L‘objectif de ce travail est de proposer une démarche, mettant en oeuvre la technique de diffraction des rayons X ainsi qu’une approche auto-cohérente, afin d’analyser et mieux comprendre le comportement mécanique du cuivre. L'étude expérimentale vise la caractérisation du comportement mécanique local de ce matériau sous un chargement uniaxial. Pour rendre compte du comportement mécanique du matériau étudié, un modèle polycristallin autocohérent a été adapté et confronté aux expériences menées. La texture cristallographique, les contraintes résiduelles macroscopique et du second ordre ont été prises en compte dans cette analyse

BACZMANSKI, Andrzej

FRANÇOIS, Manuel

HFAIEDH, Neila

SAANOUNI, Khémaïs

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique                                     Grenoble, 27-31 août 2007 
 1
 
Mesure des microdéformations dans les tôles 
minces en cuivre par DRX  
 
 
Neïla HFAIEDH*, Manuel FRANÇOIS*, Andrzej  BACZMANSKI** 
&   Khémais SAANOUNI* 
 
* Laboratoire des Systèmes Mécaniques et d’Ingénierie Simultanée  
(LASMIS, FRE CNRS 2719)  Université de Technologie de Troyes (UTT) 
12 rue Marie Curie, BP 2060, 10010 Troyes Cedex 
 
** Faculty of Physics and Applied Computer Science, AGH- University of Science and 
Technology, Al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland . 
 
Neila.Hfaiedh@utt.fr 
Manuel.Francois@utt.fr 
baczman@newton.ftj.agh.edu.pl 
Khemais.Saanouni@utt.fr 
 
 
Résumé : 
 
L‘objectif de ce travail est de proposer une démarche, mettant en oeuvre la technique 
de diffraction des rayons X ainsi qu’une approche auto-cohérente, afin d’analyser et 
mieux comprendre le comportement mécanique du cuivre. L'étude expérimentale vise la 
caractérisation du comportement mécanique local de ce matériau sous un chargement 
uniaxial. Pour rendre compte du comportement mécanique du matériau étudié, un 
modèle  polycristallin autocohérent  a été adapté et confronté aux expériences menées. 
La texture cristallographique, les contraintes résiduelles macroscopique et du second 
ordre ont été prises en compte dans cette analyse. 
 
Abstract: 
 
The goal of this work is to propose a methodology using diffraction methods and 
theoretical approaches of self-consistent modelling in order to analyze and better 
understand the mechanical behaviour of copper. The purpose of the experimental study 
is to characterize the local mechanical behaviour of this material under uniaxial 
loading. To reproduce the mechanical behaviour of the studied material, a self-
consistent polycrystalline micromechanical model has been adapted and confronted to 
experimental results. Crystallographic texture, macroscopic and second order residual 
stresses were considered in this analysis. 
 
Mots-clefs:  
 
Déformation du second ordre, diffraction des rayons X, modèle autocohérent. 
 
18ème Congrès Français de Mécanique                                     Grenoble, 27-31 août 2007 
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1 Introduction 
 
La diffraction des rayons X est une méthode d’analyse fondée sur la 
détermination des déformations élastiques du réseau cristallin, cette technique de 
caractérisation non destructive fournit de nombreuses informations sur la structure 
cristalline et par conséquence sur le comportement mécanique du matériau. Ceci est 
particulièrement vrai pour les matériaux texturés où la symétrie matérielle révèle 
l'anisotropie élasto-plastique à l’échelle cristallographique de la structure. Cette 
méthode de diffraction des rayons X nous permet la détermination du champ de 
contrainte et la structure interne des cristallites dans les matériaux polycristallins.  
Les champs de contrainte macroscopique et de second ordre sont à l’origine 
d’une déformation élastique uniforme des grains et de leur réseau cristallographique. 
Ces déformations élastiques peuvent être détectés par la diffraction à travers des 
déplacements des raies mesurés par rapport aux positions des raies correspondant au 
matériau non contraint. Les contraintes de second et de troisième ordre influencent 
également la forme du profil de la raie mesurée. Ainsi, par cette méthode de diffraction, 
l’étude expérimentale des contraintes dans le grain est basée sur la détermination de la 
position des pics de diffraction, tandis que l’étude de la structure interne des cristallites 
est obtenue en analysant le profil des raies. 
Différents modèles peuvent être utilisés afin d’étudier le comportement 
élastoplastique des matériaux polycristalins. La méthode des éléments finis est bien 
adaptée dans la prédiction de la déformation dans des structures de géométries 
complexes soumises à différents types de chargement. De telles modélisations sont 
basées sur les paramètres phénoménologiques qui caractérisent les propriétés 
élastoplastiques du matériau. Dans les procédures classiques en éléments finis, le 
polycristal est considéré comme un milieu continu. D’autres méthodes et modèles 
complémentaires sont basées sur la prédiction du comportement élastoplastique du grain 
à l'intérieur du matériau polycristallin. Ces modèles sont très commodes dans l’étude 
théorique des propriétés mécaniques aux échelles microscopiques et macroscopiques. 
La comparaison des résultats expérimentaux avec les prédictions de ces modèles permet 
de comprendre les phénomènes physiques qui apparaissent durant la déformation 
élastoplastique. 
 
2 Méthodes expérimentales 
 
Le matériau utilisé dans cette étude est le cuivre de pureté commerciale. Ce 
matériau a subit un laminage à chaud suivi d’un laminage à froid provoquant 
l’apparition d’une texture cristallographique.  
Les diagrammes de rayons X ont été enregistrés à l'aide d'un diffractomètre 
Seifert équipé d'une anticathode de Chrome ( 2.28970)λ = excitée sous une tension de 
30kV et une intensité de 30mA. Les mesures ont été effectuées selon 1241 directions et 
à l'aide d'un détecteur linéaire (1D). Les plans cristallins {220} diffractent à 
2 127.22θ = ?  et les pics correspondants ont été acquis pour des angles Φ  et Ψ  qui 
varient respectivement de 0 à 360° et de 0 à 80° avec un pas de 5°. La gamme 
d'acquisition en 2θ  varie entre 123.77° et 130.67° avec un pas angulaire de 0.05°. 
A partir des mesures des figures de pôles incomplètes, les figures de pôles 
complètes et la fonction de distribution d’orientation cristalline sont calculées par la 
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méthode harmonique. Les directions pour lesquelles les contraintes sont mesurées sont 
représentées sur les figures de pôles des plans {220} (FIG.1). 
 
  
FIG.1 - Eprouvette pour les mesures en DRX avec la zone étudiée grisée pour un 
chargement de traction selon la direction transverse (DT). 
 (DL- direction de laminage, DT-direction transverse et DN-direction normale)  
 
 
3 Modèle auto-cohérent  
 
Le modèle utilisé dans ce travail est une variante des modèles auto-cohérent  
(Baczmański 97, 03). L’hypothèse de base du modèle ([Eshelby, 57], [Kröner, 61], 
[Lipinski et Berveiller 89]) est que le cristal est considéré comme étant une inclusion 
ellipsoïdale à l'intérieur d’un milieu fictif homogène. 
La déformation élastique ( )' g elnmε  (respectivement à la contrainte 
microscopique ( )' g ernmσ ), pour un grain g, est relié à la déformation macroscopique ( )'M elklε  
(respectivement la contrainte macroscopique 'Mklσ ) par le tenseur de concentration 
( )' g scA (respectivement ( )' g scB ) comme suit :  
 
( ) ( ) ( )' ''g el M elg sc
nm mnkl klAε ε=  
et 
( ) ( )' ' 'g er g sc M
nm mnkl klBσ σ=  
 
En substituant la relation du Hooke pour les deux échelles ( ( )' ' 'M el eff Mij ijkl klSε σ=  
et ( )' ' ' ( )g el g erij ijkl klsε σ= ) dans les relations précédentes, la déformation élastique d’un grain 
peut être relié à la contrainte macroscopique de la façon suivante, i.e.: 
 
( ) ( )' ' '
33
g el g sc M
nm kl klXε σ=  
  
Finalement, les constantes élastique de diffraction ( )scijR  sont définie comme: 
 
( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( )
{ }{ }
( )
{ }{ }
2
'
33
0'
33 2
0
g sc
ij
hkl hklsc g sc
ij ij hkl
hkl hkl
X g f g d
R X
f g d
π
π
ζ
ζ
       = =        
∑ ∫
∑ ∫
 
 
Pour le calcul du tenseur ( )' g scX , le tenseur de souplesse 'effS  pour un agrégat 
polycristallin doit être donné.  
18ème Congrès Français de Mécanique                                     Grenoble, 27-31 août 2007 
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Pour un matériau texture on peut écrire: 
 
( ) ( ) ( )' ' 'eff g g scijkl ijmn mnkl
E
C c A g f g dg= ∫  
Le tenseur macroscopique de rigidité 'effC  ainsi que le tenseur de concentration, 
( )' g scA peuvent être calculé en utilisant l’hypothèse du base du modèle auto-cohérent. 
Ainsi, on détermine: 
( )
( ) ( ){ }' 1' ':g sc gg gA g I T c g −= − ∆  
 
Il importe de noter que la souplesse des grains ( )' gs g  dépend de l’orientation 
interreticulaire. Ainsi le tenseur  ' ggT  dépend de la forme et de l’orientation de 
l’inclusion ellipsoïdale. 
 
4 Résultas et discussion 
 
En utilisant la technique de diffraction des rayons X, on a déterminé la fonction 
de distribution des orientations cristallines pour les trois plans cristallins ({111}, {200} 
et {220}). La fonction des distributions des orientations cristallines est déterminée et 
des comparaisons avec les résultats du modèle sont donnés sur la figure FIG.2. Sur cette 
figure une bonne concordance entre FDO expérimentale et celle prédites par le modèle 
peut être observé. Quand on visualise les ODF du cuivre à 0, 4 et 23% on constate une 
bonne estimation donnée par le modèle de la différence entre le min et le max. d’autre 
part une proportion significatif des grains orientés des angles 2ϕ  et φ  comprise entre 
40° et 55° est observé conformément à l’expérience.  
 
 
Expérience 
 
0
 
 
4% 
 
23% 
 
 
 
Modèle 
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 5
0 
 
 
 
 
Identique à 
l’experience  
4% 23% 
 
 
 
 
FIG.2- Fonction de distribution des orientations cristalline:résultats 
expérimentaux et model.  
 
Pour les échantillons du cuivre déformé à  4% et à 23% nous avons comparé 
dans la figure FIG.3 les projections stéréographiques expérimentales mesurées dans le 
plan cristallin {220} et celles prédites par le modèle. Pour l’échantillon à 4%, on 
constate conformément à l’expérience que le minimum de déformation  (=-0.18) se situe 
à un angle 5ψ = ° , et que le maximum de déformation (=0.18) se situe pour un 
angle 50ψ = ° . Pour l’échantillon déformé à 23%, on constate conformément à 
l’expérience que les bornes min et max baissement par rapport à l’échantillon déformé à 
4% , en atteignant respectivement -0.135 et 0.135, on note que le maximum de 
déformation se situe entre ψ  =45° et 55°. 
 
 
Expérience Modèle  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
4%
23% 
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FIG.3-. Déformation élastique expérimentale et prédites due à la  
concentration des contraintes macroscopique et à l’anisotropie plastique. 
 
 
5 Conclusions 
 
Cette étude a permis de proposer et valider une démarche mettant en oeuvre la 
technique de diffraction des rayons X, alliée à une approche théorique de la 
modélisation auto-cohérente, afin de mieux analyser et comprendre le comportement 
mécanique du cuivre, sous un chargement uniaxial. 
Le modèle auto-cohérent de la déformation élastoplastique utilisé dans ce travail 
a été confronté avec succès aux résultats expérimentaux. 
 
 
6 Références 
 
Baczmański A., Braham C. and Seiler W., Phil. Mag. V83, 2003, p.3225. 
Baczmanski,A., Wierzbanowski,K., Tarasuk,J. et Lodini, A., Arch. Metall., V42, 1997, 
p.173. 
Baczmański A., Wierzbanowski K., Lipiński P., Helmholdt RD., Ekambaranathan G. 
and Pathiraj B. Phil. Mag., A 69, 1994, p. 437. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Mesure des microdéformations dans les tôles minces en cuivre par DRX

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