- Dans cet article nous présentons une nouvelle approche pour étudier la conjecture sur les relations entre les critères de Wiener et du module constant (CM). Notre proposition compris l'établissement d'une limite supérieure pour la fonction de coût CM, à partir d'un critère supervise, et la dérivation d'un rapport entre les minima des critères de Wiener et CM. Les résultats sont évalues par des simulations

ATTUX, R. R. F.

BELLANGER, M.

ROMANO, J. M. T.

SUYAMA, R.

I-Revues

RELATIONS ENTRE LES CRITÈRES DU MODULE 
CONSTANT ET DE WIENER 
R. SUYAMA1, R. R. F. ATTUX1, J. M. T. ROMANO1, M. BELLANGER2 
1DSPCOM – FEEC – UNICAMP, C.P. 6101, CEP. 13083-970 - Campinas, SP - Brésil 
2CNAM – Electronique – 292, rue Saint-Martin 76141 – Paris Cedex 03 - France 
{rsuyama, romisri, romano}@decom.fee.unicamp.br, bellanger@cnam.fr 
 
Résumé – Dans cet article nous présentons une nouvelle approche pour étudier la conjecture sur les relations entre les critères 
de Wiener et du module constant (CM). Notre proposition compris l’établissement d’une limite supérieure pour la fonction de 
coût CM, à partir d’un critère supervise, et la dérivation d’un rapport entre les minima des critères de Wiener et CM. Les 
résultats sont évalues par des simulations. 
Abstract –In this paper we propose a new approach to deal with the longstanding conjecture about the relations between Wiener and 
constant modulus criteria (CM). It involves the development of an upperbound for the CM cost function, composed by functions of a 
supervised equalization criterion, and the derivation of an expression that relate the Wiener and CM minima. The results are verified through 
simulations. 
 
1. Introduction 
 
Les techniques d’égalisation aveugle ou autodidacte ont 
fait l’objet d’un grand effort de recherche par la communauté 
de traitement du signal et des communications au cours des 
dernières années. Plusieurs approches ont été proposées et 
analysées, ce qu’a permis l’établissement d’une base 
théorique pour le filtrage adaptative non supervisé. 
Parmi les critères d’égalisation aveugle, il est 
particulièrement important celui propose par Godard [1], dit 
aussi du module constant (CM). Telle technique a fait l’objet 
d’une vaste littérature, bien qu’il en reste certains aspects qui 
demeurent au niveau des conjectures. 
Un problème ouvert consiste à établire d’une façon plus 
définitive les relations entre le critère CM et les solutions 
basées sur des critères supervisés, caractérisés par des 
principes théoriques solides et déjà consacrés. Ce dans cette 
direction que l’on envisage contribuer dans le présent travail. 
 Dans ce sens on utilise deux critères supervisés assez 
similaires : le critère de Wiener et  celui dit du MFE (Mean 
fourth error), à partir duquel l’algorithme LMF (Least Mean 
Fourth) a été proposé dans [2]. Deux résultats principaux 
sont obtenus avec notre approche : une limite supérieure pour 
le coût CM, dérivée du critère MFE, et un rapport entre les 
minima des critères supervisés et CM. Les expressions 
obtenues sont analysées par des1 simulations. 
2. Egalisation adaptative 
 
La Fig. 1 illustre le schéma classique de l’égalisation où 
un signal transmis sk subis les effets de bruit et distorsion du 
canal de sort à produire le signal  xk a sa sortie. Ce signal est 
appliqué à l’entrée d’un égaliseur linéaire qui fourni la sortie 
yk la plus proche possible du message d’origine. 
                                                          
1 Ce travail reçoit un financement de la FAPESP-Brésil. 
 
Canal Égaliseur
sk ykxkuk
vk
 
FIG. 1 : SCHEMA DE BASE D’UN SYSTEME DE 
COMMUNICATION 
 
Etant donnée l’analyse envisagée dans la suite du travail, 
on suppose toutes les grandeurs réelles et que le symboles de 
transmission {+1,-1} sont équiprobables. L’effet du bruit 
n’est pas pris en compte 
La sortie de l’égaliseur est donnée par 
 
k
T
ky xw ⋅=  (1) 
où 
 [ ]LT www ?10=w  (2) 
 [ ]LkkkTk xxx −−= ?1x  (3) 
sont les vecteur des coefficients du filtre et de son signal 
d’entrée. Dans un contexte adaptatif, les coefficients sont mis 
à jour à chaque nouvelle donnée reçue de façon à minimiser 
l’écart entre l’information transmise et reçue, en accord avec 
un certain critère. 
2.1 Critères pour l’égalisation supervisée 
La grande majorité des algorithmes adaptatifs supervisés 
sont établis sur le critère de Wiener, soit de la minimisation 
de l’erreur quadratique moyenne (MMSE, Minimum Mean 
Square Error) : 
 
 ( ) ( ){ }2, dkkTWiener sEdJ −−⋅= xww  (4) 
où d est le retard d’égalisation a être pris en compte dans la 
séquence d’apprentissage. 
Il est bien connu que cette fonction de coût est unimodal 
pour un certain retard fixé et son minimum est dit  solution de 
Wiener. Cependant, si le retard est considéré comme un 
paramètre d’optimisation, il y aura plusieurs solutions 
chacune avec des performances correspondantes. 
À partir de l’équation (1) il vient:   
 ( ) 12, +⋅−⋅⋅= dTTWiener dJ pwwRww x  (5) 
où 
 { }TkkE xxR x ⋅=  (6) 
 { }dkkd sE −⋅= xp  (7) 
expriment les corrélations entre les signaux correspondants. 
La minimisation de (5) pour un certain d conduit à: 
 
ddWienerw pRx ⋅= −1,  (8) 
Cette solution est à la base de nombreux algorithmes 
supervisés comme le LMS et d’autres [3]. 
Le critère MFE est basé sur la minimisation de la fonction 
de coût : 
 ( ) ( ){ }4, dkkTF sEdJ −−⋅= xww   (9) 
qui donne l’origine a l’algorithme LMF propose dans [2].  
Les critères (4) et (9) sont tous les deux unimodales pour 
un retard fixé. La référence [4] montre que les filtres issus de 
ces critères ne sont pas équivalents, bien que ses 
performances s’approchent. 
2.2 Critère du module constant 
Pour les critères aveugles ou autodidactes, on ne dispose 
pas d’une séquence d’apprentissage pour procéder à 
l’optimisation de l’égaliseur. C’est le cas du critère CM qui 
fait l’objet de cet article. Sa fonction de coût est donnée par : 
 ( ) ( )  −= 222 RyEJ kCM w  (10) 
avec la constante 
 { }{ }2
4
2
k
k
sE
sE
R =  (11) 
 
L’étude de la fonction de coût CM a toujours montré que 
cette fonction est multimodale dans la majorité des cas 
d’intérêt [5]. Cela est vu normalement comme un handicap 
du critère CM si comparé à celui de Wiener. Néanmoins, si 
l’on considère la variable d comme un degré de liberté dans 
l’optimisation, on ouvre des perspectives distinctes pour 
l’étude des relations entre les deux critères. Ces relations ont 
déjà fait l’objet d’autres références dont par exemple [6,7]. 
Dans la suite, étant fait un rappel des techniques plus 
fondamentales dans 2.1 et 2.2, on passe à notre approche 
pour l’établissement de nouveaux rapports entre les critères 
supervisés et non supervisés ainsi que les analyses 
correspondantes, qui constituent les contributions du présent 
travail.  
3. La fonction de coût CM vue comme 
une composition de fonctions issues des 
critères supervisés 
Ayant en vue les hypothèses de travail, la fonction de coût 
CM peut entre réécrite telle que : 
 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2222 1 dkkdkkkCM sysyEyEJ +− +−=−=w  (12) 
En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz [8] , soit 
 { } { } { }222 bEaEabE ≤  (13) 
on peut écrire : 
 ( ) ( ){ } ( ){ }442 dkkdkkCM syEsyEJ −− +⋅−≤w  (14) 
 
Comme JCM ≥ 0, il vient alors : 
 
 ( ) ( ){ } ( ){ }44 dkkdkkCM syEsyEJ −− +⋅−≤w  (15) 
L’équation (13) établie une limite supérieure pour la 
fonction de coût CM, donnée par des fonctions issues du 
critère MFE. Il est intéressant de noter que le résultat obtenu 
explicite une association entre les différents retards 
d’égalisation et le critère CM. Il s’agit donc d’un lien bien 
défini et peu exploité entre une technique supervisé et une 
autre aveugle. 
Une illustration peut être fournie si l’on prend comme 
exemple un canal : 
 ( ) 11 4.01 −+= zzh  (16) 
pour obtenir ensuite les limites correspondantes aux retards 
donnes par d = 0, 1 et 2 (Figs. 2-4). 
Dans la Fig. 2, il est montrée la surface de la fonction de 
coût CM limitée par la limite calculée dans (15) pour un 
retard d = 0. On peut observer que la limite supérieure 
s’approche du critère CM pour un certain pair de minima. Le 
même phénomène se vérifie avec d = 1, mais pour un autre 
pair de minima. 
Par contre, il est intéressant de noter le résultat pour le 
retard d = 2. Dans ce cas, la limite supérieure est logée au-
dessus du maximum de la fonction CM.  
Cette illustration des courbes qui représentent les limites 
supérieures peut aider a comprendre les raisons pour 
lesquelles seulement quelques solutions de Wiener sont 
présentes dans la fonction de coût CM. En fait, à partir de 
l’exemple considéré, on peut établire une limite générale 
composée par les limites correspondantes aux d = 0, 1 et 2, 
de sorte à constituer la surface présentée à la Fig. 5.  
Il est facile à vérifier que, dans la Fig. 5, on ne trouve plus 
de traces de la courbe correspondante au retard  d = 2. 
Evidemment les surfaces correspondantes aux cas d = 0 et 1  
représentent des limites plus restrictives pour JCM. Il n’est 
donc pas surprenant que les minima associés au retard 
d’égalisation égal à 2 ne soient pas présentes dans le critère 
CM. 
Finalement il vaut remarquer que la Fig. 5 peut être vue 
comme une approximation de JCM, soit la meilleur 
approximation obtenue a partir de la limite obtenue dans  
(15). 
 
FIG. 2 : SURFACE LIMITE POUR UN RETARD d = 0 
 
FIG. 3 : SURFACE LIMITE POUR UN RETARD d = 1 
 
FIG. 4 : SURFACE LIMITE POUR UN RETARD d = 2 
 
 
FIG. 5 : LIMITE OBTENUES PAR LES SURFACES 
CORRESPONDENTES AUX CAS d = 0, 1 ET 2. 
3.1 Relations entre les minima 
Etant donne l’intérêt dans la localisation des minima des 
critères, il est important de vérifier la qualité de la limite 
obtenue dans les régions au tour de ces points spécifiques.  
Dans une situation idéelle, où il est possible d’attendre 
l’inversion parfaite du canal (la condition dit du forçage à 
zéro ou ZF), l’expression (15) devient une égalité pour le cas 
w = wZF (égaliseur ZF), ce qui montre que les surfaces se 
touchent exactement aux points de minimum. 
Pour les autres points, il y aura toujours une séparation 
entre les surfaces. D’autre part, les distances seront d’autant 
moins importantes à la mesure que l’on s’approche aux 
régions qui mènent à des bonnes conditions d’égalisation. 
Les courbes s’écartent pour les solutions mauvaises, soit les 
cas normalement associés à la condition d’œil fermé. 
On considère alors une situation de travail proche à la 
condition ZF. Dans ce cas la fonction de coût pour la région 
au voisinage du minimum CM peut être approchée par: 
 
 ( ) ( ){ } ( ){ }44 dkkdkkCM syEsyEJ −− +⋅−≅w  (17) 
 
Cette fonction par contre peut être divisée dans deux 
partes : celle associée au minimum w1, et l’autre associée à 
son symétrique, -w1. Alors le premier terme à la droite de 
(15) est dominant dans la détermination de JCM si l’on 
considère des régions proches de w1. Par contre le deuxième 
terme domine l’obtention de la fonction de coût pour les 
régions au voisinage de –w1. Finalement, en prenant en 
compte que dans ces deux régions considérées la fonction de 
coût JCM attendent des valeurs peu significatives, 
l’approximation suivante peut être faite: 
 ( ){ } ( ){ }224 dkkdkk syEsyE −− ±≅±  (18) 
où l’égalité demeure quand il est possible d’atteindre la 
condition ZF. Alors, en appliquant ce résultat a l’expression 
(15), il vient: 
 ( ) ( ){ } ( ){ }22 dkkdkkCM syEsyEJ −− +⋅−≅w  (19) 
ou encore 
 ( ) ( ) ( )dJdJJ WienerWienerCM ,, www −⋅≅  (20) 
 
L’équation (20) propose une relation directe entre les 
fonctions de coût CM et celle de Wiener, de façon à établire 
un lien mieux défini entre ces deux critères. Il est encore 
possible d’obtenir quelques propriétés à partir de cette 
expression. 
Il est bien connu qu’une condition pour un point de 
minimum est l’annulation du gradient de la fonction. En 
remplaçant l’équation (5) dans (20), et en appliquant 
l’opérateur gradient, il peut être obtenu l’expression: 
 ( ) ( ) dTdTTCMJ pwpwRwRwwRw w xxx ⋅−⋅+⋅⋅⋅=∂∂ 2  (21) 
 
 Si l’on suppose que w est un minimum du critère CM, et 
en multipliant par Rx-1 à gauche, la condition suivante est 
atteinte: 
 ( ) 02 , =⋅−+⋅⋅ dTCMdWienerCMCMTCMCM pwwwwRww x  (22) 
Alors il vient l’expression ci-dessus pour wWiener,d : 
 ( )
d
T
CM
CM
T
CMCM
dWiener pw
wRwww x⋅
+⋅⋅≅
2
1
,
 (23) 
 
Cette expression fournit de façon explicite un minimum de 
Wiener à partir d’une solution CM, tout en exprimant le 
chemin inverse de façon implicite. Il est intéressant de noter 
que (23) suppose des solutions colinéaires, ce qui vient en 
accord avec des résultats donnés dans d’autres travaux [5,6] . 
En ayant comme exemple le canal dans (16), on a obtenu 
les égaliseurs CM à deux coefficients par l’estimation du 
gradient de la fonction de coût. Avec ces résultats et 
l’application de l’équation (20), la Table 1 a été obtenue. On 
peut donc observer dans cet exemple la qualité de 
l’estimation de wWiener.  
En faisant alors la même procédure pour le canal :  
 ( ) 212 4.06.01 −− ++= zzzh  (24) 
et avec un égaliseur à trois coefficients, on obtient les 
résultats présentés à la Table 2.  
Ces deux résultats obtenus à titre d’illustration confirment 
la validité des approximations considérées, car les 
estimations pour les filtres de Wiener correspondants sont 
assez proches des valeurs exactes. Cela met en évidence 
l’intérêt de l’approche proposée dans le présent travail et la 
solidité des relations établies entre les deux critères 
TABLE 1 : ESTIMATION DE L’EGALISEUR DE WIENER A 
PARTIR DE  wCM POUR LE CANAL h1 – EGALISEUR AVEC 2 
COEFICIENTS 
wCM wWiener EQM wWiener dado wCM 
[0.9497 -0.3282] [0.9784 -0.3374] 0.14694 [0.9609 -0.3321] 
[0.0399  0.7515] [0.0540 0.8435] 0.36736 [0.0437 0.8230] 
 
TABLE 2 : ESTIMATION DE L’EGALISEUR DE WIENER A 
PARTIR DE  wCM POUR LE CANAL h2 – EGALISEUR AVEC 3 
COEFICIENTS 
wCM wWiener EQM wWiener dado wCM 
[0.8945 -0.5256 
0.0532] 
[0.9507 -0.5573 
0.0578] 
0.22209 
[0.9208 -0.54107 
0.0547] 
[0.0111 0.8821      
-0.4932] 
[0.0131 0.9395      
-0.5226] 
0.22948 
[0.0115  0.9100        
-0.5088] 
4. Conclusion 
 Les relations entre les critères CM et de Wiener, en 
utilisant aussi le critère supervisé dit du MFE, ont été 
investiguées dans le présent article. 
Une limite supérieure a été établie pour la fonction de coût 
JCM à partir de la fonction MFE. Cette limite a permis 
d’obtenir une approximation de la fonction JCM tout en 
considérant plusieurs cas de retards d’égalisation. Finalement 
il a été aussi établi un rapport entre les minima CM et de 
Wiener. 
Bien qu’assez simples, les exemples considérés ont 
confirmé la validité des proposition du travail, dont les 
contributions envisagent surtout d’ouvrir des nouvelles 
perspectives d’étude des liens entre les critères d’égalisation 
supervisée et autodidacte. 
Références 
[1] D. N. Godard. Self-Recovering Equalization and Carrier 
Tracking in Two-Dimensional Data Communication 
Systems. IEEE Transactions on Communications, 
28(11), 1867-1875, 1980. 
[2] E. Walach et B. Widrow. The Least Mean Fourth (LMF) 
Adaptive Algorithm and Its Family. IEEE Transactions 
on Information Theory, IT-30(2), 275-283,1984. 
[3] S. Haykin. Adaptive Filter Theory (3th edition). Prentice-
Hall, 1996. 
[4] S. C. Pei et C. C. Tseng. Least P-Power Error Criterion 
for Adaptive FIR Filter. IEEE Journal on Selected Areas 
in Communications, 12(9), 1540-1547, 1994. 
[5] Z. Ding, C. R. Johnson Jr. et A. Kennedy. On the (Non) 
Existence of Undesirable Equilibria of Godard Blind 
Equalizers. IEEE Transactions on Signal Processing, 
40(10), 2425-2432, 1992. 
[6] H. H. Zeng, L. Tong et C. R. Johnson Jr. An Analysis of 
Constant Modulus Receivers. IEEE Transactions on 
Signal Processing, 47(11), 2990-2999, 1999. 
[7] P. Schniter et C. R. Johnson Jr. Bounds for the MSE 
Performance of Constant Modulus Estimators. IEEE 
Transactions on Information Theory, 46(7), 2544-2560, 
2000. 
[8] A. Papoulis. Probability, Random Variables, and 
Stochastic Processes (3th edition). McGraw-Hill, 1991. 


Relations entre les critères du module constant et de wiener

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