- On propose dans cet article une nouvelle modélisation de la texture issue de l'imagerie cohérente basée sur les champs de Markov. Ce modèle permet de prendre en compte le comportement spatial de la texture tout en conservant une distribution locale de type loi K. Afin de ce respecter la nature des intensités lumineuses, on choisit de se placer localement dans le cadre du modèle produit. Ainsi, la construction de ce modèle passe par celle d'un champ markovien de distribution locale gamma. Ce dernier modèle est volentairement choisi en dehors de la classe des auto-modèles de Besag afin de pouvoir contrôler façilement sa moyenne locale. Afin de comprendre le rôle des paramètres du champ markovien K, un ensemble de textures synthétiques sont ici présentées. On procède ensuite à une première validation du modèle par la synthèse de textures échographiques. Ce modèle est ensuite testé sur des textures extraites d'images échographiques

BOUHLEL, Nizar

HAMZA, Radhi

RAJHI, Hatem

SEVESTRE GHALILA, Sylvie

I-Revues

Nouveau Mode`le de Texture Markovien base´ sur la loi K : Application
a` l’Echographie.
Nizar BOUHLEL1, Sylvie SEVESTRE GHALILA2, Hatem RAJHI3, Radhi HAMZA3
1Laboratoire des Syste`mes de Communications, Ecole Nationale d’Inge´nieurs de Tunis
Le Belvede`re Campus Universitaire Tunis 1002, Tunisie
2Laboratoire de Mathe´matiques Applique´es de Paris 5
45 rue des Saints Peres, 75270 Paris Cedex 06, France
3Service d’Imagerie Me´dicale, EPS Charles Nicolle
Boulvard du 9 avril, Tunis 1007,Tunisie
nizar.bouhlel@enit.rnu.tn, Sylvie.Sevestre@math-info.univ-paris5.fr,
hamza.radhi@rns.tn
Re´sume´ – On propose dans cet article une nouvelle mode´lisation de la texture issue de l’imagerie cohe´rente base´e sur les champs de Markov.
Ce mode`le permet de prendre en compte le comportement spatial de la texture tout en conservant une distribution locale de type loi
 
.
Afin de ce respecter la nature des intensite´s lumineuses, on choisit de se placer localement dans le cadre du mode`le produit. Ainsi, la construction
de ce mode`le passe par celle d’un champ markovien de distribution locale gamma. Ce dernier mode`le est volentairement choisi en dehors de la
classe des auto-mode`les de Besag afin de pouvoir controˆler fac¸ilement sa moyenne locale. Afin de comprendre le roˆle des parame`tres du champ
markovien
 
, un ensemble de textures synthe´tiques sont ici pre´sente´es. On proce`de ensuite a` une premie`re validation du mode`le par la synthe`se
de textures e´chographiques. Ce mode`le est ensuite teste´ sur des textures extraites d’images e´chographiques.
Abstract – We propose in this article a new model of the coherent imagery texture based on Markov Random field. This model permits to take
in account the spatial information of the texture while preserving a local distribution
 
. In order to respect the luminous intensity properties, one
chooses to stand locally in the setting of the product model. Thus, the construction of this model implies the construction a Markov random field
with a local distribution gamma. This last model is chosen outside of the class of auto-models of Besag in order to be able to control easily its
local average. In order to understand the role of the
 
field parameters, a synthetic texture whole is presented here. This model is tested then on
textures extracted of echographic pictures.
1 Introduction
Depuis de nombreuses anne´es, il est admis que l’imagerie
cohe´rente incluant le laser, le radar et l’ultrason, produit une
image qui peut eˆtre conside´re´e comme une image ide´ale de´grade´e
par un bruit multiplicatif [1].
Un certain nombre de travaux ont mis en e´vidence la ri-
chesse de la loi  pour de´crire la distribution des niveaux de
ce type d’image [2], [3], [4]. Une telle mode´lisation sur les in-
tensite´s conduit, dans le cadre du mode`le produit, a` celle d’une
loi gamma pour l’image ide´ale et a` celle d’une loi exponentielle
pour le bruit multiplicatif [5]. Cette dernie`re approche demeure
cependant insuffisante pour de´crire les donne´es expe´rimentales
puisqu’elle ne permet pas d’extraire l’information spatialement
contenue dans l’image.
On rele`ve dans la litte´rature, plusieurs tentatives de mode´lisa
-tion spatiale de ces images essentiellement base´es sur les champs
markoviens. Elles se re´partissent en deux cate´gories : la premie`re
qui consiste a` mode´liser la texture de l’image par un champ
gaussien mais cela ne permet pas de conserver les proprie´te´s
de la distribution des niveaux de l’image, la seconde dont l’ob-
jectif est ge´ne´ralement la segmentation n’inte`gre aucune infor-
mation a priori permettant de de´crire spatialement la texture.
On propose donc ici une nouvelle mode´lisation de la tex-
ture base´e sur les champs de Markov permettant de prendre
en compte son comportement spatial tout en conservant lo-
calement une loi  pour la distribution de ses intensite´s. La
construction de ce mode`le exploite localement les proprie`te´s
du mode`le produit dont on rappelle en premie`re section le prin-
cipe.
2 Mode`le du Produit
Les intensite´s lumineuses produites par l’imagerie cohe´rente
et en particulier l’imagerie ultrason [4] peut eˆtre caracte´rise´e
par une loi de distribution de type  Si  est une variable
ale´atoire de loi  de parame`tre 	
 ﬀ , note´e ici
ﬁﬂﬃ
 , alors  a pour densite´ :
 "!$# %
'&() *


+
,


-&
*

!/.
!10-2

-&(43657&	8 

 (1)
ou`
.
!$092
est la fonction de Bessel modifie´e de deuxie`me espe`ce
d’ordre ;:=< . Les deux premiers moments de  valent respec-
tivement :
>
?)
+
A@
2


+
,
*


+
(<BDCBE
>
FG)IH




 (2)
On peut aussi de´finir la variable ale´atoire  comme e´tant la ra-
cine carre´ du produit de deux variables ale´atoires inde´pendantes
note´es   et  .
 )

   (3)
Dans ce cas,   qui suit une loi gamma de parame`tres 7	E 
  

 , est ge´ne´ralement interpre´te´e comme l’image ide´ale in-
observe´e. Quant a` La variable  , elle suit une loi exponentielle
de moyenne 1 et joue le roˆle du bruit multiplicatif. La relation
existante entre les parame`tres de la loi  et de ceux de la loi
gamma peut eˆtre de´termine´e a` l’aide de l’expression de leur
densite´. En effet, la loi  est lie´e a` la loi gamma dans le cadre
du mode`le du produit par la relation  )
 et 
 )
*

E .
3 Champ de Markov de loi 
La construction de ce champ reprend localement la construc-
tion de la loi  dans le cadre du mode`le produit. Ainsi, on sup-
pose qu’en tout pixel  de l’ensemble  des pixels de l’image,
son intensite´ lumineuse  connaissant  ) G celles
de son voisinage  , suit une loi  dont les parame`tres de´pendent
de  . Dans le cadre du mode`le produit, cette mode´lisation
conduit a` introduire pour chaque pixel  de l’image :
- une variable    de loi ﬀ dont les parame`tres de´pendent
du voisinage,
- un bruit multiplicatif de loi exponentielle de moyenne 1
inde´pendant de    .
En appliquant a` nouveau la racine carre´ a` ce produit de va-
riables, on obtient donc une loi  dont les parame`tres fluctuent
avec les intensite´s du voisinage ﬁ .
Par conse´quent, la construction de  , champ de texture marko-
vienne de type  , passe par celle d’un mode`le markovien  
de distribution locale de type ﬀ . La loi gamma appartenant a`
la famille exponentielle, l’approche la plus simple est d’exploi-
ter les auto-mode`les de Besag [6] comme le sugge`re l’auteur
lui-meˆme. Ceci conduit a` la loi conditionnelle suivante [7]:
 ﬂﬃ ﬂ )
 !B#" E%$&ﬀ,(' )* @,+


- ! 4 (4)
ou` ' A   ,   ,  - 8  . Dans ce cas, la moyenne locale vaut :
'


@
+



-
 

(5)
et s’e´crit donc non line´airement en fonction des parame`tres
d’interaction (- 

#
/.0
du champ ce qui alors rend de´licate la
simulation mais aussi l’estimation des parame`tres du mode`le.
Pour reme´dier a` cela, nous proposons d’utiliser un mo- de`le
plus ge´ne´ral propose´ par Besag pour les familles de lois expo-
nentielles [8]. On obtient alors:
 

ﬃﬁ 

)& 

#" 1

2$3ﬀ 

@ <ﬂ@
+



-5476
 

8'ﬀ (6)
ou` ' 8   ,   ,  - 8  . La moyenne s’e´crit alors line´airement
en fonction des parame`tres du champ:
>:9
 

ﬃﬁ 

); 

#" <
=
) 

@ <ﬂ@
+


-54>6
 

8ﬃ' (7)
On aboutit alors a` un champ de Markov sur l’image observe´e
 ou` la loi conditionnelle de l’intensite´   connaissant celles de
ses voisins    ) &     est une loi  de parame`tre   ﬃ

de´finie comme suit:
  )?  @ <ﬂ@ +

 @476 &   
 )
*

' (8)
Les deux premiers moments locaux du mode`le  valent alors :
>:9
 BA   ) &  #" < = )
+
C @
2


+
  
*


+
ﬃ<BDCB (9)
>:9
 

A   ) &  #" < = )
H
(D @ <ﬂ@ +
 
- 4>6  ! 



(10)
Ainsi la line´arite´ du moment d’ordre < du champ ﬀ en fonc-
tion des parame`tres d’interaction se traduit par celle du moment
d’ordre
*
du champ  .
4 Synthe`ses de texture
Afin de comprendre le roˆle des parame`tres du mode`le mar-
kovien  nous pre´sentons ici trois textures synthe´tiques. Pour
simuler ces images de taille CBE CBE , nous utilisons l’e´chan-
tillonnneur de Gibbs ite´rre´ 30 fois sur l’ensemble des sites de
l’image avec des conditions aux bords toriques. Pour ces trois
simulations, le champ est conside´re´ stationnaire d’ordre 1 ou
2. Ainsi, les parame`tres sont suppose´s inde´pendants du site
conside´re´ et note´s selon le sche´ma propose´ dans [8]:

-
)FGIH 
9
<B
*
)J 
H
=
5" 

K

)?5@ <, (11)
En effet, 
2
traduit l’inte´raction de deux pixels voisins sur la
direction horizontale, 

celle de deux pixels voisins sur la di-
rection verticale et L"8NM respectivement sur la seconde et la
premie`re diagonale.
Le choix des parame`tres se de´roule en deux temps.
Dans un premier temps, on de´termine la valeur du parame`tre 

du champ. On suppose pour cela que les intensite´s lumineuses
sont mode`lisables par une loi  . On choisit ainsi la valeur PO
du parame`tre de cette loi donnant alors une information globale
sur l’image. En effet, il est connu que si ce parame`tre est petit
( Q <E ), la texture contiendra de grandes variations dans ses ni-
veaux et inversement [9]. Pour les trois simulations ci-dessous,
on a choisi  O )
*
afin de faciliter l’apparition de motifs dans
la texture. Puis, a` l’aide la relation 
*
 et d’une valeur R fixe´e
de la moyenne globale de la future image synthe`tique, on en
de´duit une valeur plausible du parame`tre 
 du champ.
Dans un deuxie`me temps, on exploite la relation (SB liant T
aux parame`tres d’interaction du champ. Pour de´terminer ces
derniers, on choisit de remplacer T par UO et toute intensite´
par la moyenne globale R de l’image. On re´soud l’e´quation ca-
ricaturale suivante :

O
)
 @ <ﬂ@
M
+ V>W
2

V
4>6
R (12)
qui permet alors de conserver globalement a` la fois R et PO .
Ainsi, le roˆle du parame`tre  permettra de moduler l’effet des
parame`tres d’interaction X
V
 tout en conservant les valeurs glo-
bales. Les simulations de la figure (<G permettent de comprendre
le roˆle des parame`tres d’interaction du champ. En effet on constate
que lorsqu’un parame`tre d’interaction 
V
est positif alors les
pixels voisins suivant la direction qui lui est associe´e ont ten-
dance a` avoir des intensite´s proches. Quand ce parame`tre de-
vient ne´gatif, un phe´nome`ne de re´pulsion apparaıˆt. Ces deux
phe´nome`nes s’observent conjointement :
- sur l’image & &  de la figure ﬃ<  , on constate un phe´nome`ne
d’attraction sur l’horizontale et la verticale (  2 ) 

)
E$
H
) et un phe´nome`ne de re´pulsion sur les deux diago-
nales ( L )?	M) : E$
H
).
- sur l’image & & &( de la figure (<G , on constate un phe´nome`ne
d’attraction sur la premie`re diagonale ( L ) E$
H
C ) et un
phe´nome`ne de re´pulsion sur la seconde diagonale ( M )
: E$
H
C ).
(i) (ii) (iii)
FIG. 1: Les trois textures ci-dessus ont pour parame`tres  ,  
		
et    . De plus l’image (i) est la re´alisation d’un champ isotropique
re´pulsive d’ordre 1 tel que     ﬀﬁ et ﬂ ﬃ . Les images  "!#!%$
et  "!#!#!%$ est un champ anisotropique d’ordre 2 avec ﬂ &	 . Pour l’image  '!'!%$
les parame`tres d’interaction sont      ( ﬀ et *)  *+ , ﬀ . Pour
l’image  "!#!#!%$ les parame`tres d’interaction sont ) - ﬀﬁ. et *+ / ﬀﬁ. .
Pour finir, on contaste dans le tableau ﬃ<  que la strate´gie de
se´lection des parame`tres a donc permis de conserver les trois
donne´es globales d’image dont les intensite´s sont mode´lisables
par une loi  a` savoir  O et 
 et par conse´quent R la moyenne
globale de l’image.
TAB. 1: Tableau comparatif : ci-dessous figurent les parame`tres
globaux choisis pour des trois textures synthe`tiques de la figure
ﬃ<  ainsi que leur estimation sur ces images.
Para.  O 0 O 
 0
 R 0R
Fig. 1 2 2.0922 0.02 0.0175 118 124.59
Fig. 2 2 1.8012 0.02 0.0156 118 113.87
Fig. 3 2 1.7383 0.02 0.0151 118 115.07
5 Synthe`se de texture e´chographique
Les textures constituant les images e´chographiques compren
-nent de l’information spatiale que le radiologue exploite vi-
suellement pour obtenir une segmentation de zones fibreuses.
Nous proposons par conse´quent d’ope´rer une premie`re valida-
tion par la synthe`se de ce type de texture a` l’aide de simulations
d’un champ  stationnaire d’ordre 4.
Cette validation ne´cessite une e´tape pre´liminaire d’estimation
du vecteur des parame`tres (/	
2
ﬀ ﬀE	1"
 du mode`le. On re-
prend pour cela la strate´gie de se´lection des parame`tres de´crite
au paragraphe pre´ce´dente. La mise en oeuvre de la premie`re
e´tape de cette strate´gie ne´cessite l’estimation au pre´alable des
parame`tres R et  O . Ainsi, on estime sur la texture a` synthe´tiser,
sa moyenne R par la moyenne empirique 0R ainsi que le pa-
rame`tre  O par la me´thode des moments. On en de´duit facile-
ment un estimateur de 
 en remplac¸ant dans l’e´quation 
*
%R
et  O par leur estimateur.
La seconde e´tape de la strate´gie va nous permet d’imposer une
contrainte a` nos parame`tres. On va donc chercher a` l’aide la
me´thodes des moindres carre´s une estimation de  et Xﬁ2 per-
mettant de conserver le moment local d’ordre 2 R

#
 sous la
contrainte de conservation des parame`tres globaux de l’image a`
savoir UO et R . Tout d’abord, pour chaque configuration de voi-
sinage 
3
G4

Hﬁ) <B ﬀﬀﬀ
.
pre´sent dans l’image, on peut consti-
tuer un e´chantillon d’intensite´s lumineuses de pixels ayant 
3
G4

comme configuration de voisinage. A l’aide de cet e´chantillon,
on construit la version empirique on estime R

#
 par sa version
empirique 0R
3
G4

.
Afin d’avoir un e´chantillon suffisamment grand ( 5 <E ), on re-
duit le nombre de types de voisinages possibles, caracte´rise´s
par le vecteur des sommes
67
+

#98

0

8
W
2
4>6  ﬁ:;
2
associe´ aux vec-
teurs de parame`tres  , en re´partissant les valeurs possibles de
chacune des sommes en 4 classes.
Dans un deuxie`me temps, on estime les parame`tres  et 
du champ a` l’aide de la me´thodes des moindres carre´s exploi-
tant l’e´quation (<EB qui lie line´airement chaque R

#
 au vec-
teur de parame`tres du champ quand le parame`tre 
 est sup-
pose´ connu. Cette estimation se fait sous la contrainte de po-
sitivite´ de   quand les sommes des logarithmiques atteignent
leurs valeurs maximales. A cette dernie`re contrainte s’y ajoute
donc celle de la contrainte de conservation des parame`tres glo-
baux de l’image motive´e par la seconde e´tape de la strate´gie de
se´lection des parame`tres.
L’image test est une image e´chographique de type B-scan,
mono-grille, prise a` l’hopital Charles Nicolle de Tunis au ser-
vice radiologie. Le sujet test de l’image est un site reinale.
Dans cette image y figure le foi dont on extrait une portion
de taille
H
< ,<$< pour en simuler la texture. Le re´sultat de
cette simulation correspond a` l’image '& &( de la meˆme figure.
On observe a` nouveau une excellente conservation des pa-
100 200 300 400 500 600 700
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
FIG. 2: Echographie d’un site reinale ou` figure au dessus du rein le foi.
10 20 30 40 50 60
5
10
15
20
25
30
35
40
(i) (ii)
0 50 100 150
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 20 40 60 80 100 120 140
0
50
100
150
200
250
(j) (jj)
FIG. 3: (i) Texture de foi extraite de l’image de la figure   $ de parame`tres
globaux  ﬀﬁ ,    	  ,  ( 	  ﬀ et ﬂ (.    et de parame`tres
d’inte´ractions   	 ﬀﬁﬀﬁ      et   .   . (ii)
Texture synthe´tique de´duite de l’image dont les parame`tres globaux sont  
ﬀ 	 ﬀ
,


&	

 	

et  
 		 . (i). L’histogramme de l’image  "!%$ (resp.
 '!'!%$ ) figure en  
	 $ (resp.  		$ ).
rame`tres globaux R ,  O . Par contre la simulation '& &( apparaıˆt
plus ”bruite´e” que l’image originale '&( . Cette de´faillance peut
provenir de la me´thode d’estimation des parame`tres d’interac-
tion  et  qui ne permet pas de traduire de fac¸on pre´cise l’or-
ganisation de la texture dans ces derniers parame`tres. Les pa-
rame`tres une fois estime´s sont utilise´es pour la simulation du
mode`le.
6 Discussion
La me´thode d’estimation utilise´e pour la synthe`se de tex-
ture ne permet pas de traduire de fac¸on suffisamment pre´cise
l’organisation spatiale de la texture. Notre objectif actuel est
d’ame´liorer cette proce´dure permettant d’inte´grer la contrainte
de positivite´ des parame`tres du champ qui s’exprime donc par:
C ); @ <ﬂ@
+

#

V
4>6
& &E 5@ 1 ﬃ
 E (13)
Lors de la pre´sentation de ce travail, nous proposerons la synthe`se
de texture re´sultant de l’observation d’autres organes comme le
sein, le foi, le rein pour lesquels comme le mentionne [10], les
intensite´s lumineuses suivent globalement une loi  .
Re´fe´rences
[1] J.W. Goodman, ”Some fundamental properties of speck-
le”, J. Opt. Soc. Amer., Vol.66, pp.1145-1150, Nov.1976.
[2] Klaus Schatzel, ”K-distribution phase differences in
turbulent random phase screens”, Opt. Soc. Amer. Vol.73,
No.3, pp.269-276, March 1983.
[3] R. C Molthen, P.M. Shankar, J.M. Reid, F. Forsberg, E.J.
Halpern, C.W. Piccoli and B.B. Goldberg ”Comparisons
of the Rayleigh and K-distribution models using in vivo
breast and liver tissue” Ultrasound Med. Biol. Vol. 24,
no.1, pp. 93-100, 1998.
[4] P. Mohana Shanker, ”A General Statistical Model for
Ultrasonic Backscattering from Tissues”, IEEE, Trans. On
Ultrasonics, Ferro. And Frequency Control, Vol.47, No.3,
May 2000.
[5] Jakeman E., Tough R. J. A. ”Generalized K-distribution: a
statistical model for weak scattering” J. of Opt. Soc. Am.,
Vol. 13, P. 1764 a` 1771, septembre 1987.
[6] Besag J. , 74 ”spatial interaction and the statistical analysis
of lattice systems”, J.R.S.S. B-36, 192-236.
[7] Belhadj Z., Bouhlel N., Sevestre G. S. and Boussema
M. R. ”Heterogeneous SAR Texture Characterization
By means of Markov Random Fields”. Geoscience and
Remote Sensing Sympsium, 2000. Proc. IGARSS 2000.
IEEE 2000 International, Vol.:2, 2000. P.: 579-581.
[8] X. Guyon 1995 ”Champs ale´atoire sur un re´seau,
mode´lisation, statistique et application” pp. 59-60, Edition
Masson 1993.
[9] Yueh S.R., Kong J.A., Jao J.K., Shin R.T., Zebker H.A.,
Le Toan T.and Ottl H., ”K-Distribution and polarimetric
terrain clutter”. Polarimetric remote sensing, edited by
J.A. Kong, Amesterdam: Elsevier, 1990.
[10] P.M. Shankar, V.A. Dumane, J.M. Reid, V. Genis,
F. Forsberg, E.J. Halpern, C.W. Piccoli and B.B.
Goldberg, 2000 ”Use the K-Distribution for Classi-
fication of Breast Masses”, Ultrasound in Med.and
Biol.,Vol.26,No.9,pp.1503-1510, 2000.


Nouveau modèle de texture markovien basé sur la loi K : Application à l'echographie

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