L'objectif de cette étude est donc la modélisation du comportement macroscopique d'un composite à matrice polymère vitreuse (polyméthacrylate de méthyle) et renfort caoutchoutique en utilisant une technique d'homogénéisation numérique. Dans cette optique, on présente l'étude micromécanique proposée en l'adaptant à la notion de grandes déformations. On rappelle ensuite les hypothèses de travail concernant notre matériau, le chargement et les conditions aux limites du volume élémentaire représentatif dans le cas de l'homogénéisation périodique. Leur mise en œuvre, au moyen d'un code de calcul par éléments finis, permet la détermination du comportement homogène équivalent de notre matériau biphasique. Pour rendre compte des grandes déformations, du temps et de l'histoire du matériau, une description hyperélastoviscoplastique a été adoptée. Le comportement de l'élastomère est décrit par un modèle hyperélastique (Neo-Hookeen), tandis que la partie viscoplastique caractérisant le comportement de la matrice est décrite par le modèle de Perzyna. Les prédictions du modèle constitutif et de la stratégie d'homogénéisation sont comparées aux résultats d'essais de compression uniaxial

ABDELAZIZ, Moussa Naït

BELAYACHI, Naima

BENSEDDIQ, Noureddine

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique                Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 1 
Etude numérique et expérimentale du comportement des polymères chocs 
par une approche d’homogénéisation 
 
Naïma Belayachi, Noureddine Benseddiq, Moussa Naït Abdelaziz 
 
Laboratoire de mécanique de Lille (UMR CNRS 8107), USTL 
Polytech’lille, Bd Paul Langevin- Cité scientifique  
59655 Villeneuve d’Ascq cedex  
Naima.Belayachi@polytech-lille.fr 
 
 
Résumé : 
 
Une méthode d’homogénéisation numérique par élément finis a été utilisée pour étudier le comportement 
mécanique des polymères renforcés par des particules d’élastomères. Le modèle axisymétrique de la cellule 
unique a été considéré. Le comportement de l’élastomère est décrit par un modèle Néo-Hookéen, alors que le 
matériau de la matrice est modélisé par le modèle elasto-viscoplastique de Perzyna. Les simulations numériques 
ont été réalisées pour différentes vitesses de déformation à plusieurs températures pour étudier le comportement 
des composites polymères. Les résultats sont en bon accord avec les mesures expérimentales sous les conditions 
de chargement d’une compression uniaxiale. Ce type de modélisation  peut donner une meilleure connaissance 
des mécanismes de déformation pour le développement de ces matériaux composites d’ingénierie de pointe.      
 
Abstract :  
 
Finite element homogenisation analysis is employed to investigate the mechanical behaviour of rubber 
toughened polymers. Axisymetric cell model is considered. The behaviour of the rubber is described by a Neo-
Hookean model, while the matrix material is modelled within the framework of Perzyna elastic-viscoplasticity 
with a rate dependent yield stress. The simulations are carried out over a wide range of strain rates for various 
temperatures to study the behaviour of polymer composite materials. The results fit quite well the experimental 
measurements under compression loading condition. This type of modelling can provide a better understanding 
of deformation mechanisms for development of this important engineering material.       
 
Mots clefs : 
 
Homogénéisation ; Viscoplastique ; Polymère ; Eléments finis  
 
1 INTRODUCTION 
 
La prédiction des propriétés mécaniques, des composites a fait l’objet de nombreuses études, basées 
sur des approches issues de la mécanique des milieux continus (micromécanique) ou des approches de 
la dynamique macromoléculaires. La dépendance de leur comportement mécanique à la forme, aux 
propriétés des différents matériaux élémentaires, et des interfaces constitue encore un riche domaine 
de recherche. 
Dans ce but, il est essentiel d’avoir la meilleure connaissance possible de ces matériaux, en terme de 
microstructure et de propriétés mécaniques de manière à pouvoir suivre ces propriétés sous 
sollicitations afin d’identifier les mécanismes de déformation mis en jeu, leur initiation et leur 
développement. Il est primordial dans ce genre de problème, d’appréhender le comportement à 
l’échelle microscopique pour pouvoir prévoir le comportement mécanique à l’échelle macroscopique, 
ce qui justifie l’importance d’une théorie telle que l’homogénéisation Van der Sluis et al. (2001) et 
Steenbrink et al. (1999) 
L’objectif de cette étude est la prédiction du comportement macroscopique d’un matériau hétérogène à 
matrice polymère et renforts caoutchoutiques à partir des propriétés mécaniques des différentes phases 
constitutives et de leur répartition spatiale (fraction volumique, forme et taille du renfort). Pour cela, 
une approche micromécanique issue de la mécanique des milieux continus et basée sur une branche 
particulière de la théorie de l’homogénéisation qui est l’homogénéisation périodique a été adoptée. La 
18ème Congrès Français de Mécanique                Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 2 
méthodologie utilisée consiste à résoudre le problème sur une cellule de base, représentative des 
hétérogénéités du milieu périodique Van der Sluis et al. (2001) et à exprimer les résultats par 
l’intermédiaire de relations de moyennes en termes de contraintes et de déformations  macroscopiques. 
Le composite étudié de matrice de polyméthacrylate de méthyle (PMMA) fragile renforcé au choc par 
des particules d’élastomère de polybutadiène et un matériau modèle pour les objectifs de notre travail. 
Nous avons choisi un modèle viscoplastique (Perzyna) pour rendre compte du comportement de la 
matrice amorphe que nous couplons à un modèle hyperélastique pour décrire le comportement de 
l’élastomère Benseddiq et al. (2006). Nous présentons alors dans cette partie la description 
phénoménologique adoptée pour rendre de la nature élastoviscoplastique de la matrice vitreuse et 
hyperélastique du renfort en grandes déformations.   
Les résultats numériques seront comparés aux données expérimentales d’essais de compression 
uniaxiale du PMMA renforcé à différentes fractions volumiques de particules.  
 
2 EXPERIMENTAL  
 
Nous avons mené des essais de compression à différentes vitesses de déformations et différentes 
températures pour le PMMA et pour le polymère modifié (RT-PMMA). Le chargement en 
compression, contrairement à la traction, permet d’éviter (ou de retarder au maximum) les mécanismes 
d’endommagement. Cet essai permet donc de valider le modèle et la méthode d’homogénéisation 
numérique choisis. 
Des éprouvettes cylindriques de 8 mm de hauteur, et un diamètre de 6 mm ont été usinés à partir de 
barreaux d’une section (8×8 mm2) de PMMA. Ces barreaux ont été découpés sur des plaques moulées 
en compression à température à partir du matériau sous forme de granulés. Le refroidissement des 
plaques est fait à l’eau jusqu’à la température ambiante. Dans le but de réduire au maximum les effets 
de frottement, pour mener au mieux les essais de compression,  les dimensions de nos échantillons ont 
été choisie en accord avec le rapport Hauteur/diamètre préconisé par G’sell (1982), avec des facettes 
lisses et parallèles. Afin d’étudier l’effet de la fraction volumique de renfort et de valider la méthode 
d’homogénéisation, des éprouvettes de RT-PMMA de même géométrie ont été usinées à partir de 
plaques de quatre matériaux différents en modifiant le taux de charge volumique (5% , 15%, 20% , 
45%).  
Les essais de compression uniaxiale sont réalisés finalement sur une machine de traction/compression 
Instron 5867 jusqu’à 40% de déformation. Les échantillons sont sollicités entre deux plateaux de 
compression parallèles. Le PMMA  est testé à des vitesses de déformation allant de 10-5 s-1 jusqu’à 10-
2
 s-1 à température ambiante d’abord puis à des températures plus élevées (60°C,  80°C). 
  
3 SIMULATION 
 
3.1 Modèle Hyperélastique-élastoviscoplastique 
 
Pour rendre compte des grandes déformations, du temps et de l’histoire du matériau, une description 
hyperélastique-élastoviscoplastique  a été adoptée. Le comportement de l’élastomère est décrit par un 
modèle énergétique, tandis que la partie viscoplastique caractérisant le comportement de la matrice est 
décrite par le modèle de Perzyna (1985). 
En supposant l’existence d’une densité d’énergie de déformation, W(E), on peut écrire : 
                                          
W( )∂
=
∂
ES
E
         ou      -1 -TS = JF .σ.F                                                        (1)                                                          
( )1det( ),
2
= =J F E C - I                                                                  
Avec 
18ème Congrès Français de Mécanique                Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 3 
F le tenseur gradient de déformation, σ  le tenseur de contrainte de Cauchy,  
TC = F .F  le tenseur de dilatation de Cauchy Green, et I  le tenseur identité. 
La fonction d’énergie de déformation Néo-Hookéenne choisie est sous la forme suivante : 
                                                         
21( 3) ( 1)
2 d
µ
= − + −1W I J                                                        (2) 
Où 
µ  : module de cisaillement de l’élastomère 
d  : paramètre d’incompressibilité du matériau définie par le module de compressibilité du matériau 
2d
K
=  
1I  : Invariant du tenseur des dilatations défini en fonction des élongations principales iλ  : 
2 2 2
1 2 3λ λ λ= + +1I .  
Nous avons choisi de modéliser le comportement en grandes déformations des polymères vitreux par 
les équations introduites par Perzyna (1985). 
Ce modèle considère la relation hypoelastique, et la décomposition additive du tenseur des vitesses de 
déformation pour écrire :  
                                                                 
4 vp
σ = H : (D - D )ɺ                                                                     (3) 
Où H  est le tenseur de Hooke (tenseur d’élasticité) donné par : 
                                                    
ik jl il jk ij kl
νδ δ δ δ δ δ
ν ν
Ε 2 
= ( + ) + 2(1+ ) 1− 2 
Η                                               (4) 
 Où E et ν représentent respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson et δ  le 
symbole de Kronecker. 
La vitesse de déformation viscoplastique est donnée par la règle de normalité comme: 
                                                                  
1
1
m
γ  = − 
 
vp
0
σD
σ
                                                                  (5) 
,m γ  : sont respectivement le paramètre de durcissement et la viscosité (paramètres de sensibilité à la 
vitesse de déformation). σ  est la contrainte d’écoulement et  0σ  est la limite élastique dite statique 
(pour une vitesse qui ne dépasse pas 4 110 s− −  dans notre cas). 
Le modèle de Perzyna décrit seulement la sensibilité à la vitesse de déformation de la contrainte 
d’écoulement, il faut donc introduire l’adoucissement et le durcissement post écoulement. 
Le programme éléments finis que nous utilisons nous permet de prendre en compte ce comportement 
post-écoulement par un combinaison du modèle avec l’Ecrouissage Multilinéaire Isotrope. 
 
3.2 Homogénéisation du comportement du composite 
 
Le matériau est considéré comme un empilement de cellules élémentaires cylindriques à base 
hexagonale. Le centre de chaque cellule élémentaire est occupé par le renfort. La cellule élémentaire 
cylindrique à base hexagonale est assimilée à un cylindre à base circulaire.C’est cette approximation 
qui permet finalement de remplacer le calcul tridimensionnel par un calcul axisymétrique 
bidimensionnel Benseddiq et al. (2006).  
18ème Congrès Français de Mécanique                Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 4 
Le comportement mécanique macroscopique de ces systèmes biphasés morphologiquement complexes 
est fondé sur l’introduction d’un  élément représentatif dans l’espace périodique, on suppose que 
chaque VER se déforme d’une manière répétitive, identique à ses voisins. 
Les conditions aux limites périodiques Benseddiq et al. (2006) de la cellule sont imposée afin 
d’assurer la compatibilité des champs de déformations. Les conditions de symétrie sont utilisées pour 
limiter le VER au ¼ de la cellule axisymétrique (Fig. 1 (a)). 
La géométrie de la cellule est entièrement définie à travers 3 paramètres ; R, H et r qui sont 
respectivement le rayon, la hauteur initiale de la cellule et le rayon de la particule. Le choix commun 
le plus répandu pour ces paramètres est 2R=2H=1 Socrate et al. (2000), alors que r est déterminé par 
la fraction volumique des vides ou des particules 0f  par la relation ( )1/ 303/ 2r f=  . 
Les conditions aux limites sont choisies pour imposer que les bords latéral et supérieur restent droits 
alors que les deux autres bords sont maintenus :
0 0
0 0, .
y
x x
sur y U
sur x U sur x R U cste
= =

= = = =
                           
Le chargement extérieur correspond à un déplacement imposé sur le bord supérieur yU d= −  pour 
simuler l’essai de compression. 
y R 
H 
x 
r 
(a) (b)
 
      
FIG. 1– (a) Cellule axisymétrique et paramètres géométriques (b) Maillage en élément finis de la 
cellule de base.  
Comme on vient de voir dans cette partie, le processus d’homogénéisation passe par quatre étapes 
différentes. Une foie la définition du VER choisie, viens la seconde étape qui est l’applications des 
conditions aux limites et du chargement. Ensuite le regard est porté sur l’analyse du comportement 
mécanique de chaque phase du VER à l’aide de la description hyperélastique-élastoviscoplastique. 
Enfin les propriétés macroscopiques obtenues  de la simulation numérique, sont calculées comme la 
moyenne Socrate et al. (2000) sur la réponse du VER des quantités locales calculées par éléments 
finis :  
                                    
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )
V V
x y x y dV et x y x y dV
V V
σ σ ε ε= =∫ ∫                                         (6) 
 
4 RESULTATS ET DISCUSSIONS 
 
Les simulations présentés dans ce qui suit ont été réalisées à l’aide d’un code de calcul d’éléments 
finis. Un exemple de discrétisation en élément finis est illustré dans la Fig. 1 (b) pour le cas d’une 
fraction volumique de particules de 20%. L’identification des paramètres viscoplastique pour le 
18ème Congrès Français de Mécanique                Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 5 
PMMA passe par le processus classique en utilisant la droite des moindres carrés à partir des courbes 
de compression pour le PMMA à différentes vitesses de déformation.  
Le jeu de paramètres obtenus pour chaque température est donné dans le tableau I. Les paramètres du 
modèle hyperélastique ont été obtenue à partir des résultats relevés de la littérature Fond et al. (1996) 
sur un polybutadiène similaire a celui utilisé en tant  que particules renforçantes dans notre composite. 
Le module de cisaillement ainsi que le module de compressibilité de l’élastomère sont respectivement 
0.333 MPa, et 2000 MPa. 
 
 
T=25°C T=60°C T=80°C 
Paramètres 
élastiques 
( )E MPa  
ν  
2565 
0.32 
1084 
0.33 
833 
0.33 
Paramètres 
viscoplastiques 
m  
γ  
0σ (MPa) 
0.346 
0.027 
89 
0.294 
0.0137 
40 
0.295 
0.0298 
29 
Tableau  : Récapitulatif des paramètres du modèle élastoviscoplastique pour le PMMA.  
 
 
La Fig. 2 compare le comportement simulé et mesuré du PMMA modifié pour différentes fractions 
volumique à température ambiante et à chaque vitesse de déformation.  
 
0
50
100
150
200
250
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Déformation vraie
Co
n
tr
a
in
te
 
v
ra
ie
(M
Pa
)
15%
45%
20%
25 °C and 10 -3 s-1
 ○ , ◊ , □ , ∆    Experimental     
         
─ 
         Simulation
    
0
40
80
120
160
200
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Déformation vraie
Co
n
tr
a
in
te
 
v
ra
ie
 
(M
Pa
)
45%
20%
15%
25 °C and 10 -4 s-1
 ○ , ◊ , □ , ∆    Experimental     
         
─ 
         Simulation
 
 
FIG. 2–  Contrainte de compression en fonction de la déformation des différents  RT-PMMA :  
comparaison entre simulations et mesures. 
 
La réponse macroscopique montre que l’augmentation de la fraction volumique des particules conduit 
à une chute de la limite d’élasticité d’une part, et de l’amplitude de l’adoucissement d’autre part. Les 
courbes contraintes déformations expérimentales et numériques sont en général en bon accord, sauf 
aux fortes déformations de plus de 20%. On observe aussi que les paramètres obtenus semblent 
reproduire le comportement du RT-PMMA aux faibles vitesses pour toutes les fractions volumiques. 
Les courbes résultantes des simulations et des essais expérimentaux pour les différents mélanges de 
PMMA et des particules d’élastomère à une vitesse de déformation de 10-3 s-1 et aux températures plus 
élevées 60°C et 80°C sont représentées respectivement sur la Fig. 3. On observe une tendance 
semblable des courbes pour les températures plus élevées avec un adoucissement plus prononcé pour 
la température de 80 °C. Une bonne concordance de la réponse expérimentale et simulée est obtenue 
excepté pour les faibles fractions volumiques de particules. 
Les deux figures représentant l’effet de la fraction volumique de particules sur le comportement 
macroscopique du composite montrent comment le modèle hyperélastoviscoplastique est capable de 
mettre en évidence la sensibilité du comportement des polymères à l’ajout de particules d’élastomères.  
 
 
18ème Congrès Français de Mécanique                Grenoble, 27-31 août 2007 
 
 6 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Déformation vraie
Co
n
tr
a
in
te
 
v
ra
ie
 
(M
Pa
)
15%
45%
20%
 ○ , ◊ , □ , ∆    Experimental       
          
─ 
       Simulation
60°C and 10 -3 s-1
       
0
10
20
30
40
50
60
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Déformation vraie
C
o
n
tr
a
in
te
 
v
ra
ie 
(M
Pa
)
15%
45%
20%
 ○ , ◊ , □ , ∆    Experimental        
          
─ 
         Simulation
80°C and 10 -3 s-1
 
 
FIG. 3– Réponse expérimentale et simulée d’un essai de compression à une température de 60 et 80 °C 
à une vitesse de déformation de 10-3 /s pour les différents RT-PMMA. 
 
5 CONCLUSION 
 
Le comportement mécanique en grandes déformations du PMMA et du PMMA choc est analysé au 
moyen d’essais de compression uniaxiale pour éviter tout type d’endommagement. L’objectif est 
d’identifier les paramètres intervenant dans la description hyperélastoviscoplastique adopté ici. A 
partir de cette identification, nous pouvons prédire le comportement fortement non linéaire du 
polymère et du composite.  
Le modèle hyperélastique-élastoviscoplastique proposé dans cette étude a été donc validé 
expérimentalement sur un matériau modèle, le RT-PMMA. La technique d’homogénéisation utilisée, 
par calcul de moyenne sur un VER des contraintes et déformations microscopiques, permet de mettre 
en évidence l’influence de certains paramètres et en particulier la fraction volumique des particules et 
la vitesse de déformation sur le comportement macroscopique du composite ainsi que, de montrer la 
pertinence de l’approche d’homogénéisation périodique numérique. 
 
6 REFERENCES 
 
Van Der Sluis O.  Schreurs P. J. Meijer H. E. H. 2001 Homogenisation of structured elastoviscoplastic 
solids at finite strains. Mech. Mat 33, 499-522 
Steenbrink A. C. Van Der Giessen E. 1999 On cavitation, post-cavitation and yeild in amorphous 
polymer-rubber blends. J. Mech. Phys. Solids 47, 843-876. 
Benseddiq N. Belayachi N. Nait Abdelaziz M. 2006  Multiscale approach to the behaviour and 
damage of the heterogeneous elastic-viscoplastic materials, Theo. Applied Fract. Mech. 46, 15-
25 
G’sell C. 1982 Mechanical testing techniques of the plastic behaviour of amorphous and semi 
crystalline materials. In: Plastic deformation of amorphous and semi-crystalline materials. 
Édition de physique. France 13-25. 
Perzyna P.1985 On constitutive modelling of dissipative solids for plastic flow, instability and 
fracture. In: A. Sawczuk (Eds), plasticity today-modelling, methods and applications  657-679.  
Socrate S , Boyce M. C.2000 Micromechanics of toughened polycarbonate. J. Mech. Phys. Solids. 48, 
233-273. 
Fond C., Lobbrecht A., Shirrer R. 1996 Polymers toughened with rubber microspheres, an 
analytical solution for stresses and strains in the rubber particles at equilibrium and 
rupture. Int. J. Fract. 77, 141-159. 
 
 


Etude numérique et expérimentale du comportement des polymères chocs par une approche d'homogénéisation

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