Les inspections de structures existantes par des techniques de contrôles non-destructifs (CND) ne fournissent pas un résultat exact et il est courant de modéliser leur fiabilité en terme de probabilité de détection (PoD), probabilité de fausse alarme (PFA) et courbes de performance (ROC). Ces probabilités sont déterminées soit à partir de campagnes d'intercalibration soit par modélisation des densités de probabilité du bruit et du signal. Dans ce dernier cas, lorsque le bruit et le signal dépendent de la localisation sur la structure, les PoD et PFA sont des fonctions de l'espace. Cet article présente comment définir ces grandeurs lorsque le dommage et la procédure de détection sont des champs stochastiques

CLEMENT A.

NOUY, Anthony

SCHOEFS, Franck

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Modélisation de résultats d’inspection  
en présence de champs stochastiques de dégradation 
 
Franck Schoefs, Alexandre Clément, Anthony Nouy 
 
Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique, UMR CNRS 6183 
Université de Nantes Atlantique, Ecole Centrale de Nantes 
Faculté des Sciences et des Techniques, 2 rue de la Houssinière, 44322 Nantes cedex 3 
Franck.schoefs@univ-nantes.fr 
 
 
 
 
Résumé : 
 
Les inspections de structures existantes par des techniques de  contrôles non-destructifs (CND) ne 
fournissent pas un résultat exact et il est courant de modéliser leur fiabilité en terme de probabilité de 
détection (PoD), probabilité de fausse alarme (PFA) et courbes de performance (ROC). Ces probabilités 
sont déterminées soit à partir de campagnes d’intercalibration soit par modélisation des densités de 
probabilité du bruit et du signal. Dans ce dernier cas, lorsque le bruit et le signal dépendent de la 
localisation sur la structure, les PoD et PFA sont des fonctions de l’espace. Cet article présente comment 
définir ces grandeurs lorsque le dommage et la procédure de détection sont des champs stochastiques. 
 
Abstract : 
 
Inspection by non-destructive testing (NDT) techniques of existing structures is not perfect and it has 
become a common practice to model their reliability in terms of probability of detection (PoD), 
probability of false alarms (PFA) and Receiver Operating Characteristic (ROC) curves. The assessment 
of PoD and PFA is even deduced from intercalibration of NDT tools or from the modelling of the noise 
and the signal. In this last case when the noise and the signal depend of the location on the structure PoD 
and PFA are spatially dependent. This paper presents how to define PoD and PFA when damage and 
detection are stochastic field.  
 
Mots-clefs :  
 
Probabilité de détection, champ stochastique, corrosion 
 
1 Introduction 
 
L’inspection in-situ par techniques de contrôles non-destructifs (CND) de structures 
conduit à des prises de décision dont les portées économiques (réparations) sont très 
importantes. Pour autant, compte tenu des difficultés de mise en œuvre des techniques 
(conditions d’accès, intempéries, nettoyage de structures), le contexte est incertain. Durant cette 
dernière décennie, les concepts de Probabilité de Détection (PoD) et Probabilité de Fausse 
Alarme (PFA) (Rouhan et al. 2003) ont été largement utilisés. Ils supposent la connaissance des 
distributions du signal global et de l’erreur dans le protocole de mesure et celle de du seuil de 
détection. Ce dernier est très difficile à estimer hors contexte très particulier des campagnes 
d’intercalibration telles que celles menées dans le projet ICON (InterCalibration of NDT 
Techniques for Offshore Structures) dans le secteur offshore (1994-1996) (Barnouin et al. 
1993). Ce seuil de détection est souvent dépendant du facteur humain (expérience, …) et 
plusieurs couples (PFA ; PoD) sont obtenues. La courbe reliant ces points est alors appelée 
ROC (Receiver Operating Characteristics). 
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2 
Dans le cadre de processus stochastiques de dégradation des matériaux, ces courbes sont 
alors indexées par l’espace et le temps. On montre ici le formalisme permettant d’accéder aux 
fonctionnelles paramétrées correspondantes. Une illustration est proposée dans le cadre de 
l’inspection par ultra-sons de structures marines corrodées où 2000 résultats d’inspection sont 
utilisés.  
 
2 Concepts fondamentaux de théorie de la détection 
 
Le concept le plus courant qui permet une modélisation des résultats d’inspections réalisés 
par des techniques de contrôles non destructifs est la Probabilité de Détection (PoD). De 
nombreuses définitions, parfois erronées, sont proposées dans la littérature et un travail de revue 
puis de recadrage de ces définitions dans leur contexte de développement a été produit dans 
Rouhan (2001) et Rouhan et al. (2003). Soit ad la valeur de défaut en dessous de laquelle aucune 
détection n’est possible. Dans la suite, ce paramètre sera appelé seuil de détection de la 
technique d’inspection. La probabilité de détection est alors définie par : 
( )dadˆPPoD ≥=      (1) 
où dˆ désigne la valeur mesurée du défaut, modélisée par une variable aléatoire. L’aléa 
provient de sources différentes : erreur de mesure de la technique, mise en œuvre de la 
technique, aspect du défaut, expérience de l’inspecteur. Cette définition implique que PoD est 
une fonction monotone croissante en fonction de la moyenne du défaut. 
La théorie de la détection offre un cadre plus général et permet notamment de définir la 
probabilité de fausse alarme PFA, à partir de la connaissance des fonctions de densité de 
probabilité du signal bruité f dˆ  et du bruit fη (Rouhan et al., 2003). Le bruit dépend des 
conditions environnementales, du rôle de l’inspecteur (expérience, qualification, fatigue …) et 
de la nature du défaut (préparation de l’état de surface, typologie, …).  La théorie de la détection 
propose alors les définitions (2) pour la PoD et la PFA. 
∫
+∞
∂∂=
da
dˆ
d)(fPoD   ;  n)n(fPFA
da
∫
+∞
∂= η    (2) 
A seuil de détection donné, le couple (PoD, PFA) caractérise la performance de la 
technique NDT; appelée Caractéristique Récepteur – Opétareur (R.O.C). Ce couple donne les 
coordonnées d’un point dans le repère (PoD, PFA). Considérons maintenant que ad prend ses 
valeurs dans l’intervalle [–∞;+∞], on peut construire une courbe dans ce même repère, c’est la 
courbe R.O.C. Il s’agit d’une courbe paramétrique d’équations (2). 
On ne présente pas ici comment la théorie de la décision permet de baser une politique de 
maintenance sur ces concepts. On pourra se reporter à Faber (2002), Rouhan et al. (2003), 
Schoefs et al. (2004, 2006) et Straub et al. (2003). 
 
 
3 Modélisation des résultats d’inspection pour des processus stochastiques spatiaux 
 
3.1 Dépendance spatiale des PoD et PFA 
 
Dans certains cas, la performance de la technique CND dépend de la position sur la 
structure et du point à inspecter. C’est le cas de l’inspection de joints soudés dans le secteur 
offshore. Ceci a été observé lors du projet ICON (Rudlin (1996), Rudlin et al. (1996), Barnouin 
et al. (1993)) et décrit par Schoefs et al. (2007a). Dans ce cas les défauts (fissures) sont localisés 
sur la structure et les R.O.C peuvent être indexées par les coordonnées du point inspecté. 
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Lorsque que le processus de dégradation est continu, les R.O.C sont des fonctions spatiales 
continues. Nous considérons un processus de dégradation modélisé par un champ stochastique 
d(X,t,θ) où X et t désignent respectivement l’espace et le temps. 
 
3.2 Définition des PoD et PFA pour des modèles de dégradation stochastiques 
 
Après inspection, le défaut mesuré d(X,t,θ) devient dˆ (X,t,θ). Ici dˆ  est le champ 
stochastique décrivant le signal bruité. L’équation (3) définit alors le bruit η(X,t,θ) à partir de 
ces deux champs stochastiques. 
η (X,t,θ) = dˆ (X,t,θ) - d(X,t,θ)  (3) 
A partir des équations (2), les PoD et PFA sont déduites par intégration de ces champs 
stochastiques, ce sont donc des fonctions spatio-temporelles. La difficulté réside alors dans la 
modélisation ou l’identification des champs stochastiques dans des conditions proches de 
situations réelles. En effet dans des secteurs où l’inspection est réalisée dans des conditions 
délicates (secteur maritime en particulier) les coûts sont prohibitifs et le recours à des 
campagnes d’intercalibration telles que ICON doit être réservé à des structures à enjeux 
économiques ou de sécurité majeurs. On cherche ici à présenter une modélisation sur la base 
d’un protocole existant, dans un cadre opérationnel connu. 
 
 
4 Etude de cas sur des structures marines  
 
3.1 Dépendance spatiale des PoD et PFA 
 
Depuis plusieurs années, un protocole élaboré par le Centre d’Etudes Maritimes et 
Fluviales permet aux gestionnaires de structures métalliques de réaliser des campagnes 
d’inspections dans un cadre bien défini. Il consiste à répéter l’opération de mesure en trois 
points au voisinage du point d’intérêt ; des détails sont disponibles dans Schoefs et al. 2007a. La 
corrosion étant en général un processus indexé uniquement par la profondeur z, les points sont 
répartis selon une génératrice verticale. Dans le cas des pieux verticaux, les phénomènes 
d’abrasion ou d’oxygénation due aux vortex autour du cylindre peuvent affecter ces processus et 
des mesures sont réalisées sur les quatre points cardinaux à une cote donnée. On a montré que le 
champ stochastique était indexé par z uniquement et qu’ainsi, toutes les génératrices des 
composants inspectés sont autant de trajectoires du processus. Ce champ est noté d(z,t,θ) par la 
suite. Ici z vaut 0 au zéro des cotes marines et le sens du repère correspondant est vertical 
ascendant. Un total de 14 pieux étant inspecté sur la structure étudiée et 12 points de mesures 
étant réalisés à cote zk et date d’inspection ti données (4 points cardinaux et répétition de 3 
mesures), un total de 168 occurrences de dˆ (zk,ti,θ) est disponible. 
 
3.2 Modélisation de l’erreur 
 
A partir du protocole présenté en 3.1, une modélisation du bruit peut être proposée (4). 
η(z,t,θ) = dˆ (z,t,θ) - d(z,t,θ)     (4) 
Le champ dˆ est connu mais dans le cas de l’inspection de structures in situ, d doit être 
déterminé. Cela peut être réalisé de deux manières : 
- d a été quantifié en utilisant une autre technique CND don’t l’erreur de mesure est 
beaucoup plus faible que celle de la technique étudiée. Ceci ne peut être envisagé que lors de 
projets d’inter-calibration. 
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- d est supposé connu en considérant que des paramètres ou des propriétés (moyenne, 
type de distribution, …) de la distribution du bruit sont connus. 
On considère ici la seconde approche en supposant que :  
- le bruit est d’espérance nulle (aucun biais dans l’erreur de mesure),  
- la mesure de la taille du défaut est la moyenne des mesures réalisées au même point. 
- le bruit et la taille du défaut sont des champs indépendants (Schoefs et al. 2007a).  
A la cote z et à la date d’inspection ti, les 12 mesures disponibles dˆ (z, ti, θj) (5) sont 
considérées comme 12 réalisations de la même variable dˆ (z, ti ,θ). 
η(z, ti, θj) = dˆ (z, ti, θj) - d (z, ti ,θ)  (5) 
Où d (z, ti ,θj) est la valeur moyenne des 12 réalisations au point j. Le bruit η inclut le bruit 
de l’appareil lui-même et les erreurs dues au facteur humain (expérience, fatigue, …). 
 
3.3 Résultats pour les mesures discrètes 
 
Les densités du signal (histogramme en traits fins) et de l’erreur (histogrammes pleins) 
sont présentées en figure 1 pour les deux profondeurs -1 et +1 m.  
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
10
20
30
40
50
60
70
Error and loss of thickness [mm]
Depth - 1 m
error
loss of thickness
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
10
20
30
40
50
60
Depth + 1 m
Error and loss of thickness [mm]
error
loss of thickness
 
FIG. 1 – Distributions des signaux et erreurs (bruit) à -1 m et +1 m (figures gauche et droite). 
 
On observe une erreur plus étalée en zone immergée (-1m) qu’en zone aérienne (+1m). En 
faisant évoluer le seuil de détection, inconnu a priori, on obtient les courbes R.O.C d’après (6) 
et (7). Un travail identique est effectué pour d’autres profondeurs (Fig. 2). La zone grisée 
correspond aux inspections réalisées en zone immergée. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 0.05 0.1 0.15
0.85
0.9
0.95
1
PFA
Po
D
ROC curves
+ 3.5 m
+ 2 m
+ 1 m
+ 0.5 m
0 m
- 0.5 m
- 1 m
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5 
FIG. 2 – Courbes R.O.C à différentes profondeurs. 
{ }{ }djikdk
kd
k
ik a),t,z(dˆ;N,...,1j)z(A;
)z(N
))z(A(Card
)t,z(PoD >∈=≈ θ   (6) 
{ }{ }djikk
k
k
ik a),t,z(;N,...,1j)z(B;
)z(N
))z(B(CAR
)t,z(PFA >∈=≈ θηε
η
  (7) 
où Nd(zk) et Nη(zk) sont respectivement le nombre de mesures du défaut et du bruit 
disponibles à (zk, ti) donnés. Des études sur l’erreur (Schoefs et al. 2007a) montrent que l’erreur 
en zone immergée est systématiquement supérieure à celle en zone aérienne. 
 
3.4 Modélisation du champ stochastique continu 
 
Compte tenu de la complexité des phénomènes (température et oxygénation variables, 
cycles de marnage et crue de la rivière), aucune structure d’auto-corrélation n’a put être mise à 
jour jusqu’à aujourd’hui. Nous faisons ici l’hypothèse d’indépendance entre les variables 
aléatoires à chaque niveau. On décompose alors chaque variable sur le chaos polynomial de 
dimension 1 en utilisant une technique d’identification des termes maximisant la vraisemblance 
(Desceliers et al. 2006, Schoefs et al. 2007b)) (8).  
( ) ( )( )∑
=
≈
p
0i
kikik h)z(d
~
,zdˆ θξθ      (8) 
où p est l’ordre du chaos, hi les polynômes d’Hermite et ξk(θ) les germes gaussiens. 
Toutefois, pour les calculs de structure et les analyses de risque, il est important de pouvoir 
construire un champ continu. On suggère alors l’interpolation (9) au niveau des coefficients du 
chaos. 
( ) ( )∑=
k
kiki zd
~
).z(,zd
~ ϕθ     (9) 
où )z(kϕ  sont les fonctions d’interpolation linéaire associés au point zk. On donne dans le 
tableau 1 les id
~
(zk=0 m) pour un chaos de dimension 2. 
 zk= 0m 
0d
~
= 1.012 
1d
~
 0.584 
2d
~
 0.099 
TAB. 1 – Valeurs des coefficients du chaos polynomial à l’ordre 2. 
 
 
4 Conclusion 
 
Cet article présente une extension des mesures des performances des techniques CND 
(PoD,PFA) au cas de champs stochastiques. Une illustration est proposée sur la base 
d’inspections in-situ de structures marines. On montre que des hypothèses sont nécessaires à la 
construction des distributions marginales du champ puis à celle du champ lui même. Sur ce 
dernier point, on suggère une décomposition sur le chaos polynomial et une interpolation des 
coefficients. Cela permet d’obtenir une R.O.C compatible avec les données expérimentales à 
n’importe quelle profondeur et de conduire des calculs aux éléments finis stochastiques. 
 
Remerciements 
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6 
Ce travail est réalisé dans le cadre du programme européen MEDACHS, concernant les 
méthodes de diagnostique, de réparation et de maintenance des structures situées sur le littoral 
atlantique (http ://www.medachs.univ-bordeaux1.fr). Les auteurs tiennent à remercier N. 
Ménard (Port Autonome de Nantes Saint-Nazaire) pour la mise à disposition des données.  
 
Références 
 
Barnouin B., Lemoine L, Dovetr W.D., Rudlin J., Fabbri S., Rebourcet G., Topp D., Kare R., 
Sangouard D. 1993. Un-derwater inspection reliability trials for offshore structures. In ASME 
NY, editor. Proc. of the 12th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic 
Engineering. Vol. 2 pp. 883-890. 
 
Desceliers C., Soize C., and Ghanem R., 2006. Identification of chaos representations of elastic 
properties of random media using experimental vibration tests, Computational Mechanics, in 
press March 2006, 8 p. 
 
Rouhan A., 2001, Evaluation de l’Intégrité Structurale des Plates-Formes Offshore Existantes à 
Partir de Données d’Inspection (Structural Intergrity Evaluation of Existing Offshore 
Platforms Based on Inspection Data). PhD Dissertation, 131 p., novembre 2001, Université 
de Nantes. 
 
Rouhan, A. et Schoefs, F. 2003. Probabilistic modeling of in-spection results for offshore 
structures. Journal of Structural Safety, vol 25, pp. 379-399, 20 pages, 2003. 
 
Rudlin JR, Dover WD. 1996. The ICON database. Assisting underwater inspections. In: 
Offshore technology, vol. 4.  
 
Rudlin J.R. 1996. Reliability of inspection for fatigue cracks in offshore structures. Institution of 
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management of jacket offshore platforms: effect of false alarms. International Forum on 
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Schoefs F., Rguig M.,  Clément A. 2006, Risk assessment based on performantial criterion for 
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Schoefs F., Clément A., Memet J.B., et Nouy A. 2007a. Spatial dependence of Receiver 
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Straub, D, and Faber, M.H. 2003. Modelling dependency in inspection performance. 
Applications of Statistics and Probability in Civil Engineering, Rotterdam, 2003. 


Modélisation de résultats d'inspection en présence de champs stochastiques de dégradation

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