Cet article décrit un algorithme d'annulation d'écho acoustique non linéaire traitant plus particulièrement des distorsions dues au haut-parleur. La structure proposée est composée de deux modules adaptatifs organisés en cascade. L'étude théorique de la convergence de systèmes en cascade est réalisée à l'aide de filtres de Wiener et met en évidence le phénomène de convergence locale. Une stratégie d'adaptation est proposée permettant de stabiliser le système : des résultats sur signaux réels sont donnés qui montrent la stabilité de l'algorithme et sa supériorité comparé à un filtrage adaptatif linéaire

FAUCON, Gérard

GUERIN, Alexandre

LE BOUQUIN-JEANNES, Régine

I-Revues

Convergence locale de ltres en cascade. Application à
l'annulation d'écho non linéaire
Alexandre Guérin
1,2
, Régine Le Bouquin-Jeannès
1
, Gérard Faucon
1
1
Laboratoire de Traitement du Signal et de l'Image, Université de Rennes 1,
Bâtiment 22, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
2
Alcatel Business Systems, Micro-Systems and Signal Processing Department (ABS-MSD),
32 Avenue Kléber, 92707 Colombes cedex, France
alexandre.guerin@univ-rennes1.fr, regine.lebouquin@univ-rennes1.fr, gerard.faucon@univ-rennes1.fr
Résumé 
Cet article décrit un algorithme d'annulation d'écho acoustique non linéaire traitant plus particulièrement des distorsions dues
au haut-parleur. La structure proposée est composée de deux modules adaptatifs organisés en cascade. L'étude théorique de la
convergence de systèmes en cascade est réalisée à l'aide de ltres de Wiener et met en évidence le phénomène de convergence
locale. Une stratégie d'adaptation est proposée permettant de stabiliser le système : des résultats sur signaux réels sont donnés
qui montrent la stabilité de l'algorithme et sa supériorité comparé à un ltrage adaptatif linéaire.
Abstract 
This paper describes a nonlinear acoustic echo cancellation algorithm, dealing especially with the loudspeaker distortions.
The proposed system is decomposed into two distinct modules organized in a cascaded structure. The theoretical study of the
convergence of such systems by the means of Wiener lters is derived leading to the local convergence phenomenon. An
adaptation strategy is proposed to stabilize the adaptive system : results on real recorded data are given showing the stability of
the proposed algorithm and its superiority over a classical linear lter.
1 Introduction
Les terminaux GSM sont, pour la plupart, dotés de la
fonctionnalité mains-libres  intégré . Il en résulte non
seulement une augmentation notable de l'écho acoustique,
mais également des distorsions de cet écho dues au com-
portement non linéaire du haut-parleur aux tensions li-
mites d'utilisation : l'emploi d'algorithmes linéaires ne suf-
t plus pour assurer une annulation d'écho convenable.
La gure 1 illustre ce constat en comparant les perfor-
mances en termes d'ERLE (Echo Return Loss Enhance-
ment) de l'algorithme linéaire NLMS (Normalized-Least
Means Squares), pour le même signal envoyé dans un cas
à la tension maximale préconisée par le constructeur, dans
l'autre à la tension maximale moins 15dB : la perte de per-
formances est très importante, même pour des distorsions
non audibles sur le signal de parole.
An de prendre en considération cet aspect non linéaire,
Fermo propose un annuleur d'écho à base de ltres de Vol-
terra d'ordre 2 [1]. Dans [2], les auteurs modélisent la satu-
ration de l'amplicateur de puissance du haut-parleur par
un polynôme. On se propose ici d'étudier un algorithme
d'annulation d'écho non linéaire basé sur une modélisa-
tion par deux ltres adaptatifs en cascade du couple haut-
parleur/canal acoustique : le haut-parleur est modélisé par
un ltre de Volterra d'ordre 3, tandis que le canal acous-
tique est représenté par un ltre linéaire à réponse impul-
sionnelle (R.I.) nie. L'étude portera particulièrement sur
l'adaptation conjointe des ltres en cascade, pour lesquels
on mettra en évidence le problème de convergence locale.
2 Modèle du système
Du fait de l'élasticité de la membrane, les haut-parleurs
présentent des propriétés de mémoire, aussi bien dans leur
partie non linéaire (lorsque la tension d'entrée est proche
de la tension maximale) que dans leur partie linéaire : de
par leur comportement harmonique, la base des ltres de
Volterra est particulièrement adaptée à leur modélisation.
La gure 2 décrit le système d'identication du couple
haut-parleur/canal acoustique :
1. un premier étage non linéaire constitué d'une partie
linéaire simple plus une partie harmonique d'ordres
2 et 3,
x
nl
(n) = x (n) +
L 1
P
i=0
L 1
P
j=i
h
2
(i; j)x (n  i)x (n  j)
+
L 1
P
i=0
L 1
P
j=i
L 1
P
k=j
h
3
(i; j; k)x (n  i)x (n  j)x (n  k)
(1)
où L représente la mémoire nie du haut-parleur.
On notera la composante d'ordre 2 (resp. d'ordre 3)
x
2
(n) (resp. x
3
(n)).
2. un second étage linéaire de tailleN identiant la par-
tie linéaire globale constituée de la réponse linéaire
du haut-parleur convoluée avec le canal acoustique
supposé linéaire,
^
d (n) =
N 1
X
i=0
x
nl
(n  i)w
i
(n) (2)
0 1 2 3 4 5 6 7
−5
0
5
10
15
20
25
30
35
temps (secondes)
ER
LE
 (d
B)
Fig. 1  ERLE à tension maximale moins 15dB (solide)
et à tension maximale (pointillés).
Ce modèle est motivé par l'impossibilité d'identier sépa-
rément les réponses linéaires. Pour des raisons de calcul,
nous utiliserons par la suite une représentation matricielle
du système. On note w (n) le ltre adaptatif linéaire de
taille N  1 et x
nl
(n) son entrée de même dimension :
^
d (n) = x
T
nl
(n)w (n) : (3)
Le noyau de Volterra d'ordre 2 est représenté par le vec-
teur h
2
de taille L
2
 1 (où L
2
=
L(L+1)
2
) :
h
T
2
(n) =

h
2
(0; 0) h
2
(0; 1)    h
2
(L  1; L  1)

: (4)
On associe à h
2
le vecteur u
2
de taille L
2
 1 tel que
x
2
(n) = u
T
2
(n)h
2
(n) :
u
T
2
(n) =

x
2
(n) x (n)x (n  1)    x
2
(n  L+ 1)

:
(5)
On dénit alors la matrice U
2
de dimensions L
2
N :
U
2
(n) =

u
2
(n) u
2
(n  1)    u
2
(n N + 1)

; (6)
telle que le vecteur x
2
(n) s'écrive :
x
2
(n) = U
T
2
(n)h
2
(n) : (7)
En utilisant les mêmes notations, le vecteur des non-
linéarités d'ordre 3 de dimension N  1 est déni par :
x
3
(n) = U
T
3
(n)h
3
(n) ; (8)
où h
3
est le vecteur des coecients d'ordre 3 de dimension
L
3
 1 et U
3
la matrice associée de dimensions L
3
 N ,
avec L
3
=
L
(
L
2
+5
)
6
.
Le vecteur d'entrée du ltre linéaire est nalement déni
par l'expression matricielle :
x
nl
(n) = x (n) +U
T
2
(n)h
2
(n) +U
T
3
(n)h
3
(n) : (9)
3 Convergence locale
L'annulation d'écho acoustique est généralement réali-
sée à l'aide d'un seul ltre adaptatif linéaire réactualisé
par un algorithme de type gradient. Cette situation assure
que le ltre de Wiener, ltre qui correspond au minimum
de l'Erreur Quadratique Moyenne (EQM), sous hypothèse
que le système est invariant, reste constant dans le temps :
Fig. 2  Modèle d'identication
le ltre adaptatif converge alors en moyenne, si la condi-
tion de stabilité est vériée, vers cette solution optimale
[3]. Le cas de ltres en cascade est fondamentalement dif-
férent.
An d'étudier le comportement théorique des ltres de
Wiener en cascade, l'ensemble haut-parleur/canal acous-
tique est remplacé par un système en cascade identique au
modèle d'identication et de mêmes dimensions : le triplet
(Æ;h
o
2
;h
o
3
) en amont pour l'étage non linéaire et le ltre li-
néaire w
o
en aval (cf. gure 3). Le signal d'écho d (n) est
alors déni par les notations :
d (n) = x
o
nl
T
(n)w
o
= (x (n) + x
o
2
(n) + x
o
3
(n))
T
w
o
:
(10)
En notant e (n) = d (n)  
^
d (n) l'erreur en sortie du
système, l'erreur quadratique moyenne J s'écrit
J = E

d
2
(n)
	
  2E

d (n)x
T
nl
(n)w (n)
	
+E

w
T
(n)x
nl
(n)x
T
nl
(n)w (n)
	
:
(11)
Pour un ltre quelconque v, le ltre optimal au sens de
Wiener correspondant v
EQM
vérie l'égalité :
r
v
fJ (v)gj
v=v
EQM
= 0: (12)
Les ltres de Wiener correspondant aux ltres w et h
2
,
w
EQM
et h
2;EQM
, seront dérivés à partir du calcul du
gradient de l'erreur quadratique moyenne de l'équation
(12). Le cas de h
3;EQM
, quasi-identique à celui de h
2;EQM
,
ne sera pas décrit. Pour des raisons de lisibilité, le temps
indicé par la variable n sera omis dans les calculs dans la
suite de la section 3.
3.1 Filtre linéaire w
A partir de l'équation (11), le calcul du gradientr
w
fJg
mène à la relation suivante :
r
w
fJg =  2E fd x
nl
g+ 2E

x
nl
x
T
nl
	
w: (13)
En insérant l'équation (10) dans (13) et annulant ce gra-
dient, on trouve l'expression du ltre de Wiener :
w
EQM
=  
 1
x
nl
 
x
nl
;x
o
nl
w
o
(14)
où  
x
(resp.  
x;y
) est la matrice d'auto-corrélation de x
(resp. d'inter-corrélation des vecteurs x et y).
De l'équation (14) se déduisent deux remarques :
Fig. 3  Système adaptatif (en grisé) et ensemble haut-
parleur/canal acoustique modélisé (en blanc)
1. si le couple adaptatif (h
2
;h
3
) du module non linéaire
n'a pas convergé vers la solution réelle (h
o
2
;h
o
3
),w ne
convergera pas (en moyenne) vers le ltre à identier
w
o
mais vers une version modiée qui dépend de
l'état des ltres adaptatifs h
2
et h
3
,
2. dans le cas où les ltres harmoniques h
2
et h
3
s'adap-
tent continuellement, les matrices d'auto- et d'inter-
corrélation  
w
nl
et  
w
nl
;w
o
nl
ne sont pas constantes
dans le temps de même que le ltre de Wienerw
EQM
:
la stabilité du ltre adaptatif w (n) est alors com-
promise.
Il convient néanmoins de modérer cette dernière obser-
vation : dans la réalité, les non-linéarités sont négligeables
comparées au signal x (n). Ainsi, si l'on considère en plus
dans l'équation de w
EQM
que les ltres identiés h
2
et h
3
sont du même ordre de grandeur que ceux du système réel
h
o
2
et h
o
3
, on aboutit à l'approximation :
w
EQM
' w
o
; si kx
2
k  kxk et kx
3
k  kxk ; (15)
égalité qui est d'ailleurs vériée dans les faits.
3.2 Filtre de Volterra d'ordre 2, h
2
Le calcul du gradient r
h
2
est plus fastidieux : on utilise
la formule développée de x
nl
donnée par l'équation (9) et
celle de x
o
nl
donnée dans (10). On utilisera également le
vecteur d'erreur du ltre w :
e
w
(n) = w
o
 w (n) : (16)
On montre alors que le ltre de Wiener correspondant
à h
2
peut s'écrire :
h
2;EQM
= h
o
2
+  
 1
U
2
w

E

U
2
we
T
w
x
	
+E

U
2
we
T
w
(x
o
2
+ x
o
3
)
	
+ E

U
2
ww
T
(x
o
3
  x
3
)
	
:
(17)
L'équation (17) est relativement complexe. Cependant,
dans le cas réel, les non-linéarités représentées par les vec-
teurs x
o
2
et x
o
3
restent négligeables comparées au signal
d'entrée x (même si leurs inuences sur les performances
ne sont pas négligeables). De plus, si l'on considère que le
vecteur d'erreur e
w
est du même ordre de grandeur que
w, les termes des lignes 2 et 3 sont négligeables compa-
rés au terme E

U
2
we
T
w
x
	
. Il convient de noter que ces
approximations ne sont valables que pour un signal coloré
comme la parole car dans le cas d'un bruit blanc gaussien
centré, les espérances des puissances impaires sont nulles.
On aboutit nalement à l'approximation suivante :
h
2;EQM
' h
o
2
+  
 1
U
2
w
E

U
2
wx
T
	
e
w
: (18)
On remarque donc qu'à l'instant n, le ltre h
2
converge
en moyenne vers h
o
2
plus un terme qui dépend linéairement
de l'erreur instantanée e
w
. Aussi, comme pour le ltre w :
1. h
2
ne peut converger vers sa solution h
o
2
que si w a
déjà convergé,
2. dans le cas où les deux ltres s'adaptent simultané-
ment, le ltre de Wiener h
2;EQM
n'est pas constant
au cours de l'adaptation. Il en découle un compor-
tement chaotique.
Contrairement au ltre w pour lequel l'inuence des
non-linéarités est très faible, les simulations montrent que
le ltre de Wiener h
2;EQM
dépend fortement de l'erreur
e
w
, d'autant plus que cette dernière peut varier de ma-
nière importante au cours d'une communication, les chan-
gements de R.I. du canal étant relativement marqués.
4 Annulation d'écho non linéaire
On propose ici d'utiliser le modèle de la gure 2 dé-
ni par les équations (1) et (2) pour réaliser l'annula-
tion d'écho. L'adaptation des ltres est réalisée par l'algo-
rithme NLMS [2].
4.1 Stratégie d'adaptation
À partir des conclusions des paragraphes 3.1 et 3.2, la
stratégie adoptée est la suivante :
1. an de conserver la capacité du système à suivre les
changements du canal acoustique, l'adaptation du
ltre linéaire w reste libre,
2. l'adaptation des ltres non linéaires h
2
et h
3
est ge-
lée pendant les phases d'adaptation de w, de ma-
nière à minimiser l'inuence de e
w
et à garantir la
stabilité du système.
La détection des phases d'adaptation du ltre linéaire
est réalisée par seuillage de sa variance : en eet, celle-ci
est minimale lorsque le ltre a convergé. Si l'on note w (n)
la moyenne temporelle du ltre w (n), l'écart-type 
w
(n)
est estimé par un ltrage récursif du premier ordre :

w
(n+ 1) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:

up

w
(n) + (1  
up
) kw (n) w (n)k
si kw (n) w (n)k  
w
(n)

dn

w
(n) + (1  
dn
) kw (n) w (n)k
sinon
(19)
où 
up
et 
dn
sont des constantes proches de 1, avec la
relation d'ordre 
up
 
dn
.
Le ltre moyen est également estimé par ltrage récursif
du premier ordre :
w (n+ 1) = w (n) + (1  )w (n) (20)
où  est une constante proche de 1.
L'inégalité entre les coecients d'oubli assure (i ) qu'avec

up
correspondant à un eet mémoire faible, l'écart-type
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n (secondes)
σ
 
w
(n)
changement de 
canal acoustique
Fig. 4  Comportement de l'écart-type 
w
en fonction du
temps.
reste réactif à tout changement de réponse impulsionnelle
du canal acoustique, (ii ) qu'en prenant 
dn
très proche de
1, l'écart-type ne décroît pas trop vite an de geler l'adap-
tation des ltres non linéaires tant que le ltre w n'a pas
 susamment  convergé.
4.2 Résultats
L'algorithme développé est validé sur un signal de pa-
role consistant en une même phrase répétée deux fois, ap-
pliquée à la tension maximale du haut-parleur avec un
changement dans le canal acoustique : une avance de 4
coecients est articiellement introduite au début de la
seconde phrase. Les tailles des ltres sont : N = 128, et
L = 10, ce qui correspond à des ltres non linéaires de
tailles respectives L
2
= 55 et L
3
= 175.
Les pas d'adaptation des ltres non linéaires valent 0.05.
Cette valeur n'est pas critique, mais elle ne doit cependant
pas être trop élevée. En eet, l'approximation de l'équa-
tion (15) n'est valable que si les termes non linéaires res-
tent négligeables comparés au terme linéaire : une valeur
élevée (tout en respectant la condition de convergence)
crée des oscillations importantes des ltres h
2
et h
3
qui
ne garantissent plus cette approximation, ce qui mène à
la désadaptation de w. Du fait de la faiblesse de cette
valeur et également du mauvais conditionnement des ma-
trices d'auto-corrélation des entrées des ltres h
2
et h
3
, la
vitesse de convergence est lente. Néanmoins, leur tâche est
d'identier les paramètres d'un système non linéaire qui
varie peu dans le temps : la vitesse de convergence n'est
pas primordiale.
La gure 4 montre le comportement de l'écart-type 
w
:
les 2 périodes correspondant aux phases d'adaptation dew
(début et milieu) sont correctement détectées et les ltres
non linéaires sont gelés pendant ces deux phases.
Les performances de l'algorithme proposé sont décrites
gure 5. On remarque notamment que sans contrôle de
l'adaptation des ltres non linéaires (courbe (c)), le sys-
tème ne remplit pas son rôle d'annuleur d'écho : les ltres
w, h
2
et h
3
oscillent en permanence et sont en perpétuelle
phase d'adaptation-désadaptation. En utilisant l'informa-
0 1 2 3 4 5 6 7
−30
−20
−10
0
10
20
30
temps (secondes)
ER
LE
 (d
B)
changement de    
canal acoustique 
(a) 
(b) 
(c) 
Fig. 5  Résultats en termes d'ERLE des algorithmes
(a) non linéaire avec contrôle d'adaptation de h
2
et h
3
(continu), (b) linéaire (trait-point) et (c) non linéaire sans
contrôle d'adaptation (discontinu).
tion sur l'état de w (courbe (a)), le système est stabilisé
et les performances en termes d'ERLE sont supérieures à
celles de l'algorithme linéaire seul (courbe (b)) : le gain
moyen est de l'ordre de 4 à 5 dB.
5 Conclusion
Dans cet article est décrit un algorithme d'annulation
d'écho non linéaire basé sur la modélisation du couple
haut-parleur/canal acoustique par un système en cascade
ltre de Volterra/ltre linéaire. Du fait de la structure cas-
cade, les formules des ltres de Wiener associées aux dié-
rents ltres adaptatifs, dérivées dans ce papier, montrent
l'existence du phénomène de convergence locale qui rend
hautement instable l'adaptation conjointe des ltres adap-
tatifs. Une stratégie d'adaptation, basée sur la connais-
sance de l'état du ltre linéaire aval, a permis de stabiliser
l'algorithme tout en conservant ses capacités à suivre les
changements du canal acoustique : la réduction d'écho en
termes d'ERLE s'avère supérieure de 4 à 5dB en compa-
raison de celle réalisée par l'algorithme linéaire NLMS.
Néanmoins, la charge de calcul reste pour le moment re-
lativement importante et des travaux d'optimisation sont
en cours.
Références
[1] A. Fermo, A. Carini, G.L. Sicuranza, Simplied Vol-
terra lters for acoustic echo cancellation in GSM re-
ceivers, Proc. of European Signal Processing Confe-
rence, Tampere, 2000.
[2] A. Stenger, W. Kellermann, R. Rabenstein, Adapta-
tion of acoustic echo cancellers incorporating a memo-
ryless nonlinearity, Proc. of the International work-
shop on Acoustic Echo and Noise Control, Pocono Ma-
nor, 1999.
[3] S. Haykin, Adaptive Filter Theory, Prentice Hall, se-
cond edition, 1991.


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