·Les entrelaceurs sont de plus en plus utilisés dans les systèmes de communications numériques utilisant des codes correcteurs d'erreurs. Dans un contexte non coopératif, tel que l'écoute passive, il se peut que le récepteur doit être capable d'estimer les différents paramètres de l'entrelaceur. Nous avons proposé un algorithme permettant d'estimer la taille de l'entrelaceur, le rendement de codage ainsi que le début de la trame entrelacée. Cet algorithme utilise un seuil de détection que nous proposions de fixer de manière heuristique. Dans cet article, nous montrons qu'il existe une valeur optimale de ce seuil et nous proposons une procédure itérative permettant de l'atteindre

HOUCKE, Sébastien

SICOT, Guillaume

International audienceLes entrelaceurs sont de plus en plus utilisés dans les systèmes de communications numériques utilisant des codes correcteurs d'erreurs. Dans un contexte non coopératif, tel que l'écoute passive, il se peut que le récepteur doit être capable d'estimer les différents paramètres de l'entrelaceur. Nous avons proposé un algorithme permettant d'estimer la taille de l'entrelaceur, le rendement de codage ainsi que le début de la trame entrelacée. Cet algorithme utilise un seuil de détection que nous proposions de fixer de manière heuristique. Dans cet article, nous montrons qu'il existe une valeur optimale de ce seuil et nous proposons une procédure itérative permettant de l'atteindre

Sicot, Guillaume

Houcke, Sébastien

Archive Ouverte en Sciences de l'Information et de la Communication

Etude statistique du seuil dans la détection d'entrelaceur

I-Revues

Etude Statistique du seuil dans la dØtection d’entrelaceur
Guillaume SICOT1, SØbastien HOUCKE1
1ENST Bretagne - DØpartement Signal & Communication
Technopôle Brest-Iroise - CS 83818 - 29238 Brest Cedex 3
{guillaume.sicot} {sebastien.houcke} @enst-bretagne.fr
Résumé – Les entrelaceurs sont de plus en plus utilisés dans les systèmes de communications numériques utilisant des codes correcteurs
d’erreurs. Dans un contexte non coopératif, tel que l’écoute passive, il se peut que le récepteur doit être capable d’estimer les différents paramètres
de l’entrelaceur. Nous avons proposé un algorithme permettant d’estimer la taille de l’entrelaceur, le rendement de codage ainsi que le début
de la trame entrelacée. Cet algorithme utilise un seuil de détection que nous proposions de fixer de manière heuristique. Dans cet article, nous
montrons qu’il existe une valeur optimale de ce seuil et nous proposons une procédure itérative permettant de l’atteindre.
Abstract – Interleaving is a key component of many digital communication systems involving error correction schemes. In a non-cooperative
context, such as passive listening, it is a challenging problem to estimate the interleaver parameters. Recently, we proposed an algorithm to
estimate the size of the interleaver block, the code rate and to perform the blind frame synchronization of the interleaver blocks. This algorithm
used an empirical threshold. In this paper we show that there exists an optimal threshold and we propose an iterative procedure that allows to
converge to this optimal value.
1 Introduction
Les codes correcteurs d’erreurs possŁdent gØnØralement de
meilleures propriØtØs de correction lorsque les erreurs sont Øqui-
rØparties sur la trame plutôt que sous la forme de paquets d’er-
reurs. C’est pourquoi on entrelace les donnØes avant Ømission.
Ainsi, au niveau du rØcepteur, le dØsentrelacement permet de
rØpartir uniformØment les erreurs sur toute la trame.
Dans un contexte non-coopØratif, les paramŁtres de l’entre-
laceur et du schØma de codage doivent Œtre estimØs en aveugle
an de rØcupØrer le message Ømis. Dans ce document nous al-
lons nous intØresser à la dØtection des paramŁtres de l’entrela-
ceur. La technique proposØe dans [1] rØsout ce problŁme dans
le cas d’une transmission sans erreur. An d’Øtendre cette so-
lution en prØsence d’erreurs de transmission une solution a ØtØ
proposØe dans [2]. Ces deux algorithmes permettent de retrou-
ver des caractØristiques de l’entrelaceur telles que sa taille, le
dØbut du bloc de l’entrelaceur, le motif d’entrelacement utilisØ
mais aussi des informations sur le code utilisØ telles que son
rendement.
Dans un premier temps, nous prØsentons l’algorithme publiØ
dans [2]. Ensuite une Øtude thØorique des performances de cet
algorithme est rØalisØe en particulier en ce qui concerne les li-
mites de dØtection pouvant Œtre attendues suivant le taux d’er-
reur prØsent dans le canal de transmission. Cette Øtude permet
de mieux comprendre le fonctionnement de notre mØthode et
surtout donne des critŁres permettant de choisir objectivement
la valeur d’un paramŁtre primordial de l’algorithme.
2 Détection en aveugle d’un entrelaceur
Nous nous intØressons au cas oø le code correcteur utilisØ est
un code en bloc et l’entrelaceur est Øgalement un entrelaceur
par bloc. L’opØration de codage à l’aide d’un code en bloc est
complŁtement dØnie par une matrice gØnØratrice de rang plein
G, qui transforme chaque bloc de kc bits d’information en nc
bits codØs (avec kc < nc).
Un entrelaceur peut Œtre modØlisØ par une matrice de permu-
tation P de taille S × S oø S reprØsente la taille de l’entre-
laceur. En gØnØral, la taille de l’entrelaceur est un multiple de
taille d’un mot de code, hypothŁse que nous ferons ici. Ainsi,
nous avons la relation : S = N.nc, oø N reprØsente le nombre
de mots de code dans le bloc de l’entrelaceur.
Par la suite, X dØsigne la sØquence Ømise composØe de M
blocs entrelacØs, et Z la sØquence interceptØe. Z est une version
de X, dØcalØe de t0 bits (retard de transmission) et entachØe
d’erreurs dues au canal de propagation. Le canal est modØlisØ
par un canal binaire symØtrique de probabilitØ d’erreur Pe.
2.1 Sans erreur de transmission
Dans cette partie, nous supposons que le canal de transmis-
sion n’introduit aucune erreur de transmission (i. e. Pe = 0).
Burel et al. proposent [1] de construire une matrice H(na, d) à
partir de la sØquence Z. Pour ce faire, on dØcoupe la sØquence
Z à laquelle on a prØalablement enlevØ les d premiers bits, en
blocs K contenant na bits. Ensuite ces K blocs de taille na
forment les lignes de la matrice H(na, d). Ainsi la matrice
H(na, d) est une matrice de dimension K × na. Burel et al.
proposent d’Øtudier le coefcient ρ(na, d) dØni par (1) pour
diffØrentes valeurs de na et de d.
ρ(na, d) =
rank(H(na, d))
na
(1)
Il apparaît que ∀ d, ρ(na, d) est Øgal à 1, sauf lorsque na
est un multiple de la taille de l’entrelaceur, c’est-à-dire lorsque
na = kS, avec k un entier non nul. En effet, dans ce cas par-
ticulier, des corrØlations entre colonnes apparaissent dues à la
redondance introduite par le code correcteur d’erreur.
. 
 
 
























	
	
	












 
 
 
 






...
...
Matrice H(na, d)
na 6= k.S
Matrice H(k.S, d)
na = k.S
.
FIG. 1  La matrice H(na, d)
La gure 1 prØsente les deux cas de gure qui peuvent se prØ-
senter au niveau de la matrice H(na, d). L’ØlØment grisØ dans
la gure 1 reprØsente un bit de redondance : ce bit est donc une
combinaison linaire d’autres bits appartenant au mŒme bloc.
Lorsque na = kS, cette mŒme relation linØaire est aussi vØ-
riØe par la ligne suivante de la matrice H(kS, d) et donc par
toute la colonne. La colonne hachurØe est une combinaison li-
nØaire d’autres colonnes et la matrice H(kS, d) n’est pas de
rang plein. DŁs que na 6= kS cette propriØtØ n’est plus vØri-
Øe. La dØcience du rang de H(na, d) permet ainsi d’estimer
la taille de l’entrelaceur. Une fois S estimØe, l’argument mini-
mum de ρ(kS, d) en fonction de d permet de trouver le dØbut
de la trame de l’entrelaceur et de dØduire le rendement du code
utilisØ.
2.2 Avec erreurs de transmission
Dans le contexte d’une Øcoute passive, la sØquence Z est
vraisemblablement entachØe d’erreurs, ainsi la matrice H(na, d)
devient gØnØralement de rang plein mŒme pour na = kS. Par
consØquent la mØthode prØcØdemment citØe devient peu per-
formante. Pour pallier à ce problŁme, nous avons proposØ dans
[2] de construire la matrice H(na, d) de la mŒme maniŁre que
dans la mØthode prØcØdente. La matrice H(na, d) est ensuite
trianguralisØe à l’aide de l’algorithme du pivot de Gauss mo-
diØ pour fonctionner dans l’espace binaire F2. Il est possible
de dØnir l’opØration rØalisØe par cet algorithme par la relation
linØaire suivante :
A1H(na, d)A2 = L(na, d) (2)
oø A1 reprØsente les permutations sur les lignes de H(na, d), et
A2 reprØsentant les opØrations sur les colonnes. Enn L(na, d)
reprØsente la matrice triangulaire infØrieure rØsultant de cet al-
gorithme.Soit Bi la variable qui reprØsente le nombre de 1 dans
la partie infØrieure de la colonne i de la matrice L(na, d) (cf.
gure 2).
DØnissons par φna(i) la variable alØatoire suivante : φna(i) =
Bi
mB
oø mB est un facteur de normalisation Øgal à
mB =
1
2
(
b
MS
na
c − na
)
.
Il correspond à la moyenne de Bi si les bits de la colonne i sont
indØpendants et Øquiprobables (ce qui est le cas si na 6= kS).
Si na 6= kS, ∀ i ∈ {1, .., na}, Bi suit une loi binomiale de
paramŁtres (K − na, 12 ) et il est facile de montrer que :
∀i ∈ {1, .., na}, lim
M→∞
φna(i)
P
−→ 1 (3)
.
...
...B1 B2 Bna
(0)
L(n
a
, d)
.
FIG. 2  La matrice L(na, d)
.
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 1.4
 1.6
 1.8
 0  10  20  30  40  50  60
φ
S
(.
)
indice des colonnes de la matrices L(S, d)
.
FIG. 3  Exemples des valeurs prises par φ pour na = kS
oø P−→ signie la convergence en probabilitØ.
Si na = kS, alors nous devrions trouver des colonnes dØ-
pendantes dans H(na, d), c’est-à-dire nous devrions avoir des
colonnes de zØros dans la matrice L(na, d). Soit I l’ensemble
de ces colonnes. En supposant que la partie triangulaire supØ-
rieure de H(na, d) ne contienne aucune erreur alors pour i ∈ I,
Bi suit une loi Binomiale de paramŁtres (K − na, P ) et nous
avons :
∀i ∈ I lim
M→∞
φkS(i)
P
−→= 2P
avec :
P = 1−
b
pi
2
c∑
l=0
(
pi
2l
)
P 2le (1− Pe)
pi−2l (4)
oø pi reprØsente le nombre minimal de combinaisons linØaires
nØcessaires pour obtenir la colonne i de L(kS, d) et P est la
probabilitØ qu’un ØlØment de la colonne i est Øgale à 1. De
plus, si na 6= kS, φna(i) possŁde le mŒme comportement que
φkS(i) pour i /∈ I.
La gure 3 nous montre que l’Øcart entre les deux compor-
tements de φS(.) est signicatif mŒme pour des valeurs de M
nies. Cette gure a ØtØ rØalisØe avec une code de Hamming
(7, 4), un entrelaceur de taille 56, un taux d’erreur binaire du
canal de propagation pe = 0.08 et une durØe d’observation de
10000 bits. Pour ce code particulier, pi est Øgal à 4 ∀i.
PrØcisons que les erreurs se produisant dans la partie trian-
gulaire supØrieure de H(kS, d) ont l’effet suivant : nous ris-
quons d’ajouter une colonne que nous ne devrions pas ajouter et
ainsi nous risquons de "perdre" une corrØlation. Dans [2], nous
avons proposØ une procØdure itØrative permettant de contrer
ce phØnomŁne. En effet le Pivot de Gauss utilise exclusive-
ment la partie triangulaire supØrieure de H(na, d) pour obtenir
L(na, d),donc si nous relançons l’algorithme sur une autre ma-
trice H(na, d) obtenue par une permutation de ses lignes, nous
dØtecterons Øventuellement d’autres corrØlations et les perfor-
mances de l’algorithme sont ainsi amØliorØes.
Pour estimer la taille de l’entrelaceur, nous procØdons par
une recherche exhaustive sur le paramŁtre na. Pour chaque va-
leur de na, nous calculons φna(i). L’estimateur Sˆ de la taille
de l’entrelaceur est alors :
Sˆ = Argmaxna (Card({i = 1, . . . , na|φna(i) < β}))
oø β est un seuil xØ. Le choix de ce seuil conditionne les per-
formances de notre algorithme. Dans cette article nous propo-
sons de trouver la valeur optimale de ce seuil.
3 Détermination du seuil optimal
Le seuil est considØrØ optimal dans le sens oø il minimise
la probabilitØ de mauvaise dØtection Pmd d’une colonne thØo-
riquement dØpendante (une colonne appartenant à l’ensemble
I). Connaissant la loi de probabilitØ de φ, nous sommes en me-
sure de dØterminer le seuil optimal.
.
Seuil β
Pmd
P (bj,i = 1) = 0.3
P (bj,i = 1) = 0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 0.5 1 1.5 2
P
(φ
=
x
)
x .
FIG. 4  DØnition de Pmd
La gure 4 nous prØsente un exemple de densitØs de pro-
babilitØs1 de φS(i), celle de gauche correspond à une colonne
appartenant à l’ensemble I et celle de droite correspond à une
colonne indØpendante. De plus nous avons reprØsentØ un seuil
possible ainsi que la probabilitØ de mauvaise dØcision, Pmd,
associØe. Pmd correspond à la somme de 2 probabilitØs : la
probabilitØ d’avoir φS(i) > β alors que la colonne i est une
colonne dØpendante, et la probabilitØ d’avoir φS(i) < β alors
que la colonne i est une colonne dØpendante.
Par consØquent le problŁme est de dØterminer le seuil qui
minimise Pmd, ce seuil dØpendant a priori de mB , Pe et de pj .
Ainsi il est possible de dØnir le seuil β∗ comme ci-dessous :
β∗ = argmin
β
Pmd(mB , P, β) (5)
En utilisant les Øquations (3) et (4), on obtient l’expression sui-
vante :
Pmd(mB , P, β) =
bmB .βc∑
i=0
(
i
2mB
)
(0.5)2mB (6)
+
2mB∑
i=bmB .βc+1
(
i
2mB
)
P i(1− P )2mB−i
La rØsolution de ce problŁme d’optimisation permet d’obtenir
la valeur thØorique du seuil optimal β∗.
1Ces densités de probabilités sont normalement discrètes, néanmoins par
un souci de clarté nous avons préféré les représenter sous forme continue
3.1 Propriétés du seuil optimal β∗
Cette section illustre l’inuence des paramŁtres mB et P sur
β et en particulier sur le seuil optimal β∗.
Dans un premier temps, nous Øtudions l’inuence de β sur
Pmd et cela pour diffØrentes valeurs de Pe. La gure 5 prØsente
Pmd en fonction de β oø l’on a xØ mB = 50 et P est calculØ
pour pi = 6 et pour diffØrents Pe (cf. eq.(4)).
.
Pe = 0.01
Pe = 0.08
Pe = 0.12
Pe = 0.04
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
P
m
d
Seuil β .
FIG. 5  Pmd(mB , P, β) en fonction de β avec mB = 50, et P
calculØ avec pi = 6
Comme le montre la gure 5, lorsque le canal est peu sØvŁre
(Pe faible), la valeur du seuil a peu d’inuence sur les perfor-
mances de bonne dØtection : en effet pour Pe = 0.01 si le seuil
β ∈ [0.2, 0.8], la valeur de Pmd est proche de zØro. Si l’on
connaît Pe et pi, il est tout à fait possible de dØterminer le seuil
optimal à partir de ces courbes.
Maintenant, nous illustrons gure 6 la dØpendance du seuil
optimal β∗ par rapport à la variable pi. On remarque que plus pi
est grand plus le seuil optimal β∗ est grand. En d’autres termes
plus pi est grand et plus difcile sera la dØtection.
Enn, nous illustrons l’inuence de mB sur β∗. mB n’a que
peu d’inuence sur β∗ et cela peut facilement Œtre expliquØ. En
effet si mB augmente, alors la variance de la densitØ de proba-
bilitØ des Bi diminue. Cela n’inuence donc pas la position du
seuil. mB possŁde donc un effet important sur la valeur de Pmd
comme le montre la gure 7. Sur cette courbe sont reprØsentØes
les valeurs de Pmd lorsque que l’on choisit le seuil optimal β∗.
Cette gure montre en particulier que Pmd baisse signicative-
ment avec mB , par exemple pour Pe = 0.1, Pmd = 0.35 pour
mB = 25, et on trouve que Pmd = 0.06 lorsque mB = 100.
Nous proposons maintenant une procØdure permettant d’esti-
mer le taux d’erreur binaire du canal ( i.e. Pe) et ainsi d’obtenir
une estimation du seuil optimal β∗.
.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
S
eu
il
o
p
ti
m
a
l
β
∗
Pe
pi = 2
pi = 6
pi = 10
pi = 14
.
FIG. 6  Le seuil optimal β∗ en fonction de pi
.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
P
m
d
Pe
mB = 25
mB = 50
mB = 75
mB = 100
.
FIG. 7  Pmd en fonction de Pe lorsque β = β∗
3.2 Choix du paramètre β
Nous avons vu que le paramŁtre dØpend de pi, Pe et mB .
mB est connu du rØcepteur, cependant pi, Pe sont inconnus.
Donc nous sommes a priori incapables de xer le seuil au dØ-
but de l’algorithme à sa valeur optimale. Nous proposons ce-
pendant une procØdure itØrative compatible avec l’algorithme
itØratif initial permettant d’adapter la valeur du seuil.
AprŁs une itØration de l’algorithme initial, nous sommes Øven-
tuellement en mesure de trouver une valeur de na pour laquelle
on dØtecte des colonnes dØpendantes. Cette valeur correspond
à la taille de l’entrelaceur. Soit K l’ensemble de ces colonnes
dØtectØes. Grâce à la matrice A2, on obtient les pi pour ces co-
lonnes (pi reprØsente le nombre de colonnes impliquØes pour
obtenir la colonne i de L(S, d)). Ensuite en utilisant la valeur
des φS(i) pour i ∈ K, il est possible d’estimer P :
Pˆ =
1
Card(K)
∑
i∈K
φ
Sˆ
(i)
2
.
L’Øquation (4) permet alors d’estimer Pe. Enn la gure 6 nous
permet d’estimer la valeur du seuil optimal.
3.3 Validation du modèle et performances de notre
nouvel algorithme.
Tout d’abord, nous validons expØrimentalement la loi de pro-
babilitØ suivie par φ(.) ( i.e. Øquation (4)). Nous avons utilisØ un
entrelaceur pseudo alØatoire de taille 56 et un code correcteur
de Hamming (7,4) (i.e. pi = 4). Le nombre de bits intercep-
tØs est xØ à 10000 bits (mB = 122 pour na = 56). 3000
tirages de Monte-Carlo ont ØtØ rØalisØs oø pour chaque essai la
sØquence Ømise, les erreurs et l’entrelaceur ont ØtØ tirØs alØa-
toirement. La gure 8 reprØsente la moyenne de Pˆ ainsi que sa
valeur thØorique asymptotique. Nous constatons que les valeurs
obtenues par simulation sont proches des valeurs thØoriques.
Enn, nous illustrons l’amØlioration apportØe par notre pro-
cØdure d’adaptation du seuil par rapport à notre mØthode ini-
tiale. Le contexte de simulation est le mŒme que prØcØdem-
ment. Le seuil initial est tirØ alØatoirement entre 0.3 et 0.7. An
de quantier le gain apportØ par notre procØdure, on suppose
que la taille de l’entrelaceur a ØtØ correctement estimØe (i.e.
au moins une corrØlation a ØtØ dØtectØe). La gure 9 prØsente
le pourcentage de corrØlations trouvØes aprŁs 20 itØrations de
notre algorithme de dØtection. Le nombre de corrØlations trou-
vØes avec notre procØdure de seuil adaptatif est plus grand :
en effet pour un TEB de 4% et aprŁs 20 itØrations, nous trou-
vons environ 14% de corrØlations de plus que notre algorithme
.
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.060.08 0.1 0.120.140.160.18 0.2 0.220.240.26
Pˆ
P
The´orique
Ite´ration 1
Ite´ration 2
Ite´ration 3
Ite´ration 4
Ite´ration 5
.
FIG. 8  Estimation of P
seuil ale´atoire
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Pe
avec notre proce´dure
P
o
u
rc
en
ta
g
e
d
e
co
rr
el
a
ti
o
n
s
tr
o
u
v
e´e
s
FIG. 9  Gain de performance avec notre procØdure
initial. Nous obtenons les mŒmes performances que notre algo-
rithme initial mais seulement aprŁs 13 itØrations soit un gain de
7 itØrations. Avec notre nouvel algorithme, nous serons donc
en mesure de mieux reconstruire le motif de l’entrelaceur ( i.e.
plus de correlations disponibles), de mieux trouver le dØbut de
la trame entrelacØe.
4 Conclusion
Les performances de notre premier estimateur aveugle des
paramŁtres d’un entrelaceur dØpendent de notre capacitØ à choi-
sir un seuil de maniŁre appropriØe. L’Øtude thØorique menØe
dans cet article nous permet de dØnir un seuil optimal qui
minimise la probabilitØ de mauvaise dØtection d’une corrØla-
tion due au code correcteur d’erreurs. Nous avons montrØ qu’il
existe un seuil optimal mais que malheureusement ce seuil dØ-
pend de paramŁtres inconnus du rØcepteur (par exemple le TEB).
Cependant, nous proposons une procØdure permettant d’esti-
mer ces paramŁtres et ainsi d’adapter le seuil pour qu’il converge
vers sa valeur optimale. Ainsi nous pouvons espØrer atteindre
les meilleures performances attendues avec cet algorithme. De
plus cette procØdure nous permet d’estimer le taux d’erreur du
canal de propagation.
Références
[1] G. Burel and R. Gautier, Blind estimation of encoder and
interleaver characteristics in a non cooperative context,
IASTED - CIIT, November 2003.
[2] G. Sicot and S. Houcke, Blind detection of interleaver pa-
rameters, in Proc. of ICASSP, Philadelphia (USA), 2005.


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