Depuis de nombreuses années, les travaux sur la séparation de sources nous ont permis d'apprécier l'importance de l'utilisation des statistiques d'ordre supérieur. En effet, dans ce cas, aucune information a priori sur le systRme n'est nécessaire pour permettre la séparation des sources présentes (les seules hypothèses à considérer étant l'indépendance statistique et la non-gaussianité des signaux). Il est intéressant maintenant de pouvoir utiliser uniquement les statistiques d'ordre deux pour réaliser la séparation. Cependant, il est nécessaire de connaître des informations a priori sur ces signaux. Nous exploitons dans cet article, la notion de non-circularité des signaux utiles afin de permettre une séparation à l'ordre 2

ADNET, Claude

CHAUMETTE, Eric

GALY, Jérome

GELLE, Guillaume

I-Revues

Séparation de sources non-circulaires
Jérôme Galy
1
, Claude Adnet
2
, Eric Chaumette
2
, Guillaume Gelle
3
1
LIRMM, UMR CNRS 5506
165 rue Ada, 34392 Montpellier Cedex 05, France
2
Thomson-Csf Airsys
7 rue des mathurins 92223 Bagneux Cedex, France
3
Laboratoire d'automatique et de Microelectronique
Faculté des sciences de Reims, BP 1039, 51687 Reims Cedex 2
galy@lirmm.fr, claude.adnet@airsys.thomson-csf.com
guillaume.gelle@univ-reims.fr
Résumé  Depuis de nombreuses années, les travaux sur la séparation de sources nous ont permis d'apprécier l'importance de
l'utilisation des statistiques d'ordre supèrieur. En eet, dans ce cas, aucune information a priori sur le systme n'est nécessaire
pour permettre la séparation des sources présentes (les seules hypothèses à considérer étant l'indépendance statistique et la non-
gaussianité des signaux). Il est intéressant maintenant de pouvoir utiliser uniquement les statistiques d'ordre deux pour réaliser
la séparation. Cependant, il est nécessaire de connaitre des informations a priori sur ces signaux. Nous exploitons dans cet article,
la notion de non-circularité des signaux utiles an de permettre une séparation à l'ordre 2.
Abstract  Blind Source Separation is now a well known problem. When a priori informations about the propagation or
the geometry of the array are not available, the model can be generalized to a blind source separation model. Il supposes the
statistical independence of the sources and their non-gaussianity. In this paper, we focus on an algorithm, called Canonical
Correlation Analysis, based on the use of second order statistics.
1 Analyse en Corrélation
Canonique
L'Analyse en Corrélation Canonique est une mé-
thode de traitement qui permet d'étudier la corrélation
entre deux jeux de données.
On forme un jeu de données k fonction des observées
dont on dispose.
k = g [x] (1)
En séparation de sources, et notamment lorsqu'on s'in-
téresse à l'antibrouillage on décompose les signaux reçues
en signaux utiles et en signaux de nuisances. Ce second
jeu de données k est obtenu à partir d'une transformation
des observations de la sortie de l'antenne x. Cette trans-
formation est choisie de façon à privilégier le signal utile :
x = x
utile
+ x
nuisances
k = k
utile
+ k
nuisances
R
xk
= E
h
xk
H
i
= E
h
x
utile
k
utile
H
i
(2)
L'analyse en corrélation canonique se décompose en plu-
sieurs étapes.
La première étape consiste à écrire les deux jeux de
données blanchies.

x
= R
 1=2
x
x (3)

k
= R
 1=2
k
k
avec : E


x
Xi
H
k

= R
 1=2
x
R
xk
R
 1=2
k
On peut trouver la décomposition de cette matrice en
valeurs singulières de la forme :
E


x

H
k

= U
2
V
H
(4)
Si l'on forme deux nouvelle matrices de la forme :
 = U
H

x
(5)
et
 = V
H

k
(6)
on peut alors dire que  contient toute l'information sur

k
qui peut être obtenue à partir de 
x
et réciproquement,
 contient toute l'information sur 
x
qui peut être obtenue
à partir de 
k
.
On résout donc E


H

= 
2
sous les conditions :
E


H

= I = E


H

.
Supposons que nous disposons de deux jeux de données
x et k.
L'Analyse en Corrélation Canonique consiste donc à dé-
nir deux jeux de pondérations W
x
et W
k
telles que les
combinaisons linéaires W
H
x
x et W
H
k
k soient les plus cor-
rélés possibles.
On pose alors :
 = W
H
x
x (7)
 = W
H
k
k
En d'autres termes, l'Analyse en Corrélation Canonique
consiste en une minimisation du critère suivant :
 (W
k
;W
x
) = E

jW
k
H
k  W
x
H
xj
2

(8)
sous les contraintes :
W
k
H
R
k
W
k
= 1 (9)
et
W
x
H
R
x
W
x
= 1 (10)
L'équation de minimisation du critère peut se mettre
sous la forme :
 (W
k
;W
x
) = trace

W
H
k
R
k
W
k
+W
H
x
R
x
W
x
 
W
H
k
R
k
xW
x
 W
H
x
R
x
kW
k

(11)
Pour minimiser  (W
k
;W
x
), il faut dériver par rapport
à chaque composante de W
k
;W
x
et passer par des opéra-
teurs Lagrangiens  et  que nous n'explicitons pas ici.
On arrive ainsi à deux équations de la forme :
R
xk
W
k
= R
x
W
x
 (12)
R
kx
W
x
= R
k
W
k
 (13)
En modiant simplement l'équation, (multiplication par
R
 1
kx
R
kx
) on fait apparaître :
R
xk
W
k
= R
x
R
 1
kx
R
kx
W
x
 (14)
= R
x
R
 1
kx
R
k
W
k

Si l'on s'intéresse àW
x
, on peut transformer l'équation
précédente pour obtenir l'équation duale.
Si on appelle T = , on alors :
R
 1
k
R
kx
R
 1
x
R
xk
W
k
= W
k
T (15)
Si l'on blanchit par R
1=2
k
, on obtient l'expression :
R
 1=2
k
R
kx
R
 1=2
x
R
 1=2
x
R
xk
R
 1=2
k
R
1=2
k
W
k
= R
1=2
k
W
k
T
(16)
On pose que R
 1=2
k
R
kx
R
 1=2
x
= D, on a alors :
DD
H
~
W
k
=
~
W
k
T (17)
avec
~
W
k
= R
1=2
k
W
k
AinsiD peut se décomposer en valeurs, vecteurs propres.
On choisit les L vecteurs propres correspondant aux L plus
grandes valeurs propres que l'on note U
1
.
La matrice de pondérations se met sous la forme de :
W
k
= R
k
1=2
U
1
(18)
Le raisonnement reste tout à fait analogue si l'on s'in-
téresse à la matrice W
x
.
2 Applications
On prend comme modèle le modèle sans bruit déni
comme suit : x = As. On considère que la matrice A peut
se décomposer en valeurs singulières de la forme : A =
UV
2.1 SOBI
Si l'on considère que le deuxième jeu de données se dé-
duit du premier par ajout d'un retard sur le signal, on
a :
k = As(t    ) (19)
et
x = As(t) (20)
On peut écrire que : R
x
= R
k
= U
2
U
H
.
On passe d'abord par l'écriture blanchie des deux jeux
de données.

x
= R
 1=2
x
x = V s(t) (21)

k
= R
 1=2
k
k = V s(t    )
avec : R
 1=2
x
= R
 1=2
k
= 
 1
U
H
On a également :
E


x

k
H

= V R
s
( )V
H
(22)
Pour déterminer V , Belouchrani dans SOBI [1] choisit
de diagonaliser conjointement une famille de matrices à
l'ordre 2. Cette approche est à comparer de celle de Car-
doso et Souloumiac pour leur algorithme Jade [2].
Le principe de l'algorithme SOBI consiste à diagonaliser
conjointement des matrices d'intercovariance blanchies.
L'estimation de V permet de former la matrice de mé-
lange estimée
^
A de la forme :
^
A = R
1=2
x
V (23)
et donc les sorties estimées sont de la forme :
s^(t) = V
H
R
 1=2
x
x (24)
2.2 Séparation de sources non-circulaires
Dans notre contexte, les signaux utiles que nous utili-
serons (BPSK) sont non-circulaires et les signaux de nui-
sances sont quant à eux circulaires. Si l'on note les signaux
de nuisances j(t) et les signaux utiles s(t), alors on peut
dire que :
E

s(t)
2

6= 0 (25)
et
E

j(t)
2

= 0 (26)
Les signaux utiles utilisés (BPSK) sont non circulaires,
si l'on veut éliminer toutes les nuisances circulaires, on
utilisera pour k(t) le conjugué de x(t) ainsi :
k(t) = x(t)

(27)
Nous reprenons le modèle de la forme x = As :
k(t) = A

s(t)

(28)
On considère que la matrice A peut se décomposer en
valeurs singulières et on peut écrire A

sous la forme :
A

= U

V

(29)
La matrice de corrélation des signaux peut se mettre
sous la forme :
R
x
= E

x(t)x(t)
H

= U
2
U
H
(30)
La matrice de corrélation du jeu de données que l'on a
formé k(t) peut se mettre sous la forme :
R
k
= E

k(t)k(t)
H

= E

x(t)

k(t)
T

= U


2
U
T
(31)
On passe d'abord par l'écriture blanchie des deux jeux
de données.

x
= R
 1=2
x
x = 
 1
U
H
x = V s(t) (32)

k
= R
 1=2
k
k = 
 1
U
T
x = V

s

(t)
avec :
R
 1=2
x
= 
 1
U
H
(33)
et
R
 1=2
k
= 
 1
U
T
(34)
On a donc :
E


x

k
H

= V E[ss
T
]V
T
(35)
La matrice E[ss
T
] ne contient que les informations sur
les signaux non circulaires. La décomposition en valeurs
singulières de E[ss
T
] permet donc d'estimer V et donc de
retrouver uniquement les signaux non-circulaires du mé-
lange.
L'estimation de V permet de former la matrice de mé-
lange estimée
^
A de la forme :
^
A = R
1=2
x
V (36)
Cette recherche de la matrice de mélange peut être qua-
lié de recherche en aveugle car aucune information a
priori sur la forme de l'antenne, le milieu de propagation
ou encore sur les signaux ne sont nécessaires pour l'obten-
tion du ltre. Seule la circularité des signaux de nuisances
est nécessaire au bon fonctionnement de cet algorithme
[3].
L'application de cet algorithme au cas d'une antenne
OLS a fait l'objet d'un brevet déposé en collaboration avec
Thomson-CSF.
3 Résultats
3.1 Antenne Adaptative
L'antenne utilisée est de type OLS, on peut ainsi obte-
nir une voie principale et deux voies auxiliaires déjà pré-
formées. En eet, pour la surveillance de certaines zones
particulières de l'espace, on utilise ce type d'antenne qui
permet de concentrer dans sa voie principale, l'information
sur le signal utile tout en surveillant des zones susceptibles
de contenir les informations de brouillage.
Si l'on considère la coupe pour un gisement nul alors la
voie principale et la voie auxiliaire prennent la forme sui-
vante présentée sur la gure 1 . Nous constatons ainsi que
la voie principale présente un plateau entre 0

et 1

(en site)
vers 3 à 4 dB et la voie auxiliaire présente des remontées
toujours entre les mêmes valeurs en site.
Les résultats que nous présentons dans cette partie con-
cernent les antennes de type OLS. Le scénario de brouillage
est le suivant :
 1 signal utile situé à 0

en site et en gisement et
de niveau égal à 20dB.
 2 brouilleurs gaussiens situés l'un à 0

en site et
1:5

en gisement et de niveau égal à 20dB et l'autre
à 1:7

en site et 0

en gisement et de niveau égal à
20dB.
 bruit gaussien de niveau égal à 0dB.
Si l'on se réfère à la gure 1, on constate que le signal
utile est situé au centre de la voie principale et que les
deux brouilleurs sont quant à eux localisés au centre des
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
−40
−30
−20
−10
0
10
20
Voie auxiliaire
Voie principale
Fig. 1: Forme des voies
deux voies auxiliaires. Ce scénario est idéal pour le trai-
tement classique d'antibrouillage. En eet le signal utile
est très fortement présent dans la voie principale et pra-
tiquement absent des voies auxiliaires, les performances
du traitement classique pourront alors être comparables à
celles de l'analyse en corrélation canonique.
3.2 Performances
Il est maintenant nécessaire d'étudier les performances
de deux algorithmes (OLS classique et analyse en corréla-
tion canonique) lorsque l'un des brouilleurs va se déplacer
et que son rapport signal à parasites varie.
Evaluer les performances des diérents algorithmes lors-
qu'un des signaux est mobile consiste à :
 garder les deux premiers signaux donnés précedem-
ment xes.
 faire varier le dernier brouilleur situé initiallement à
0
o
en gisement selon les sites décroissants (variation
de 1:7
o
à 0
o
en site).
Le niveau du brouilleur initialement xé à 20dB varie
pour pouvoir atteindre 50dB.
Traitement Classique OLS
Sur la gure 2, plusieurs éléments nous permettent de
constater que :
 plus le brouilleur se rapproche du signal utile et plus
le rapport signal à parasites devient faible.
 plus le niveau du brouilleur décroit et plus ce même
rapport signal à parasites devient faible.
Ces deux phénomènes sont facilement explicables :
En ce qui concerne la diminution du signal à parasites
lorsque le brouilleur se rapproche de l'utile. Ce phénomène
est inévitable quelque soit le type de traitement que l'on
va utiliser. Cette perte sur le SINR est prévisible : si l'on
observe attentivement la gure 1, nous pourrons constater
que le signal de brouillage entrera dans la voie principale
à partir de 1

en site, et à partir de là le SINR suivra la
forme de la voie auxiliaire.
Le deuxième phénomène est dû quant à lui à l'auto-
étouement de l'utile. En eet lorsque le niveau du
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
−10
−5
0
5
10
15
20
25
Site du brouilleur
R
ap
po
rt 
si
gn
al
 a
 p
ar
as
ite
s 
en
 s
or
tie
 (S
/(J
+S
2+
Bt
h)
)
Pbrou=20dB
Pbrou=50dB
Fig. 2: Traitement OLS
signal de brouillage est faible, l'algorithme aura tendance
à considérer le signal utile comme un brouilleur et donc à
essayer de l'éliminer.
Corrélation Canonique
Si l'on s'intéresse maintenant à ce même rapport signal
à parasites à la sortie du traitement par corrélation ca-
nonique, on peut constater sur la gure 3 que l'évolution
de ce rapport ne dépend plus du niveau du brouilleur. Le
phénomène d'auto-étouement du signal utile a disparu.
Quel que soit le niveau de ce brouilleur, le rapport signal
à parasites ne dépend plus que de la forme de la voie auxi-
liaire.
4 Conclusion
Dans la mesure où l'on peut disposer d'une information
spécique sur les signaux utiles, il est possible d'utiliser
des méthodes basées sur les statistiques d'ordre 2 moins
coûteuses en temps de calcul que les statistiques d'ordre
supérieur.
Dans le domaine des télécommunications spatiales, les
signaux de type BPSK ont la particularité d'être non-
circulaires, alors que les sources de nuisances (brouilleurs,
bruit) sont de type gaussiens circulaires.
Nous avons donc examiné la meilleure méthode pour
séparer les signaux et retrouver les sources d'intérêt.
Dans le cadre de la séparation de sources, la technique la
plus appropriée est celle de l'analyse en corrélation cano-
nique, alors que pour résoudre le problème de la localisa-
tion des sources, il est nécessaire de modier et d'étendre
les propriétés de l'algorithmeMUSIC [4]. Les résultats ob-
tenus montrent que cette méthode est performante no-
tamment pour éviter le phénomène d'auto-étouement du
signal utile lors de l'utilisation de l'algorithme classique
d'oppostion par lobes secondaires.
Dans le cas d'une antenne de type OLS, les perfor-
mances de l'analyse en corrélation canonique sont com-
parables à celles de l'algorithme JADE [2] utilisant les
statistiques d'ordre supérieur [3].
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
5
10
15
20
25
Site du brouilleur
R
ap
po
rt 
si
gn
al
 a
 p
ar
as
ite
s 
en
 s
or
tie
 (S
/(J
+S
2+
Bt
h)
)
Fig. 3: Traitement ACC
5 Références
[1] A. Belouchrani 'Séparation autodidacte de sources :
algorithmes, performances et applications à des signaux
expérimentaux', Thèse ENST Paris, 1995.
[2] J.F. Cardoso and A. Souloumiac 'An Ecient Tech-
nique for Blind Separation of Complex Source', Procee-
dings IEEE SPWorkshop on Higher-Order Statistics, Lake
Tahoe USA Juillet 1993, pp: 275-279.
[3] J. Galy 'Antenne adaptative : du second ordre aux
ordres supérieurs. Applications aux signaux de
télécommunications',Thèse Université Paul Sabatier Tou-
louse, Avril 1998.
[4] P. Gounon, C. Adnet, J. Galy Localisation angulaire
de signaux non circulaires.' Revue Traitement Du Signal,
Juin 1998, vol 15, n

1.


Séparation de sources non-circulaires

Abstract

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