Cet article s'intéresse à l'estimation bayésienne d'un vecteur d'état à l'aide de données multicapteur obtenues séquentiellement, en considérant que les capteurs sont potentiellement défaillants. Un état augmenté avec les variables indicatrices de validité et les coefficients de fiabilité de chaque capteur est estimé par un algorithme de Monte Carlo séquentiel (aussi appelé filtre particulaire). Une attention particulière est portée au choix des fonctions d'importance. Un exemple est fourni montrant l'amélioration de l'estimation en présence de capteurs défaillants par rapport à un filtre particulaire classique

CARON, Francois

DAVY, Manuel

DUFLOS, Emmanuel

VANHEEGHE, Philippe

French

I-Revues

Fusion de capteurs potentiellement de´faillants par filtrage
particulaire
Franc¸ois Caron, Manuel Davy, Emmanuel Duflos, Philippe Vanheeghe
Laboratoire d’Automatique, de Ge´nie Informatique et Signal
BP 48, Cite´ scientifique, 59651 Villeneuve d’Ascq Cedex, France
francois.caron@ec-lille.fr,manuel.davy@ec-lille.fr,
emmanuel.duflos@ec-lille.fr,philippe.vanheeghe@ec-lille.fr
Re´sume´ – Cet article s’inte´resse a` l’estimation baye´sienne d’un vecteur d’e´tat a` l’aide de donne´es multicapteur obtenues
se´quentiellement, en conside´rant que les capteurs sont potentiellement de´faillants. Un e´tat augmente´ avec les variables indicatrices
de validite´ et les coefficients de fiabilite´ de chaque capteur est estime´ par un algorithme de Monte Carlo se´quentiel (aussi appele´
filtre particulaire). Une attention particulie`re est porte´e au choix des fonctions d’importance. Un exemple est fourni montrant
l’ame´lioration de l’estimation en pre´sence de capteurs de´faillants par rapport a` un filtre particulaire classique.
Abstract – This article is interested in bayesian estimation of a state vector using sequential multisensor data, under the
assumption that sensors are potentially failing. A state augmented with discrete validity variables and reliability coefficients
of each sensor is estimated with a sequential Monte Carlo algorithm (also called a particle filter). Importance functions are
proposed to obtain an efficient particle filter. An example is provided, showing the estimation improvement in case of failing
sensors compared to a classical particle filter.
1 Introduction
Le de´veloppement de syste`mes de plus en plus com-
plexes rend ne´cessaire la fusion d’un grand nombre de
capteurs aux donne´es redondantes et/ou comple´mentaires.
La comple´mentarite´ permet d’avoir acce`s a` un plus grand
nombre de variables, tandis que la redondance des in-
formations permet d’augmenter la fiabilite´ des syste`mes.
Les capteurs ne sont cependant pas infaillibles, du fait
des risques de perturbation exte´rieure alte´rant la qua-
lite´ des donne´es fournies ou de de´te´rioration, voire de
mise hors service des capteurs. Or ces de´faillances doivent
eˆtre de´tecte´es, afin d’e´viter d’inte´grer des donne´es errone´es
dans le processus de fusion, causant ainsi des erreurs a` long
terme.
Plusieurs personnes se sont de´ja` penche´es sur le proble`me
de la de´tection de fautes, en utilisant des algorithmes de
Monte Carlo se´quentiels. Thrun[4] et De Freitas[2] se sont
inte´resse´s a` la de´tection de fautes dans la robotique mo-
bile. Ils utilisent un e´tat hybride, dont la partie continue
repre´sente l’e´tat du syste`me et la partie discre`te permet
d’indiquer les fautes et e´tats ope´rationnels des robots. Ils
utilisent un algorithme de ”condensation” (ou bootstrap
filter) afin de faire e´voluer les variables discre`tes indi-
catrices des fautes. Le mode`le d’e´volution des variables
discre`tes est une matrice dont les coefficients sont fixe´s.
Wu [5] de´finit diffe´rents mode`les d’observation pour de la
poursuite de contour de forme. Il emploie des variables de
classe, de´pendantes du clutter, afin de passer d’un mode`le
d’observation a` l’autre. Ceci est mis en oeuvre par un filtre
particulaire de type ”condensation”.
Toutes ces e´tudes mode´lisent les diffe´rentes classes de
fonctionnement par des variables indicatrices discre`tes,
mais sans proposer de me´thode ge´ne´rique pour calculer
une fonction d’importance suffisamment performante afin
de faire e´voluer ces variables indicatrices. Or, dans un al-
gorithme de filtrage particulaire, le choix de la densite´
d’importance est primordial pour l’efficacite´ du filtre. Les
apports de cet article sont les suivants
– De´finition d’une fonction d’importance pour la va-
riable indicatrice de chaque capteur, base´e sur un pas
de Kalman e´tendu
– De´finition d’un coefficient de fiabilite´ pour chaque
capteur, auquel est associe´ un mode`le d’e´volution,
afin de garder en me´moire le comportement du cap-
teur
Ceci est de´veloppe´ par un algorithme de Monte Carlo
se´quentiel, qui permet d’appre´hender n’importe quel type
de distribution arbitraire (non line´aire et/ou non gaus-
sienne).
2 Mode´lisation de la de´faillance des
capteurs
L’un des buts principaux de la fusion de donne´es mul-
ticapteur est d’estimer l’e´tat cache´ xt e´voluant dans un
espace X , de dimension dX se´quentiellement a` partir de
n capteurs de´livrant des observations zk,t, k = 1, .., n.
On suppose qu’a` chaque instant t, un capteur peut eˆtre
valide ou de´faillant. On introduit une variable boole´enne
ck,t ∈ {0, 1} pour tout t et tout k = 1, .., n telle que
ck,t = 1 si le capteur est valide a` l’instant t
ck,t = 0 si le capteur n’est pas valide a` l’instant t
(1)
Par ailleurs, pour chaque capteur valide k = 1, .., n, on
de´finit le mode`le d’observation suivant a` l’instant t
zk,t = hk(xt) +wk,t (2)
ou` les bruitswk,t sont suppose´s blancs, centre´s et inde´pendants
entre eux. Cette dernie`re e´quation est e´galement note´e en
termes de densite´ de probabilite´ pk(zk,t|xt). Lorsque les
capteurs ne sont pas valides, la valeur de zk,t n’est plus
relie´e a` l’e´tat sous-jacent xt, et l’on suppose que zk,t est
distribue´ selon une densite´ vague pik(zk,t), par exemple
uniforme sur un intervalle large.
La vraisemblance tenant compte de tous les capteurs et
de leur validite´ est donne´e par
p(zt|xt, ct) =
n∏
k=1
[ck,tpk(zk,t|xt) + (1− ck,t)pik(zk,t)]
(3)
ou` le vecteur des observations est zt =
[
zT1,t...z
T
n,t
]T et
celui des variables indicatrices est ct = [c1,t...cn,t]
T
.
3 Mode`le dynamique
Les parame`tres inconnus du mode`le pre´ce´dent sont es-
sentiellement l’e´tat xt et les variables indicatrices de vali-
dite´ ct. Nous proposons d’en effectuer l’estimation baye´sienne,
sur la base des mode`les d’e´volution suivants :
– Mode`le de transition de l’e´tat
xt = f(xt−1) + vt−1 (4)
ou` f : X → X et vt−1 est un bruit blanc centre´.
La densite´ a priori de l’e´tat ainsi de´fini est note´e
p(xt|xt−1) dans la suite. A l’instant initial, on sup-
pose que x0 est distribue´ par p0(x0).
– Densite´ a priori des variables indicatrices ck,t, k =
1, .., n
Pr(ck,t = 1) = αk,t
Pr(ck,t = 0) = 1− αk,t
soit
Pr(ck,t) = ck,tαk,t + (1− ck,t)(1− αk,t) (5)
ou` 0 ≤ αk,t ≤ 1. Le choix des probabilite´s αk,t est
extreˆmement sensible du point de vue de la de´tection
de capteurs invalides. Aussi, ces probabilite´s seront
elles-meˆmes estime´es. Dans la suite, on note la distri-
bution de´finie par l’e´quation pre´ce´dente par p(ck,t|αk,t)
pour k = 1, .., n, ou encore p(ct|αt) pour l’ensemble
des capteurs (avec αt = [α1,t...αn,t]
T ).
– La densite´ a priori pour αk,t est pose´e sous la forme
d’un mode`le dynamique
φ(αk,t) = φ(αk,t−1) + k,t−1 (6)
ou` k,t−1 est un bruit blanc centre´ gaussien, de va-
riance σk,t, et φ est une fonction inversible telle que
φ−1 : R → [0, 1] (dans le but d’assurer que αk,t ne
quitte pas le domaine [0, 1]). On peut choisir une fonc-
tion sigmo¨ıde φ(α) = log
[
α
1−α
]
. L’objectif de cette
mode´lisation est d’inclure un effet de me´moire qui
renforce la confiance dans un capteur longtemps va-
lide (αk,t augmente avec t), et qui entretient le doute
a` propos d’un capteur souvent de´faillant (αk,t est
proche de 0). Au temps t = 1, on suppose αk,0 ∼
p0(αk,0). La variance σk,t du bruit k,t−1 conditionne
la dynamique d’e´volution de αk,t au cours du temps.
Afin de ne pas avoir une e´volution fixe´e a` l’avance,
cette variance est e´galement estime´e.
– La densite´ a priori pour σk,t (k = 1, .., n) est pose´e
sous la forme du mode`le dynamique suivant
log(σk,t) = log(σ

k,t−1) + λ

k (7)
ou` λk (k = 1, .., n) sont des bruits gaussiens inde´pendants
et centre´s dont les variances σλk sont fixe´es.
Le mode`le dynamique ge´ne´ral est re´sume´ par le sche´ma
de la figure 1.
Fig. 1 – Mode`le graphique dynamique
4 Algorithme de filtrage particu-
laire
Le mode`le de´fini a` la section pre´ce´dente permet, en
the´orie, d’effectuer l’estimation de l’e´tat et des parame`tres
de validite´ des capteurs. En pratique, il n’est pas possible
de calculer explicitement a` chaque instant leur densite´ a
posteriori p(x0:t, c0:t|z1:t) (ou`, pour un vecteur at de´fini
a` tout instant t, la notation at1:t2 fait re´fe´rence a` la suite
{at1 ,at1+1, ..,at2}).
Dans le cadre de cet article, nous nous inte´ressons a`
la distribution de filtrage p(xt, ct|z1:t) qui est la margi-
nale a` l’instant t de la distribution a posteriori comple`te
p(x0:t, c0:t|z1:t). Comme son calcul analytique n’est pas
envisageable, un algorithme de Monte Carlo se´quentiel[3]
(aussi appele´ filtre particulaire) est mis en oeuvre.
Algorithme de Monte Carlo se´quentiel pour la
fusion de capteurs potentiellement de´faillants
% Etape 0 : initialisation
– Pour i = 1, .., N , ge´ne´rer x(i)0 ∼ p0(x0)
– Pour i = 1, .., N et k = 1, .., n, ge´ne´rer log(σ (i)k,0 ) ∼
p0(log(σk,0))
– Pour i = 1, .., N et k = 1, .., n, ge´ne´rer φ(α(i)k,0) ∼
p0(φ(αk,0)|σ (i)k,0 )
– Faire w(i)0 ← 1N
% Etape 2 : ite´rations
– Pour t=1,2,... faire
– Pour i = 1, .., N faire
% Prolongation des trajectoires
– Ge´ne´rer c˜(i)t selon q(ct|x(i)t−1, zt)
– Ge´ne´rer x˜(i)t selon q(xt|x(i)t−1, c˜(i)t , zt)
– Ge´ne´rer φ(α˜(i)k,t) selon q(φ(αk,t)|α(i)k,t−1, c˜(i)k,t, σ (i)k,t−1)
pour k = 1..n
– Ge´ne´rer log(σ˜ (i)k,t ) selon
q(log(σk,t)|σ (i)k,t−1, α˜(i)k,t, α(i)k,t−1) pour k = 1..n
– Pour i = 1, .., N mettre a` jour les poids re´cursifs
selon
w˜
(i)
t ∝ w
(i)
t−1
p(zt|x˜(i)t ,c˜(i)t )p(x˜(i)t |x(i)t−1)p(c˜(i)t |α˜(i)k,t)
q(x˜
(i)
t |x(i)t−1,c˜(i)t ,zt)q(c˜(i)t |c(i)t−1,zt)
×
n∏
k=1
[
p(φ(α˜k,t)|α(i)k,t−1,σ
 (i)
k,t−1)p(log(σ˜
 (i)
k,t )|σ
 (i)
k,t−1)
]
n∏
k=1
[
q(φ(α˜
(i)
k,t)|α
(i)
k,t−1,c˜
(i)
k,t,σ
 (i)
k,t−1)q(log(σ˜
 (i)
k,t )|σ
 (i)
k,t−1,α˜
(i)
k,t,α
(i)
k,t−1)
]
avec
∑N
i=1 w˜
(i)
t = 1,
– % Re´e´chantillonnage
Dans l’algorithme pre´ce´dent, la trajectoire de chaque
particule i = 1, .., n est prolonge´e a` l’aide des lois
q(ct|c(i)t−1, zt), q(xt|x(i)t−1, c˜(i)t , zt),
q(φ(αk,t)|α(i)k,t−1, c˜(i)k,t, σ (i)k,t−1) et
q(log(σ (i)k,t )|σ (i)k,t−1, α˜(i)k,t, α(i)k,t−1), dont le choix est laisse´ a`
l’utilisateur, sous re´serve de validite´ de l’e´chantillonnage
pre´fe´rentiel (importance sampling). En particulier, il est
important de se´lectionner q(ct|x(i)t−1, zt) avec soin : en effet,
le nombre de valeurs possible du vecteur ct est 2n, et tes-
ter toutes les combinaisons est hors de porte´e. Il est donc
ne´cessaire que la loi q(ct|x(i)t−1, zt) propose les configura-
tions les plus probables. La loi propose´e dans la section
suivante utilise un test statistique sur la diffe´rence entre
l’observation et la pre´diction de l’observation de´livre´e par
un pas de Kalman e´tendu afin de de´finir la validite´ d’un
capteur.
5 Lois d’e´volution de ct|zt,x(i)t−1 et
xt|x(i)t−1, c˜(i)t , zt
On utilise un filtre de Kalman e´tendu multicapteur afin
de faire e´voluer chaque particule, en prenant comme moyenne
et matrice de covariance a` l’instant pre´ce´dent les valeurs
x̂(i)t−1|t−1 = x
(i)
t−1 et P
(i)
t−1|t−1 = 0.
5.1 Phase de pre´diction
La pre´diction de l’e´tat est donne´e pour chaque particule
par
x̂(i)t|t−1 = ∇f (i)t x(i)t−1
avec ∇f (i)t = ∂fdxt
∣∣∣
xt=x
(i)
t−1
La matrice de covariance de l’erreur de pre´diction est
donne´e par
Pt|t−1 = Qt
Fig. 2 – Fonction d’appartenance base´e sur une re`gle de
logique floue, qui est fonction de la valeur de l’innovation
quadratique normalise´e
5.2 Phase d’estimation
5.2.1 Loi de ct|zt,x(i)t−1
L’innovation est de´finie par
ν
(i)
k,t = zk,t − hk(x̂(i)t|t−1)
La matrice de covariance de l’innovation est donne´e par
S
(i)
k,t = ∇h(i)k,tPt|t−1∇h(i)k,t +Rk
avec ∇h(i)k,t = ∂hkdxt
∣∣∣
xt=x̂
(i)
t|t−1
On pose
r
(i)
k,t =
(
ν
(i)
k,t
)T (
S
(i)
k,t
)−1
ν
(i)
k,t,
l’innovation quadratique normalise´e[1]. En se basant sur
les tables de χ2, on peut de´finir une fonction d’apparte-
nance µk(r
(i)
k,t) de´finie pour chaque capteur selon le sche´ma
2.
La loi d’e´volution de ct est alors de´finie par
q(ct|zt,x(i)t−1) =
n∏
k=1
[
ck,tµk(r
(i)
k,t) + (1− ck,t)(1− µk(r(i)k,t))
]
(8)
5.2.2 Loi de xt|x(i)t−1, c˜(i)t , zt
L’estime´e est de´finie par
x̂(i)t|t = x̂
(i)
t|t−1 +
n∑
k=1
c˜
(i)
k,tK
(i)
k,tν
(i)
k,t
avec
K
(i)
k,t = Pt|t
(
∇h(i)k,t
)T
R−1k
L’incertitude sur l’estime´e est donne´e par la matrice Pt|t
de´finie par
P
(i)
t|t =
[
P−1t|t−1 +
n∑
k=1
c˜
(i)
k,t
(
∇h(i)k,t
)T
R−1k ∇h(i)t
]−1
Les e´chantillons x0:t−1 sont prolonge´s selon la loi
q(xt|x(i)t−1, c˜(i)t , zt) = N (xt : x̂(i)t|t , P (i)t|t ) (9)
6 Exemple
On conside`re le mode`le d’e´volution fortement non line´aire
suivant
xt+1 =
1
2
xt + 25
xt
1 + x2t
+ 8 cos(1, 2(t+ 1)) + vt (10)
avec vt ∼ N (vt : 0, 10) et x0 ∼ N (vt : 0, 10). Deux cap-
teurs observent la valeur de xt selon les deux mode`les de
mesure suivants{
z1,t =
x2t
20 + w1,t w1,t ∼ N (w1,t : 0, 1)
z2,t = xt + w2,t w2,t ∼ N (w2,t : 0, 10)
(11)
Le premier capteur, dont la mesure est faiblement bruite´e,
est suppose´ peu fiable. Le second capteur, dont la mesure
est plus bruite´e, est suppose´ relativement fiable. A l’ins-
tant t = 0, les coefficients de fiabilite´ sont initialise´s par
les lois uniformes α(i)1,0 ∼ U(0.4, 0.6) et α(i)2,0 ∼ U(0.4, 0.6)
les deux capteurs e´tant estime´s a priori a` 50% fiables.
L’algorithme propose´ est lance´ avec 200 particules pour
t = 1..150. Dans les intervalles T1 = [30, 40] et T2 =
[60, 100], on simule une de´faillance du capteur 1 en ra-
joutant un biais ale´atoire sur la mesure z1,t.
Les re´sultats de l’algorithme propose´ sont compare´s a`
un algorithme de filtrage particulaire sans prise en compte
des de´faillances (mais avec la meˆme distribution d’impor-
tance pour xt) et un algorithme de Kalman e´tendu. Les
valeur de la variable indicatrice (moyenne´e sur l’ensemble
des particules et note´e ce) et du coefficient de fiabilite´
(note´ αe) sont donne´es pour chaque capteur sur les figures
3 et 4. La de´faillance du capteur 1 est bien de´tecte´e (ce est
proche de 0) dans les intervalles T1 et T2, et le coefficient de
fiabilite´ baisse dans ces intervalles, pour remonter en de-
hors. Comme indique´ sur la figure 5, l’algorithme propose´
donne de bien meilleurs re´sultats que le filtre particulaire
standard et l’EKF en cas de de´faillances de capteurs.
Fig. 3 – Evolution de la moyenne ponde´re´e des variables
indicatrices en fonction du temps. Le capteur 1 est de´tecte´
de´faillant dans les intervalles T1 et T2.
Remerciements
Ce travail est supporte´ par la re´gion Nord-Pas de Ca-
lais et le Centre National de la Recherche Scientique. Les
auteurs remercient Corentin Dubois pour son aide dans la
re´alisation de cet article.
Fig. 4 – Evolution de la moyenne ponde´re´e des coefficients
de fiabilite´ en fonction du temps. La fiabilite´ du capteur
1 diminue pendant les intervalles ou` il est de´tecte´ comme
de´faillant.
Fig. 5 – Comparaison de la distribution de l’erreur entre
le filtre particulaire, l’algorithme propose´, et le filtre de
Kalman e´tendu.
Re´fe´rences
[1] Y. Bar-Shalom, X. Rong Li, and T. Kirubajan. Es-
timation with applications to tracking and navigation.
Editions Wiley-Interscience, 2001.
[2] Nando de Freitas. Rao-blackwellised particle filtering
for fault diagnosis. In Proc. Aerospace Conference,
2002.
[3] Arnaud Doucet, Nando de Freitas, and Neil Gordon.
Sequential Monte Carlo Methods in practice. Springer,
2001.
[4] Vandi Verma, Geoff Gordon, Reid Simmons, and Se-
bastian Thrun. Particle filters for rover fault diagnosis.
IEEE Robotics & Automation Magazine special issue
on Human Centered Robotics and Dependability, 2004.
[5] Ying Wu, Gang Hua, and Ting Yu. Switching obser-
vation models for contour tracking in clutter. In Proc.
Aerospace Conference, 2002.


Fusion de capteurs potentiellement défaillants par filtrage particulaire

Abstract

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