Un modèle tridimensionnel polydisperse aux éléments discrets a été développé afin d'étudier le comportement des milieux granulaires non saturés. La présence d'eau interparticulaire est prise en compte grâce à l'introduction de forces spécifiques, décrites dans le cadre de la théorie de la capillarité. Afin de considérer les mécanismes de transfert d'eau au sein du milieu, le modèle est piloté en succion: à chaque niveau de succion, les forces capillaires et la teneur en eau sont calculées à partir d'une résolution numérique de l'équation de Laplace-Young

CHAREYRE, Bruno

DARVE, Félix

SCHOLTES, Luc

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Modélisation Micro-Mécanique des Milieux Granulaires Non Saturés 
 
Luc Scholtès, Bruno Chareyre & Félix Darve 
 
Laboratoire Sols-Solides-Structures-Risques 
Grenoble Universités 
Domaine Universitaire BP 53  
38 041 GRENOBLE cedex 9, France 
Luc.scholtes@hmg.inpg.fr 
 
 
 
Résumé : 
 
Un modèle tridimensionnel polydisperse aux éléments discrets a été développé afin d’étudier le 
comportement des milieux granulaires non-saturés. La présence d’eau interparticulaire est prise en 
compte grâce à l’introduction de forces spécifiques, décrites dans le cadre de la théorie de la capillarité. 
Afin de considérer les mécanismes de transfert d’eau au sein du milieu, le modèle est piloté en succion : à 
chaque niveau de succion, les forces capillaires et la teneur en eau sont calculées à partir d’une 
résolution numérique de l’équation de Laplace-Young. 
 
Abstract : 
 
A discrete three-dimensionnal polydisperse model has been developped in order to study unsatured 
granular media behavior. Presence of interparticle water is taking into account, introducing specific 
interaction forces between grains, quantified through capillary theory. In order to deal with water 
transfer mechanisms, the model is suction-controlled: at every suction level,  capillary forces and water 
content are computed on the basis of a numerical resolution of the Laplace-Young equation. 
 
Mots-clefs :  
 
Milieux Granulaires ; Non-Saturés ; Méthode des Eléments Discrets 
 
1 Introduction 
 
Les propriétés mécaniques macroscopiques des matériaux granulaires comme les sols sont 
directement liées aux propriétés des contacts interparticulaires comme l’ont déjà montré de 
nombreuses études utilisant la Méthode aux Eléments Discrets (MED), Cundall et Strack 
(1979). Dans les milieux non-saturés, la présence d’eau entre les grains entraîne la formation de 
ponts liquides (ménisques) qui sont à l’origine de nouvelles forces interparticulaires. La théorie 
de la capillarité, via l’équation de Laplace-Young, permet de décrire ces forces additionnelles, 
en les mettant en rapport direct avec la géométrie locale du contact ainsi qu’avec le volume de 
liquide mis en jeu. L’approche multi-échelle, Nicot et Darve (2005), apparaît donc 
naturellement pertinente pour étudier la non saturation dans les milieux granulaires, et la MED 
semble constituer un outil tout à fait adapté à l’analyse des implications de la capillarité à 
l’échelle globale du matériau. 
Nous présentons ici un modèle numérique micromécanique tridimensionnel, dont la 
particularité est d’être piloté en succion, dans le but de simuler les principaux essais de 
laboratoire actuellement mis en œuvre sur les sols non saturés. Ce modèle constitue une 
approximation acceptable pour les sols granulaires comme les sables moyens à fins et les silts, 
au sein desquels la succion est principalement d’origine capillaire (non osmotique comme dans 
le cas des argiles). 
 
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2 La capillarité à l’échelle des grains 
 
La capillarité peut être expliquée par les phénomènes de tension superficielle qui se 
développent à l’interface entre l’eau et l’air, de Gennes et al. (2002). Dans un pont liquide entre 
deux grains, du fait de la tension superficielle, l’interface liquide-gaz se comporte comme une 
membrane tendue qui a tendance à maintenir les particules solides entre elles. Cette tension 
superficielle est également à l’origine d’une dépression au sein du pont liquide qui contribue de 
façon supplémentaire à l’attraction entre les grains. L’équation de Laplace (1805), donne 
l’expression de cette différence de pression liquidegaz pp=pΔ −  comme le produit de la 
tension superficielle σ  par la courbure moyenne C de la surface enveloppe du ménisque : 
Cσ=pΔ                                                                  (1) 
Nous considérons ici le phénomène à l’échelle d’un « doublet capillaire », constitué d’une 
paire de grains sphériques, reliés entre eux par un pont liquide, dont la forme et le profil y(x) 
sont définis par l’équation de Laplace : 
 
0
'²1
'''²1
2/3 =(x))y+(
(x)y(x)y(x)y+
σ+y(x)pΔ −                                            (2) 
 
Une description géométrique du doublet capillaire est présentée sur la figure 1. Les grains, 
de rayons R1 et R2, sont séparés par une distance D appelée distance intergranulaire. Les angles 
δ1 et δ2  représentent les angles de mouillage définissant la partie du grain solide contenue dans 
le pont liquide. La façon dont les grains sont mouillés par le liquide est donnée par l’angle de 
contact θ entre la surface liquide et les grains. L’axe x du doublet est défini comme la droite 
passant par les centres des deux  sphères, et constitue un axe de symétrie pour le doublet, le pont 
liquide se présentant comme un volume axisymétrique dont la forme est décrite par le profil 
y(x). Au niveau de la plus petite section du pont se trouve le rayon de gorge, noté y0, 
correspondant à  la plus petite valeur du profil. 
 
 
Fig. 1 : Doublet capillaire 
(a) vue d’ensemble, (b) définition du profil. 
 
D’après ces considérations, on peut définir la géométrie d’interaction (distance 
intergranulaire D, volume du pont liquide V), ainsi que la force capillaire interparticulaire Fcap: 
 
∫ −−⋅c2
c1x
x
VVdx(x)yπ=V 21
2                                                      (3.1) 
                         où    ( ) ( ) 2,1,cos2cos1
3
1 2 =− iδ+δπR=V ii3ii                              (3.2) 
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)δ(Rx)δ(Rx=D c1c2 1122 cos1cos1 −−−−−                                      (4) 
 
pΔyπ+σy=F oocap
22π                                                           (5) 
 
Bien évidemment, dans un assemblage de grains, notamment dans le cas des fortes teneurs 
en eau, la géométrie structurelle est telle que plusieurs particules peuvent être contenues dans un 
seul et même ménisque, et les interactions capillaires sont donc plus complexes que celle 
représentée à l’échelle d’un doublet. Il faut donc garder en tête que la validité du modèle reste 
limitée aux régimes hydriques pour lesquels la phase liquide reste discontinue au sein du milieu.   
 
3 Modèle « Hydro-Micro-Mécanique » 
 
Un code numérique aux éléments discrets tridimensionnels dénommé YADE (Yet Another 
Dynamic Engine) a été développé à partir des travaux initiés par Donzé et Magnier (1997). 
Chaque particule du matériau est une sphère identifiée indépendamment des autres par sa propre 
masse m et son rayon R. La géométrie d’interaction entre deux grains est définie sur la figure 2. 
 
 
 
Fig. 2 : Géométrie d’interaction : définition du repère local. 
 
Les interactions de contact sont décrites par une loi de contact normale linéaire élastique, 
définissant la force normale Fn comme étant proportionnelle à la distance intergranulaire 
d’interpénétration (D < 0) : 
⎩⎨
⎧ ≤−=
00
0
>Dif
DifDK
Fn n  
Où Kn est la rigidité normale du contact.  
 
Le frottement entre les grains produit une force de cisaillement Ft dans le plan tangent au 
contact, opposée au déplacement tangentiel incrémental dUt, et obéissant à la loi de frottement 
de Coulomb : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
nt
ttt
Fμ=F
dUK=dF
max
 
Où Kt est la rigidité tangentielle du contact, et μ le coefficient de frottement de Coulomb. 
 
La prise en compte de la capillarité se fait à travers une résolution numérique de l’équation 
de Laplace (équations (3) à (5)) qui permet d’obtenir, pour une configuration géométrique 
donnée de la microstructure, la force d’attraction capillaire et le volume d’eau correspondant à 
la succion imposée à l’échantillon. Un diagramme schématique de la loi capillaire implémentée 
dans le code est donné à la figure 3. 
Le choix a été fait de définir l’apparition d’un ménisque lorsque deux grains entrent 
strictement en contact (Dcréation = 0), faisant l’hypothèse que ceux-ci sont parfaitement lisses, 
incapables de capturer un film d’eau sur leur pourtour par attraction moléculaire ou 
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électrostatique, comme ce peut être le cas pour les sols fins argileux (pas d’eau liée ou 
adsorbée). 
 
 
Fig. 3 : Evolution de la force capillaire Fcap en fonction de la distance intergranulaire D,  
à une succion donnée. 
 
On peut également noter que la distance de rupture Drupture à partir de laquelle le pont 
liquide rompt est intrinsèquement définie par la formulation, suivant la géométrie d’interaction 
et la succion imposée.  
 
4 Résultats à l’échelle d’un assemblage de grains 
 
Le modèle a été développé dans l’optique de réaliser des simulations d’essais de 
laboratoire propres aux sols non saturés comme les essais de variation de succion ou les 
triaxiaux à succion contrôlée. Nous présentons ici les résultats de ces essais sur un échantillon 
numérique compacté à une pression de confinement de 50 kPa, dont les propriétés mécaniques 
s’approchent de celles d’un assemblage de billes de verres.  
 
L’échantillon, constitué de 10 000 sphères, possède une granulométrie s’étalant 
continûment entre 0,1 et 0,6 mm, qui peut être comparée à celle d’un sable fin comme le sable 
d’Hostun. La procédure de génération est telle que le matériau ainsi modélisé est isotrope. Dans 
un premier temps, les grains sont positionnés aléatoirement dans un volume donné (volume 
final de l’échantillon) de façon à ce qu’aucun d’entre eux ne se superpose. La deuxième phase 
consiste à faire grossir les grains jusqu’à ce que la pression de confinement désirée soit atteinte. 
L’ajustement de l’angle de frottement intergranulaire durant cette phase permet de contrôler la 
porosité finale de l’échantillon (densité maximale obtenue pour un frottement nul). La 
sollicitation ne débute ensuite que lorsque la stabilité numérique de l’échantillon est assurée. 
Celui-ci est considéré stable lorsque le rapport entre la moyenne des résultantes des forces 
agissant sur chaque grain et la moyenne des forces normales agissant sur le milieu est inférieur à 
1%, Mahboubi et al. (1996).   
 
L’assemblage ainsi généré a d’abord été soumis à un cycle de séchage et de remouillage, 
afin de quantifier sa capacité à attirer et à retenir l’eau. La teneur en eau du milieu est obtenue 
par simple sommation des volumes d’eau des ponts liquides locaux. Les courbes de rétention 
d’eau correspondantes sont présentées sur la figure 4. On peut observer que le phénomène 
d’hystérésis typique des milieux poreux constitués de pores de taille variable est retrouvé, avec 
un taux de saturation plus élevé lors du séchage que lors du remouillage. Ce phénomène est une 
conséquence directe de l’hystérésis de formation introduite à l’échelle des grains. Il est à noter 
que les résultats sont quantitativement comparables aux résultats obtenus avec des matériaux 
réels, Mualem (1974), même si, comme il a été précisé en amont, la validité du modèle pour les 
hauts degrés de saturation reste approximative. 
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5 
 
Fig. 4 : Courbes de rétention d’eau correspondant à l’échantillon numérique (10 000 sphères). 
 
Le même échantillon a ensuite été soumis à deux chemins de chargement triaxiaux, le 
premier en configuration sèche (succion nulle), et le deuxième en configuration non saturée, 
pour une succion contrôlée constante fixée à 10 kPa (degré de saturation inférieur à 5%). Les 
courbes représentant l’évolution de la contrainte déviatoire et les déformations volumiques en 
fonction de la déformation axiale sont présentées sur la figure 5. Pratiquement, le tenseur des 
contraintes σ (ε) est calculé grâce à la formule d’homogénéisation des forces initialement 
proposée par Love (1927) telle que : 
∑
contacts
c
j
c
i
néchantillo
ij lFV
=σ 1  
avec Fic la ième composante de la force de contact, et ljc la jème composante du vecteur branche 
joignant les centres des grains en contact. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5 : Simulations d’essais triaxiaux sec et non saturé à 50 kPa de confinement 
(contrainte déviatoire et déformations volumiques) 
 
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On retrouve ici les effets de la succion sur le comportement macroscopique déjà observés 
expérimentalement, à savoir, une augmentation de la résistance, ainsi qu’une diminution de la 
contractance du matériau. Si l’on observe les courbes donnant le nombre de coordination de 
l’assemblage (nombre de contacts par grains) le long du même chemin de chargement, il 
apparaît clairement que la principale conséquence de l’application d’une succion au sein du 
matériau est une agglomération quasi instantanée des grains entre eux (figure 6). 
 
 
Fig. 6 : Evolution du nombre de coordination durant le chargement triaxial (sec et non saturé). 
 
5 Conclusion 
 
Les principales propriétés macroscopiques des milieux granulaires non saturés ont pu être 
mises en évidence par une approche (locale) micromécanique du problème de la capillarité. Ces 
premiers résultats montrent que l’approche multi-échelle est donc, ici, plutôt bien adaptée. Notre 
travail s’oriente désormais vers un approfondissement de ces résultats, à travers notamment une 
étude plus précise de l’influence de la succion sur les caractéristiques de compressibilité du 
matériau, mais également vers une confrontation avec la théorie et la notion controversée de 
contrainte effective en milieu non saturé. 
 
Références 
 
-Cambou, B., Jean, M. 2001 Micromécanique des milieux granulaire. Hermes Sciences. 
-Cundall, P. A., Strack, O. D. L. 1979 A discrete numerical model for granular assemblies. 
Géotechnique, 29(1), 47-65. 
-Donze, F., V., Magnier, S.,A. 1997 Spherical Discrete Element Code. In Discrete Element     
Project Report 2, GEOTOP Laboratory, Université du Québec, Montréal. 
-De Gennes, P., G., Brochard-Wyatt, F., Quéré, D. 2002 Gouttes, Bulles, Perles et Ondes. 
Collection Echelles, Belin. 
-Mahboubi, A., Ghaouti, A., Cambou, B. 1996 La simulation numérique discrète du 
comportement des matériaux granulaires. Revue Française de Géotechnique, 76 : 45-61. 
-Mualem, Y. 1974 A catalogue of the hydraulic properties of Unsaturated soils. Technion, Israel 
Institue of Technology, Haïfa, 55 p. 
-Nicot, F., Darve, F. 2005 A multiscale approach to granular materials. Mechanics of Materials, 
37, 980-1006. 


Modélisation micro-mécanique des milieux granulaires non saturés

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceUn modèle tridimensionnel polydisperse aux éléments discrets a été développé afin d'étudier le comportement des milieux granulaires non saturés. La présence d'eau interparticulaire est prise en compte grâce à l'introduction de forces spécifiques, décrites dans le cadre de la théorie de la capillarité. Afin de considérer les mécanismes de transfert d'eau au sein du milieu, le modèle est piloté en succion: à chaque niveau de succion, les forces capillaires et la teneur en eau sont calculées à partir d'une résolution numérique de l'équation de Laplace-Young

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