- Ce travail présente une méthode de tatouage utilisant d'une part un espace de représentation adapté aux images couleur par la transformée de Fourier quaternionique, d'autre part une approche psychovisuelle fondée sur les espaces couleur uniformes. Les quaternions sont des nombres possédant une partie réelle et trois parties imaginaires et peuvent naturellement être utilisés pour représenter des pixels couleur. Nous utilisons une décomposition fréquentielle, la transformée de Fourier quaternionique (TFQ), pour isoler un espace propre à l'insertion d'un tatouage. La TFQ dépendant d'un quaternion pur μ, nous utilisons ce degré de liberté afin d'obtenir un espace de décomposition optimal au sens perceptif. Le choix de μ dans l'espace RGB est obtenu par calcul différentiel sur les espaces perceptifs uniformes Lab et Luv. L'information est ensuite insérée dans l'image couleur par une méthode de quantification. Enfin les résultats offerts par cette méthode montrent qu'elle permet d'obtenir un compromis invisibilité/robustesse important pour des traitements affectant la luminance de l'image

BAS, Patrick

CHASSERY, Jean-Marc

LE BIHAN, Nicolas

I-Revues

Utilisation de la Transforme´e de Fourier Quaternionique en
tatouage d’images couleur
Patrick Bas, Nicolas Le Bihan, Jean-Marc Chassery
Laboratoire des Images et des Signaux (LIS) INPG/CNRS,
BP. 46 38402 Saint Martin d’He`res cedex
Patrick.Bas@lis.inpg.fr, Nicolas.LeBihan@lis.inpg.fr, Jean-Marc.Chassery@lis.inpg.fr
Re´sume´ – Ce travail pre´sente une me´thode de tatouage utilisant d’une part un espace de repre´sentation adapte´ aux images
couleur par la transforme´e de Fourier quaternionique, d’autre part une approche psychovisuelle fonde´e sur les espaces couleur
uniformes. Les quaternions sont des nombres posse´dant une partie re´elle et trois parties imaginaires et peuvent naturellement
eˆtre utilise´s pour repre´senter des pixels couleur. Nous utilisons une de´composition fre´quentielle, la transforme´e de Fourier qua-
ternionique (TFQ), pour isoler un espace propre a` l’insertion d’un tatouage. La TFQ de´pendant d’un quaternion pur µ, nous
utilisons ce degre´ de liberte´ afin d’obtenir un espace de de´composition optimal au sens perceptif. Le choix de µ dans l’espace RGB
est obtenu par calcul diffe´rentiel sur les espaces perceptifs uniformes Lab et Luv. L’information est ensuite inse´re´e dans l’image
couleur par une me´thode de quantification. Enfin les re´sultats offerts par cette me´thode montrent qu’elle permet d’obtenir un
compromis invisibilite´/robustesse important pour des traitements affectant la luminance de l’image.
Abstract – This work presents a watermarking method that uses in one hand a frequencial transform suitable for color
images (the quaternionic Fourier transform) and in the other hand a psychovisual approach based on uniform color spaces.
Quaternion numbers are defined by a real part and three imaginary parts and may naturally be used to represent color pixels.
The quaternionic Fourier transform (QFT) is used to isolate an appropriate embedding space. The QFT depends on a pure
quaternion µ that can be used as a parameter to yield to an optimal perceptual embedding space for color image watermarking.
The choice of µ in the RGB space is performed by differential calculus on the Luv and Lab perceptually uniform color spaces.
The information is afterwards embedded in the color image using a classical quantification-based scheme. Finally the results
offered by such a method outline that a balance between robustness and invisibility can be achieved for processes that affect the
luminance of the image.
1 Introduction
Le tatouage d’images consiste en l’insertion d’une in-
formation imperceptible et robuste au sein d’une image.
Dans ces travaux, le syste`me de tatouage est de´veloppe´
de manie`re a` pouvoir inse´rer une information de taille im-
portante. Cette information peut par exemple repre´senter
une me´ta-donne´e qui permettra de re´pondre a` plusieurs
proble`mes tels que l’authentification, l’indexation ou en-
core l’ajout de fonctionnalite´s 1. Nous dressons dans un
premier temps un inventaire des me´thodes de tatouage
qui utilisent l’information de tri-chromacie.
¦ Une des premie`res solutions envisage´es en tatouage
d’images couleur consiste a` utiliser le canal bleu comme
espace d’insertion car c’est le canal qui est le moins sen-
sible de la de´composition RVB. Ainsi dans [7], l’insertion
s’effectue en modifiant la composante bleue B de certains
pixels dont les positions sont de´finies a` partir d’une clef
secre`te.
¦ Il est e´galement possible de prendre en compte les trois
composantes couleurs plutoˆt qu’une seule pour augmen-
ter l’espace d’insertion de l’image. Dans [9], la puissance
de la signature de´pend de la re´ponse de l’oeil humain aux
diffe´rentes longueurs d’onde. Ainsi l’amplitude de la signa-
ture est environ 10 fois plus importante sur la composante
1. Ces travaux sont supporte´s par le projet RNRT Artus.
bleue αB que sur la composante verte αV et 5 fois plus im-
portante sur la composante bleue que sur la composante
rouge αR.
¦ La de´composition Lab pre´sente e´galement des proprie´te´s
inte´ressantes dans le contexte du tatouage car elle offre un
espace euclidien “sensitif”. Le sche´ma de tatouage pre´sente´
dans [6] est issu de la de´composition Lab. Les auteurs pro-
posent d’utiliser une extension de la de´composition Lab,
appele´e S-CIELAB, qui de´pend e´galement de la struc-
ture locale de l’image. Cette de´composition exploite le fait
que la perception des couleurs diffe`re entre les zones ho-
moge`nes et les zones texture´es. L’insertion de la signature
s’effectue en ajoutant une grille sinuso¨ıdale ponde´re´ par le
masque obtenu dans la bande de couleur Jaune/Bleu (O3).
La de´tection de la signature s’effectue par une de´tection
de pics correspondant a` la pre´sence de sinuso¨ıdes dans le
spectre de la composante O3.
¦ L’utilisation d’autres espaces de repre´sentation achro-
matiques a e´te´ e´tudie´e par d’autres auteurs [8] [1]. Il en
ressort que l’utilisation des composantes IQ de l’espace
YIQ ou UV de l’espace YUV est interressante pour le ta-
touage.
Notre de´marche dans ce travail a consiste´ a` utiliser plei-
nement la repre´sentation couleur des images par le biais
de sa repre´sentation quaternionique. Cette repre´sentation
nous a permis d’isoler un espace de de´composition fre´quen-
tiel significatif du point de vue perceptif.
2 Pre´sentation de la Transforme´e
de Fourier Quaternionique
2.1 De´finition
Les quaternions, e´galement appele´s nombres hypercom-
plexes ont e´te´ largement utilise´s pour repre´senter les images
couleurs par Sangwine et Ell[4, 5]. Un nombre quaternio-
nique q peut eˆtre vu comme une extension des nombres
complexes. Il posse`de quatre composantes, une partie re´elle
w et trois parties imaginaires x, y et z:
q = w + xi+ yj + zk
Comme dans le cas des nombres complexes, i, j et k sont
des ope´rateurs imaginaires ayant les proprie´te´s suivantes:
i2 = j2 = k2 = ijk = −1
ij = k jk = i ki = j
ji = −k kj = −i ik = −j
En utilisant cette repre´sentation, une image couleur I(x, y),
de taille N × N , peut eˆtre conside´re´e comme un tableau
de quaternions purs (i.e. avec une partie re´elle nulle):
I(x, y) = R(x, y)i+G(x, y)j +B(x, y)k
ou`R(x, y),G(x, y) etB(x, y) repre´sentent les composantes
rouge, verte et bleu. Sangwine et Ell ont e´galement de´fini
la transforme´e de Fourier Quaternionique (QFT) et sa
transforme´e inverse [10] par:
I(x, y) = S
M−1∑
x=0
N−1∑
y=0
eµ2pi(
xv
M
+ yu
N
)QFTI(v, u)
sa transforme´e insverse est de´finie par:
QFTI(v, u) = S
M−1∑
x=0
N−1∑
y=0
e−µ2pi(
xv
M
+ yu
N
)I(x, y)
Dans cette formule S = 1/
√
MN . Il est important de
pre´ciser que le re´sultat de la QFT de´pend de la de´finition
d’un quaternion pur µ (i.e. µ2 = −1 et <(µ) = 0). Cette
transforme´e peut eˆtre facilement calcule´e en utilisant des
transforme´es de Fourier classiques par le biais d’une de´com-
position simplectique [3]. Si le signal obtenu apre`s la Trans-
forme´e de Fourier peut eˆtre interpre´te´ graˆce a` son spectre
et sa phase, la QFT peut eˆtre de´compose´e en deux compo-
santes [10], l’une paralle`le a` µ, QFT‖I , l’autre orthogonale
a` µ, QFT⊥I(v, u)):
QFTI(v, u) = QFT‖I(v, u) +QFT⊥I(v, u)
QFT‖I repre´sente la composante qui sera par la suite af-
fecte´e par l’insertion de la signature.
3 Vers une transforme´e perceptuelle
Dans l’optique d’inse´rer une information imperceptible
dans une image couleur, notre de´marche a e´te´ de se´lection-
ner les valeurs de µ tels que l’impact visuel de l’image
reconstruite soit minimal. Pour cela nous avons ajoute´
dans un premier temps des motifs sur des blocs de taille
8 × 8 de l’image et nous avons e´value´ leur incidence sur
des e´crans CRT et LCD. Nous avons retenu la valeur de
µ pre´sentant les plus faibles distorsions. Par exemple la
valeur µPerc = (−2j + 8k)/
√
68 permet d’obtenir un es-
pace d’insertion pre´sentant un masquage important pour
l’ensemble des images teste´es. La figure 1 illustre l’im-
pact visuel produit par la perturbation de QFT‖I pour
µ = µPerc et µ = µLum = (i+j+k)/
√
3 avec d’une part
la meˆme erreur quadratique moyenne (EQM) et d’autre
part la meˆme erreur absolue moyenne (EAM).
Partie de IO Partie de IW (µ = µLum)
EQM=100, EAM=13.4
Partie de IW (µ = µPerc)
EAM=13.4
Partie de IW (µ = µPerc)
EQM=100
Fig. 1: Effets de perturbations pour diffe´rentes valeurs de
µ.
Meˆme si le choix pre´ce´dent de µ = µPerc conduit a` un
domaine d’insertion satisfaisant du point de vue perceptif,
nous avons observe´ que les effets de masquage ne sont pas
inde´pendants de la couleur moyenne de chaque bloc. Par
exemple pour µPerc = (−2j +8k)/
√
68, le phe´nome`ne de
masquage est moins important pour la gamme des bleus
que pour d’autres gammes de couleur. En nous basant sur
cette constatation, nous avons de´cide´ de prendre comme
hypothe`se que le vecteur µMask, qui repre´sente la di-
rection de masquage optimale, est fonction des attributs
couleurs locaux de l’image. L’e´tape suivante de cette sec-
tion consiste donc a` chercher une fonction f() telle que
µMask = f(R,G,B), (R,G,B) repre´sentant les compo-
santes couleurs d’un pixel ou de la moyenne d’un bloc de
pixel de l’image.
Notre de´marche a donc consiste´ a` de´finir un mode`le per-
mettant de calculer de manie`re automatique et adaptative
le vecteur de masquage µ. Pour cela nous nous sommes
appuye´s sur des repre´sentations couleur uniformes telles
que les espaces Lab ou Luv et nous avons ensuite de´rive´
leurs proprie´te´s diffe´rentielles sur l’espace RGB.
Un espace couleur uniforme est construit de manie`re a` ce
que la norme euclidienne entre deux couleurs, si elle est
constante provoque une de´gradation visuelle “uniforme”,
c’est a` dire conduisant a` une geˆne comparable, sur tout
l’espace couleur [11]. Les deux espaces couleur uniformes
les plus connus sont l’espace CIELuv et l’espace CIELab,
leur diffe´rence couleur ∆E est de´finie par:
∆ELuv = (∆L
2 +∆u2 +∆v2)1/2
∆ELab = (∆L
2 +∆a2 +∆b2)1/2
Une de´gradation visuelle constante se traduit alors par
∆E2 = cte et est alors repre´sente´e par une sphe`re dans
chacun des espaces uniformes (Lab ou Luv). La repre´senta-
tion matricielle de l’e´quation de cette sphe`re est donne´e
par:
∆E2Lab = [∆L∆a∆b]I[∆L∆a∆b]
T = cte (1)
ou I est une matrice identite´. Par un calcul diffe´rentiel
il est en outre possible d’obtenir les matrices de passage
entre les diffe´rentielles [δRδGδB] dans RGB et [δLδaδb]
dans Lab (pour cela il est ne´cessaire de passer par l’espace
interme´diaire XYZ). L’e´quation 1 est alors e´quivalente a`:
∆E2RGB = [∆R∆G∆B]A
TA[∆R∆G∆B]T = cte (2)
ou`
A = [δRδGδB . δLδaδb]
= [δRδGδB . δXδY δZ][δXδY δZ . δLδaδb]
(2) repre´sente l’e´quation d’une ellipso¨ıde Γ de matrice ca-
racte´ristique ATA dans l’espace RGB (un calcul e´quivalent
peut eˆtre re´alise´ dans l’espace Luv). Le vecteur masquant
µ repre´sente le vecteur permettant la plus grande distor-
sion dans l’espace RGB tout en gardant une diffe´rence
∆E constante dans l’espace couleur uniforme. Il corres-
pond donc a` l’axe principal de l’ellipso¨ıde Γ.
Les tests effectue´s ont cependant montre´ que l’influence
du facteur ∆L dans les mode`les d’espaces uniformes e´tait
visuellement trop importante. Pour pallier a` ce proble`me,
nous avons donc choisi de rajouter a` la contrainte (2) une
deuxie`me contrainte en situant le vecteur masquant dans
le plan Ψ perpendiculaire a` l’axe des luminances L:
∆L = 0 ⇔ α∆R+ β∆G+ γ∆B = 0 (3)
Les point satisfaisant ces deux contraintes sont donc lo-
calise´s sur une ellipse (intersection de Γ et Ψ) dont l’axe
principal repre´sente un vecteur masquant. Cet axe princi-
pal est calcule´ en diagonalisant la matrice caracte´ristique
B de la conique et en retenant le vecteur propre associe´ a`
la valeur propre la plus importante. Nous obtenons finale-
ment µMask(R,G,B) = xi+ yj + zk ou [x, y, z]
T est un
vecteur propre de B (cf FIG. 2).
4 Algorithme de tatouage utilise´
et re´sultats obtenus
Afin d’e´valuer l’inte´reˆt d’utiliser une Transformation
de Fourier Quaternionique perceptive nous avons choisi
R
G
B
L
L
a 
b 
Fig. 2: Surfaces de de´gradation uniforme dans les espaces
Lab et RGB. Repre´sentation ge´ome´trique du calcul du qua-
ternion µMask
d’inse´rer une signature dans la composante QFT‖I . Notre
choix s’est porte´ sur un algorithme classique de tatouage
substitutif de type QIM[2] permettant d’inse´rer une quan-
tite´ d’information importante tout en garantissant une ro-
bustesse. L’insertion d’un message b[n] s’effectue ici en
quantifiant les coefficients C = <(QFT‖I(1, 1)) en utili-
sant l’algorithme suivant:
Insertion:
Si b[i] = 1 : Cw = ∆A
(
C+∆/4
∆
)
+∆/4
Si b[i] = 0 : Cw = ∆A
(
C−∆/4
∆
)
−∆/4
Detection:
Si
|C −∆A
(
C+∆/4
∆
)
+∆/4| < |C −∆A
(
C−∆/4
∆
)
−∆/4|
⇒ b[i] = 1
Sinon
⇒ b[i] = 0
ou A est une fonction arrondissant a` l’entier le plus proche.
Nous avons ensuite e´value´ la robustesse du sche´ma pre´-
sente´ face a` des traitements classiquement utilise´s en trai-
tement d’image. Nous avons retenu la compression JPEG
et un filtre passe-bas gaussien. Pour ces deux traitements
le nombre de bits errone´s a` e´te´ e´value´ pour deux valeurs
de µ: µ = µMask et µ = µLum en choisissant une erreur
absolue moyenne qui soit e´gale. Nous avons pre´fe´re´ utili-
ser la EAM car la norme L1 est plus fide`le visuellement
sur des images 3-composantes. Les re´sultats sont pre´sente´s
dans les tables 1 et 2.
EAM 5 10 20
µ = µMask: Taux d’erreur(%) 15.30 8.54 3.39
µ = µLum: Taux d’erreur(%) 29.32 20.7 13.25
Tab. 1: Taux d’erreur apre`s filtrage gaussien.
Ces re´sultats soulignent deux proprie´te´s importantes
propres au tatouage dans le domaine QFT. D’un cote´ la
table 1 montre que pour µ = µMask le sche´ma est d’avan-
tage robuste aux ope´rations de filtrage sur la luminance
que le sche´ma ou` µ = µLum. Ceci vient du fait que la
EAM 5 10 20
µ = µMask: Taux d’erreur(%) 22.58 2.39 0.0
µ = µLum: Taux d’erreur(%) 0.14 0.0 0.0
Tab. 2: Taux d’erreur apre`s compression JPEG (Facteur
de qualite´ = 85%).
composante QFT‖I(v, u) est orthogonale a` l’axe des lu-
minances. De l’autre cote´ la table 2 propose une compa-
raison inverse vis a` vis de la compression JPEG. De tels
re´sultats s’expliquent par le fait que le sche´ma de com-
pression JPEG dissocie les composantes de luminance des
composantes de chrominance et de´grade les composantes
de chrominance par rapport aux composantes de lumi-
nance en utilisant des tables de quantification diffe´rentes
et en sous-e´chantillonnant les composantes de chrominance.
Ne´anmoins, comme il est montre´ sur la figure 3, pour un
taux d’erreur e´quivalent, l’insertion perceptuelle est moins
perceptible que l’insertion base´e sur la luminance.
IW (µ = µLum)
JPEG= 80%, EAM= 4.
Taux d’erreur= 0.9%
IW (µ = µPerc′)
JPEG= 80%, EAM= 15.3
Taux d’erreur= 0.9%
Fig. 3: Evaluation de l’impact visuel pour une robustesse
similaire par rapport a` la compression JPEG avec un fac-
teur de qualite´ de 80%.
5 Conclusion et perspectives
Ce re´sume´ pre´sente l’utilisation de la QFT dans le con-
texte du tatouage d’images couleur. Nous avons montre´
que cette transformation permet d’appre´hender les images
couleur sans avoir a` utiliser une de´composition pre´alable et
permet d’extraire des composantes perceptives fre´quentiel-
les de manie`re aise´e. Ne´anmoins cette e´tude souligne e´gale-
ment que l’utilisation d’un espace de masquage offre une
robustesse moindre face aux techniques de compression
qui cherchent a` s’affranchir de ce type d’information. Nous
travaux futurs vont donc se tourner vers un espace d’in-
sertion offrant un compromis entre ses performances de
masquage et sa robustesse a` la compression.
6 Remerciements
Les auteurs tiennent a` remercier Mr David Alleyson
du Laboratoire de Psychologie et NeuroCognition de Gre-
noble pour ses conseils sur l’utilisation des espaces couleur
uniformes.
Re´fe´rences
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Utilisation de la Transformée de Fourier Quaternionique en tatouage d'images couleur

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