction
Il existe différentes méthodes expérimentales permettant d’obtenir les paramètres élastiques
(modules élastiques, coefficient d’amortissement structuraux, coefficients de Poisson...) de ma-
tériaux poreux acoustiques (cf Pritz (1980); Etchessahar et al. (2005); Jaouen et al. (2007)).
Ces méthodes reposent sur l’étude des déformations de matériaux poreux dans leurs zones de
comportement élastique linéaire. Habituellement cette zone est atteinte après application d’une
précontrainte permettant d’écraser les irrégularités de surface des échantillons. Si il est connu
que la précontrainte a un effet sur la rigidité, peu de travaux écrits en font l’analyse. En particu-
lier, l’influence de la précontrainte sur la valeur de la rigidité et les estimations des paramètres
élastiques qui en découlent, est peu étudiée.
On se propose d’approfondir le sujet en analysant un système résonant soumis à un char-
gement du type compression uniaxiale. Ce système est composé d’un échantillon poreux sur
lequel repose une masse connue et pouvant varier permettant d’imposer une précontrainte sur
l’échantillon comprimé. Il s’agit de mesurer le rapport du déplacement vertical de la masse sur
celui imposé à la base de l’échantillon. En faisant l’hypothèse que le matériau étudié est iso-
trope, il est possible de déterminer la rigidité et le module d’Young du matériau en utilisant un
modèle comportemental simple.
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Dans un premier temps, le montage expérimental et la modélisation du système sont pré-
sentés. Les évolutions des rigidités d’échantillons de matériaux en fonction de la précontrainte
sont ensuite montrées et analysées. Deux classes de comportement rigidité-précontrainte sont
identifiées et des indications quant au choix de la masse permettant d’atteindre le comporte-
ment élastique linéaire d’un matériau poreux quelconque, en compression unixiale, sont enfin
données.
2 Méthodologie
2.1 Description du montage expérimental
Le dispositif expérimental, représenté à la figure 1 consiste en une plaque rigide excitée
par un pot vibrant sur laquelle est placé l’échantillon. Sur cet échantillon, parallélépipédique
de section carrée 50×50 mm2 et de hauteur L, est placée une plaque, de même section et de
masse connue, mp, réalisant la précontrainte de l’échantillon de matériau. Un jeu de 10 masses
comprises entre 3,2 et 173,17 grammes, permet de parcourir une gamme de précontrainte d’ap-
proximativement 5 à 700 N.m−2. Un scotch double face est utilisé pour fixer l’échantillon à la
plaque de base ainsi que la plaque supérieure à l’échantillon.
FIG. 1 – Schéma du dispositif expérimental
pour l’étude de la précontrainte
FIG. 2 – Modélisation du dispositif expérimen-
tal : système masse-ressort avec amortissement
hystérétique
La fonction de réponse en fréquence (FRF) étudiée pour estimer les paramètres élastiques
du matériau est définie comme le rapport du déplacement de la masse du système, W , sur le
déplacement imposé W0 à la plaque de base. La masse de ce système est égale à mp+ms/3, ms
étant la masse de l’échantillon du matériau, ce dernier étant considéré comme un ressort pesant
(cf. considérations énergétiques données en page 60 de French (1971)).
2.2 Modélisation du système résonant
L’effet du fluide du matériau poroélastique pouvant être négligée dans la configuration dé-
crite au paragraphe précédent (Danilov et al. (2004)), un système masse-ressort avec amortis-
sement hystérétique est utilisé pour modéliser le comportement du système masse-échantillon
poreux décrit à la section précédente. Le déplacement, de la masse est alors régit par l’équation :
mW¨ + k (1 + iη)W = W0 e
iωt (1)
où k représente la rigidité de l’échantillon testé et η le coefficient d’amortissement structural du
matériau.
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Dans le cas d’une excitation harmonique à la base du système de la forme W0eiωt, l’expres-
sion du déplacement de la masse, solution de l’équation 1 est :
W = W0
√√√√ 1 + η2
(1− ξ2)2 + η2 cos(ωt− δ − ε2) (2)
où ξ2 = mω2/kapp, δ =tan−1(η), ε2 =tan−1(η/[1− ξ2]).
Ainsi, l’amplitude de la fonction de réponse en fréquence s’écrit :
|Tcalc| =
∣∣∣∣WW0
∣∣∣∣ =
√√√√ 1 + η2
(1− ξ2)2 + η2 . (3)
On notera que la précontrainte appliquée à l’échantillon s’exprime comme :
σ = g
mp
S
(4)
g étant l’accélération due à la pesanteur en m.s−2, S l’aire de la section de la plaque supérieure
en kg et mp, la masse de cette plaque en kg.
2.3 Estimation des paramètres par identification
Les estimations des paramètres élastiques (module d’Young, coefficient de Poisson et amor-
tissement structural) du matériau supposé isotrope sont réalisées en deux étapes.
Dans un premier temps, le “module d’Young apparent”, Eapp = kL/S (cf. Langlois et al.
(2001)) et le coefficient d’amortissement structural, η, sont identifiés par minimisation d’une
fonction coût autour de la fréquence de résonance du système : Σn1 (|Tmeas − Tcalc|). Dans cette
dernière expression, n est un nombre de points en fréquence choisis autour de la résonance,
Tcalc l’amplitude de la FRF calculée d’après l’expression (3) et Tmeas l’amplitude de la FRF
mesurée.
Dans un second temps, la partie réelle du module d’Young, E, ainsi que le coefficient de
Poisson, ν, sont estimés par projection, sur une abaque, des valeurs des modules d’Young ap-
parents, Eapp, mesurées pour deux échantillons de facteurs de forme différents Langlois et al.
(2001). Ce dernier facteur de forme est défini comme le double du rapport de l’aire de la section
de l’échantillon à son épaisseur.
3 Applications et résultats
Parmi les catégories de matériaux testés : matériaux cellulaires (e.g. mousses polymères),
matériaux fibreux (e.g. laines minérales) et matériaux agglomérés, deux classes de comporte-
ment du module d’Young apparent en fonction de la précontrainte sont observées.
3.1 Cas matériaux cellulaires
Dans cette classe de matériaux, des mousses de polyuréthane ou de mélamine, de densités
comprises entre 8 et 60 kg.m−3, sont testées. Les résultats pour l’une de ces mousses, polyuré-
thane, sont présentées à la figure 3. Une tendance similaire est observée pour les autres mousses
polymères testées.
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
0 200 400 600 800
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.95 x 10
5
E a
pp
 
(N/
m2
)
σ (N/m2)
0 200 400 600 800
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
η
σ (N/m2)
FIG. 3 – Evolution de la partie réelle du module d’Young apparentEapp et du coefficient d’amortissement
structural η en fonction de la précontrainte σ (un échantillon utilisé par précontrainte).
Dans la gamme de précontrainte étudiée, on peut remarquer que la partie réelle du module
d’Young apparent Eapp augmente avant de se stabiliser pour des valeurs de précontraintes com-
prises entre 300 et 700 N.m−2. A contrario, l’amortissement η diminue entre 0 et 300 N.m−2 de
précontrainte avant de se stabiliser. Cette zone de plateau pour le module complexe correspond
à la zone de déformation linéaire du matériau dans laquelle le module d’Young et le coefficient
d’amortissement structural peuvent être estimés. La zone de variation rapide du module com-
plexe correspond à l’écrasement des inhomogénéités de surface du matériau (Etchessahar et al.
(2005)).
Les paramètres élastiques pour cette mousse sont finalement estimés, à partir de mesures
sur deux échantillons de facteurs de forme différents mais pour lesquels les précontraintes sont
égales. Les résultats de cette inversion obtenus après étude de plusieurs jeux d’échantillons et
pour des précontraintes égales sont : E = 122300 ± 12000N.m−2, η = 0, 09 ± 0, 01, ν =
0, 44± 0, 04 et ρ1 = 26, 20± 1, 00 kg.m−3 (ρ1 étant la masse volumique in vacuo du matériau).
Ces paramètres élastiques sont donnés pour les conditions suivantes : température de 25oC
(pression atmosphérique d’un atmosphère : 1,013 × 105 Pa) et une fréquence d’excitation de
100 Hz approximativement.
Matériau 1 2 3 4 5
Masse moyenne ms d’un échantillon 3,40 3,83 1,70 1,23 0,43
de section 50×50 mm2 en grammes
Module d’Young apparent Eapp 43 700 165 000 216 000 360 000 540 000
Masse de precontrainte mp en grammes ⇓ rapport mp/ms ⇓
3,20 0,94 0,84 1,88 2,60 7,44
10,00 2,94 2,61 5,88 8,13 23,26
33,20 9,78 8,68 19,55 27,02 77,30
40,00 11,77 10,45 23,54 32,54 93,10
50,00 14,70 13,05 29,40 40,64 116,26
58,50 17,21 15,28 34,42 47,58 136,10
98,60 29,00 25,73 58.00 80,13 229,21
114,70 33,72 29,93 67.44 93,21 266,63
154,60 45,48 40,38 91,00 125,72 359,63
TAB. 1 – Rapport masse de précontrainte/masse échantillon. Les valeurs soulignées indique les essais
pour lesquels la zone de comportement linéaire est atteinte.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Afin de quantifier la précontrainte minimale à appliquer pour être dans la zone de compor-
tement linéaire d’échantillons de matériaux cellulaires acoustiques quelconques, les rapports
entre masse de précontrainte mp et masse de l’échantillon ms sont reportés au tableau 1 pour
cinq matériaux. Aprés une première estimation du module d’Young apparent, il est possible de
déduire le rapport mp/ms à utiliser pour un matériau inconnu à partir des données du tableau 1.
Pour un matériau rigide et léger comme le matériau 5, le rapport est trés élevé (>200), pour un
matériau moyennement rigide et moyennement pesant, le rapport doit être supérieur à 35 (cas
du matériau 3), pour un matériau souple et pesant (cas du matériau 1), un rapport de 20 suffit.
3.2 Cas des matériaux fibreux et/ou agglomérés
Dans cette classe de matériaux, deux laines de verre de densité 38 kg.m−3 et 30 kg.m−3
respectivement ainsi que deux matériaux agglomérés sous vide issue du recyclage de matières
plastiques de densité respectives 48 kg.m−3 et 115 kg.m−3 sont testés.
Un exemple d’application de la mesure du module d’Young apparent et du coefficient d’amor-
tissement structural est présenté, pour une laine de verre, à la figure 4. Un comportement simi-
laire est observé pour les autres matériaux testés.
0 200 400 600 800
0
0.5
1
1.5
2 x 10
4
E a
pp
 
(N/
m2
)
σ (N/m2)
0 200 400 600 800
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
η
σ (N/m2)
FIG. 4 – Evolution de la partie réelle du module d’Young apparentEapp et du coefficient d’amortissement
structural η en fonction de la précontrainte σ (un échantillon utilisé par précontrainte)
On remarque qu’il n’existe pas de domaine dans lequel le module apparent est constant dans
la gamme de précontrainte étudiée, en revanche, sa partie réelle augmente avec la précontrainte.
Ce résultat s’explique en observant que lorsque le matériau n’est pas comprimé, le squelette
n’est pas continu. En augmentant la précontrainte, les fibres ou grains se rapprochent et le
squelette devient continu, ce qui engendre une augmentation du module élastique.
En ce qui concerne le coefficient d’amortissement, celui-ci décroit avec la précontrainte pour
se stabiliser. Les valeurs des paramètres élastiques E, η et ν ne peuvent donc être associées qu’à
des valeurs particulières de précontrainte (cf. table 2).
Masse surfacique kg/m2 E (N.m−2) η ν ρ1 (kg.m−3)
70 18 400 0,21 0 43,9
61 12 200 0,22 0 42,7
13 4 300 0,22 0 45,8
TAB. 2 – Paramètres élastiques estimés pour une laine minérale. E : module d’Young, η : coefficient
d’amortissement structural ν : coefficient de Poisson, ρ1 : masse volumique in vacuo.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Bien que cette classe de matériaux présente une anisotropie, l’hypothèse d’isotropie sera
dans ce cas aussi utilisée pour l’estimation des paramètres élastiques. L’inversion n’est en outre
possible qu’en utilisant des précontraintes strictement identiques pour mesurer les modules ap-
parents des échantillons de facteurs de forme différents.
4 Conclusion
Un système de mesure du module d’Young apparent et du coefficient d’amortissement struc-
tural de matériaux poreux acoustiques, en régime dynamique et en fonction d’une masse de
précontrainte appliquée, a été présenté. La modélisation par une masse en série avec un ressort
de ce système a été brièvement décrite. On retiendra que les matériaux poreux testés ont été
supposés isotropes et l’influence de leur phase fluide (l’air) négligée.
Deux classes de comportement des matériaux ont été identifiées : une classe pour les maté-
riaux cellulaires et une pour les matériaux fibreux ou agglomérés.
Le choix de la masse de précontrainte à appliquer pour estimer les paramètres élastiques du
matériau poreux doit être réalisé en respectant les recommendations suivantes :
• Dans le cas des matériaux cellulaires, le rapport de la masse de précontrainte sur la masse
du matériau poreux (mp/ms - échantillon de 50×50 mm2), doit être supérieur à 20, pour
un matériau souple et pesant, et de l’ordre de 200, pour un matériau rigide et léger, afin
de se trouver dans la zone de comportement élastique linéaire.
• Dans le cas des matériaux fibreux et/ou agglomérés, aucune zone de comportement élas-
tique linéaire est observée avec la variation de la masse de précontrainte. Il est donc impor-
tant, dans ce cas, de préciser la ou les masses de précontrainte éventuellement utilisée(s)
pour l’estimation des paramètres élastiques.
Références
Danilov O., Sgard F., Olny X. 2004, On the limits of an “in vacuum” model to determine the
mechanical parameters of isotropic poroelastic materials, J. Sound Vib 276 pp. 729-754.
Etchessahar M., Sahraoui S. Benhyahia L., Tassin J.-F. 2005, Frequency dependence of elastic
properties of acoustic foams J. Acoust. Soc. Am. 117(3) pp. 1114-1120.
French A.P 1971 Vibrations and Waves Thomas Nelson and Sons
Jaouen L., Renault A., Deverge M., Elastic and damping characterizations of acoustical porous
materials : available experimental methods and applications to a melamine foam, Applied
Acoustics, à paraître.
Langlois C., Panneton R., Atalla, N. 2001, Polynomial relations for quasi-static mechanical cha-
racterization of isotropic poroelastic materials, Journal of the Acoustical Society of America
110(6), 3032-3040.
Nashif A.D., Jones D.I.G., Henderson J.P. 1985, Vibrations damping, Wiley-interscience.
Pritz T. 1980 Transfer function method for investigating the complex modulus of acoustic ma-
terials : spring-like, J. Sound Vib. 72(3) pp. 317-341.
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Influence de la prédéformation sur la mesure des propriétés mécaniques de matériaux poreux acoustiques

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16684/1/CFM2007-0172.pdf

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