Dans ce papier, la performance d'un tronçon traité avec une configuration segmentée axialement de matériaux absorbants a été évaluée. L'évaluation est basée sur la mesure de la matrice de diffusion multimodale par une méthode développée à l'Université de Technologie de Compiègne. La comparaison des différents coefficients de la matrice de diffusion et de la dissipation acoustique déduite de cette matrice pour les configurations segmenté et uniforme a permis de mettre en évidence l'influence de l'ordre de segmentation par rapport à l'emplacement de la source ainsi que l'augmentation de l'efficacité de ce type de traitement

FOUCART, Félix

HADDAR, Mohamed

TAKTAK, Mohamed

VILLE, Jean-Michel

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Etude des performances des traitements acoustiques axialement non 
uniforme dans les conduits 
 
Mohamed Taktak (1,2), Jean Michel Ville (1), Mohamed Haddar (2) & Félix Foucart (1) 
 
Laboratoire Roberval FRE UTC-CNRS No. 2833 
 Université de Technologie de Compiègne, BP 20529, F 60205, Compiègne Cedex France 
Unité de Modélisation, Mécanique et Production (U2MP) 
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sfax, BP W 3038, Sfax, Tunisie 
mohamed.taktak@utc.fr 
 
Résumé : 
 
Dans ce papier, la performance d’un tronçon traité avec une configuration segmentée axialement de 
matériaux absorbants a été évaluée. L’évaluation est basée sur la  mesure de la matrice de diffusion 
multimodale par une méthode développée à l’Université de Technologie de Compiègne. La comparaison 
des différents coefficients de la matrice de diffusion et de la dissipation acoustique déduite de cette 
matrice pour les configurations segmenté et uniforme a permis de mettre en évidence l’influence de 
l’ordre de segmentation par rapport à l’emplacement de la source ainsi que l’augmentation de 
l’efficacité de ce type de traitement.     
 
Abstract : 
 
In this paper, the performance of a lined duct with an axially segmented liners configuration was tested. 
The evaluation is based on a measurement of the multimodal scattering matrix by a method developed in 
the University of Technology of Compiègne. The comparison of several coefficients of the scattering 
matrix and the acoustic dissipation deduced from this matrix for segmented and uniform configurations 
pointed out the influence of the segmentation with regard to the source location as well as an increase of 
the efficiency of this kind of liner.       
 
Mots-clefs : Matrice de Diffusion ; Matériau localement réactif ; Dissipation  
 
1 Introduction 
 
Pour réduire le bruit rayonné par les entrées d’air de moteurs d’avion, les constructeurs 
disposent sur la périphérie des matériaux localement réactifs de type nid d’abeille accordés sur 
le spectre d’émission de la source et exposés à une pression acoustique distribuée sur la base des 
modes du conduit. 
Pour augmenter l’efficacité du traitement divers dispositifs ont été testés et sont déjà mis 
en place comme les matériaux à plusieurs degrés de liberté. Une autre technique consiste à 
distribuer suivant l’axe du conduit des tronçons recouverts de matériaux localement réactifs 
d’impédance différente pour élargir le domaine des fréquences et l’atténuation. Cette disposition 
a été étudiée théoriquement par McAlpine et al. (2006) qui ont montré l’efficacité de ce type de 
traitement. 
Au laboratoire Roberval de l’Université de Technologie de Compiègne une technique de 
mesure des caractéristiques d’une discontinuité a été développée basée sur la détermination de 
la matrice de diffusion dont on déduit la dissipation acoustique. Nous présentons dans ce papier 
une comparaison des coefficients modaux des matrices de diffusion et de la dissipation d’un 
tronçon recouvert par un matériau localement réactif uniforme et d’un autre recouvert par un 
matériau segmenté suivant son axe en deux matériaux localement réactifs d’impédance 
différente pour mettre en évidence les transformations qui sont à l’origine des dissipations 
observées avec les deux types de traitement. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
Après avoir défini la matrice de diffusion dans la section 2, la technique de mesure de la 
matrice est présentée dans la troisième section. La quatrième section présente le calcul de la 
dissipation acoustique à partir de la matrice de diffusion. Dans la cinquième section, les 
résultats expérimentaux pour les deux configurations étudiées sont comparés et analysés. 
 
2 Matrice de diffusion multimodale 
 
La matrice de diffusion multimodale [ ]D d’un conduit comportant un tronçon traité localisé 
entre les coordonnées axiales Gz et Dz  relie linéairement le vecteur des pressions modales 
entrantes et le vecteur des pressions modales sortantes (FIG. 1 (a)) : 
 
{ } { }
11 12
2 221 22
2 2
N N N Nso en
N N
N N N N N N
D D
P P
D D
× ×
× × ×
        = ×
        
 
 
N représente le nombre des modes propagatifs dans le conduit de mesure. Le vecteur 
{ }
2
en
N
P regroupe les pressions modales incidentes ( )imn GP z  et rétrogrades ( )trmn DP z . Le vecteur 
{ }
2
so
N
P regroupe les pressions modales réfléchies ( )rmn GP z  et transmises ( )tmn DP z , m et n sont 
respectivement les nombres d’onde angulaire et radial. 
La matrice de diffusion multimodale caractérise le tronçon de manière indépendante des 
conditions acoustiques à l’entrée et la sortie.  Elle contient des informations détaillées par mode 
des propriétés de réflexion, de transmission et de conversion du tronçon. 11
,mn pqD   et 
21
,mn pqD   
représentent respectivement la réflexion et la transmission du mode (p,q) sur le mode (m,n) 
associées à la propagation dans le sens des z positifs, 22
,mn pqD   et 
12
,mn pqD   représentent 
respectivement la réflexion et la transmission du mode (p,q) sur le mode (m,n) associées à la 
propagation dans le sens des z négatifs. 
 
3 Technique expérimental de mesure de la matrice de diffusion multimodale 
 
La mesure de la matrice de diffusion multimodale est effectuée par l’équipement installé 
dans la chambre anéchoïque de l’UTC présenté sur la FIG. 1 (b). Le dispositif et la procédure de 
la mesure sont détaillés dans Sitel et al. (2006). La bande de fréquence étudiée est [0-2700 Hz]. 
L’expérience est répétée 20 fois : 5 sources avec 4 charges qui ont été choisies afin d’assurer la 
génération des vecteurs modaux d’entrée linéairement indépendantes. Enfin, les matrices des 
pressions entrantes 
10 20
enP
×
   et des pressions sortantes 10 20
soP
×
   sont remplies par les vecteurs 
des coefficients modaux ( ){ }imn GP z , ( ){ }tmn DP z , ( ){ }rmn GP z et ( ){ }trmn DP z . La matrice de 
diffusion [ ]10 10D ×  est obtenue à partir de l’équation suivante :  
[ ] 1* *10 10 T TT en en en soD P P P P
−
×
         = ⋅ ⋅           
 
L’atténuation du tronçon étudié et l’absence d’une source sonore du côté charge conduisent 
à un mauvais rapport signal/bruit de l’onde sonore qui se propage dans le sens des z négatifs 
(Sitel (2005)), ce qui provoque une erreur importante sur les coefficients associées aux matrices 
22D   et 
12D  . Pour résoudre ce problème, la procédure expérimentale est appliquée deux 
fois : la première configuration de gauche à droite : source - matériau absorbant M1 - matériau 
(1) 
(2) 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
absorbant M2 – charge pour déterminer les coefficients des matrices 11D   et 
21D  , la 
deuxième configuration en retournant le tronçon pour déterminer les coefficients des matrices 
22D   et 
12D  . 
   
 
 
 
(a) 
 
(b) 
FIG. 1 – Dispositif expérimental (a) présentation schématique (b) conduit de mesure à l’UTC 
 
4 Calcul de la dissipation acoustique 
 
La dissipation acoustique disW du tronçon étudié est la différence entre la puissance totale 
acoustique dans les sections situées en Gz et Dz . Cette dissipation peut être calculée à partir de la 
matrice de diffusion d’après Aurégan et Starobinski (1999) : 
 
( ) 2 22 2
1 1
10log
N N
dis i i i
i i
W dB d dλ
= =
 
= 	 

 
   
 
Avec 2,...,i Nλ λ les valeurs propres de la matrice [ ]H  définie par : 
 
[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ]*1 1TH X D X X D X− −   = ⋅   ; [ ] ( )0 0diag 2mn mnX N k c kρ = ⋅    
 
{ } { }*
2 2
T
en i
i N N
d U= Π ⋅ , { }
2
i
N
U est le vecteur propre associé à la valeur propre iλ de la 
matrice [ ]H ,{ } [ ]{ }2 2en enmnN NX PΠ = , ( )2 2 21mn m mn mnN SJ mχ χ = −  est le coefficient de 
normalisation associé au mode (m,n), kmn est le nombre d’onde axial, c0 est la célérité du son, 0 
est la masse volumique de l’air, k est le nombre d’onde, S est la section du conduit, mJ  est la 
fonction de Bessel de 1ère espèce d’ordre m et mnχ  est le nième zéro de sa dérivée première. De 
cette expression on déduit la dissipation du tronçon associé à un vecteur choisi des pressions 
entrantes à gauche et/ou à droite. Ici on traite deux cas séparés d’une pression entrante à gauche 
{ }( )1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Ten GP =  et d’une pression entrante à 
droite { }( )0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 Ten DP = . 
 
5 Résultats Expérimentaux 
 
La matrice de diffusion du tronçon compris entre zG et zD est mesurée. Ses dimensions 
sont présentées dans la FIG. 1 (a). Les matériaux utilisés sont de type localement 
 

  


      
     
 	     
	
 
   
 
    
  

  
M1 M2 
(3) 
(4) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
od
u
le
ka
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
o
du
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
  
M
od
u
le
ka
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
od
u
le
ka
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
od
u
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.5
1
1.5
2
  
M
od
u
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.5
1
1.5
M
od
u
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
od
u
le
ka
réactif composés d’une plaque perforée d’épaisseur 1 mm avec un taux de perforation de 2,5% 
et un diamètre de trou de 1mm, d’une structure de nids d’abeille et d’une plaque rigide, ils 
diffèrent par l’épaisseur de la structure de nids d’abeille (8 mm pour M1 et 16 mm pour M2).  
 
5.1 Etude des coefficients de la matrice de diffusion  
 
Les FIGS. 2 et 3 présentent respectivement une comparaison entre les modules mesurés 
pour le mode plan et pour le mode (1,0) des coefficients de la matrice de diffusion du conduit 
segmenté associés à la propagation dans le sens des z positifs (rouge) et négatifs (bleu) en 
fonction du nombre d’onde adimensionnel k.a (a étant le rayon du conduit). On note que les 
coefficients de transmission dans les deux sens sont similaires ce qui n’est pas le cas pour les 
coefficients de réflexion. 
 
 
 
 
 
 
FIG. 2 – (a) Coefficient de réflexion expérimental (– 1100,00D – 2200,00D ), (b) Coefficient de 
transmission expérimental (– 2100,00D – 1200,00D ) du conduit  segmenté 
FIG. 3 – (a) Coefficient de réflexion expérimental (– 1110,10D – 2210,10D ), (b) Coefficient de 
transmission expérimental (– 2110,10D – 1210,10D ) du conduit  segmenté 
 
 
 
FIG. 4 – (a) Coefficient de réflexion numérique (– 1100,00D – 2200,00D ), (b) Coefficient de 
transmission numérique (– 2100,00D – 1200,00D ) du conduit  segmenté 
 
 
 
FIG. 5 – (a) Coefficient de réflexion numérique (– 1110,10D – 2210,10D ), (b) Coefficient de 
transmission numérique (– 2110,10D – 1210,10D )  du conduit  segmenté 
(a) (b) 
(a) (b) 
(a) (b) 
(a) (b) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
M
od
u
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.5
1
1.5
M
o
du
le
ka
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
M
od
u
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.5
1
1.5
M
od
u
le
ka
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
o
du
le
ka
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
  
M
o
du
le
ka
  Les résultats d’une étude théorique du problème étudié basée sur une modélisation 
numérique développée par Taktak et al. (2006) sont tracés respectivement sur les FIGS. 4 et 5 
pour le mode plan et le mode (1,0). Les résultats numériques et expérimentaux sont similaires. 
Les coefficients de transmission sont des paramètres globaux et ne dépendent que des 
caractéristiques acoustiques globales du tronçon et pas du sens de propagation de l’onde sonore.  
 
Une comparaison des coefficients mesurés des matrices de diffusion des configurations 
segmentée et uniforme est faite. Deux configurations uniformes, avec une partie traitée de 30 
cm de longueur, sont utilisées : la première avec le matériau M1, la deuxième avec le matériau 
M2. Les FIGS. 6 et 7 présentent  respectivement le module des coefficients des ces matrices 
expérimentales relatifs aux mode plan et (2,0). 
 
FIG. 6 – (a) Coefficient de réflexion expérimental 1120,20D , (b) Coefficient de transmission 
expérimental 2100,00D  du conduit  segmenté (–) et du conduit uniforme (– M1) 
 
FIG. 7 – (a) Coefficient de réflexion expérimental 2220,20D , (b) Coefficient de transmission 
expérimental 1200,00D  du conduit  segmenté (–) et du conduit uniforme (– M2) 
 
FIG. 8 – (a) Coefficients de réflexion numérique (– 1100,00D ,– 2200,00D ) du conduit segmenté, 
( 1100,00D  : – M1, – M2) des conduits uniformes (b) Coefficient de transmission numérique (–
11
10,10D ,–
22
10,10D ) du conduit  segmenté, ( 1110,10D  : – M1, – M2) des conduits uniformes 
 
Les coefficients de réflexion de la configuration segmentée relatifs au sens des z positifs 
(FIG. 6) se rapprochent de ceux mesurés avec la configuration uniforme M1  (idem pour les 
coefficients de réflexion de la configuration segmentée relatifs au sens des z négatifs avec les 
coefficients de réflexion de la configuration uniforme M2). Les résultats numériques sont tracés 
sur la FIG. 8 pour les modes plan et (2,0). Les résultas numériques et expérimentaux sont 
similaires. Les coefficients de réflexion dépendent de l’ordre de segmentation des matériaux et  
du sens de propagation de l’onde. Ces résultats sont expliqués par la similitude des conditions 
(a) (b) 
(a) (b) 
(a) (b) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
ka
Di
ss
ip
at
io
n
 
(dB
)
0 0.2 0.4 0.6 0 .8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 .2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.80
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
ka
Di
ss
ip
at
io
n 
(dB
)
de réflexion du côté gauche du tronçon segmenté avec celles du tronçon avec matériau uniforme 
M1 (idem pour le côté droit avec la configuration uniforme avec le matériau M2).  
 
5.2 Etude de la dissipation acoustique 
 
La dissipation acoustique est déduite de la matrice de diffusion expérimentale pour les trois  
configurations du tronçon dans deux cas : le premier d’une onde entrante du côté gauche du 
conduit, le deuxième d’une onde entrante du côté droite. Ces dissipations sont présentées dans 
la FIG. 9. Ces résultats montre l’efficacité de la configuration segmentée. En effet, non 
seulement on remarque une augmentation de la dissipation (25 dB (cas n°1) et 20 dB (cas n°2) 
par rapport à 16 dB pour la configuration uniforme M2 et 12 dB pour la configuration uniforme  
M1), mais aussi un élargissement de la bande de fréquence dans laquelle le traitement est 
efficace. Cette augmentation est le résultat de l’introduction de discontinuités d’impédance 
provoquant des phénomènes de conversion de mode supplémentaires par rapport à la 
configuration uniforme McAlpine et al. (2006).   
FIG. 9– Dissipation acoustique (a) cas n°1 segmenté (– z +) uniformes (– M1  – M2), (b) cas n°2  
segmenté (– z –) uniformes (– M1  – M2) 
 
6 Conclusions 
 
Cette étude a mis en évidence une meilleure efficacité des traitements axialement non 
uniformes par l’augmentation de l’atténuation et l’élargissement de la bande d’action de 
traitement. Elle a permis aussi de vérifier expérimentalement les résultats des études théoriques 
précédentes de ce type de configuration. La comparaison des configurations segmentée et 
uniforme a permis de montrer l’influence de l’ordre de segmentation par rapport à 
l’emplacement de la source sur le comportement de ces traitements. 
 
Références 
 
MacAlpine, A., Astley R.J., Hii, V.J.T, Backer, N.J. et Kempton A.J. 2006 Acoustic scattering by an 
axially-segmented turbofan inlet duct liner at supersonic fan speeds. J. Sou. Vib.  294, 780-806 
 
Sitel, A., Ville, J.M. et Foucart, F., 2006 Multimodal procedure to measure the acoustic scattering 
matrix of a duct discontinuity for higher order mode propagation conditions. J. Acoust. Soc. Am.  
120(5), 2478-2490 
 
Aurégan, Y. et Starobinski, R. 1999 Determination of Acoustical energy Dissipation/Production 
Potentiality from the acoustical transfer functions of a multiport. Acut. Acta Acust.  85, 788-792 
 
Taktak, M., Haddar, M., Ville, J.M., Sitel A., Gabard G., et Foucart F., 2006 Mesure de la matrice de 
diffusion multimodale d’un tronçon traité. 8ème Congrès Français d’acoustique. Tours, France. 
 
Sitel, A., 2005 Méthodes de mesure des matrices acoustiques des discontinuités à un ou deux ports 
en présence des modes élevés. Thèse à l’Université de Technologie de Compiègne.  
(a) (b) 


Etude des performances des traitements acoustiques axialement non uniforme dans les conduits

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