De nombreux algorithmes, basés sur une modélisation Auto Régressive du signal, ont été proposés pour des problèmes d'estimation de fréquence de signaux périodiques. Nous nous intéressons ici aux performances statistiques de tels estimateurs, et proposons des formules approchées du biais et de la variance des estimées. Les résultats obtenus permettent de mettre en évidence l'influence de la fréquence recherchée, du rapport signal sur bruit et du nombre de points sur les performances de l'estimateur

LE DUFF, Alain

PLANTIER, Guy

SCHANG, Daniel

SOURICE, Anthony

I-Revues

Comparaison d’estimateurs de fréquence à complexité algorithmique
réduite
Guy PLANTIER, Anthony SOURICE, Alain LE DUFF, Daniel SCHANG
École Supérieure d’Électronique de l’Ouest
4, rue Merlet de la Boulaye, B.P. 926, 49009 Angers Cedex 01, France
Tél : 02 41 86 67 67, Fax : 02 41 87 99 27
guy.plantier@eseo.fr, anthony.sourice@eseo.fr
alain.le_duff@eseo.fr, daniel.schang@eseo.fr
Résumé –
De nombreux algorithmes, basés sur une modélisation Auto Régressive du signal, ont été proposés pour des problèmes d’estimation de fré-
quence de signaux périodiques. Nous nous intéressons ici aux performances statistiques de tels estimateurs, et proposons des formules approchées
du biais et de la variance des estimées. Les résultats obtenus permettent de mettre en évidence l’influence de la fréquence recherchée, du rapport
signal sur bruit et du nombre de points sur les performances de l’estimateur.
Abstract –
A lot of techniques, based on autoregressive models, have been proposed to solve frequency estimation problems. We focus on the statistical
behavior of those algorithms and propose approximate expressions for the bias and variance of estimation. By the way, we point out the influence
of the values of the frequency to be estimated, the number of points and the signal to noise ratio on the performance of those estimators.
1 Introduction
La mise au point de certains capteurs passe souvent par l’es-
timation de la fréquence d’un signal périodique. Un très grand
nombre de méthodes a été proposé dans la littérature pour ré-
soudre ce problème [3], [4]. Cependant, si l’on souhaite réduire
les coûts du capteur et des systèmes électroniques de traite-
ment du signal, il est indispensable de sélectionner les algo-
rithmes les plus simples, tout en conservant une précision ac-
ceptable des mesures. L’objectif du présent travail est de com-
parer les propriétés statistiques de quatre estimateurs de fré-
quence à complexité algorithmique réduite et de proposer pour
chacun d’eux des formules approchées, mais simples à inter-
préter, donnant avec suffisamment de précision le biais et la
variance d’estimation. Les quatre estimateurs étudiés sont ba-
sés sur les méthodes de l’autocorrélation biaisée de Yule Wal-
ker (B), de l’autocorrélation non biaisée (NB), de la covariance
(COV) et de la covariance modifiée (CM).
De nombreux travaux ont montré l’efficacité des méthodes
paramétriques pour l’estimation de fréquence [1]. Ces méthodes
sont souvent supérieures aux méthodes dites classiques (pé-
riodogramme, Welch, etc...), lorsque l’on ne dispose que d’un
faible nombre d’échantillons   . L’étude proposée en [6] montre
que la fréquence estimée est fonction de la phase à l’origine et
de   . Par ailleurs, la variance de la fréquence correspondant au
maximum du spectre obtenu par analyse autorégressive d’ordre
élevé du signal est approximativement inversement proportion-
nelle au carré du rapport signal sur bruit (  ) et de   [5].
L’influence de la fréquence d’échantillonnage, sur le biais d’es-
timation, a été étudiée en [2].
Dans ce travail, nous proposons des résultats nouveaux concer-
nant les propriétés statistiques des quatre méthodes d’estima-
tion précitées. Pour chacun des estimateurs, nous proposons
une expression analytique approchée pour le biais et la va-
riance de l’estimation, en fonction de la fréquence recherchée,
du nombre de points utilisés et du rapport signal sur bruit.
2 Modèle du signal
L’étude des propriétés statistiques des quatre estimateurs ci-
tés précédemment (B, NB, COV et CM) est basée sur l’utilisa-
tion de   observations d’un signal réel 
	 , cosinusoïdal, de
fréquence  , échantillonné à la fréquence  et noyé dans un
bruit blanc additif gaussien 
	 :

	ﬁﬀﬂ
ﬃ !!	"$#%"$
	'& (1)
où 	)(+* ,- -  /.102 , # est une phase initiale aléatoire unifor-
mément répartie dans * ,& ﬃ 2 ,  35476
4ﬁ8
est la fréquence réduite
du signal. On considère le cas où 
	 est à moyenne nulle
( 9:;, ) et de variance <>=
:
. On notera par la suite RSB @?BA
=DC
A
E
:
le rapport Signal sur Bruit.
Dans ce travail, nous proposons une analyse autorégressive
d’ordre ﬃ de 
	 basée sur l’équation aux différences suivante
[3], [4] :

	"$FGH
	
.I0
>"JF
=

	
.
ﬃ7KLK
	'& (2)
où LK
	 représente l’erreur de prédiction du modèle. Ce filtre
prédicteur est caractérisé par la fonction de transfert en M sui-
vante : N
OMPK
0
0
"JFG'MQ
G
"JF
=
MQ
=
-
L’estimation de la fréquence est alors donnée par l’argument
des pôles complexes de
N
OMP :
 
 ! 
0

"
0
ﬃ
arcsin

 
FG
ﬃ
 
F
=
& (3)
où
 
FG et
 
F
=
désignent les estimations des coefficients autoré-
gressifs FG et F
=
.
3 Démarche méthodologique
Les coefficients
 
F G et
 
F
=
estimés à partir des mesures de 
	
sont obtenus par la résolution d’un système d’équation du type
Yule Walker d’ordre ﬃ :

 
FG
 
F
=
	

.
& (4)
où  et  désignent respectivement la matrice et le vecteur
d’autocorrélation du signal 
	 .
Les différents algorithmes étudiés diffèrent entre eux par les
moyens de calculer les termes  et  .
L’objectif de ce travail est de trouver une expression appro-
chée du biais et de la variance d’estimation pour chacune des
méthodes citées. Plus précisément, nous nous intéressons au
cas où  ! est proche de ,- ﬃ , où   G est faible et où le rap-
port signal sur bruit est élevé. Dans ces conditions, le terme


=


A
est proche de , , et la fonction arcsinus de l’équation (3)
peut être approchée par
arcsin  % "  ﬁﬀ'-
L’équation (3) devient alors :
 
 !ﬂ
0
 "
0



 
FG

 
F
=

- (5)
Dans ce travail, nous proposons pour chacune des  mé-
thodes précitées, le calcul analytique des estimations de l’auto-
corrélation de 
	 . Les résultats font apparaître un terme dé-
terministe correspondant à l’autocorrélation théorique de 
	 ,
auquel s’ajoute un terme aléatoire dépendant de   , # et 
	 .
Ces erreurs d’estimation se traduisent par une solution aléa-
toire de l’équation (4) qui, introduite en (5), donne pour   une
estimation bruitée.
Ainsi, nous obtenons pour les quatre algorithmes, un déve-
loppement limité simple de la fréquence d’estimation
 
 ! , en
fonction des données du problème :   ,   , RSB, # et 
	 .
Nous présentons ci-après l’ensemble de cette démarche dans
le cas de la méthode de l’autocorrélation biaisée. La transposi-
tion de ce travail aux cas NB, COV et CM suit la même logique
et n’est pas détaillée par la suite.
4 Étude du biais
4.1 Méthode de l’autocorrélation Biaisée (B)
Le système à résoudre, équivalent à l’équation (4), est le sui-
vant [3] :

 
ﬃ !
O,ﬁ
 
ﬃ !

0

 
ﬃ
!

.0

 
ﬃ
!
O,ﬁ
	

 
FG
 
F
=
	

.

 
ﬃ !

0

 
ﬃ
!

ﬃ7
	
(6)
où
 
ﬃ
!

	 représente l’estimation biaisée de l’autocorrélation
en 	 :
 
ﬃ

!

	
0
 

Q " #$" Q
G
% & '

)(
 
	 "*(
 pour 	,+ ,
 
ﬃ

!

	
 
ﬃ

!

.
	 pour 	,- ,-
En introduisant l’expression de 
	 dans
 
ﬃ.!

	 , il vient :
 
ﬃ

!
O,ﬁK

=
ﬃ
"

=
ﬃ
 
	PG
ﬀ0/ 132
"J<
=
:
"$ G
 
ﬃ

!

0
K
 =
ﬃ
  .I0
  ﬁﬀﬂ32!>"
 =
ﬃ
 
	
=
ﬀ0/ 132!
"I
=
 
ﬃ

!

ﬃ7K
 =
ﬃ
  .
ﬃ
  ﬁﬀﬂ
ﬃ42ﬂ"
 =
ﬃ
 
	
ﬀ
ﬀ0/ 132!
"$
ﬀ
avec 2  ﬃ ! et 	5  ﬁﬀ>* 2ﬁ
  .I0
>"$ﬃ7#
2
ﬀ0/ 1 
 
"
0 .
6
72! .
Les 	5 et les 5 sont des variables aléatoires à moyenne nulle,
caractérisant les erreurs d’estimation des autocorrélations. Les
	5 dépendent de la phase aléatoire et du nombre de points   , et
les 5 , indépendants des 	5 , sont relatifs à la présence du bruit
additif.
Un développement limité de la fréquence estimée
 
 ! autour
de  ! ;,- ﬃ , de  ;, et de   RSB
G98 RSB 
0
est donné par
 
 !ﬂ
G
:
"<;  !
.
G
:>=ﬂ?
RSB
G98 RSB
.
G
A@
.
G
=CB
?ﬁ#
A

"
=
:
A
?
A
RSB
G98 RSB @ -
(7)
Cette expression fait apparaître un terme déterministe et un
terme aléatoire dépendant uniquement des termes à moyenne
nulle (
=
et 	
=
. Le biais de
 
 ! , défini par Biais

ED *
 
 !
2%.
 ! ,
est alors donné par :
Biais



 !
.
0



RSB
0
" RSB
.
0
 
.I0

- (8)
Une analyse statistique de type Monte Carlo a permis de
valider cette expression approchée. La FIGURE 1 montre par
exemple les résultats obtenus pour un rapport signal sur bruit
de 0 , dB. Ce résultat fait apparaître une très bonne concordance
entre les simulations de Monte Carlo et la formule approchée
pour une large plage de valeurs de   et de   .
4.2 Méthode de l’autocorrélation Non Biaisée (NB)
La démarche proposée précédemment reste quasiment iden-
tique pour le cas de l’autocorrélation non biaisée. Le système à
résoudre dans ce cas est le suivant [3] :

 
ﬃ

!
O,ﬁ
 
ﬃ

!

0

 
ﬃ


!

.0

 
ﬃ


!
O,ﬁ
	

 
FG
 
F
=F	

.

 
ﬃ

!

0

 
ﬃ


!

ﬃ7
	
(9)
où
 
ﬃ

!

	 désigne l’estimation non biaisée de l’autocorréla-
tion en 	 donnée par
 
ﬃ


!

	K
0
  .HG
	
G

Q " #$" Q
G
% & '

)(
 
	3"*(
 pour 	,+ ,
 
ﬃ


!

	K
 
ﬃ


!

.
	 pour 	,- ,-
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
f0=0.15
f0=0.20
f0=0.25
f0=0.30
f0=0.35
Nombre de points N
Bi
ai
s 
re
la
tif
s 
en
 p
ou
rc
en
t
FIG. 1 – Biais relatif en pourcent de l’estimation de fréquence
par la méthode de l’autocorrélation biaisée, pour un rapport
signal sur bruit de 0 , dB : analyse de Monte Carlo (courbe –)
et biais approché par l’équation (8) (courbe   ).
Les résultats obtenus par le développement limité montrent
que
Biais 



 !
.
0



.


"


RSB
0
" RSB "
0

RSB =

0
" RSB 
=

-
(10)
4.3 Méthode de la Covariance (COV)
Le système à résoudre est le suivant [3] :

 

	
!

0
&
0

 

	
!

0
& ﬃ7
 

	
!

ﬃ &
0

 

	
!

ﬃ & ﬃ7
	

 
FG
 
F
=F	

.

 

	
!

0
& ,ﬁ
 

	
!

ﬃ & ,ﬁ
	
&
avec,
 


	
!

	%& (
K
0
  .
ﬃ

Q
G
%

'
=
 L
.
	  L
.
(
'-
Le développement limité obtenu est donné par :
Biais 
	 
.
0
0
" RSB

 !
.
0


(11)
4.4 Méthode de la Covariance Modifiée (CM)
Le système d’équation à résoudre est le suivant [3] :

 

!

0
&
0

 

!

0
& ﬃ7
 

!

ﬃ &
0

 

!

ﬃ & ﬃ7
	

 
FG
 
F
=F	

.

 

!

0
& ,ﬁ
 

!

ﬃ & ,ﬁ
	
&
avec,
 

!

	%& (
K
G
=

Q
=


Q
G


'
=
 L
.
	  L
.
(

"

Q
ﬀ


'

 L "$	  L "*(

	
-
Soit :
 


!

	%& (
K
0
ﬃ

 


	
!

	%& (
"
 


	
!

ﬃ
.
	%& ﬃ
.
(
 -
Pour cette méthode, les résultats obtenus sont équivalents à
ceux obtenus dans le cas de la méthode de la covariance. Ainsi :
Biais   Biais 
	 (12)
La FIGURE 2 permet de confronter les tests de Monte Carlo
aux résultats du biais de l’estimateur basé sur le calcul des co-
variances modifiées pour un signal de rapport signal sur bruit
de  dB. L’analyse de Monte Carlo conforte l’équation (12),
démontrant par la même occasion l’influence négligeable du
nombre de points utilisés sur le biais de l’estimateur pour cette
méthode.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−10
−5
0
5
10
15
20
f0=0.35
f0=0.30
f0=0.25
f0=0.20
f0=0.15
Nombre de points N
Bi
ai
s 
re
la
tif
s 
en
 p
ou
rc
en
t
FIG. 2 – Biais relatif en pourcent de l’estimation de fréquence
par la méthode de la covariance modifiée pour un rapport
signal sur bruit de  dB : analyse de Monte Carlo (courbe –)
et biais approché par l’équation (12) (courbe   ).
Au terme de cette première partie du travail, nous dispo-
sons pour chacune des quatre méthodes des formules appro-
chées, simples mais précises du biais de l’estimation. Celles-ci
nous permettent de caractériser chacun de ces algorithmes dans
des configurations données. Les résultats montrent que la mé-
thode de l’autocorrélation biaisée est beaucoup plus sensible
au nombre de points   . Enfin, il apparaît clairement que la
fréquence recherchée influence notablement sur la qualité de
l’estimation. En particulier, nous notons que le biais devient
nul pour  %,3 G: , ce qui a été montré auparavant dans [2].
5 Étude de la variance
Nous nous proposons de déterminer une formule approchée
de la variance dans le cas optimal où la fréquence est proche de
,- ﬃ .
Pour la méthode de l’autocorrélation biaisée, le calcul de la
variance de l’estimation de   à partir de l’expression appro-
chée (7) donne :
Var


0


=

Var
#
A
 
=
"

Var :
A
RSB =

:

0
" RSB 
=

&
où les termes Var :
A
et Var
#
A
désignent respectivement les va-
riances des termes indépendants 	
=
et 
=
de l’expression (7).
La détermination de ces deux termes pour  ﬂ;,- ﬃ donne :
Var


0


=
 

0
ﬃ
  "
0

0
"J 
=

(13)
L’analyse de la méthode de l’autocorrélation non biaisée abou-
tit à un résultat identique :
Var 

 Var

(14)
L’étude des méthodes de covariance et de covariance modi-
fiée donne :
Var 
	  Var  
0


=
 
0

0
"J 
=

0
"

 

-
(15)
Une analyse statistique de la variance des différents estima-
teurs a été menée. Celle-ci a permis de valider les résultats obte-
nus ci-dessus : les variances des estimateurs notés B et NB sont
équivalentes. Il en va de même pour les variances des estima-
teurs COV et CM. De plus, pour chacune des quatre méthodes,
l’influence de la fréquence recherchée   peut être négligée en
première approximation. En effet, les tests de Monte Carlo ont
montré que les variances des estimations pour des fréquences
différentes de  I ,- ﬃ sont au plus supérieures de ﬃ dB à
celles données par les formules (13) et (15). La FIGURE 3 pré-
sente les variances d’estimation obtenues par analyse de Monte
Carlo pour un rapport signal sur bruit de 0 , dB et une fréquence
 ! ,& ﬃ , pour les méthodes de l’autocorrélation biaisée et de
la covariance, ainsi que les développements limités associés.
101 102 103
−65
−60
−55
−50
−45
−40
−35
Va
ria
nc
e 
de
 l’e
st
im
at
io
n 
10
 lo
g 1
0(v
ar)
Nombre de points N
FIG. 3 – Variances d’estimation de la fréquence   obtenues
par tirages de Monte Carlo pour les méthodes de l’autocor-
rélation biaisée (courbe - -) et de la covariance (courbe –)
et variances approchées par les équations (13) et (15) propo-
sées pour l’autocorrélation biaisée (courbe   ) et la covariance
(courbe   ). Le rapport signal sur bruit est de 0 , dB.
Ces résultats montrent que la variance de l’estimation de la
fréquence  ! par la méthode de la covariance modifiée est de
l’ordre de 0 , Q

pour un nombre de points égal à ﬃ ,7, , et pour
un rapport signal sur bruit de 0 , dB. Une précision de cet ordre
ne peut pas être obtenue par des méthodes classiques telles que
le périodogramme, pour un nombre de points aussi faible.
6 Conclusion
L’étude qui est présentée dans cet article nous permet de pro-
poser des formules approchées du Biais et de la variance d’es-
timation de quatre estimateurs de fréquence basés sur une mo-
délisation autorégressive du signal. Ces formules analytiques
simples et précises nous permettent d’étudier le comportement
de ces estimateurs par rapport aux données du problème : fré-
quence recherchée, nombre de points utilisés et rapport Signal
sur Bruit. En outre, ces résultats permettent de comparer les
qualités et les défauts des différentes techniques d’estimation.
Les résultats obtenus ont été validés par une analyse statis-
tique de Monte Carlo pour de nombreuses configurations, et
montrent que les formules analytiques proposées sont valables
pour une assez large gamme de variation des paramètres du
problème :  ! ,   , RSB.
L’étude effectuée permet de redémontrer l’influence de la
fréquence recherchée (   ) et donc de la fréquence d’échan-
tillonnage (   ) sur les propriétés statistiques de l’estimation,
mise en évidence auparavant dans [2]. Plus précisément, le biais
d’estimation est nul quelque soit la méthode pour une fréquence
 !),- ﬃ . De plus, le biais des estimateurs basés sur le calcul
de l’autocorrélation biaisée dépend du nombre de points   uti-
lisés, contrairement aux méthodes NB, COV et CM.
Par ailleurs, de façon très grossière, la variance de la mé-
thode des covariances est inférieure de 0 , dB environ à celle
de la méthode des autocorrélations pour des rapports signal sur
bruit de l’ordre de ﬃ , dB. Pour des valeurs de   et de RSB
grandes avec   RSB, l’expression (15) se réduit à
0


=
 
RSB =
-
Ce résultat est en accord avec les remarques formulées par Sa-
kai dans [5].
Les formules obtenues peuvent être utilisées pour la mise
au point de capteurs faible coût ayant des précisions calcu-
lées a priori, et permettent de donner un intervalle de confiance
pour les mesures effectuées.
Références
[1] F. Castanié A. Ducasse, C. Mailhes. Estimation de fré-
quences : Panorama des méthodes paramétriques. Traite-
ment du signal, 15:149 – 162, 1998.
[2] F. Castanié A. Ducasse, C. Mailhes. Estimation fréquen-
tielle et échantillonnage : Les bons choix. Dix-septième
colloque GRETSI, pages 235 – 238, 1999.
[3] S. M. Kay. Modern Spectral Estimation. Prentice Hall,
1988.
[4] S. L. Marple. Digital Spectral Analysis with Applications.
Prentice Hall, 1987.
[5] H. Sakai. Statistical properties of AR spectral analysis.
IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-27:402
– 409, 1979.
[6] D. N. Swingler. Frequency errors in MEM processing.
IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., ASSP-28:257
– 259, 1980.


Comparaison d'estimateurs de fréquence à complexité algorithmique réduite

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