Cet article traite de l'imagerie de cibles localisées sous un couvert forestier à l'aide d'un Radar à Synthèse d'Ouverture (RSO) Large Bande, fonctionnant en UHF-VHF (fréquence centrale entre 100 MHz et 1 GHz). Partant de l'idée qu'une cible est constituée d'un ensemble de plaques, nous développons un algorithme original d'imagerie basé sur un détecteur à sous espace. Nous montrons que quelque soit l'orientation d'une plaque, l'ensemble de ses réponses appartient à un sous espace restreint et nous projetons le signal reçu réel dans ce sous espace. Ensuite, cet algorithme est testé sur des cas simples de simulation où la cible est une plaque et les performances de détection de cet algorithme sont comparées avec un algorithme traditionnel d'imagerie RSO. Les résultats montrent une nette amélioration des performances de localisation et de détection dans le cas de plaques noyées dans du bruit blanc, gaussien

DURAND, Rémi

FORSTER, Philippe

GINOLHAC, Guillaume

LESTURGIE, Marc

THIRION, Laetitia

Durand, R.

Ginolhac, Guillaume

Forster, Philippe

Thirion, L.

Lesturgie, M.

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Algorithme de Synthèse d'Ouverture Basé sur un Détecteur à Sous Espace..

I-Revues

Algorithme de Synthe`se d’Ouverture Base´ sur un De´tecteur a` Sous
Espace
Re´mi DURAND1, Guillaume GINOLHAC2, Philippe FORSTER2, Laetitia THIRION1, Marc LESTURGIE1
1Laboratoire SONDRA
Plateau du Moulon - 3 rue Joliot Curie, 91192 Gif-sur-Yvette, France
2GEA
Univ. Paris X, PST Ville d’Avray, 1 ch. Desvallie`res, 92410 Ville d’Avray, France
remi.durand@supelec.fr, guillaume.ginolhac@u-paris10.fr
Re´sume´ – Cet article traite de l’imagerie de cibles localise´es sous un couvert forestier a` l’aide d’un Radar a` Synthe`se d’Ouverture (RSO) Large
Bande, fonctionnant en UHF-VHF (fre´quence centrale entre 100 MHz et 1 GHz). Partant de l’ide´e qu’une cible est constitue´e d’un ensemble de
plaques, nous de´veloppons un algorithme original d’imagerie base´ sur un de´tecteur a` sous espace. Nous montrons que quelque soit l’orientation
d’une plaque, l’ensemble de ses re´ponses appartient a` un sous espace restreint et nous projetons le signal rec¸u re´el dans ce sous espace. Ensuite,
cet algorithme est teste´ sur des cas simples de simulation ou` la cible est une plaque et les performances de de´tection de cet algorithme sont
compare´es avec un algorithme traditionnel d’imagerie RSO. Les re´sultats montrent une nette ame´lioration des performances de localisation et de
de´tection dans le cas de plaques noye´es dans du bruit blanc, gaussien.
Abstract – This article deals with the imagery of targets located beneath foliage with a Synthetic Aperture Radar (SAR), Wide Band, UHF-VHF
(Frequencies from 100 MHz to 1 GHz ). Assuming that a man made target is a gathering of plates, we develop an original imagery algorithm
based on a subspace detector. We show that, whatever the plate orientation is, all its responses belong to a reduced subspace and we project the
received signal in this subspace. Then, this algorithm is tested on simple cases of simulation where plates are used as targets and the detection
performances are compared with ones obtained with a traditional SAR algorithm. The results show an important improvement of localisation
and detection performances in the case of plates dropped in a gaussian white noise.
1 Introduction
Le Radar a` Synthe`se d’Ouverture (RSO) est un radar embarque´
sur un avion ou un satellite. Celui ci permet d’imager une sce`ne
mettant en jeu des cibles re´parties sur une zone donne´e (Fig-
ure 1). Les RSO VHF-UHF (d’environ 100 MHz a` 1 GHz)
e´mettent des signaux dont la longueur d’onde leur permet de
pe´ne´trer le couvert forestier et de de´tecter des cibles cache´es
sous celui ci [1]. Cependant, sans un post traitement adapte´,
il est souvent difficile de distinguer une cible du fouillis, le
taux de fausse alarme e´tant tre`s e´leve´. Le but de cet article est
d’exposer un algorithme de formation d’image permettant de
re´duire le taux de fausse alarme et donc d’ame´liorer la de´tection.
Les algorithmes traditionnels de formation d’image sont base´s
sur l’intercorre´lation entre un mode`le du signal attendu et le
signal rec¸u. Ces techniques utilisent comme mode`le le sig-
nal e´mis retarde´. En supposant que toutes les cibles re´pondent
comme des points isotropes, ce mode`le exploite seulement la
position des e´le´ments et exclut les autres proprie´te´s, notam-
ment physiques, de la cible.
Partant de l’ide´e qu’une cible manufacture´e peut eˆtre vue
comme un assemblage d’e´le´ments canoniques, nous allons d’
abord conside´rer des objets construits a` l’aide de plaques me´tal-
liques de diffe´rentes tailles [2], et nous proposons donc l’utilisa-
tion d’un algorithme adapte´ a` la re´ponse d’une plaque. Cette
approche pre´sente l’avantage de prendre en compte la vari-
abilite´ du coefficient de re´flexion en fonction de l’angle d’inci-
dence du signal e´mis et de l’orientation de la cible. On sait
qu’en basse fre´quence, la re´ponse de la foreˆt est domine´e par
celle des troncs (et des branches primaires) qui pre´sente une
syme´trie azimutale. Si la cible manufacture´e pre´sente un com-
portement angulaire spe´cifique, il sera alors possible de les dis-
criminer graˆce a` ce mode`le. En prenant directement en compte
ces nouveaux parame`tres (angle d’incidence, position de la ci-
ble...), l’algorithme ainsi de´veloppe´ gagnerait en pre´cision, mais
perdrait en robustesse. En effet, il est impossible de de´velopper
un algorithme prenant en compte toutes les orientations d’une
plaque. Dans cet article, nous montrons que l’ensemble des
re´ponses d’une plaque est contenu dans un espace restreint.
Pour de´velopper cet algorithme, nous utilisons le test du Rap-
port de Vraisemblance Ge´ne´ralise´ (RVG) [3]. Nous mon-
trons que cette approche consiste a` projeter le signal rec¸u dans
l’espace restreint des re´ponses d’une plaque. Cet algorithme
nous permet d’ame´liorer les performances de de´tection d’une
plaque tout en gardant la robustesse des algorithmes classiques.
Nous exposerons dans une premie`re partie les diffe´rentes
e´tapes ne´cessaires a` l’imple´mentation de l’algorithme. La deuxi-
e`me partie rassemble les e´tudes de performance de l’algorithme
pour la de´tection de plaques noye´es dans du bruit blanc gaussien.
Figure 1: Syste`me d’aquisition de donne´es RSO
2 Algorithme de synthe`se d’ouverture
2.1 Un algorithme classique de reconstitution
d’image
L’algorithme de Corre´lation Spatio-Temporelle (CST) est un
algorithme RSO de formation d’image. Il consiste a` corre´ler
le signal rec¸u avec le mode`le de signal attendu pour chaque
position (x,y) a` imager. On a ainsi [4]:
I(x, y) =
∫
t
∑
un
z(t, un).e
∗(t− r(un, x, y))dt (1)
ou` I(x, y) est l’amplitude de l’image en (x,y) et z(t, un) le sig-
nal rec¸u en fonction du temps et de la position un de l’antenne.
La cible e´tant conside´re´e comme isotrope, sa re´ponse est mode´-
lise´e par le signal e´mis e(t − r(un, x, y)) pour chaque posi-
tion un, retarde´e de r(un, x, y) (le temps mis par le signal
pour faire un aller retour entre l’e´metteur et la cible). De ce
fait, ce mode`le ne prend pas en compte les variations du sig-
nal diffracte´ par une cible, notamment en fonction de l’angle
d’incidence du signal et de la position de la cible.
2.2 Algorithme base´ sur un de´tecteur a` sous es-
pace
2.2.1 Proble`me de de´tection d’une cible
Pour chaque position (x,y) a` imager, nous imple´mentons un
de´tecteur base´ sur le test du RVG, qui estime si une plaque
(quelque soit son orientation) est pre´sente ou pas. Soit :
z ∈ CM , z =
[
z
T
1 z
T
2 . . . z
T
n
]T (2)
l’ensemble des M e´chantillons du signal rec¸u par le re´cepteur
aux diffe´rentes positions u1, u2, . . . , un (Figure 1), ou` zi est le
signal mesure´ e´chantillonne´ a` la position ui. Soit le proble`me
de de´tection suivant :{
H0 : z = b
H1 : z = asx0y0(α0, β0) + b
(3)
avec H0 l’hypothe`se conside´rant que le signal rec¸u est du bruit
blanc de variance σ2 et H1 l’hypothe`se bruit plus plaque pre´sente
a` la position (x0, y0) et avec l’orientation (α0, β0). Nous de´finis-
sons maintenant sxy(α, β):
sxy(α, β) =
[
sxy,1(α, β)
T . . . sxy,n(α, β)
T
]T (4)
le signal non bruite´ rec¸u par le re´cepteur aux diffe´rentes po-
sitions u1, u2, . . . , un pour une plaque situe´e en (x,y) et dont
l’orientation est de´finie par les angles d”Euler [7](α, β) variant
dans I = [0, pi]2. Ces angles de´finissent la rotation applique´e
a` la plaque par rapport a` sa postion initiale (plaque paralle`le au
plan (xOy)). On note sxy,i(α, β) le signal non bruite´ mesure´
a` la position ui lorsqu’une plaque est situe´e en (x,y). a est le
terme complexe repre´sentant l’atte´nuation.
Soit :
• Vxy la varie´te´ contenant l’ensemble des re´ponses sxy(α, β)
avec (α, β) de´crivant I ;
• Exy l’espace vectoriel contenant au mieux la varie´te´ Vxy
au sens d’un crite`re expose´ ci-apre`s.
Si aucun parame`tre n’est inconnu, le proble`me de de´tection se
rame`ne au test de maximum de vraisemblance [3] :
T =
p(z|H1)
p(z|H0)
(5)
Or, le but de notre approche est d’eˆtre plus adapte´ une re´ponse
de plaque quelque soit son orientation. Le cas optimal est
d’avoir la moyenne de z|H1 dans la varie´te´ Vxy. On pour-
rait envisager de tester toutes les orientations possibles de la
plaque. Cette approche conduirait a` une charge de calcul pro-
hibitive. C’est pourquoi nous nous limiterons a` tester si la
moyenne de z|H1 appartient a` Exy, Exy contenant au mieux
la varie´te´ Vxy au sens d’un crite`re pre´cise´ ci-apre´s. Dans ce cas
la quantite´ test du RVG s’e´crit :
T =
maxv∈Exy p(z|H1)
p(z|H0)
(6)
avec (H = transpose´ conjugue´) :
p(z|H1) =
1
piMσ2M
exp
[
−(z− v)H(z− v)
σ2
]
(7)
le paragraphe suivant montre que maximiser la probabilite´ p(z|H1)
revient a` projeter z sur une base particulie`re.
2.2.2 De´veloppement du de´tecteur base´ sur le test du Rap-
port de Vraisemblance Ge´ne´ralise´ (RVG)
A - Calcul du MVG
Maximiser p(z|H1) ne´cessite la minimisation de ‖z− v‖2
par rapport a` v d’apre`s (7). Supposons dans un premier temps
que nous disposons d’une base de l’espace Exy de dimension
R. Nous notons Uxy la matrice M × R dont les colonnes for-
ment une base orthonorme´e de Exy. Le minimum de ‖z− v‖2
vaut :
‖z− v‖2min = ‖z−UxyU
H
xyz‖
2 = ‖z‖2 − ‖UHxyz‖
2 (8)
Dans ces conditions le maximum de vraisemblance T s’e´crit :
T =
1
piM σ2M
exp[
−‖z‖2+‖UHxyz‖
2
σ2
]
1
piM σ2M
exp[−‖z‖
2
σ2
]
(9)
Si on pose I(x, y) = log(T ), on a finalement :
I(x, y) =
∥∥∥UHxyz
σ
∥∥∥2 (10)
On obtient donc le RVG par projection du signal rec¸u dans
l’espace Exy .
Figure 2: Espace Exy contenant ’au mieux’ la varie´te´ Vxy
B - De´termination du sous-espace
On de´termine l’espace Exy comme e´tant l’espace vectoriel
de rang R contenant au mieux la varie´te´ Vxy au sens de la min-
imisation du crite`re :
C(Uxy) =
∫∫
I
‖sxy(α, β)‖
2 − ‖UHxysxy(α, β)‖
2dαdβ (11)
En discre´tisant α et β on aboutit au crite`re approche´ suivant :
C ′(Uxy) =
∑
i,j
‖sxy(αi, βi)‖
2 − ‖UHxysxy(αi, βj)‖
2 (12)
La figure 2 donne une repre´sentation simplifie´e de ce proble`me.
Soit Sxy la matrice dont les vecteurs colonnes sont forme´s par
les vecteurs s(αi, βj) tels que αi et βj couvrent l’intervalle
[0, pi] :
Sxy =
[
sxy(α1, β1) . . . sxy(αP , βN )
] (13)
Si on conside`re la De´composition en Valeurs Singulie`res de
Sxy [5] :
Sxy = UΛV
H (14)
On montre dans [6] que Uxy est donne´ par les vecteurs sin-
guliers de U associe´s aux R plus grandes valeurs singulie`res
non nulles. L’image du point (x,y) s’obtient donc par projec-
tion du signal rec¸u z sur Uxy, base (approche´e au sens du crite`re
C ′(Uxy)) des signaux renvoye´s par une cible place´e en (x,y) et
d’orientation quelconque.
Pour re´sumer, diffe´rentes e´tapes ne´cessaires sont a` la mise
en oeuvre de l’algorithme peuvent eˆtre re´sume´es comme suit :
(xi, yj)




Ge´ne´ration Matrice Sxiyi

Cre´ation du projecteur UHxiyj

Projection

Signal Rec¸u zoo
I(xi, yj) = MV G
3 Performances de l’Algorithme a` sous-
espace pour la de´tection d’une plaque
noye´e dans du bruit blanc
3.1 Mode`le utilise´
Code : Le code utilise´ pour calculer les re´ponses sxy(αi, βj)
de la plaque est un code base´ sur l’approximation de l’optique
physique. En effet, les plaques utilise´es dans cette partie ont
des dimensions supe´rieures a` la longueur d’onde. Le code est
choisi pour des plaques parfaitement conductrices [7].
Dimensions du mode`le de plaque utilise´ : La plaque utilise´e
comme mode`le de cible dans le de´tecteur est de dimension
1m× 2m× 2cm.
Position de la plaque : La plaque est place´e au centre de la
sce`nes repre´sente´es et α et β de´finissent son orientation.
Fre´quences utilise´es : - Fre´quence centrale f0: 400 MHz.
- Largeur de bande B : 100 MHz.
3.2 Performances de de´tection
3.2.1 Localisation
La figure 3 pre´sente une image obtenu avec l’algorithme a` sous
espace compare´e a` celle obtenue par l’algorithme CST est donne´.
Figure 3: Image forme´e par l’algorithme a` Sous Espace de
rang 6 (droite), CST (gauche) pour une plaque oriente´e (α =
0, β = −pi
4
), de dimension 1m× 2m× 2cm et pour un RSB =
-20 dB
Une premie`re observation est que la partie de l’image repre´sen-
tant la plaque est tre`s diffe´rente, selon l’algorithme utilise´. Celle
forme´e par l’algorithme CST est peu e´tale´e en azimut (axe y),
mais tre´s e´tale´e en porte´e(axe x), celle forme´e par l’algorithme
a` sous espace n’est pratiquement pas e´tale´e en porte´e, mais de
fac¸on assez importante en azimut (axe y). Cet e´talement est du
aux vecteurs formant la base du sous espace, certains n’e´tant
pas parfaitement adapte´s a` cette configuration de plaque. Si
l’on compare a` nouveau les deux algorithmes pour une configu-
ration de plaque diffe´rente (Figure 4), et si l’on conside`re que le
maximum repre´sente´ par chaque figure repre´sente l’emplacement
de la plaque, on observe dans le cas de l’algorithme CST une
erreur de placement de quelques me`tres, alors que l’algorithme
a` sous espace donne la position exacte. Plusieurs autres vari-
ations d’orientation de plaque ont e´te´ teste´es et l’on constate
que l’algorithme CST se trompe parfois de quelques me`tres,
l’algorihtme a` sous espace donne, quanta` lui, toujours la bonne
position.
Figure 4: Image forme´e par les deux algorithmes (CST a`
gauche et Sous Espace a` droite) pour une plaque oriente´e
(α = pi
2
, β = pi
6
), de dimension 1m×2m×2cm, RSB = 0dB
Notre algorithme semble donc mieux adapte´ a` la de´tection de
plaque en terme de pre´cision de placement. Au dela` de cette
premie`re conclusion, il est ne´cessaire de quantifier les perfor-
mances re´elles de l’algorithme a` sous espace pour une plaque
noye´e dans du bruit blanc.
3.2.2 Courbe de de´tection
Une bonne fac¸on de repre´senter les performances de de´tection
de l’algorithme est de repre´senter la probabilite´ de de´tection
en fonction de la probabilite´ de fausse alarme (PFA) (courbe
COR) pour un rapport signal a` bruit et une orientation de plaque
donne´s.
La figure 5 repre´sente la probabilite´ de de´tection en fonc-
tion de la PFA pour deux plaques pre´sentant une orientation
diffe´rente. On montre [3], que la PFA suit une loi du χ2 centre´e
a` 2R degre´s de liberte´ et que la probabilite´ de de´tection suit une
loi du χ2 de´centre´e a` 2R degre´s de liberte´. Dans chacune de
ces configurations, on repre´sente les trois courbes correspon-
dant aux performances de de´tection dans le cas de l’algorithme
a` sous espace de R e´gal a` 2, 4 ou 6 dimensions. La courbe op-
timale correspond aux performances d’une re´ception parfaite-
ment adapte´e, c’est a` dire avec une connaissance a` priori de
l’orientation de la plaque. La courbe TDCA (Time Domain
Correlation Algorithm) correspond a` l’algorithme CST. Dans
Figure 5: Probabilite´ de de´tection vs PFA, pour une plaque
1× 2 m, α = 0, β = −pi
4
(a` droite), α = pi
2
, β = pi
6
(a` gauche),
RSB = −25dB
chaque cas, l’algorithme a` sous espace donne de meilleurs re´sul-
tats que l’algorithme CST. Il est inte´ressant de constater que
pour les deux orientations de plaque, les meilleurs performances
ne sont pas obtenues pour le meˆme nombre de dimensions de
sous espace. En effet, dans le premier cas (α = 0 et β =
−pi
4
), le de´tecteur a de meilleurs performances pour un sous
espace a` deux dimensions, alors que pour second cas (α = pi
2
et β = pi
6
), les meilleurs performances obtenues sont pour un
sous espace a` 6 dimensions. Cette diffe´rence s’explique par
la nature des vecteurs qui constituent les bases de chaque sous
espace. On rappelle que ces vecteurs sont en fait les vecteurs
singuliers correspondant au plus fortes valeurs singulie`res de
la matrice constitue´e de l’ensemble des re´ponses d’une plaque
pour diffe´rentes orientations. Les vecteurs singuliers sont or-
donne´s suivant l’amplitude de la re´ponse de la plaque. Lorsque
la plaque a une orientation donne´e par α = 0 et β = − pi
4
, elle
re´pond fortement dans la direction des re´cepteurs (la plaque fait
’face’ a` l’antenne synthe`tique). Cette re´ponse correspond donc
plus aux premiers vecteurs singuliers associe´s aux plus grandes
valeurs singulie`res. Dans le cas (α = pi
2
et β = pi
6
), la plaque
re´pond faiblement dans la direction du re´cepteur, quelque soit
sa position. Le signal rec¸u correspond donc plus aux vecteurs
singuliers associe´s aux valeurs singulie`res plus faibles.
4 Conclusion
Les e´tudes pre´liminaires effectue´es pour de´terminer les per-
formances de l’algorithme a` synthe`se d’ouverture base´ sur un
de´tecteur a` sous espace dans le cas d’une plaque noye´e dans un
bruit blanc gaussien sont tre´s prometteuses. Ses avantages sur
l’algorithme de corre´lation spatio-temporelle sont de´montre´s
dans ce cas la`, aussi bien sur sa pre´cision que sur ses perfor-
mances de de´tection. Les e´tudes concernant la robustesse de
l’algorithme a` la de´tection de plaques de tailles non adapte´es
au de´tecteur, ainsi qu’a` la de´tection de cibles plus complexes
sont en actuellement en cours.
References
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thetic Aperture Radar. Signal Processing Magazine, IEEE, vol.12,
no4, pp.21-40, July 1995.
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Foliage Camouflaged Complex Targets. Geoscience and Remote
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[3] H.L. Van Trees. Estimation and Modulation Theory, volume 1.
John Wiley & Sons, 1971.
[4] M. Soumekh. Synthetic Aperture Radar Signal Processing. John
Wiley & Sons,inc.
[5] L.L. Scharf. Statistical Signal Processing : Detection, Estimation,
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[6] P. Forster. Generalized Rectification of Cross Spectral Matrices
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cessing, vol. 49, no5, May 2001.
[7] F.T. Ulaby, C. Elachi. Radar Polarimetry for Geoscience Applica-
tion. F.T. Ulaby, C. Elachi Editors.


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