- La mise en phase, ou cophasage, des pupilles d'un télescope Multi-pupilles nécessite la connaissance des aberrations différentielles de piston entre les pupilles. Un premier estimateur simple de piston peut être obtenu par analyse directe de la Fonction de Transfert Optique. Nous présentons ici la dérivation d'un second estimateur par une approche Moindres Carrés, et nous comparons les performances des deux estimateurs

BARON, F.

CASSAING, F.

MUGNIER, L.

I-Revues

Cophasage des Pupilles d’un Télescope Multi-pupilles
F. BARON, F. CASSAING,L. MUGNIER
Office National d’Etude et de Recherche Aérospatiales
BP 72 - 29 aveneue de la Division Leclerc
92322 CHATILLON CEDEX, FRANCE
Fabien.Baron@onera.fr, Frederic.Cassaing@onera.fr, Laurent.Mugnier@onera.fr
Résumé – La mise en phase, ou cophasage, des pupilles d’un télescope Multi-pupilles nécessite la connaissance des aberrations différentielles
de piston entre les pupilles. Un premier estimateur simple de piston peut être obtenu par analyse directe de la Fonction de Transfert Optique.
Nous présentons ici la dérivation d’un second estimateur par une approche Moindres Carrés, et nous comparons les performances des deux
estimateurs.
Abstract – Aperture phasing on a Multi-aperture Telescope requires the knownledge of the differential pistons aberrations between apertures.
A first simple piston estimator is obtained by direct analysis of the Optical Transfer Function. We derive here a second estimator using a Least
Squares approach, and the performance of both estimators is compared.
1 Position du problème
Pour gagner en résolution, il est possible de réaliser l’équi-
valent d’un télescope de grand diamètre par recombinaison in-
terférométrique de plusieurs télescopes de diamètre inférieur.
Un tel Télescope Multi-pupilles (TMP, voir Figure 1) permet
l’observation à très haute résolution de l’espace ou de la Terre,
tout en respectant les contraintes de lancement (encombrement,
masse). Cette solution est envisagée pour des instruments spa-
tiaux, notamment pour la mission DARWIN de recherche de
planètes hors du Système Solaire [1]. La principale difficulté
opérationnelle de ce système est la mise en phase des pupilles,
appelée cophasage, c’est-à-dire l’égalisation des trajets parcou-
rus dans les différents bras de l’interféromètre afin de stabiliser
l’image obtenue au foyer commun.
Détecteur
Basculements
Piston
j=3j=2
j=1
FIG. 1 – Principe d’un Télescope Multi-pupilles.
Les aberrations des pupilles peuvent se décomposer sur une
base de modes, tels les modes de Zernike [2] illustrés en Fi-
gure 2. Les modes d’ordre supérieur ou égal à 4, correspondent
aux aberrations propres de chaque pupille et peuvent se mesu-
rer avec des senseurs développés pour les instruments monoli-
thiques [3]. Par contre, l’alignement relatif des pupilles est un
problème spécifique aux TMP, qui ne concerne que les trois
premiers modes de Zernike, le piston (  ) et les bascule-
ments (  ou  ). Nous décrivons ici le principe d’un senseur
destiné à la mesure du défaut de piston différentiel à partir de
l’image d’un objet connu, par exemple ponctuel. Un tel objet
peut être soit une étoile dans le champ pour une observation
astronomique, soit une source interne.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
FIG. 2 – Les 10 premiers polynômes de Zernike 	
 , orthonor-
més sur le disque unité.
Cette communication rappelle tout d’abord la formation d’une
image au foyer d’un TMP. Un premier estimateur de piston en
est déduit. Un deuxième estimateur est ensuite obtenu par une
approche Moindres Carrés. Enfin nous comparons leurs perfor-
mances à l’aide de simulations numériques.
2 Estimateur de cophasage
2.1 Modèle direct
Notre étude est effectuée en bande spectrale étroite et les
grandeurs sont discrétisées. Soit  la réponse impulsionnelle
de l’instrument, supposée constante dans le champ. L’image 
est modélisée par la convolution discrète (notée  ) de l’objet
observé  avec  à laquelle s’ajoute un bruit  :


 avec 

ﬀﬁﬃﬂ (1)
Nous avons considéré  constitué d’une part d’un bruit additif

, blanc, Gaussien et stationnaire, et d’autre part d’un bruit de
photons de type Poissonnien appliqué au produit de convolu-
tion.
La pupille globale est formée de ! pupilles circulaires, de
positions "$# et dont les transmissions hors aberrations sont mo-
délisées par la fonction porte circulaire % . La phase est décom-
posée sur chaque pupille dans la base des polynômes de Zer-
nike, notés 	 
 , de sorte que la transmission complexe   de la
pupille globale s’écrit :
 



#
  # 	
 avec   #

%	

et  #
 




# 	
 (2)
où    , et où le coefficient


# est l’amplitude en radians
du mode d’ordre   sur la pupille  . Nous nous limiterons aux
trois premiers polynômes pour chaque pupille, les pistons et
basculements (voir Fig. 2).
La Fonction de Transfert Optique (FTO) est la transformée
de Fourier de  et s’exprime alors en fonction de   :
ﬁﬀ
  ﬂ
ﬃﬂ


  ! 



#"
#

$

%  #&! 
$
ﬂ 	
(')
* (3)
où  est l’opérateur produit de corrélation, et ﬁﬀ ,+ ﬂ ou ﬂ+ dé-
signent la Transformée de Fourier de la fonction + . Notons que
le modèle direct est très non linéaire en les coefficients -


 #. .
2.2 Problème inverse
L’estimation de la phase pupillaire à partir de  , appelée
phase retrieval, n’a pas de solution unique même si l’objet est
connu [4]. Le problème de la mesure de phase à partir d’une
image focale peut être résolu notamment par la méthode de
diversité de phase, introduite par Gonsalves [5] et étendue aux
instruments multi-pupilles par Paxman et coll.[6]. Deux images
déphasées sont alors nécessaires dans le cas général. Mais si
l’objet est connu et si les pics de la FTO ne se chevauchent pas,
nous montrerons qu’une seule image suffit. Nous nous place-
rons dans ce cas dans le reste de cette communication. Le cri-
tère de distance à l’image, défini plus loin, peut alors se mi-
nimiser numériquement par une méthode de gradients conju-
gués [3] pour une phase quelconque, mais son implantation en
temps réel est difficile.
Néanmoins le piston est mesurable sur une seule image dans
le cas de pupilles diluées, et deux estimateurs sont décrits ci-
dessus.
2.2.1 Méthode rustique
Pour un objet ponctuel, la transformée de Fourier de l’image
est la FTO bruitée. Si le bruit est blanc Gaussien et station-
naire, alors la relation (3) permet de montrer que la FTO se
présente sous la forme d’un pic central entouré de plusieurs
pics satellites (Fig. 3, gauche), résultants de l’intercorrélation
des différentes pupilles. Nous nous placerons par la suite dans
l’hypothèse où la pupille est diluée, afin que les pics ne se che-
vauchent pas.
Un piston sur une pupille n’affecte pas le module des  ﬁ  

ﬂ pics concernés mais se traduit par des constantes de phase
sur ceux-ci. En première approximation, les autres aberrations
sont supposées du second ordre et leurs influences négligeables
sur la FTO, de sorte que :
 
$
/  #

0214365
*
'
305
798
+ 2:";=<6>? ﬂA@B214365
*
'
365
798 (4)
où + est une fonction des aberrations du second ordre et où 8 
%B% est le module du pic, de forme caractéristique conique
(cf Figure 3).
Un premier estimateur, dit “rustique” a donc été développé
empiriquement afin de retrouver directement les pistons à partir
de la phase des pics [7, 8]. Soit C # $ le domaine du pic d’in-
tercorrélation des pupilles  et D , et E # $ sa phase. Le piston
moyen n’ayant pas d’effet sur l’image, il est choisi nul afin de
fixer une référence. L’estimateur rustique s’écrit alors :
E #
$



$


 #GF


$


  
#

#H
E #
$ (5)
L’estimation du piston est donc réalisable avec seulement
une image. Seul le pixel central de chaque pic est utilisé pour
le calcul de la phase par l’estimateur rustique. Il apparaît ce-
pendant plus optimal d’exploiter tout le pic, en utilisant une
porteuse sur le pic en fonction du rapport Signal sur Bruit. Le
choix de cette porteuse reste un degré de liberté important, et
afin d’obtenir une fonction de pondération optimale la méthode
des Moindres Carrés a été mise en œuvre.
FIG. 3 – Module de la FTO (à gauche) et phase (à droite) pour
un TMP à trois pupilles en présence d’un piston sur une pupille.
2.2.2 Méthode des Moindres Carrés
Un deuxième estimateur a été obtenu en utilisant l’approche
des Moindres Carrés. Notons que dans le cas où le bruit est un
pur bruit blanc Gaussien stationnaire, elle s’avère identique à
celle du Maximum de Vraisemblance, et les estimées des aber-
rations -



#
. sont alors celles qui maximisent la vraisemblance
des données. Le problème consiste en la minimisation du cri-
tère I de distance à l’image  par rapport aux pistons -

#J
. .
Soit K 2L ﬂ la variance du bruit au point L , le critère s’écrit :
I


M
K 2L ﬂONP 0Q 2L ﬂ

 2L ﬂ6N R


S
T
ﬂ
K VU
U
U
ﬂ

ﬂ


ﬂ
0U
U
U
RW
YX ﬂ (th. Parseval)


S
ﬁﬀ
T
ﬁﬀ
'Z
P
ﬂ
KQ
ﬁﬀ
'Z\[
U
U
U
ﬂ

ﬂ


ﬂ

U
U
U
R^]
W (6)
Pour des aberrations faibles, le bruit est au premier ordre in-
dépendant des aberrations, car  reste pratiquement constant, et
_
Ka`
_


$
cb
. Le gradient du critère est alors :
_
I
_


$


S
ﬁﬀedZﬁﬀ
'O
P
ﬂ
KfQ
ﬁﬀ
'Zhg"i
ﬂ

ﬂ


ﬂ
kj
_
ﬂ
)l
_


$
ﬂ

l
ﬃm?nm? oOp
(7)
Exprimons ﬂ  et sa dérivée en fonction de la pupille :
_
ﬂ

_


$

_
 
_


$
! /  
_
 
_


$
(8)
Ce qui donne pour le critère :
_
I
_


$


S
ﬁﬀ kﬁﬀ
'O
P
ﬂ
KfQ
ﬁﬀ
'Z
P   
l

l
Q (9)
avec :


i
ﬂ

ﬂ


ﬂ
 j
l
ﬂ

[
_
 
_


$
! 
] (10)


i
ﬂ

ﬂ


ﬂ
 j
l
ﬂ

[
  
_
 
_


$
] (11)
Or ﬂ K , ﬂ  , ﬂ  , ﬂ  sont des transformées de Fourier de fonctions
réelles positives, donc sont Hermitiques. Notons respective-
ment  et 	 les opérateurs prise de partie réelle et imaginaire.
A l’aide de l’Hermiticité, l’équation (9) se réécrit finalement :
_
I
_


$





S
/-
ﬂ
K. 
 

	


S
!-
ﬂ
K. 
i
ﬂ

ﬂ


ﬂ
 j
l
ﬂ
 P  
$
!  Q  (12)
car 

365
*

 	A9 
$

  
$ , 	  valant l’unité sur toute la
pupille. Deux termes apparaissent, dont un dépend de l’image :
	
i
ﬂ

ﬂ


ﬂ

j
l
ﬂ
 P 	

 
$
/  Q

	ﬀ N
ﬂ
 N
R
ﬂ

l
P  
$
/  Q

	ﬀ
ﬂ

l
ﬂ
 P  
$
/  Q (13)
En utilisant l’équation (3), exprimons alors ﬂ )l en fonction
des pupilles :
ﬂ

l
P  
$
/  Q

d
#

#ﬂﬁ4H
#

#ﬂﬁ ﬁ 
P  
$
! 
#
Q 	
#
ﬁ
#
ﬁ ﬁ
p
ﬃ
d
#

#H
P  
$
!  # Q 	 #
$
p (14)
La pupille étant supposée diluée, les pics sont non chevau-
chants dans la FTO. Par conséquent, les seuls pics contribuant
au produit sont tels que     et !   D . Donc :
	

N
ﬂ
 N
R
ﬂ

l
P  
$
!  Q
 (15)

	

N
ﬂ
 N
R

#ﬂﬁ ﬁ
  
$
/ 
#
ﬁ ﬁ ﬂ
l
% 
$
/ 
#
ﬁ ﬁ ﬂ 	
$
#
ﬁ ﬁ

Bb
Le gradient prend finalement la forme :
_
I
_

$

"


#
	


#
*
!-
ﬂ
Ka. 
ﬂ

l
ﬂ
   
$
! 
#
ﬂ
 (16)
et l’annulation du critère correspond à :

#%$
>'&


#
6*
!-
ﬂ
Ka. 
ﬂ

l
ﬂ
 % 
$
/  # ﬂ

cb
)(+*-,/. ﬂ (17)
Les équations suivantes sont alors obtenues modulo . :


#"
$
>0&


 14305
*
'
365
"7

#
6*
!-
ﬂ
Ka. 
ﬂ

l
ﬂ

8

 b (18)



#"
d


$


 # 
$
>0&


#
*
!-
ﬂ
Ka. 
ﬂ

l
ﬂ

8
Ap
 b (19)
L’estimation de piston est finalement donnée par :


$


 


#
$
>'&


#
*
!-
ﬂ
Ka. 
ﬂ

ﬂ

l
8
 (20)
Nous constatons que la phase est pondérée par 8 sur le pic,
donc par un poids fort au centre du pic où le rapport signal
sur bruit est le meilleur, et plus faible au bord où le bruit est
plus important. Dans le cas d’un bruit stationnaire de variance
constante, et pour un objet ponctuel, l’estimateur MC se com-
porte comme l’estimateur rustique pondéré :


$


  
 

#H $
>'&


#
6*
ﬂ

8

 b (21)
3 Simulations numériques
Des simulations numériques ont été effectuées afin de com-
parer les performances des estimateurs rustique, MC, et d’un
estimateur fonctionnant par minimisation numérique du critère.
La minimisation se fait selon la méthode itérative des gradients
conjugués, et est extrèmement coûteuse en temps de calcul.
Elle permet de tester la validité de l’expression analytique ap-
prochée, qui dans le cas idéal produit les mêmes résultats en
temps réel.
L’objet est considéré comme une source ponctuelle de flux
total donné, entre 0b
R
et
6b21 photons. La pupille globale choisie
pour les simulations est composée de trois pupilles circulaires
de même rayon, disposées aux sommets d’un triangle équilaté-
ral (cf Fig. 3). Elle est échantillonnée sur  ﬂ
 ﬃ  ﬂ
 pixels, et
la phase appliquée aux pupilles est la phase nulle.
Une image de 23ﬂ4 ﬃ 2324 pixels est calculée par FFT à par-
tir de l’objet et de la pupille, de façon à respecter le critère
de Shannon. 200 tirages de bruit sont effectués pour chaque
image, comportant un bruit de photons Poissonnien et un bruit
Gaussien d’écart-type égal à 100 photons par pixel.
L’écart-type et le biais des trois estimateurs sur ces tirages
sont présentés sur la figure 4. A très faible flux ( 6b

à 6b25
photons), l’estimation de piston devient une distribution uni-
forme entre P  .76'.)Q , et le biais et l’écart-type tendent vers des
constantes pour les estimateurs rustique et MC. A cause de la
présence de minima locaux, la minimisation numérique du cri-
tère diverge et son exploitation est impossible.
A faible flux ( 0b25 à 6b28 photons), le bruit Gaussien est do-
minant. La comparaison des résultats de la minimisation numé-
rique avec ceux de l’estimateur MC confirment que l’approxi-
mation analytique est valide.
Par rapport à l’estimateur rustique, une amélioration signi-
ficative des performances est constatée, de l’ordre d’un fac-
teur
6b
en écart-type et biais. A fort flux ( 6b98 à 0b21 ), le bruit
de photons devient dominant et la différence entre les estima-
teurs rustique et MC diminue. Lorsque le flux atteint des va-
leurs très élevées ( 0b:1 photons et plus), l’image et la FTO sont
quasi-identiques. Ce comportement favorise l’estimateur rus-
tique pour lequel le bruit de calcul est moindre par rapport à
l’estimateur MC, ou à la méthode itérative de minimisation nu-
mérique.
Ces résultats démontrent par conséquent la possibilité d’ef-
fectuer à l’aide de l’estimateur MC un cophasage précis ( 6b '<;
radians pour 0b:8 photons par image) à faible coût de calcul.
FIG. 4 – Ecart-type et biais en radians en fonction du nombre
de photons.
4 Conclusion
Les performances de l’estimateur MC permettent d’obtenir
un cophasage très satisfaisant. Le coût en temps de calcul est
faible et l’implantation en temps réel possible car seules des
opérations non-itératives et relativement simples sont mises en
œuvre (solution linéaire en ﬂ  exceptée la prise d’argument com-
plexe).
Cet estimateur sera employé en tant que module de calibra-
tion au sein d’un système de cophasage de TMP fonctionnant
sur scène étendue développé à l’ONERA. Par ailleurs son uti-
lisation est prévue pour la mission spatiale DARWIN [9] de
recherche de planètes habitables hors du Système Solaire, afin
de cophaser les différentes pupilles de l’instrument.
Références
[1] http ://sci.esa.int/home/darwin/index.cfm.
[2] R. J. Noll, “Zernike polynomials and atmospheric turbu-
lence,” J. Opt. Soc. Am. 66, pp. 207–211, Mar. 1976.
[3] A. Blanc, L. M. Mugnier, and J. Idier, “Estimation des
aberrations d’un telescope optique par diversité de phase,”
in 17ième Colloque sur le Traitement du Signal et des
Images, vol. 1, pp. 63–66, GRETSI, Sept. 1999.
[4] R. A. Gonsalves, “Small phase solution to the phase retrie-
val problem,” Opt. Lett. 26, pp. 684–685, May 2001.
[5] R. A. Gonsalves, “Phase retrieval and diversity in adaptive
optics,” Optical Engineering 21(5), pp. 829–832, 1982.
[6] R. G. Paxman, T. J. Schulz, and J. R. Fienup, “Joint esti-
mation of object and aberrations by using phase diversity,”
Journal of the Optical Society of America A 9(7), pp. 1072–
1085, 1992.
[7] F. Cassaing, Analyse d’un instrument à synthèse d’ouver-
ture optique : méthodes de cophasage et imagerie à haute
résolution angulaire. PhD thesis, Université Paris XI Or-
say, Dec. 1997.
[8] F. Cassaing, L. Mugnier, G. Rousset, and B. Sorrente,
“Éléments-clés de la conception d’un instrument spatial à
synthèse d’ouverture optique,” in International Conference
on Space Optics, CNES, (Toulouse (France)), Dec. 1997.
[9] F. Cassaing, F. Baron, E. Schmidt, S. Hofer, L. M. Mu-
gnier, M. Barillot, G. Rousset, T. Stuffler, and Y. Salvadé,
“DARWIN Fringe Sensor (DWARF) : Concept study,” in
Towards Other Earths, vol. SP-539, ESA, 2003. Date
conférence : Apr. 2003.


Cophasage des pupilles d'un télescope multi-pupilles

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