Dans ce papier nous étudions la cinématique des manipulateurs parallèles en se basant sur la notion de contraintes géométriques. Cette méthode permet d'obtenir systématiquement le modèle cinématique de n'importe quelle architecture de robot parallèle. En effet, les manipulateurs parallèles sont des manipulateurs en chaîne cinématiques fermées, constitués d'un organe terminal et d'une base fixe reliés par des chaînes cinématiques indépendantes. Afin de décrire les fermetures des chaînes cinématiques nous utilisons des contraintes géométriques. Ces contraintes permettent de générer des équations de fermeture de chaînes. Ces équations font intervenir à la fois des variables actives, des variables passives et des variables opérationnelles. En se basant sur ces équations nous montrons comment détecter les singularités et comment éliminer d'une manière systématique les variables passives pour obtenir les modèles cinématiques direct et inverse

LAHOUAR, Samir

ROMDHANE, Lotfi

ZEGHLOUL, Saïd

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Analyse systématique des Manipulateurs Parallèles
Samir Lahouar1, Said Zeghloul1 & Lotfi Romdhane2
1 LMS : Laboratoire de Mécanique de Solides
Université de Poitiers
Poitiers, France
2 LGM : Laboratoire de Génie Mécanique
ENIM Université du centre
Monastir, Tunisie
samir.lahouar@lms.univ-poitiers.fr
Résumé :
Dans ce papier nous étudions la cinématique des manipulateurs parallèles en se basant sur la notion de contraintes
géométriques. Cette méthode permet d’obtenir systématiquement le modèle cinématique de n’importe quelle ar-
chitecture de robot parallèle. En effet, les manipulateurs parallèles sont des manipulateurs en chaîne cinématiques
fermées, constitués d’un organe terminal et d’une base fixe reliés par des chaînes cinématiques indépendantes. Afin
de décrire les fermetures des chaînes cinématiques nous utilisons des contraintes géométriques. Ces contraintes
permettent de générer des équations de fermeture de chaînes. Ces équations font intervenir à la fois des variables
actives, des variables passives et des variables opérationnelles. En se basant sur ces équations nous montrons
comment détecter les singularités et comment éliminer d’une manière systématique les variables passives pour
obtenir les modèles cinématiques direct et inverse.
Abstract :
In this paper, we investigate the kinematics of parallel manipulators, using geometrical constraints. This method
yields a systematic way to write the kinematics model of any architecture of a parallel robot made of closed
kinematic chains. These parallel manipulators have a fixed base and a mobile platform connected by independent
kinematic chains. In order to describe the loop closure of these kinematic chains we use geometrical constraints.
These equations contain active variables, passive variables and operational variables. We show how to detect
singularities using these equations and how to eliminate passive variables in a systematic manner in order to get
the forward and the reverse kinematics.
Mots-clefs :
Robots parallèles ; équations de fermeture de chaînes ; élimination des variables passives
1 Introduction
Les robots parallèles sont de plus en plus étudiés en robotique. Il existe plus de cent archi-
tectures qui ont été proposées et il en reste encore beaucoup plus à découvrir (Merlet (1997)).
Chaque architecture ou type d’architecture est étudié à part, il n’y a pas de modélisation sys-
tématique comme c’est le cas des robots sériels avec le paramétrage de Denavit-Hartenberg.
La difficulté des robots parallèles réside dans le fait qu’ils sont composés de chaînes cinéma-
tiques fermées. Les chaînes cinématiques fermées sont à l’origine des modèles géométriques
directes à plusieurs solutions. On appelle mode d’assemblage une solution du modèle géomé-
trique directe. Les modes d’assemblages ne sont pas faciles à obtenir même pour les cas les plus
classiques des robots parallèles. Ce problème devient un centre d’intérêt et un sujet d’étude in-
téressant en mathématiques. Par exemple, dans le cas d’une plateforme de Stewart, Ronga et al.
(1992) ont démontré qu’il existe au maximum 40 solutions au modèle géométrique direct. Alors
1
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que Dietmaier (1996) a utilisé un algorithme astucieux pour trouver une plateforme de Stewart
avec 40 modes d’assemblages. En plus des variables opérationnelles qui définissent la position
de l’organe terminal et des variables actives qui définissent l’état des articulations commandées,
les robots parallèles ont des variables passives qui correspondent aux articulations non comman-
dées. Les variables passives ne sont pas généralement intégrées dans le modèle géométrique car
le système est parfaitement défini avec les variables actives et les variables opérationnelles. Lors
de la simulation des robots parallèles toutes les variables doivent être connues afin de pouvoir
placer toutes les pièces du robot. Le modèle géométrique est souvent calculé au cas par cas en
fonction des architectures des robots parallèles étudiés. Dans ce travail nous proposons une mé-
thode qui permet de générer les modèles géométriques lors de la modélisation des robots sous
un logiciel de CAO Robotique. Cette méthode donne des équations représentant le lien entre
les différents paramètres utilisés pour modéliser le robot. Ces équations doivent être satisfaites
pour garder une structure cohérente du robot modélisé. Nous montrons comment ces équations
sont utilisés afin d’analyser l’état du robot et pour détecter les singularités et générer les mou-
vements. La section suivante présente les méthodes utilisées pour modéliser les robots ainsi que
le logiciel de CAO Robotique utilisé. La section 3 présente la méthode utilisée pour analyser les
équations et générer le mouvement des robots. Dans la section 4 nous développons un exemple
simple d’un robot 2RPR.
2 Modélisation des robots parallèles
Pour modéliser les robots parallèles, nous utilisons SMARP (Lahouar et al. (2006)) : un
logiciel de CAO Robotique développé au Laboratoire de Mécanique de Solide de Poitiers. Ce
logiciel se base sur la notion de maillons et de contraintes.
2.1 Types de maillons
Un maillon correspond à un ensemble de pièces liées entre elles. Il y a trois types de
maillons, qu’on montre dans la figure 1 : le maillon base, le maillon série et le maillon libre. Le
maillon base est le premier maillon dans le robot. C’est le maillon qui permet de positionner le
robot dans son environnement. Tous les autres maillons dépendent du maillon base. Le maillon
série est un maillon lié à un autre maillon (le maillon père) par l’intermédiaire d’une liaison.
Les variables articulaires de la liaison permettent de positionner le maillon série par rapport au
maillon père. Le maillon libre est généralement le maillon qui représente la plateforme mobile
dans le cas des robots parallèles. Ce maillon dépend de 6 variables qui permettent son posi-
tionnement et son orientation par rapport au repère de base. Une matrice homogène permet le
positionnement du maillon libre par rapport au maillon base et fait apparaître les 6 variables.
2.2 Les contraintes
Pour la modélisation des chaînes cinématiques fermées nous utilisons des contraintes. Ces
contraintes permettent d’écrire des équations qui relient les variables des maillons constituant la
chaîne fermée. Selon les variables qu’on souhaite faire apparaître dans les équations il y a deux
scénarios. Le premier scénario consiste à remplacer une liaison par les contraintes correspon-
dantes. La liaison choisie ne doit pas avoir de variables actionnées puisque les variables de cette
liaison ne vont pas apparaître dans les équations de fermeture de chaînes. Le deuxième scénario
consiste à garder toutes les liaisons et à diviser un maillon en deux ce qui donne deux chaînes ou-
vertes et en utilisant une contrainte de coïncidence entre deux maillons on génère des équations
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 1 – Types de maillons
de fermetures de chaînes qui font apparaître toutes les variables des liaisons. Les contraintes
programmées sous SMARP sont : la contrainte de coïncidence entre deux points, la contrainte
de parallélisme entre deux vecteurs et la contrainte de coïncidence entre deux maillons. A titre
d’exemple une liaison sphérique correspond à une contrainte de coïncidence entre deux points
et une liaison pivot peut être remplacée par une liaison de parallélisme entre deux vecteurs avec
une liaison de coïncidence entre deux points. Nous proposons deux méthodes pour modéliser
les robots parallèles. La première méthode consiste à représenter la plateforme mobile comme
étant un maillon libre et remplacer les liaisons passives qui relient la plateforme mobile aux
chaînes ouvertes par les contraintes correspondantes. Les chaînes ouvertes correspondent à des
maillons séries. Cette méthode permet d’avoir des équations reliant les variables actionnées et
les variables passives aux variables opérationnelles (voir figure 2).
FIG. 2 – Première méthode de modélisation des robots parallèles
La deuxième méthode consiste à diviser la plateforme mobile en plusieurs maillons où cha-
cun est relié à une jambe du robot parallèle. Ces maillons sont ensuite encastrés au maillon
mobile en utilisant des contraintes de coïncidence entre deux maillons. Cette méthode (voir
figure 2) permet d’obtenir des équations contenant toutes les variables passives, les variables
actionnées et les variables opérationnelles. Les contraintes permettent d’écrire des équations de
la forme suivante :
F (X) = 0 (1)
Où F est une fonction vectorielle de dimension n : le nombre d’équations et X le vecteur de
toutes les variables du système. On note N le nombre de variables. Ces variables sont ensuite
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
classées en variables opérationnelles Xop , variables passives qp et variables actionnées qa. On
note, a, p et o le nombre de variables actives, passives et opérationnelles respectivement. En
dérivant l’équation (1) on obtient :
[M] {q˙a}+ [N] {q˙p}+ [K]
{
X˙op
}
= 0 (2)
Où [M] est une matrice n× a, [N] est une matrice n× p et [K] est une matrice n× o.
3 Analyse des équations
Les équations nous permettent de calculer la mobilité du système, de classer le système en
système redondant ou système sous actionné et nous permettent de juger de la pertinence du
choix des variables opérationnelles et des variables actionnées. Les singularités sont détectées à
partir des matrices [M], [N] et [K]. Nous montrons comment on obtient le modèle cinématique
directe et le modèle cinématique inverse à partir de ces équations.
3.1 Calcul de la mobilité
On définit la matrice [Ec] comme étant la matrice qui regroupe les trois matrices [M],[N] et
[K] :
[Ec] = [MNK] (3)
La mobilité m du système est définie de la manière suivante :
m = N − rg [Ec] (4)
La mobilité m correspond à la mobilité utile définie par les variables actionnées q˙a et à la
mobilité interne qui peut être placée dans le vecteur des variables passives q˙p . Ainsi on a :
m ≥ a (5)
Cette équation doit être satisfaite pour pouvoir commander le robot. Le cas contraire indique
qu’il y a un problème de conception où bien une position singulière à éviter.
3.2 Etat du système
L’état du système est déterminé en examinant les matrices [M],[N] et [K]. On dit que le
système est redondant si :
rg [K] < a (6)
Il est sous actionné si :
rg [M] < rg [K] (7)
Les équations suivantes doivent être satisfaites :
rg [K] = o (8)
rg [MN] = rg [M] + rg [N] (9)
rg [NK] = rg [N] + rg [K] (10)
Si l’une des équations (8), (9) ou (10) n’est pas satisfaite, cela indique qu’il y a soit un problème
de singularité, soit un problème de classement des variables en variables actives, variables pas-
sive ou variables opérationnelles. Une perte de rang de l’une des matrices [M],[N] ou [K] cor-
respond à une singularité, cela signifie qu’au moins l’une des variables du système peut varier
de manière non contrôlée.
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3.3 Elimination des variables passives
L’élimination des variables passives permet de déterminer le modèle cinématique directe ou
le modèle cinématique inverse. Cela permet de trouver les variables actionnées en fonction des
variables opérationnelles pour le modèle cinématique inverse. Ainsi on peut simuler le mou-
vement du robot. Pour éliminer les variables passives, nous cherchons une matrice [O] telle
que :
[O]T [N] = 0 et rg
(
[O]T [M]
)
= rg [M] (11)
La matrice [O] est construite en faisant une orthogonalisation de Gramm-Schmidt. En utilisant
cette orthogonalisation on construit des vecteurs générés par les colonnes de la matrice [M] et
orthogonaux aux colonnes de la matrice [N]. La matrice [O] n’existe que si [M] et [N] sont indé-
pendants c’est-à-dire l’équation (9) est vérifiée. Le cas contraire indique qu’il y a une variation
des variables actionnés qui peut être dissipée par les variables passives sans avoir de variation
des variables opérationnelles, ce qui correspond à une singularité ou à un problème de concep-
tion. En multipliant l’équation (2) par la matrice [O]T nous obtenons l’équation suivante :
[A] {q˙a}+ [B]
{
X˙op
}
= 0 (12)
Avec
[A] = [O]T [M] (13)
[B] = [O]T [K] (14)
La matrice [A] est carrée et inversible dans le cas où le robot n’est pas redondant. Pour les robots
redondants on peut utiliser la pseudo inverse de la manière suivante :
{q˙a} = [G]+
{
X˙op
}
(15)
Avec
[G]+ = [A]T
(
[A] [A]T
)−1
[B] (16)
Pour trouver les variables passives, il suffit de résoudre l’équation (2) en injectant les variables
actives et les variables opérationnelles.
4 Exemple d’un robot 2RPR
Un robot 2RPR est un robot parallèle plan simple composé de deux jambes contenant cha-
cune une liaison rotoïde, une liaison prismatique et un deuxième liaison rotoïde (voir figure 3).
Pour modéliser le robot 2RPR on utilise la première méthode. Ce robot contient un maillon base
FIG. 3 – Cas d’un robot 2RPR
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
auquel sont reliés deux maillons séries qui correspondent aux deux liaisons pivots passives. Les
liaisons passives correspondent aux variables x0 et x2. A chacun des deux maillons séries est
relié un nouveau maillon série correspondant à l’actionneur. Les deux nouveaux maillons séries
correspondent aux liaisons prismatiques de variables x1 et x3. Pour modéliser l’organe effecteur
nous rajoutant un maillon mobile. Dans ce cas, nous n’avons besoin que de deux variables (x4 et
x5) pour positionner le maillon mobile, car il a un mouvement dans le plan et on n’a pas besoin
de la rotation. Les autres variables du maillon mobile ne vont pas intervenir dans les équations.
Pour générer les équations de fermeture de chaînes, on utilise deux contraintes de coïncidence
entre deux points. Ces contraintes font intervenir le maillon libre et les deux maillons séries des
vérins. Nous obtenons alors les équations suivantes :
x1 cos(x0)− x4 = 0
x1 sin(x0)− x5 = 0
x3 cos(x2)− x4 + L = 0
x3 sin(x2)− x5 = 0
(17)
En dérivant ces équations on obtient :
c0 0
s0 0
0 c2
0 s2

{
x˙1
x˙3
}
+

−x1s0 0
x1c0 0
0 −x3s2
0 x3c2

{
x˙0
x˙2
}
+

−1 0
0 −1
−1 0
0 −1

{
x˙4
x˙5
}
= 0 (18)
Pour ce cas on trouve facilement une matrice [O] sans passer par l’orthogonalisation de Gramm-
Schmidt. La matrice [O]T s’écrit :
[O]T =
[
c0 s0 0 0
0 0 c2 s2
]
(19)
5 Conclusions
Nous avons présenté une méthode permettant de donner de manière systématique les équa-
tions de fermeture de chaîne des robots parallèles. Ces équations nous permettent d’avoir une
idée sur l’état du robot et nous permettent de faire des simulations des mouvements tout en
gardant une compatibilité entre les différentes variables. Une perspective à ce travail serait de
transformer un graphe de liaison de n’importe quel mécanisme en équations de fermeture de
chaînes équivalentes.
Références
Dietmaier P. 1996 Forward kinematics and mobility of one type of symmetric Stewart-Gough
platforms. In ARK, 22-26 Juin, pp. 379-388, Portoroz-Bernadin.
Lahouar, S., Zeghloul, S., Romdhane, L. 2006 SMARP : a tool for parallel manipulators de-
sign and simulation. , Proceedings of IDETC/CIE 2006-99338 ASME Design Engineering
Technical Conferences. September 10-13, Philadelphia, USA.
Merlet, J-P. 1997 Les Robots parallèles. Hermes, Paris
Ronga F., Vust T. 1992 Stewart platforms without computer ? In Conf. Real Analytic and Alge-
braic Geometry pp. 197-212, Trento.
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Analyse systématique des manipulateurs parallèles

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