Le but de ce papier est de déterminer de manière analytique la puissance du bruit généré par une implémentation virgule fixe des Algorithmes de Projection Affine (APA). Ces algorithmes ont été développés dans les années 80 mais aucune étude de ce type n'a encore été menée. Dans cet article, nous définissons une expression analytique de la puissance du bruit puis celle-ci est appliquée à l'algorithme NLMS-OCF, un type d'Algorithme de Projection Affine. La validité du modèle est ensuite vérifiée par des simulations

MENARD, Daniel

ROCHER, Romuald

SCALART, Pascal

SENTIEYS, Olivier

I-Revues

Evaluation de la précision des Algorithmes de Projection Affine en
virgule Fixe
Romuald ROCHER, Daniel MENARD, Olivier SENTIEYS, Pascal SCALART
ENSSAT/IRISA,Université de Rennes I
6 rue de Kérampont, BP 80518, 22305 Lannion Cedex
name@enssat.fr
Résumé – Le but de ce papier est de déterminer de manière analytique la puissance du bruit généré par une implémentation virgule fixe des
Algorithmes de Projection Affine (APA). Ces algorithmes ont été développés dans les années 80 mais aucune étude de ce type n’a encore été
menée. Dans cet article, nous définissons une expression analytique de la puissance du bruit puis celle-ci est appliquée à l’algorithme NLMS-
OCF, un type d’Algorithme de Projection Affine. La validité du modèle est ensuite vérifiée par des simulations.
Abstract – The aim of this paper is to determine an analytical expression of the noise power generated by a fixed-point implementation of Affine
Projection Algorithms (APA). These algorithms were developed 20 years ago but no study has been made about its fixed-point implementation.
In this paper, an analytical expression of the noise power is defined and applied to the NLMS-OCF algorithm (an Affine Projection Algorithm).
The model accuracy is verified by simulations.
1 Introduction
Les filtres adaptatifs sont employés dans de nombreux do-
maines tels que la réduction de bruit, l’égalisation, la prédic-
tion linéaire et l’évaluation de canal. Les algorithmes dévelop-
pés pour le filtrage adaptatif sont principalement classifiés dans
deux catégories. Ils sont basés soit sur les Moindres Carrés Ré-
cursifs (type RLS) soit sur les Algorithmes du Gradient (type
LMS). Néanmoins, l’algorithme LMS est le plus souvent uti-
lisé pour les applications temps réel embarquées car son im-
plémentation est plus simple que celle de l’algorithme RLS.
Cependant, les Algorithmes de Projection Affine (APA) ont été
développés [6] pour avoir une convergence plus rapide compa-
rée au LMS et pour réduire la complexité comparée au RLS.
La convergence de cet algorithme a été étudiée dans [7] et [8]
mais aucune étude n’est disponible sur son comportement avec
l’arithmétique virgule fixe. Pour les systèmes embarqués, l’uti-
lisation de l’arithmétique virgule fixe est exigée car elle permet
de réduire la consommation d’energie et le coût par rapport
à l’arithmétique virgule flottante. Mais, l’arithmétique virgule
fixe se traduit par une erreur non négligeable appelée bruit de
quantification. Les différentes sources de bruit de quantifica-
tion liées à la réduction de la largeur des données sont propa-
gées dans le système et conduisent à un bruit global en sor-
tie de celui-ci. Ces bruits sont modélisés par des bruits blancs
uniformément répartis sur leur intervalle de définition et non-
corrélés avec les autres signaux et autres bruits [9]. Il est né-
cessaire de s’assurer que ce bruit ne modifie pas le bon fonc-
tionnement du système. Ainsi, la puissance de bruit doit être
évaluée. Celle-ci peut être mesurée par des simulations (mais
leur temps d’exécution est important) ou déterminée par une
méthode analytique. Des méthodes analytiques ont été déve-
loppées pour le LMS [2], [5] et pour le RLS [1]. Dans ce pa-
pier, un modèle est proposé pour l’APA. La puissance du bruit
de quantification est déterminée pour calculer le Rapport Si-
gnal à Bruit de Quantification (RSBQ). Ce type d’expression
est nécessaire pour réaliser des IP (propriétés intellectuelles)
paramétrables. Ces IP sont utilisées dans le cadre de l’implan-
tation matérielle sur FPGA ou ASIC. L’utilisateur fournit une
contrainte de précision à respecter en sortie du filtre. L’objectif
est d’optimiser la largeur des données sous contrainte de préci-
sion des calculs, afin de minimiser la surface du circuit. Cette
approche permet d’aboutir à une bonne adéquation algorithme
architecture et à des temps de développement réduits.
L’objectif de ce papier est de déterminer l’expression ana-
lytique de la puissance du bruit dans l’algorithme APA pour
tous les types de quantification (arrondi, arrondi convergent,
troncature). La troncature est la plus utilisée car la plus simple
d’implémentation, d’où l’intérêt de développer un modèle pre-
nant en compte cette loi de quantification
Dans le cas de la quantification d’un signal en arrondi convergent,
la moyenne du bruit généré est nulle. Si la quantification est
faite par troncature, la moyenne µby du bruit généré est obte-
nue à l’aide de l’expression suivante [3]
µby =
q
2
(1 − 2−k) (1)
où q désigne la pas de quantification et k le nombre de bits
éliminés. Ainsi, dans le modèle développé, il est important de
prendre en compte la moyenne des bruits et de ne pas la consi-
dérer comme nulle.
L’APA est décrit dans la section 2 et l’expression du bruit de
sortie est déterminée analytiquement dans la section 3. Dans la
section 4, le modèle est appliqué à l’algorithme NLMS-OCF.
Enfin, en section 5, la validité du modèle est testée.
2 Implantation Virgule Fixe
En précision infinie, l’APA est défini par les équations sui-
vantes
en = yn −Xtnwn︸ ︷︷ ︸
yˆn
(2)
wn+1 = wn + µXn[XtnXn + δIK ]
−1en (3)
où xn représente le vecteur de taille N des données d’en-
trée [x(n), x(n − 1), ...x(n − N + 1)]t. Xn est la matrice
de taille NxK des K derniers vecteurs d’observation Xn =
[xn, xn−1, ...xn−K+1]. Les termes yn et en représentent res-
pectivement, le signal désiré et l’erreur commise et correspondent
à des vecteurs de taille K et IK est la matrice identité de taille
K . δ est une constante permettant de rendre régulière la matrice
XtnXn et est supposée être une somme de puissance de 2.
Le filtre en virgule fixe est représenté sur la figure 1. Les
équations de l’APA deviennent
e′n = y
′
n −X
′t
n w
′
n︸ ︷︷ ︸
yˆ′n
−ηn (4)
w′n+1 = w
′
n + µX
′
n[X
′t
n X
′
n + δIK ]
−1e′n + γn (5)
où les primes dénotent les valeurs quantifiées.
γn est un vecteur bruit de taille N dû au calcul de X ′n[X
′t
n X
′
n+
δIK ]−1e′n. ηn est un vecteur bruit de taille K généré par le
filtre. Les autres bruits de quantification sont exprimés à l’aide
des equations suivantes :
X ′n = Xn + αn (6)
y′n = yn + βn (7)
[X
′t
n X
′
n + δIK ]
−1
= [XtnXn + δIK ]
−1 + νn (8)
w′n = wn + ρn (9)
Q
X
n
y
n
y ’
n
e ’
n
α
n
Q X ’n
tw ’
n Q
Q
Z-1
X’
n
 
w’
n
-
+
η
n
γ
n
β
n
µ(X’t
n
X ’
n
)-1
FIG. 1: Schéma de l’APA en virgule fixe
Le terme ρn n’est pas un bruit de quantification mais un écart
entre les valeurs des coefficients quantifiés et leurs valeurs non
quantifiées. Tel que démontré en [4], νn est égal à
νn = [XtnXn + δIK ]
−2(αtnXn +X
t
nαn) + υn (10)
où υn est une matrice d’erreur de taille NxK due au calcul
en virgule fixe de [X ′tn X ′n]
−1
.
3 Puissance du bruit
L’objectif de cette partie est d’estimer analytiquement la puis-
sance du bruit généré dans le système. L’expression du bruit en
sortie du système est la suivante :
byn = yˆ
′
n − yˆn
= X
′t
n w
′
n + ηn −Xtnwn
= αtnwn + ηn +X
t
nρn
Le bruit en sortie du système est donc composé de trois
termes. Ceux-ci étant considérés comme non-corrélés, la puis-
sance du bruit en sortie est égale à la somme des puissances de
chacun des trois termes.
Tr(E(bybty)) = Tr(E((α
t
nwn)(α
t
nwn)
t)) + Tr(E(ηnηtn))
+ Tr(E((Xtnρn)(X
t
nρn)
t))
Ces 3 termes vont être développés dans les parties suivantes.
3.1 Bruit d’entrée
En utilisant les mêmes hypothèses que dans [5], la puissance
du bruit lié aux données d’entrée est déterminée par l’expres-
sion suivante
Tr(E((αtnwn)(α
t
nwn)
t)) = Kσ2αw
t
optwopt+Km
2
αw
t
opt1Nwopt
(11)
avec mα et σ2α la moyenne et la variance de αn, 1N la ma-
trice unitaire de taille N et wopt les coefficients optimaux.
3.2 Bruit lié aux coefficients
Le bruit lié aux coefficients correspond au deuxième terme
de l’équation (11) et est égal à
bwn = X
t
nρn (12)
En écrivant Pn = E(ρnρtn), la puissance de ce terme est
donnée par
Tr(E(bwnb
t
wn)) = Tr(E(XnX
t
n)Pn) (13)
Or, d’après les équations (4), (6) et l’equation (3), la récur-
sion suivante peut être écrite
ρn+1 = Fnρn + bn (14)
où
Fn = IN − µXn[XtnXn]−1Xtn (15)
et
bn = γn︸︷︷︸
b1n
+µXn[XtnXn]
−1(βn − ηn)︸ ︷︷ ︸
b2n
+µαn[XtnXn]
−1en︸ ︷︷ ︸
b3n
+µXnνnen︸ ︷︷ ︸
b4n
−µXn[XtnXn]−1αtnwn︸ ︷︷ ︸
b5n
(16)
et avec les hypothèses de non-corrélation entre ρn, Fn et bn.
En supposant qu’à l’état stable, Pn+1 = Pn, et avec Bn =
E(bnbtn), l’équation (14) conduit à
Tr(E(XnXtn)Pn) = Tr(E(XnX
t
n)(IN − E(FnF tn))−1
[Bn + 2E(FN )(IN − E(FN ))−1E(bn)E(btn)]) (17)
Les termes E(FnF tn), E(Fn) et E(XnXtn) peuvent être es-
timés facilement par une simulation en virgule flottante. Les
autres termes peuvent être développés en séparant les termes
de bruits et les signaux comme en [5].
3.3 Bruit généré par le filtre
Le bruit ηn généré par le filtre est un vecteur de taille K . En
notant mη sa moyenne, σ2η sa variance, la trace de sa matrice
d’autocorrélation est égale à
Tr(E(ηnηtn)) = K(m
2
η + σ
2
η) (18)
3.4 Puissance du bruit
En utilisant les équations (11), (17) et (18), la puissance du
bruit global en sortie du système est définie de façon analytique
par
By = K(σ2α
N−1∑
i=0
w2opti +m
2
α(
N−1∑
i=0
wopti)
2 +m2η + σ
2
η)
+ Tr{E(XnXtn)(IN − E(FnF tn))−1
[Bn + 2E(FN )(IN − E(FN ))−1E(bn)E(btn)]}
(19)
Un modèle analytique de la puissance du bruit en sortie du
système a donc été présenté. Dans les parties suivantes, celui-
ci sera appliqué au NLMS-OCF puis testé par simulations pour
vérifier sa validité.
4 Application au NLMS-OCF
L’objectif de cette partie est d’appliquer le modèle précédent
à l’algorithme NLMS-OCF. Cet algorithme est un algorithme
de projection affine dans lequel les K dernières observations
sont orthogonales. Dans un souci de simplification, xn est sup-
posé centré.
Le terme E(Xn(XtnXn)−1Xtn) peut être approché par
E(Xn(XtnXn)
−1Xtn) ≈
K
N
IN (20)
4.1 Bruit lié aux coefficients dans le NLMS-OCF
Chaque terme de l’équation (17) peut être simplifié
(IN − E(FnF tn)) ≈ (2µ− µ2)
K
N
IN (21)
E(XnXtn) ≈ Kσ2xIN (22)
(IN − E(Fn)) ≈ µK
N
IN (23)
En utilisant l’équation (17), le bruit dû aux coefficients est
Tr(E(XnXtn)Pn)
=
Nσ2x
(2µ− µ2) [Tr(Bn) + 2
N(1− µKN )
Kµ
Tr(E(bn)E(btn))]
(24)
Les termes Tr(Bn) et Tr(E(bn)E(btn)) doivent être calcu-
lés pour déterminer complètement le bruit dû aux coefficients.
En notant Bin la matrice d’autocorrélation de chacun des 5
termes bin de l’expression (16), et en supposant qu’ils sont non
corrélés entre eux, nous arrivons à
Tr(Bn) =
5∑
i=1
Tr(Bin) (25)
Par la suite, chaque terme Bin est développé.
Tr(B1n) = Tr(E(γnγ
t
n)) = K
2Nm2γ + KNσ
2
γ (26)
Ici, b1n peut être considéré comme la somme de K bruits
non-corrélés avec la même densité de probabilité.
Tr(B2n) = µ
2Tr[((σ2β + σ
2
η)IN + (m
2
β +m
2
η)1N )×
(E(Xn(XtnXn)
−2Xtn))]
= Kµ2(E(β2) + E(η2))
1
Nφx +N(N − 1)σ4x
(27)
où φx est le kurtosis du signal d’entré xn. b2n peut être ex-
primé comme la somme de K bruits.
Tr(B3n) = µ
2Tr[(σ2αIN +m
2
α1N)
(E((XtnXn)
−1enetn(X
t
nXn)
−1))]
= Kµ2(σ2α +m
2
α)
ξ
Nφx +N(N − 1)σ4x
(28)
b3n est également la somme de K bruits de moyenne nulle
car en est centré. Les deux derniers termes B4n et B5n peuvent
être développés de la même façon.
Ensuite, Tr(E(bn)E(btn)) doit être développé. Le terme E(bn)
est égal à
E(bn) = [Kmγ ,Kmγ , . . .Kmγ ]
t (29)
Donc Tr(E(bn)E(btn)) vaut
Tr(E(bn)E(btn)) = NK
2m2γ (30)
Ce terme peut être interprété comme la somme de K sources
de bruit. Ainsi, chaque terme du NLMS-OCF (b1, b2, b3, b4 et
b5) est la somme de K bruits.
4.2 Bruit lié aux données dans le NLMS-OCF
Dans le NLMS-OCF, comme dans l’équation (11), le bruit
lié aux données vaut
Tr(E(αnαtn)Wn) = Kσ
2
α
N−1∑
i=0
w2opti +Km
2
α(
N−1∑
i=0
wopti)
2
(31)
4.3 Bruit lié au filtre dans le NLMS-OCF
Comme dans l’équation (18), la puissance du bruit lié au cal-
cul du filtre est
Tr(E(ηnηtn)) = K(m
2
η + σ
2
η) (32)
Dans cette partie, le bruit généré dans l’algorithme NLMS-
OCF a été calculé. En analysant les résultats et en comparant
au NLMS [5], la puissance du bruit généré dans le NLMS-OCF
est égal à K fois la puissance du bruit généré dans le NLMS.
5 Expérimentations
Dans cette partie, la qualité de notre modèle pour estimer
le terme Tr(E(bybty)) est évaluée. Pour ces expérimentations,
des simulations sont faites sur Matlab/Simulink pour les quan-
tifications par troncature et par arrondi. L’erreur relative entre
la puissance de bruit obtenue avec une simulation virgule fixe
(correspondant à la référence) et la puissance de bruit estimée
avec notre modèle décrit à l’équation (19) est calculée. Le si-
gnal d’entrée choisi est un processus auto-régressif dans lequel
le coefficient de corrélation β entre les données d’entrée varie
entre 0 (bruit blanc) et 1 (très corrélé).
5.1 APA avec une quantification par troncature
La figure 2 montre la validité du modèle pour N variant entre
1 et 20, K variant entre 1 et N et pour les données d’entrée très
corrélées (β = 0.9). L’erreur relative obtenue est inférieure
à 30% ce qui est un bon résultat puisque cela représente une
différence de seulement de 2 dB entre la puissance de bruit es-
timée par la simulation et celle donnée par notre modèle. Cet
écart provient des hypothèses simplificatrices faites lors du dé-
veloppement du calcul. Ainsi, ce nouveau modèle développé
est valide pour les entrées très corrélées. Pour des entrées peu
corrélées, une erreur relative inférieure à 25% est obtenue.
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
KN
Er
re
ur
 re
la
tiv
e
FIG. 2: Erreur relative pour des entrées très corrélées dans le
cadre d’une quantification par troncature
5.2 NLMS-OCF avec une quantification par ar-
rondi
Les simulations sont faites pour des données d’entrée ortho-
gonales dans le cadre d’une quantification par arrondi. Les ré-
sultats sont présentés sur la figure 3. Les paramètres sont les
mêmes que ceux définis dans la section 5.1. Comme dans le
cas d’une quantification par troncature, notre modèle conduit à
une estimation correcte de la puissance du bruit généré puisque
l’erreur relative est inférieure à 30%.
6 CONCLUSION
Dans cet article, un modèle pour déterminer analytiquement
la puissance de bruit en sortie de l’algorithme APA a été pré-
senté. Le modèle est développé pour l’algorithme général et va-
lidé par des simulations. L’avantage de ce modèle est sa validité
à tous les types de quantification (arrondi ou troncature). Cette
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
K
Relative error for NLMS−OCF in rounding
N
R
el
at
iv
e 
er
ro
r
FIG. 3: Erreur relative pour le NLMS-OCF dans le cadre d’une
quantification par arrondi
méthodologie, qui a été développée pour les algorithmes LMS
et NLMS, est ainsi étendue aux algorithmes APA. Néanmoins,
d’autres études doivent être effectuées afin de généraliser cette
approche pour tous les types de systèmes et en particulier, les
systèmes non linéaires.
Références
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Evaluation de la précision des algorithmes de projection affine en virgule fixe

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