Nous présentons une méthode originale de simulation d'images haute résolution dégradées par la turbulence atmosphérique. Ces images peuvent être simulées aussi bien dans le cas de fort anisoplanétisme qu'en isoplanétisme. En outre, nous prenons en compte l'aspect temporel de l'évolution de la turbulence dans le but de construire une séquence d'images dégradées prises à une fréquence d'échantillonnage donnée

BONDEAU, Christine

BOURENNANE, El-Bay

PAINDAVOINE, Michel

I-Revues

Simulation de sequences d'images haute resolution degradees
par la turbulence atmospherique
Christine Bondeau, El-Bay Bourennane, Michel Paindavoine
Laboratoire LE2I, Universite de Bourgogne
UFR Sciences et Techniques, B.P. 47870, 21078 Dijon Cedex, France
Christine.Bondeau@u-bourgogne.fr, Elbey.Bourennane@u-bourgogne.fr
Michel.Paindavoine@u-bourgogne.fr
Resume { Nous presentons une methode originale de simulation d'images haute resolution degradees par la turbulence atmo-
spherique. Ces images peuvent e^tre simulees aussi bien dans le cas de fort anisoplanetisme qu'en isoplanetisme. En outre, nous
prenons en compte l'aspect temporel de l'evolution de la turbulence dans le but de construire une sequence d'images degradees
prises a une frequence d'echantillonnage donnee.
Abstract { Here is presented an original method for the simulation of high-resolution images degraded by atmospheric tur-
bulence. These images can be simulated both in isoplanatic and strong anisoplanatic cases. Moreover, the temporal aspect of
turbulence evolution has been taken into account in order to built a sequence of degraded images taken at a xed sampling
frequency.
1 Introduction
L'etude des degradations de la turbulence sur les images
haute resolution, ainsi que des moyens de les corriger, est
a l'origine de nombreux travaux. Mais il peut e^tre interes-
sant de disposer d'une methode de simulation de ces de-
gradations. En eet, la capture reelle d'images degradees
par la turbulence necessite un equipement de pointe, com-
plexe et cou^teux. La simulation que nous proposons per-
met de s'aranchir de ce probleme. Les simulations de ce
genre qui existent font l'hypothese de l'isoplanetisme [1, 2]
ou du faible anisoplanetisme [3], ce qui est valable unique-
ment pour un champ d'observation tres etroit, comme en
astronomie. Or, nous nous interessons ici a la simulation
d'images courte pose dans le cas de la propagation hori-
zontale a travers la turbulence, sur une distance de l'ordre
d'une dizaine de kilometres seulement ; le champ d'obser-
vation est donc plus large qu'en astronomie, ce qui peut
induire au contraire un fort anisoplanetisme.
Par ailleurs, les inhomogeneites de l'atmosphere dues
a la turbulence ont une certaine duree de vie. Si l'on
lme un objet xe a une cadence assez elevee, les images
obtenues presentent une certaine correlation temporelle.
L'etude des lois d'evolution de la turbulence au cours du
temps nous a permis d'aboutir a une methode de simula-
tion d'une sequence d'images degradees prises a une fre-
quence d'echantillonnage donnee.
2 Simulation d'une image degra-
dee par la turbulence
Une onde plane emise par une source ponctuelle eloignee
et qui se propage a travers l'atmosphere subit des uc-
tuations de phase qui suivent des statistiques connues [4].
Considerons un plan perpendiculaire a la direction de pro-
pagation de l'onde et notons r le vecteur spatial a deux
dimensions permettant de reperer un point quelconque de
ce plan. La phase '(r) de l'onde perturbee 	(r) peut s'ex-
primer sous la forme d'une decomposition sur une base
orthonormee de polyno^mes de Zernike [5] :
'(r) =
K+1
X
j=2
a
j
Z
i
(r): (1)
Pour simuler un tel front d'onde, on doit generer les coe-
cients a
j
de la decomposition suivant un processus permet-
tant de respecter le modele de turbulence de Kolmogorov
communement utilise [2]. D'apres ce modele, la fonction
de structure de phase D
'
, denie par la variance des uc-
tuations de phase entre deux points separes de 
D
'
() =< j'(r)  '(r+ )j
2
>; (2)
est theoriquement telle que [6] :
D
'
() = 6:88(=r
0
)
5=3
; (3)
 etant la norme du vecteur .
2.1 Cas isoplanetique
L'image h formee par l'onde 	(r) correspond a la re-
ponse impulsionnelle de l'ensemble constitue par l'instru-
ment d'observation et l'atmosphere ; h, encore appelee fonc-
tion d'etalement de point, est donnee par le module au
carre de la transformee de Fourier de l'onde incidente sur
le systeme optique :
h() = jF[P (r)	(r)]j
2
; (4)
F etant l'operateur de la transformee de Fourier et P (r)
la fonction de transmission pupillaire :
P (r) =

1 si jrj  D=2
0 si jrj > D=2
(5)
ou D est le diametre de la pupille d'entree de l'instrument
d'observation.
La fonction h ainsi generee est spatialement invariante
dans le champ de vision , ce qui correspond a l'hypothese
d'isoplanicite, et l'image i d'un objet o est obtenue par le
produit de convolution suivant :
i() =
Z

h(  ) o() d: (6)
2.2 Cas anisoplanetique
Si le champ d'observation n'est pas extre^mement etroit,
la lumiere provenant des dierents points d'un objet etendu
ne subit pas les me^mes perturbations, puisqu'elle ne tra-
verse pas la turbulence au me^me endroit. On se trouve
alors dans le cas de l'anisoplanetisme, ou h depend de la
direction d'observation. On peut simuler une telle reponse
impulsionnelle de la facon suivante [3] :
h(;
0
) = jF[P (r  `
0
) 	(r)]j
2
; (7)

0
etant la direction d'observation. L'image i d'un objet
o est alors donnee par :
i() =
Z

h(  ;)  o() d: (8)
Cela revient a generer un unique front d'onde turbulent,
et a en selectionner une partie dierente pour le calcul de
chaque point image, en deplacant la pupille par rapport a
lui. Le parametre ` permet de contro^ler le degre de corre-
lation entre les reponses impulsionnelles associees a deux
pixels adjacents, correspondant a deux directions separees
d'un angle egal a la resolution angulaire 
0
. La Figure 1
montre que, quand ` cro^t, cette correlation atteint une
valeur minimum qui depend du rapport D=r
0
, r
0
etant le
parametre de Fried [6]. Ce minimum correspond a un cas
de fort anisoplanetisme.
Nous presentons Fig. 2 cinq exemples de simulations
realisees a partir d'une image binaire, dans un cas de fort
anisoplanetisme, en prenant D=r
0
= 3. Le caractere aniso-
planetique appara^t tres nettement puisque la deformation
subie par l'objet n'est pas la me^me d'un bout a l'autre de
l'image.
Les images de la Figure 2 sont temporellement decorre-
lees les unes des autres. Pour simuler une sequence d'images
saisies a des instants rapproches, nous devons tenir compte
de la facon dont la turbulence evolue dans le temps.
3 Simulation d'une sequence d'ima-
ges degradees par la turbulence
Les uctuations temporelles de la turbulence ont une
duree de vie de quelques millisecondes [4]. Si nous enre-
gistrons des images a des intervalles de temps plus courts,
celles-ci vont presenter une certaine correlation. Pour si-
muler une sequence de fronts d'onde turbulents, il faut
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
D/r0=3
D/r0=5
Ta
ux
 d
e 
co
rré
la
tio
n
Paramètre de déplacement de la pupille  l (·  m 0/D)
Fig. 1: Taux de correlation entre les images de deux points
sources voisins en fonction de `.
Image originale
Fig. 2: Images courte pose simulees, fort anisoplanetisme
(`
0
=D = 0:4).
contraindre le spectre temporel de puissance de la phase
du front d'onde a suivre l'allure predite par la theorie ; ceci
est realise par ltrage, aux dierents ordres j, du spectre
des coecients de la decomposition de la phase sur la base
des polyno^mes de Zernike, qui s'ecrit maintenant :
'(r; t) =
K+1
X
j=2
a
j
(t)Z
i
(r): (9)
Le but est de generer une sequence de coecients fa(t
0
);
a(t
0
+t); a(t
0
+2t);   g ou a(t) est le vecteur colonne
contenant les coecients de Zernike de la phase a l'instant
t :
a(t) = [a
2
(t)    a
K+1
(t)]
T
; (10)
et ou t correspond a la periode d'echantillonnage de la
camera. Dans la suite, on note  la frequence temporelle,
f = (f
x
; f
y
) la frequence spatiale et f son module.
Le spectre de puissance temporel w
j
() de chaque co-
ecient de Zernike a
j
(t) depend de la vitesse V et de la
direction du vent. Nous supposerons V orientee selon l'axe
x (le principe de la simulation peut e^tre extrapole ensuite
a une direction quelconque). Dans ce cas, a un ordre j
donne, w
j
est donne par [7] :
w
j
() =
1
V
Z
1
 1



f
M
j


V
; f
y




2
W
'


V
; f
y

df
y
: (11)
Dans (11),
f
M
j
(f) est la transformee de Fourier du jeme
polyno^me de Zernike [5], et W
'
est le spectre de puissance
spatial des uctuations de phase [4] :
W
'
(f) = 0:023r
 5=3
0
f
 11=3
: (12)
On a vu que l'on pouvait generer des echantillons de phase
temporellement decorreles les uns des autres. Considerons
N echantillons de cette sorte, generes pour un me^me rap-
port D=r
0
, chacun etant represente par ses K premiers
coecients de Zernike fa
j
; j = 2   K + 1g. L'ensemble
de ces coecients est stocke dans une matrice de donnees
A. Les N donnees, c'est-a-dire les echantillons de phase,
y sont representees en colonnes par leurs K composantes,
qui sont les coecients de Zernike fa
2
;    ; a
K+1
g. La ma-
trice W de covariance de ces donnees initiales est donnee
par :
W = AA
T
; (13)
Soient, la matrice des valeurs propres deW rangees par
ordre decroissant, et P , la matrice des vecteurs propres
correspondants. Ces vecteurs sont appeles axes principaux ;
les premiers d'entre eux indiquent les directions de va-
riances maximales des donnees.
Par ailleurs, on construit un ensemble de K signaux
aleatoires fy
j
(t); j = 2   K + 1g dont le spectre de puis-
sance temporel correspond au spectre theorique w
j
() de
a
j
(t) pour chaque j. Ceci est realise en ltrant le spectre
de puissance de K signaux de type bruit blanc gaussien
par le spectre w
j
() correspondant. Les y
j
(t) sont rassem-
bles sous forme de vecteurs lignes y
j
dans une matrice Y ,
qui est ensuite projetee sur les vecteurs propres de W , et
l'on obtient :
Z = P
T
Y : (14)
La matrice Z contient ainsi les coordonnees des projec-
tions de chaque donnee dans le systeme forme par les axes
principaux des donnees initiales. Les donnees les plus cor-
rectes du point de vue du modele de Kolmogorov, donc
les plus semblables aux echantillons de phase de depart,
ont les coordonnees les plus elevees sur les premiers vec-
teurs propres. Cela constitue un moyen de selection des
sequences de coecients les plus appropriees pour la si-
mulation. Les donnees ainsi retenues sont projetees sur
P . Les sequences de phase que l'on obtient sont a la fois
temporellement correlees et conformes au modele de tur-
bulence de Kolmogorov.
Nous pouvons verier ce deuxieme point en comparant
la fonction de structure de la phase simuleeD
'
, calculee a
partir de sa denition (2), a sa valeur theorique (3). Nous
voyons (Fig. 3) que la fonction de structure calculee a
partir de 300 echantillons de phase (trait plein) est proche
de la courbe theorique (trait discontinu).
En exemple, la Fig. 4 montre une sequence d'images
obtenue de cette maniere. On voit clairement que l'image
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
r /D
D f
Fig. 3: Fonction de structure des phases simulees.
de l'objet evolue. Les conditions sont ici : V = 6 ms
 1
,
D=r
0
= 3 et t = 0:25 s. On est dans les me^mes condi-
tions d'anisoplanetisme que pour la Figure 2.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11
Fig. 4: Sequence d'images simulees.
4 Conclusion
Notre simulation reproduit les eets de la turbulence
en imagerie haute resolution dans un cas d'anisoplane-
tisme fort. Sur les sequences simulees, les images obtenues
montrent clairement les eets de l'anisoplanetisme et de
l'evolution temporelle de la turbulence. La delite au mo-
dele de turbulence de Kolmogorov a ete veriee. Cette
simulation est pratique lorsque l'on veut obtenir de telles
images dans un delai assez court, ou que l'on ne dispose
pas du materiel adequat pour les obtenir. Ces resultats
peuvent egalement e^tre utilises en vue d'une restauration
ulterieure.
References
[1] B.-L. McGlamery. "Computer simulation studies of
compensation of turbulence degraded images". Proc.
SPIE Conf. on Image Processing 74, pp.225-233,
1976.
[2] N. Roddier. "Atmospheric wavefront simulation using
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1990.
[3] H. Beaumont. Caracterisation de la turbulence at-
mospherique et procedure d'amelioration des images
pour des observations horizontales au-dessus de la
mer. These, 1996.
[4] F. Roddier. Progress in optics XIX, Chap. 5. E.
Wolf, North-Holland Publishing Company, Amster-
dam, 1981.
[5] R. J. Noll. "Zernike polynomials and atmospheric tur-
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[6] D. L. Fried. "Optical resolution through a randomly
inhomogeneous medium for very long and very short
exposures". J. Opt. Soc. Am. 56, pp.1372-1379, 1966.
[7] J.-M. Conan, G. Rousset et P.-Y. Madec. "Wave-
front temporal spectra in high resolution imaging
through turbulence". J. Opt. Soc. Am. 12, pp.1559-
1570, 1995.


Simulation de séquences d'images haute résolution dégradées par la turbulence atmosphérique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/13106/1/ARTI1509.pdf

Simulation de séquences d'images haute résolution dégradées par la turbulence atmosphérique

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