Nous étudions des signaux chaotiques dans le domaine fréquentiel, et non plus seulement selon les représentations de la dynamique non linéaire. L'analyse spectrale de trois récurrences non inversibles de dimension deux est réalisée, et nous nous attachons plus particulièrement aux relations entre les caractéristiques fréquentielles des signaux et les bifurcations ayant amené au chaos. Il apparaît alors que les représentations en fréquences peuvent être reliées à l'évolution dynamique du système, et fournissent des informations sur la dynamique qui ne sont pas directement disponibles autrement

FOURNIER-PRUNARET, Danièle

GUGLIELMI, Véronique

JAKO, Zoltan

KOLUMBAN, Géza

I-Revues

Composantes spectrales du Chaos
Véronique GUGLIELMI1, Danièle FOURNIER-PRUNARET1
Géza KOLUMBAN2, Zoltan JAKO2
1LESIA, Groupe Systèmes Dynamiques
INSA, 135 Avenue de Rangueil, 31077 Toulouse cedex 4, France
2Department of Measurement and Information Systems
Technical University of Budapest, H-1521 Budapest, Hungary
Veronique.Guglielmi@insa-tlse.fr
Résumé – Nous étudions des signaux chaotiques dans le domaine fréquentiel, et non plus seulement selon les représentations de la
dynamique non linéaire. L’analyse spectrale de trois récurrences non inversibles de dimension deux est réalisée, et nous nous attachons plus
particulièrement aux relations entre les caractéristiques fréquentielles des signaux et les bifurcations ayant amené au chaos. Il apparaît alors
que les représentations en fréquences peuvent être reliées à l’évolution dynamique du système, et fournissent des informations sur la
dynamique qui ne sont pas directement disponibles autrement.
Abstract – To fit particular demands which arise in many applications, such as for example spectrum requirements in telecommunication
schemes, we study chaotic waveforms through frequency-domain representation instead of conventional nonlinear dynamics. Spectral
analysis of 3 kinds of two-dimensional noninvertible maps is performed, and we attach ourselves more particularly to the opportunity of
relating frequential characteristics to the bifurcations which have led to chaos. It appears that the frequency-domain representations can be
related to the dynamic evolution of the system, and provide some informations on this dynamics which are no longer directly supplied
otherwise. Thereby, statistical signal processing is found to be an interesting approach to chaos modelisation.
1. Introduction
Les signaux chaotiques sont générés par des circuits
physiques non linéaires [1], faisant intervenir un jeu de
paramètres. Selon les valeurs prises par ces paramètres, la
dynamique de ces systèmes [2] peut alors changer du tout au
tout, en affichant un comportement périodique, pseudo-
périodique ou chaotique - i.e. des processus non périodiques
déterministes, mais pourtant très similaires à du bruit aléatoire
d'un point de vue qualitatif -. Quand se produisent ces
changements, les jeux correspondants de paramètres sont
appelés valeurs de “bifurcations”.
Avant toute analyse spectrale, nous devons nous appuyer
sur l'étude mathématique théorique des bifurcations
[2][3][4][5]. Plusieurs types de bifurcations existent, qui
peuvent être classifiés en différentes catégories. Ici, nous
réalisons une analyse spectrale de trois récurrences non
inversibles de dimension 2. Il y a essentiellement, pour les
exemples présentés dans ce papier, des bifurcations de type
“boîtes emboîtées” amenant à du chaos ou des bifurcations de
“contact” conduisant à des modifications de la forme de
l'attracteur chaotique [2][3][4].
Notons que l'évolution des attracteurs et de leurs bassins
(i.e. les jeux de conditions initiales donnant lieu à des
séquences qui convergent vers l'attracteur considéré) était
connue et est détaillée dans [2][3][4][5].
2. Représentation spectrale
Pour décrire son contenu en fréquences, nous considérons
une séquence chaotique xn comme une réalisation d'un
processus aléatoire discret et stationnaire, et nous estimons la
Densité Spectrale de Puissance (DSP), en utilisant la méthode
de Welch (périodogrammes moyennés). La sensibilité aux
conditions initiales est la raison pour laquelle les signaux
obtenus à partir de récurrences non inversibles peuvent être
considérés comme stochastiques. En limitant les conditions
initiales au bassin d'un unique attracteur, l'hypothèse de
stationnarité du signal semble a priori  valide.
Les tracés de la DSP montrent le spectre de xn, pour les
fréquences positives seulement (puisque xn est toujours réel),
en décibels, et en fonction des fréquences normalisées.
2.1 Récurrence cubique
La récurrence considérée [3] est la suivante :
nn yx =+1  ; ( ) ( )nnnnn yybxxay +−++−=+ 331     (1)
où (x,y) sont des variables réelles, a et b des paramètres réels.
a a été pris constant (a = 2.2) et b varie.
2.1.1 Attracteur chaotique cyclique d'ordre 2
Pour b = -0.61, un attracteur chaotique cyclique d'ordre 2
existe et est observé dans le plan de phase de la Fig. 1. La
DSP de xn, donnée Fig. 2, présente un pic à f = 0.5. Donc, la
première information donnée par le domaine fréquentiel est
que la séquence xn peut être vue comme un signal périodique,
de période 2, noyé dans du bruit blanc additif (le pic à f = 0
n'existe pas car les 2 valeurs alternées de xn sont opposées).
Ce modèle aurait pu être construit à partir du plan de phase,
mais pas à partir de la représentation temporelle de xn.
FIG. 1 : Plan de phase (x,y) pour b = -0.61
FIG. 2 : DSP de x pour b = -0.61
2.1.2 Attracteur chaotique cyclique d'ordre 10
Quand b augmente jusqu’à -0.36, l’attracteur chaotique
cyclique d’ordre 2 évolue (cf. le plan de phase de la Fig. 3),
mais il existe toujours. Donc, il est naturel d’observer, via la
DSP de la Fig. 4, la même information qu’au § 2-1-1, liée au
modèle périodique de période 2 pour xn. Plus surprenants sont
les pics spectraux à 0.1 et 0.3, qui n’existaient pas pour b = -
0.61. Ils démontrent une périodicité de période 10 : comme
précédemment, certains pics n’existent pas à cause de
propriétés de symétrie. Comme nous l’avions remarqué pour
la période 2 au § 2-1-1, la période 10 qui apparaît ne peut pas
être détectée à partir d’une représentation temporelle de xn.
Mais ici, même le plan de phase ne permet pas de la détecter.
FIG. 3 : Plan de phase (x,y) pour b = -0.36
FIG. 4 : DSP de x pour b = -0.36
Le spectre conserve en quelque sorte la “mémoire” de
l’évolution dynamique du système. Ainsi, quand nous
continuons à augmenter b et prenons b = -0.35, l’attracteur
chaotique cyclique d’ordre 2 devient d’ordre 10 (cf. Fig. 5).
FIG. 5 : Plan de phase (x,y) pour b = -0.35
Le même phénomène s’est produit, mais à une échelle
différente : la DSP pour b = -0.35 montre maintenant une
période 30 (cf. Fig. 6), qui est liée à l’existence de courbes
fermées invariantes, cycliques d’ordre 30, pour b = -0.349. La
Fig. 7 présente le plan de phase pour b = -0.349, la Fig. 8 le
spectre, et la Fig. 9 un zoom de l’aire encadrée Fig. 7.
FIG. 6 : DSP de x pour b = -0.35
FIG. 7 : Plan de phase (x,y) pour b = -0.349
FIG. 8 : DSP de x pour b = -0.349
FIG. 9 : Zoom du plan de phase (x,y) pour b = -0.349
Comme indiqué par les Fig. 10 et 11, la DSP perd
l’information sur la période 30 quand les 10 domaines
disjoints du plan de phase se rejoignent (pour b = -0.355502).
FIG. 10 : Plan de phase (x,y) pour b = -0.355502
FIG. 11 : DSP de x pour b = -0.355502
2.2 Récurrence double logistique
La récurrence considérée [4] est la suivante :
( ) ( )nnnn yyaxax −+−=+ 1411
( ) ( )nnnn xxayay −+−=+ 1411                                  (2)
où (x,y) sont des variables réelles, et a un paramètre réel qui
varie. Avec cette récurrence pourtant totalement différente,
nous pouvons rencontrer des structures fréquentielles
identiques à celles trouvées dans la section précédente. Sur la
Fig. 12, un attracteur chaotique non cyclique est présenté (a =
0.646), tandis que le spectre correspondant sur la Fig. 13
montre une périodicité d’ordre 7. Et, conformément à ce que
la forme de la DSP pour a = 0.646 avait prédit, quand a
diminue, il arrive un moment (pour a = 0.64392) à partir
duquel un attracteur chaotique cyclique d’ordre 7 apparaît
dans le plan de phase (cf. Fig. 14 and 15).
FIG. 12 : Plan de phase (x,y) pour a = 0.646
FIG. 13 : DSP de x pour a = 0.646
FIG. 14 : Plan de phase (x,y) pour a = 0.64392
FIG. 15 : DSP de x pour a = 0.64392
Comme au § 2-1-2, le même phénomène apparaît à une
échelle plus petite : le spectre pour a = 0.64392 montre
maintenant une période 14, liée à l’existence d’un attracteur
chaotique cyclique d’ordre 14 pour a = 0.641 (cf. Fig. 16).
FIG. 16 : Plan de phase (x,y) pour a = 0.641
2.3 Récurrence quadratique
La récurrence considérée [5] est la suivante :
nnn yxax +=+1  ; bxy nn +=+
2
1     (3)
où (x,y) sont des variables réelles, a et b des paramètres réels.
a a été pris constant (a = -0.42) et b varie.
Ici à nouveau, nous trouvons le même genre de
composantes fréquentielles que pour les 2 récurrences
précédentes. La Fig. 17 présente un attracteur chaotique non
cyclique (b = -1.6), tandis que le spectre de la Fig. 18 montre
une périodicité d’ordre 6. Et, conformément à la forme de la
DSP pour b = -1.6, quand b diminue, un attracteur chaotique
cyclique d’ordre 6 apparaît et, par exemple, amène à une
orbite périodique d’ordre 6 quand b = -1.58 (Fig. 19 et 20).
FIG. 17 : Plan de phase (x,y) pour b = -1.6
FIG. 18 : DSP de x pour b = -1.6
FIG. 19 : Plan de phase (x,y) pour b = -1.58
FIG. 20 : DSP de x pour b = -1.58
Contrairement aux exemples précédents où on observait un
attracteur chaotique cyclique, ici on obtient pour b = -1.58
une véritable orbite périodique d'ordre 6.
3. Conclusion
Notre travail s’est attaché aux propriétés fréquentielles des
signaux chaotiques. Ainsi, nous avons réalisé une analyse
spectrale non paramétrique de 3 récurrences non inversibles
de dimension 2.
Les spectres possèdent certaines informations sur la nature
des séquences d’itérations qui n’étaient plus fournies ni par le
plan de phase ni par la représentation temporelle. Notre
première approche des composantes fréquentielles a permis
de retrouver le même phénomène pour les 3 récurrences : des
composantes périodiques, liées aux bifurcations ayant amené
au chaos, peuvent être mises en évidence.
Ceci illustre la possibilité de déterminer plus
complètement, à partir d’un signal chaotique donné, le
comportement de la séquence de points, et finalement de
proposer une modélisation du signal à une échelle appropriée.
Maintenant, l’étape suivante de notre travail serait
d’étudier d’autres types d’attracteurs chaotiques, avec
différentes évolutions et différentes bifurcations.
Remerciements
Ce travail a été en partie effectué dans le cadre de la
collaboration franco-hongroise “BALATON” (projet n°
99030).
Références
[1] G. Kolumban, M.P. Kennedy & L.O. Chua, “The Role
of Synchronization in Digital Communications Using
Chaos - Part II: Chaotic Modulation and Chaotic
Synchronization”, IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol. 45,
no. 11, pp. 1129-1140, 1998.
[2] C. Mira, L. Gardini, A. Barugola & J.-C. Cathala,
“Chaotic dynamics in two-dimensional non invertible
maps”, World Scientific, June 1996.
[3] D. Fournier-Prunaret & V. Guglielmi, “Bifurcations and
attractors in two-dimensional maps of cubic type”,
NOLTA99, Hawaï (USA), 29 Nov. - 2 Dec. 1999.
[4] L. Gardini, R. Abraham, D. Fournier-Prunaret & R.
Record, “A double logistic map”, International Journal
of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and
Engineering, vol. 4, no. 1, pp. 145-176, 1994.
[5] C. Mira, D. Fournier-Prunaret, L. Gardini, H. Kawakami
& J.C. Cathala, “Basin bifurcations of two-dimensional
non invertible maps. Fractalization of basins”,
International Journal of Bifurcation and Chaos in
Applied Sciences and Engineering, vol. 4, no. 2, pp.
343-382, 1994.


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