Les modèles d'acoustique phénoménologique permettent, à partir de la description géométrique d'un matériau poreux, d'obtenir sa courbe d'absorption en fonction de la fréquence d'une onde le traversant. Faciles à programmer et à calculer, ces modèles permettent lors de la phase de conception d'une architecture poreuse d'accorder la structure aux exigences d'un cahier des charges. Nous présenterons une utilisation de ces modèles dans le cadre d'une approche Material-by-design

AUFFRAY, Nicolas

BOUCHET, Régis

BRÉCHET, Yves

Auffray, Nicolas

Bouchet, R.

Bréchet, Y.

Hal - Université Grenoble Alpes

Modèles d'acoustique phénoménologiques -Application à la conception de matériau sur mesure-

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Modèles d’acoustique phénoménologiques -Application à la conception
de matériau sur mesure-
Nicolas Auffray1, Régis Bouchet1 & Yves Bréchet2
1 Onera-DMMP
BP72 - 29 avenue de la Division Leclerc FR-92322 CHATILLON CEDEX
2 LTPCM/INPG
Domaine Universitaire de Grenoble
BP 75 38402 St. Martin d’Hères Cedex
Résumé :
Les modèles d’acoustique phénoménologique permettent, à partir de la description géométrique d’un maté-
riau poreux, d’obtenir sa courbe d’absorption en fonction de la fréquence d’une onde le traversant. Faciles
à programmer et à calculer, ces modèles permettent lors de la phase de conception d’une architecture po-
reuse d’accorder la structure aux exigences d’un cahier des charges. Nous présenterons une utilisation de
ces modèles dans le cadre d’une approche Material-by-design.
Abstract :
Starting from the geometrical desciption of a porous media, phenomenological acoustic models allow us
to obtain the absorption vs. frequency graph of a wave flowing through this porous media. The strenght
of those kind of models is that they are very easy to compute, so they are a powerful designing-tool to
elaborate sound-absorptive architectured media. Our aim here is to introduce that kind of model, and to
place emphasis on how they could be use in a material-by-design approach.
Mots-clefs :
acoustique ; matériaux poreux ; material-by-design
1 Introduction
L’objectif de l’approchematerial-by-design consiste à utiliser les liens qui unissent les
propriétés physiques des matériaux à leurs topologies, pour s’orienter dès la phase de pré-
conception vers une architecture permettant au-dit matériau de maximiser son efficacité.
L’acoustique des matériaux poreux est, à ce niveau, un excellent exemple des potentialités
de cette approche. Par acoustique des matériaux poreux nous entendons les phénomènes
dissipatifs qui prennent place au coeur de ces matériaux quand des ondes acoustiques
viennent à les traverser. La problématique industrielle sous-jacente vise à la conception
d’absorbeurs acoustiques destinés à réduire les émissions sonores des réacteurs d’avions,
toutefois la démarche de conception initiée sur ce projet à une portée plus large qui touche
à la conception a-priori d’absorbeurs acoustiques passifs. Comme illustré au cours de la
thèse de Gasser (2003) si l’on maîtrise précisément l’architecture du réseau poreux pé-
riodique alors il nous est possible d’accorder notre matériau sur un spectre d’absorption
choisi. Plusieurs approches ont été conduites au cours de son travail, nous nous concen-
trerons ici sur un modèle analytique de type Lafarge-Pride (LP par la suite). Les intérêts
de ce modèle sont multiples, tout d’abord il est excessivement facile et rapide à mettre
en oeuvre, les résultats prédits sont dans un bon rapport avec l’expérience et de plus il
est assez aisé de dériver de son formalisme des outils qui peuvent être autant d’aide à la
conception.
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Dans un premier temps nous rappellerons quelques notions d’acoustique des matériaux
poreux, ceci de manière à présenter le modèle de LP sur lequel nous allons travailler. Dans
la partie suivante, nous nous intéresserons à la formulation inverse de notre problème,
c’est-à-dire à la possibilité à partir d’une courbe d’absorption de remonter aux paramètres
matériaux. Nous montrerons alors que ce problème, identifié comme mal posé, permet
pour une courbe donnée d’obtenir un fuseau de matériaux y correspondant ; loin d’être
problématique ce fait nous permet de déterminer les équations de matériaux équivalents
au sens de l’acoustique. Cette propriété est d’une grande utilité pratique en conception
car elle identifie des couples de paramètres sur lesquels on peut jouer pour optimiser un
matériau vis-à-vis de contraintes extérieures.
2 Acoustique des matériaux poreux
L’ensemble des modèles d’acoustique phénoménologiques est dérivé en substituant
au comportement local un comportement global moyenné sur la structure. On passe ainsi
d’une intégration des équations de Navier-Stokes, qui tiendrait compte de la géométrie
exacte de notre matériau poreux, à un modèle équivalent fonctionnant comme une loi en-
trée/sortie. L’idée est de moyenner sur le volume, quand le volume tend vers l’infini, nos
équations locales viscothermiques en imposant que la forme des équations de comporte-
ment moyen est assimilable à celle d’un fluide parfait dont le nombre d’onde dépendrait
de la fréquence.
2.1 Dérivation du modèle de Lafarge-Pride
Au niveau local, en régime harmonique et sous les hypothèses des petites perturbations
d’une part, et de l’incompressibilité locale d’autre part, notre problème est décrit par le
système d’équations (Voir Johnson et al. (1987) pour tous les détails de la dérivation) :
ρ0iωu = −∇p+ µ∆u (1)
0 =
1
P0
iωp− 1
T0
iωτ (2)
ρ0Cpiωτ = iωp+K∆τ (3)
complété des conditions aux limites suivantes au contact du squelette rigide et isotherme
de notre matériau poreux :
u = 0 (4)
τ = 0 (5)
Les variables u, p, τ représentent respectivement les fluctuations des champs de vitesse,
de pression et de température autour de leur valeur moyenne 0, P0, T0. Les autres co-
efficients sont : - ρ0 la masse volumique de l’air ; - µ la viscosité dynamique de l’air ;
- K le coefficient isotrope de conduction thermique ; - Cp la capacité calorifique mas-
sique. L’équation (1) est l’équation de la dynamique (Navier-Stokes incompressible), (2)
dérive de la conservation de la masse tandis que (3) est l’équation de la thermique. Les
conditions aux limites, quant à elles, traduisent le fait qu’au contact des parois de notre
matériau la vitesse des particules de fluide s’annule (4) ainsi que, notre matériau étant
considéré comme isotherme, la fluctuation de température du fluide au niveau des parois
est nulle (5). En moyennant les champs locaux sur le volume du matériau on met les
champs moyens sous la forme d’un fluide non dissipatif, c’est-à-dire tel que :
∆ < p > +
ω2
ceff
< p >= 0 (6)
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
où
< p >=
1
ω
ZZZ
ω
pdV (7)
avec
ceff =
s
1
ρeffχeff
(8)
avec
ρeff = ρ0α∞

1− i 8µ
ρ0λ2
1− p+ p
q
1 + C
2
2p2
ρ0λ2
8µ
iω
Cω

(9)
et
χeff =
1
γP0

γ − γ − 1
1− i 8µ
ρ0Prλ
′2
1−p′+p′
É
1+ C
′2
2p
′2
ρ0λ
′2Pr
8µ
iω
C′ω

(10)
ρeff , χeff et ceff représentent respectivement la densité, la compressibilité et la célérité
effective du milieu poreux. Les équations (9) et (10) sont particulièrement importantes
car elles nous permettent de relier le comportement effectif du matériau à la géométrie
de son architecture. Les paramètres de ces coefficients sont les suivants : - α∞ la tor-
tuosité, c’est-à-dire le rapport entre la longueur parcourue par le fluide et la longueur du
matériau ; - λ la longueur caractéristique visqueuse ; - C le facteur de formes des pores ;
- p le facteur de variation de section des pores pour les phénomènes visqueux. λ, C ′et
p
′ sont leurs équivalents pour les phénomènes thermiques. Les coefficients µ et Pr sont,
respectivement, la viscosité dynamique ainsi que le nombre de Prandtl du fluide sujet aux
phénomènes acoustiques, dans notre cas il s’agira de l’air.
2.2 Modèle d’absorption acoustique pour un matériau poreux
La forme générale de l’équation de l’onde plane progressive unidimensionnelle solu-
tion de (6) est :
p =< p >= eiωt[Ae−ikx +Beikx] (11)
avec k le nombre d’onde. Son expression est
k =
ω
ceff
=
√
ρeffχeffω (12)
Le nombre d’onde associé à la propagation est un nombre complexe, ceci est caractéris-
tique d’un phénomène dissipatif.
Considérons maintenant le cas de la figure 1 qui représente notre matériau poreux
dans son environnement. Le milieu 1 est l’air, le milieu 2 le matériau et le 3 un miroir
acoustique. L’impédance de l’air est notée Z0, celle du milieu poreux Zeff , tandis que
celle du miroir acoustique est supposée infinie. On a
Zeff =
1
φ
Ê
ρeff
χeff
(13)
On introduit r le coefficient de réflexion en pression de l’onde acoustique, c’est-à-dire le
rapport des pressions de l’onde réfléchie sur l’onde incidente :
r =
H ∗ Zeff − Z0
H ∗ Zeff + Z0 (14)
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 1 – Schéma d’un matériau poreux en fonctionnement (voir le texte pour plus d’explication)
oùH est la fonction de transfert qui permet de tenir compte du parcours de l’onde dans le
matériau poreux. H s’exprime
H =
1 + e−2i
√
ρeffχeffωL
1− e−2i√ρeffχeffωL (15)
et, si l’on passe en énergie, on obtient la dissipation créée par le matériau.
Abs(f) = 1− |r(f)|2 (16)
3 Utilisation du modèle de Lafarge-Pride
La programmation du modèle précédent dans un logiciel du type Matlab est triviale.
Regardons maintenant des exemples d’outils que l’on peut dériver de cette approche.
Nous nous intéresserons à la classe des problèmes inverses. Par problème inverse nous
entendons le fait de remonter au jeu de paramètres du modèle connaissant la courbe d’ab-
sorption. L’idée initiale est d’identifier les paramètres matériaux d’un échantillons en mi-
nimisant le nombre de manipulations expérimentales. Pour que cela soit possible il faut
que pour une courbe donnée il existe un jeu de paramètres unique. Nous allons montrer
que cela n’est pas le cas, et que nous pouvons dériver des propriétés intéressantes de cette
constatation.
3.1 Existence de solutions multiples
On considère que le problème direct est défini par la donnée d’un vecteur de paramètre
matériau de la forme suivante :
V = {L, α∞, φ, λ, λ′ , C, C ′ , p, p′} (17)
L’image de ce vecteur par une application φ est une fonction Abs de R+ dans [0; 1] qui
à une fréquence associe un niveau d’absorption. Le problème inverse dans le cas idéal
consiste alors à se demander si connaissant une fonction Abs particulière on peut remon-
ter à V . Le problème inverse dans le cas réel est plus complexe car on ne connaît plus la
fonction Abs mais une approximation de cette fonction que l’on considère pour une fe-
nêtre finie de fréquences. Le problème idéal traite de la nature intrinsèquement bien posé
ou non du problème, le problème réel considère en plus la sensibilité de ce problème.
Nous considérerons ici uniquement le cas idéal. Un problème est dit bien posé au sens
d’Hadamard si trois conditions sont réunies : - que la solution existe ; - que cette solution
soit unique ; - que la solution dépende de façon continue des données. On a procédé à la
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
minimisation d’une courbe générée par le modèle de LP par lui-même via un algorithme
de Levenberg-Marquardt. Le problème de l’existence d’une solution est, de fait, auto-
matiquement réglé. Nous ne vérifierons pas le troisième point. Le résultat de cette étude
montre l’existence d’une infinité de famille de solutions liées. La raison en est la suivante,
nous pouvons récrire les paramètres du modèle de la manière suivante
Zeff =
√
α∞
φ
Ê
ρeff
α∞χeff
H =
1 + e
−2i
È
ρeff
α∞ χeffω
√
α∞L
1− e−2i
È
ρeff
α∞ χeffω
√
α∞L
(18)
on pose alors
q =
√
α∞
φ
,t =
√
α∞L (19)
De fait pour un jeu de paramètres {q, t, λ, λ′ , C, C ′ , p, p′} donné on a, quelque soit L, la
famille de jeu de paramètres
V q,t = {L,

t
L
2
,
t
q
1
L
, λ, λ
′
, C, C
′
, p, p
′} (20)
qui conduit à des courbes d’absorption identiques. La raison est que cette vision « glo-
bale » du problème mélange deux échelles d’observation du matériau. Le vecteur V
contient en effet des paramètres intrinsèques au réseau poreux {α∞, λ, λ′ , C, C ′ , p, p′}
ainsi que des paramètres macroscopiques {L, φ}. L’interprétation physique des coeffi-
cients q et t va dans ce sens. On a t =
√
α∞L = L
′ qui est la longueur effective du
réseau, le seul paramètre de longueur vu par l’onde. Ainsi que q =
√
α∞
φ
qui correspond à
la limite haute fréquence du rapport Zeff
Z0
et qui est une constante d’architecture du milieu
poreux.
3.2 Conséquences
Deux conséquences importantes découlent de cette étude. Tout d’abord si l’on caracté-
rise le comportement d’un matériau au tube à impédance la simple mise en oeuvre d’une
méthode inverse pour remonter aux caractéristiques du milieu est insuffisante, d’autres
mesures physiques seront nécessaire pour cela. Le deuxième point est toutefois positif,
car on a pour une courbe d’absorption donnée une famille de matériau y conduisant, et de
plus on connaît les relations qui lient les paramètres macroscopiques au sein de cette fa-
mille. Cela peut permettre en phase de conception si on a, par exemple, une contrainte de
longueur limite sur le dispositif acoustique de jouer sur les autres paramètres pour obtenir
un matériau acoustique adapté. Dans cette optique il devient plus astucieux, lors de phase
de recherche de solutions, de travailler à partir du couple {q, t} qu’à partir de {L, α∞, φ}.
Le candidat identifié, les formules (19) permettent de trouver la mise en oeuvre macro-
scopique la plus adaptée du matériau. Considérons un exemple. On prend comme para-
mètres intrinsèques λ = λ′ = 0, 1 mm et C = C ′ = p = p′ = 1 et on trace, pour
ce jeu de paramètres, la carte des isovaleurs d’absorption à 1000Hz en fonction de {q, t}
(fig.2(a)). Désirant maximiser cette absorption on note que la famille des matériaux (1,25 ;
60) semble être une bonne candidate. La courbe absorption-fréquence de cette famille,
présentée sur la figure 2(b), confirme cela. Si l’on recherche maintenant, par exemple,
la solution qui minimise la tortuosité, on abouti au trio de paramètres macroscopiques :
L = 60 mm ; α∞ = 1 ; φ = 80%.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
(a) Carte d’iso-absorption dans l’espace des familles
de courbes
(b) Courbe d’absorption de la famille (1.25 ;60)
FIG. 2 – Sélection d’une famille de matériau maximisant l’absorption acoustique à 1000Hz
4 Conclusion
Après avoir réintroduit les étapes qui conduisent à l’établissement des modèles d’acous-
tiques phénoménologiques, nous avons montré que le problème qui permet ensuite de
passer de l’impédance de ce milieu poreux à sa courbe d’absorption contient des para-
mètres liés. A une courbe d’absorption donné correspond alors une famille de matériaux
équivalent, le problème inverse est donc mal posé. Ce fait n’est pas problématique dans
un contexte de conception car il nous permet de réaliser des cartes de choix dans l’espace
des familles de solutions. Une fois une solution identifiée, on peut ensuite modifier les
paramètres liés pour trouver la solution la mieux adaptée au cahier des charges.
Références
Gasser, Stéphane. 2003 Étude des propriétés acoustiques et mécaniques d’un matériau métallique
poreux modèle à base de sphères creuses de nickel. Thèse INPG.
Johnson, D. L., Koplik, J., Dashen, R. 1987 Théorie of dynamic permeability and tortuosity in
fluid-satured porous media. In Journal of Fluid Mechanic vol 176 pp. 379-402.
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Modèles d'acoustique phénoménologiques - Application à la conception de matériaux sur mesure

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceLes modèles d'acoustique phénoménologique permettent, à partir de la description géométrique d'un matériau poreux, d'obtenir sa courbe d'absorption en fonction de la fréquence d'une onde le traversant. Faciles à programmer et à calculer, ces modèles permettent lors de la phase de conception d'une architecture poreuse d'accorder la structure aux exigences d'un cahier des charges. Nous présenterons une utilisation de ces modèles dans le cadre d'une approche Material-by-design

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