- Nous proposons un nouvel algorithme de subdivision qui permet la simplification des maillages triangulaires quelconques à l'aide de la transformée en ondelettes. Cet algorithme est appliqué à la compression sans pertes des maillages. Des résultats expérimentaux montrent l'efficacité de cette approche dans des représentations multirésolutions

JUNG, Ho-Youl

KIM, Yun-Sang

MAGNIN, Isabelle

PROST, Rémy

THIBON, Fabien

VALETTE, Sébastien

I-Revues

Décomposition en ondelettes de maillages triangulaires 3D
irrégulièrement subdivisés. Application à la compression.
Sébastien Valette1, Fabien Thibon1, Yun-Sang Kim1, Ho-Youl Jung2, Isabelle Magnin1 et Rémy Prost1
1CREATIS, UMR CNRS 5515, affilié à l' INSERM,
INSA 502, 69621, VILLEURBANNE, France
2
 School of Computer & Communications Eng., Yeungnam Univ.
Dae-dong, Kyongsan-city, Kyungpook, KOREA.
sebastien.valette@creatis.insa-lyon.fr, kim@creatis.insa-lyon.fr,
hoyoul@ynucc.yeungnam.ac.kr, remy.prost@creatis.insa-lyon.fr.
Résumé – Nous proposons un nouvel algorithme de subdivision qui permet la simplification des maillages triangulaires quelconques à l'aide
de la transformée en ondelettes. Cet algorithme est appliqué à la compression sans pertes des maillages. Des résultats expérimentaux montrent
l’efficacité de cette approche dans des représentations multirésolutions.
Abstract –  We propose a new subdivision process allowing the simplification of irregularly subdivided triangular meshes by the wavelet
transform. This algorithm is applied here to lossless compression of meshes. Some experimental results prove the efficiency of this approach
in multiresolution schemes.
1. Introduction
L'analyse mulirésolution de surfaces 3D reçoit actuellement
un intérêt grandissant du fait de l'accroissement de l'utilisation
d’ objets 3D dans de nombreux domaines : imagerie
médicale, infographie.
L'analyse multirésolution possède des propriétés
intéressantes: partant d'un objet haute résolution, plusieurs
approximations peuvent être générées. Les détails perdus lors
des différentes phases de simplification peuvent être restitués
à l'utilisateur s'il demande une précision plus grande. Cette
technique accélère l'affichage des surfaces et permet une
compression efficace.
Un aperçu des méthodes utilisées pour simplifier les
maillages, telles que la suppression de certains sommets [2],
la contraction des arêtes [3], les ondelettes surfaciques [4], est
présenté en [1].
Nous porterons notre attention sur la méthode de
décomposition régulière en ondelettes de Lounsbery [4] car
les ondelettes sont très efficaces pour l'analyse
multirésolution. Dans la deuxième partie, nous expliquerons
ce type de décomposition [4] et montrerons ses inconvénients
dans les applications pratiques. Dans la troisième partie, nous
proposerons une méthode de décomposition irrégulière qui
permet l'analyse multirésolution de maillages quelconques.
Dans la quatrième partie, nous montrerons que notre
proposition permet une compression efficace des maillages.
La section 5 sera consacrée aux résultats expérimentaux.
2. Décomposition en ondelettes
surfaciques.
Dans le procédé de décomposition en ondelettes surfaciques,
un maillage "germe" (par exemple un tétraèdre, figure 1.a) est
subdivisé (figure 1.b) et déformé (figure 1.c) pour qu'il
épouse la surface à approximer. Le processus de subdivision
consiste simplement à partager chaque triangle du maillage en
quatre nouveau triangles. Ces opérations sont itérées jusqu'à
la précision souhaitée.
a)    b)           c)
Figure 1 : Le processus de subdivision
 L'analyse multirésolution est ensuite réalisée à l'aide de deux
filtres Aj et Bj pour chaque niveau de résolution j. La
reconstruction est assurée par les deux filtres de synthèse Pj et
Qj. Ces filtres sont représentés sous une forme matricielle. Si
nous appelons Ci la matrice N(j)x3 donnant les coordonnées
de chaque sommet du maillage à la résolution j, les relations
suivantes apparaissent:
Cj=Aj+1.Ci+1 (1)
Dj=Bj+1.Cj+1 (2)
Cj+1= Pj.Cj+Qj.Dj (3)
Dj représente les coefficients d'ondelettes, nécessaires pour
reconstruire Cj+1 en partant de Cj. Le procédé de lifting [6] est
utilisé pour construire une base d'ondelettes orthogonales aux
fonctions d'échelle (fonctions "chapeau")  dans un espace 3D
fixé par la topologie du maillage. Sans le procédé de lifting,
l'analyse multirésolution consisterait en un simple sous
échantillonnage du maillage ; avec le lifting, le maillage à la
résolution j est la meilleure approximation au sens des
moindres carrés du maillage au niveau j+1. L'outil primordial,
utilisé lors du lifting, est le produit scalaire entre deux
fonctions.
Lounsbery a utilisé la définition suivante :
< >=
æ
Ł
ç
ö
ł
÷
˛
˛
ò
å
f g K
aire
f s g s dsj
sM
, ( ) ( ). ( ).( ) t
t
t D
(4)
D (M)  est l'ensemble des triangles t  du maillage et Kj est une
constante pour un niveau de résolution donné (Kj=4-j). Il faut
remarquer que cette formulation induit l'hypothèse que les
triangles du maillage possèdent tous la même aire. Une
conséquence directe est qu'un maillage à la résolution j sera
effectivement la meilleure approximation d'un maillage à la
résolution j+1 seulement si les aires des différents triangles
sont égales. La figure 2.b illustre les effets du lifting appliqué
sur une fonction ondelette non orthogonalisée (figure 2.a).
a) b)
Figure 2 : fonctions ondelettes en 3D
Les ondelettes surfaciques constituent un outil puissant pour
l'analyse multirésolution. Toutefois, dans le processus de
simplification, l'inconvénient majeur est la fusion
systématique des faces par groupes de 4. Si le maillage ne
permet pas de telles fusions sur son intégralité, un
rééchantillonnage du maillage devient obligatoire et conduit à
un maillage ayant plus de faces que l'original [5]. Le but de ce
travail est donc de résoudre ce problème en généralisant le
processus de subdivision, comme le décrit le chapitre suivant.
3. Proposition de subdivision irrégulière 
Dans la méthode proposée ici, le processus de subdivision est
modifié: chaque face du maillage n'est pas systématiquement
subdivisée en 4 faces, mais peut aussi être partagée en 3 ou 2
faces, ou rester inchangée. Un exemple de quatre subdivisions
possibles est montré dans la figure 3.
Ce changement nous permet de simplifier les maillages même
si certaines faces ne peuvent être fusionnées 4 par 4. L'étape
de simplification fait entrer en jeu un algorithme qui fusionne
les faces d'un maillage donné, en respectant certaines
contraintes établies par le processus de subdivision. La figure
4 donne un exemple où l'algorithme réduit un ensemble de 15
faces en 6 faces, en formant un groupe de 4 faces (G2), deux
de 3 faces (G3, G6), deux groupes de 2 faces (G1 et G4) et en
laissant une face intacte (G5).
Figure 3 : Quelques cas de subdivision
G1
G2
G3
G6 G5
G4
Figure 4 : un exemple de simplification
Afin de faciliter la simplification du maillage haute résolution
et d’éviter une recherche exhaustive, une modification de
celui-ci est permise, facilitant la simplification. Durant cette
modification, certains segments voient leurs sommets
changer, comme le montre la figure 5. Il faudra donc
mémoriser cette étape pour retrouver exactement le maillage
original lors de la reconstruction, garantissant ainsi la
réversibilité du procédé.
Figure 5 : une modification de maillage
Il reste ensuite à réaliser l'approximation du maillage haute
résolution avec le maillage simplifié, à l'aide de la méthode de
Lounsbery, nous fournissant ainsi les filtres Aj, Bj, Pj et Qj.
Nous proposons ici une reformulation du produit scalaire
entre deux fonctions. Dans (4) Kj devient Kj( t ) et varie selon
la face considérée. Par exemple, pour une face se partageant
en trois durant la subdivision : Kj( t )=3 et pour les trois faces
résultantes de cette subdivision : Kj+1( t )=1. Ce choix tient
compte des différences d'aires entre les triangles (la face
initiale sera approximativement trois fois plus grande que les
faces résultantes)
4. Compression sans pertes
Une surface 3D est représentée par les coordonnées des
sommets des faces, ainsi que par leur connectivité. Le nombre
de bits nécessaires à la définition des sommets dépend de la
dynamique des coordonnées. Par exemple, si un objet 3D est
borné par un cube d’arête de longueur L=1024, 10 bits par
coordonnées sont nécessaires, soit 30 bits par sommet.
Dans le cas général, le nombre de bits nécessaire au codage
de chaque sommet est :
Bs=3log2(L) (5)
 Le nombre de bits nécessaires au codage de la connectivité
d’une face à la résolution j dépend directement du nombre de
sommets Nsj et vaut :
Bjf=3log2(Nsj) (6)
Dans notre approche multirésolution, il est nécessaire de
coder l’objet à la résolution la plus basse et les informations
nécessaires pour reconstruire la surface à un niveau supérieur,
pour tous les niveaux de résolution. Ces dernières
informations sont des coefficients d’ondelettes et les
caractéristiques des subdivisions de chaque face.
Le codage de la surface à la plus basse résolution est basé sur
un algorithme de découpage de la surface détaillé en [8]. Ce
découpage permet un codage efficace des faces (méthode
arborescente) et des coordonnées des sommets (méthode
prédictive). L’expérience a montré que le codage optimal était
atteint en employant une prédiction linéaire à deux ancêtres.
Le codage des coefficients d’ondelettes est réalisé par codage
entropique (codeur arithmétique). Ce choix résulte de
l’observation de la concentration de l’histogramme des
coefficients d’ondelettes autour de la valeur zéro.
Le codage des caractéristiques des subdivisions est réalisé
en donnant la liste des nouveaux sommets qu’elles
engendrent : si Nsj est le nombre de sommets d’un maillage,
Nfj le nombre de faces et Naj le nombre d’arêtes, on peut
établir l’approximation :
Nfj=Naj=2.Nsj (7)
Il  faudra, pour chaque segment, déterminer si un sommet doit
y être créé, ce qui représente un total de Naj=Nfj bits. Il
faudra aussi, pour les faces subdivisées en 2 ou 3 (Figure 5),
des informations supplémentaires pour déterminer
précisément leur type de subdivision. Ces informations
nécessitent un maximum de deux bits par face, ce qui se
traduit par un coût supplémentaire maximum de 2.Nfj bits.
Face qui se subdivise en 3 :
1 bit supplémentaire
               0
                1
Face qui se subdivise en 2 :
1 ou 2 bits supplémentaires
               0
                1
                      0
                       1
Figure 5: subdivisions nécessitant un surplus d’information
La quantité totale d’information à transmettre sera donc au
maximum égale à 3.Nf bits. Lors du passage d’un niveau de
résolution au niveau supérieur, le nombre de faces et de
sommets double en moyenne. Les subdivisions auront donc
créé Nf nouvelles faces, à partir d’une quantité de 3*Nf bits.
Ces nouvelles faces auront donc été codées en moyennes sur
3 bits/face. Nous avons donc d’après (5), (6), et (7):
å
=
D+=
j
k
kj NNN
1
0 (8)
11 33 -- +=D jjjjcoeff
j NfNsHN a (9)
1@a (10)
j
jjj
j
N
NsNfLNsT )(log3)(log3 22 += (11)
jN  est la quantité d’information (en bits) nécessaire au
codage de la surface à la résolution j.
D
N j  est la quantité d’information (en bits) nécessaire pour
passer de la résolution j-1 à la résolution j.
 Hcoeff
j
 est l’entropie des coefficients d’ondelettes à la
résolution j.
 
jT est le taux de compression pour une représentation au
niveau de résolution j.
On notera que la compression réalisée est sans pertes, grâce à
l'utilisation d'une arithmétique sur des nombres entiers, en
accord avec [9]. Une compression avec pertes controlées est
possible en ne stockant ou en ne transmettant que les
coefficients d'ondelettes les plus grands.
5. Resultats
Le tableau 1 illustre les résultats obtenus avec notre méthode
sur un maillage du cœur. Le maillage initial est une
triangulation construite selon [7], dont les coordonnées sont
codées sur 7 bits. Le nombre d’octets situé au dessous du
nombre de faces est le volume de données nécessaire pour
reconstruire le niveau concerné en partant du niveau qui le
précède (pour le niveau 0, il s’agit du volume de données
nécessaire pour le construire)
Le tableau 2 donne des résultats supplémentaires sur divers
maillages : cerveau, torse et poumon.
Nous pouvons remarquer qu'aux niveaux de résolution
intermédiaires, utiles dans les applications pratiques, la
qualité de l'approximation reste bonne en termes de forme et
de taille du volume 3D.
Tableau 1 : résultats sur un maillage du coeur
Niveau 6
1008 faces
413 octets
Niveau 5
446 faces
226 octets
Niveau 4
208 faces
123 octets
Niveau 3
94 faces
65 octets
Niveau 2
46 faces
36 octets
Niveau 1
22 faces
22 octets
Niveau 0
8 faces
40 octets
Bilan global :
fichier original : 4730 octets
fichiers compressés : 925 octets
Taux de compression : 5.1 : 1
Tableau 2 : résultats complémentaires
Original
3584 faces
8 niveaux
Niveau 4
524 faces
Fichier original :
19493 octets
Fichier compressé :
3246 octets
Taux de
compression :
6 : 1
original
4454 faces
10 niveaux
Niveau 5
306 faces
Fichier original :
25894 octets
Fichier compressé :
4062 octets
Taux de
compression :
6.4 : 1
Original
1916 faces
10 niveaux
Niveau 5
168 faces
Fichier original :
9705 octets
Fichier compressé :
1801 octets
Taux de
compression :
5.4 : 1
6. Conclusion :
Nous avons proposé une nouvelle méthode permettant de
réaliser une analyse multirésolution sur des maillages
triangulés quelconques. Contrairement à [4], où une refonte
du maillage doit être effectuée pour le simplifier, notre
procédé s'applique directement sur la surface originale. Cette
méthode concerne de nombreuses applications potentielles,
comme la compression de maillages, la transmission
progressive et l'affichage accéléré.
Remerciements: les auteurs remercient  les professeurs E.
Rittman et R. Robb pour la fourniture des données
angiographiques, et J. Lotjonen pour la construction des
maillages originaux.
Ce travail de recherche s'inscrit dans les thématiques
scientifiques du PRC-GDR ISIS.
Références:
[1] P. S. Heckbert, M. Garland, Survey of polygonal surface
simplification algorithms, School of computer science,
Carnegie Mellon University, Pittsburgh. URL :
http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/user/garland/www/multires/sur
-vey.html
[2] M. Soucy, D. Laurendau, Multiresolution surface
modeling based on hierarchical triangulation,  Computer
vision and image understanding, volume 63, No 1, January
1996, pages 1-14.
[3] H. Hoppe, Progressive meshes. Computer Graphics
(SIGGRAPH '96 Proceedings), pages 99-108. URL :
http://www.research.microsoft.com/~hoppe/
[4] M. Lounsbery. Multiresolution Analysis for Surfaces of
Arbitrary Topological Type. PhD thesis, Dept. of Computer
Science and Engineering, U. of Washington, 1994.
URL : ftp.cs.washington.edu/pub/graphics/LounsPhd.ps.Z
[5] M. Eck, T. DeRose, T. Duchamp, H. Hoppe, M.
Lounsbery and Werner Stuetzle. Multiresolution Analysis of
Arbitrary Meshes. Technical report #95-01-02, Janvier 1995.
URL: http://www.cs.washington.edu/research/projects/grail2/
www/pub/abstracts.html
[6] Wim Sweldens, The Lifting Scheme : A Custom-Design
Construction of Biorthogonal Wavelets, Applied and
Computational Harmonic Analysis, Vol. 3, No. 2, April
1996, pp.186-200.
[7 ] J. Lotjonen, P.J. Reissman, I.E. Magnin, J. Nenonen and
T. Katila, A triangulation method of an arbitrary point set
for biomagnetic problem, IEEE Trans. on Magnetics, Vol
34, No 4, July 1998
[8] G. Taubin, J. Rossignac, Geometric Compression
Through Topological Surgery, IBM Research Report. URL :
http://www.research.ibm.com/vrml/binary/
[9] H.Y. Jung, R. Prost, Lossless Subband Coding System
Based on Rounding Transform, IEEE Trans. On Signal
Processing, vol. 46, No 9, pp. 2535-2540, Sept. 1998.


Décomposition en ondelettes de maillages triangulaires 3D irrégulièrement subdivisés. Application à la compression

International audienceNous proposons un nouvel algorithme de subdivision qui permet la simplification des maillages triangulaires quelconques à l'aide de la transformée en ondelettes. Cet algorithme est appliqué à la compression sans pertes des maillages. Des résultats expérimentaux montrent l'efficacité de cette approche dans des représentations multirésolutions. Abstract-We propose a new subdivision process allowing the simplification of irregularly subdivided triangular meshes by the wavelet transform. This algorithm is applied here to lossless compression of meshes. Some experimental results prove the efficiency of this approach in multiresolution schemes

Valette, Sébastien

Thibon, Fabien

Kim, Yun-Sang

Jung, Ho-Youl

Magnin, Isabelle

Prost, Rémy

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Décomposition en ondelettes de maillages triangulaires
3D irrégulièrement subdivisés. Application à la
compression
Sébastien Valette, Fabien Thibon, Yun-Sang Kim, Ho-Youl Jung, Isabelle
Magnin, Rémy Prost
To cite this version:
Sébastien Valette, Fabien Thibon, Yun-Sang Kim, Ho-Youl Jung, Isabelle Magnin, et al.. Décomposi-
tion en ondelettes de maillages triangulaires 3D irrégulièrement subdivisés. Application à la compres-
sion. GRETSI, 1999, Vannes, France. ￿hal-02272283￿
Décomposition en ondelettes de maillages triangulaires 3D
irrégulièrement subdivisés. Application à la compression.
Sébastien Valette1, Fabien Thibon1, Yun-Sang Kim1, Ho-Youl Jung2, Isabelle Magnin1 et Rémy Prost1
1CREATIS, UMR CNRS 5515, affilié à l' INSERM,
INSA 502, 69621, VILLEURBANNE, France
2
 School of Computer & Communications Eng., Yeungnam Univ.
Dae-dong, Kyongsan-city, Kyungpook, KOREA.
sebastien.valette@creatis.insa-lyon.fr, kim@creatis.insa-lyon.fr,
hoyoul@ynucc.yeungnam.ac.kr, remy.prost@creatis.insa-lyon.fr.
Résumé – Nous proposons un nouvel algorithme de subdivision qui permet la simplification des maillages triangulaires quelconques à l'aide
de la transformée en ondelettes. Cet algorithme est appliqué à la compression sans pertes des maillages. Des résultats expérimentaux montrent
l’efficacité de cette approche dans des représentations multirésolutions.
Abstract –  We propose a new subdivision process allowing the simplification of irregularly subdivided triangular meshes by the wavelet
transform. This algorithm is applied here to lossless compression of meshes. Some experimental results prove the efficiency of this approach
in multiresolution schemes.
1. Introduction
L'analyse mulirésolution de surfaces 3D reçoit actuellement
un intérêt grandissant du fait de l'accroissement de l'utilisation
d’ objets 3D dans de nombreux domaines : imagerie
médicale, infographie.
L'analyse multirésolution possède des propriétés
intéressantes: partant d'un objet haute résolution, plusieurs
approximations peuvent être générées. Les détails perdus lors
des différentes phases de simplification peuvent être restitués
à l'utilisateur s'il demande une précision plus grande. Cette
technique accélère l'affichage des surfaces et permet une
compression efficace.
Un aperçu des méthodes utilisées pour simplifier les
maillages, telles que la suppression de certains sommets [2],
la contraction des arêtes [3], les ondelettes surfaciques [4], est
présenté en [1].
Nous porterons notre attention sur la méthode de
décomposition régulière en ondelettes de Lounsbery [4] car
les ondelettes sont très efficaces pour l'analyse
multirésolution. Dans la deuxième partie, nous expliquerons
ce type de décomposition [4] et montrerons ses inconvénients
dans les applications pratiques. Dans la troisième partie, nous
proposerons une méthode de décomposition irrégulière qui
permet l'analyse multirésolution de maillages quelconques.
Dans la quatrième partie, nous montrerons que notre
proposition permet une compression efficace des maillages.
La section 5 sera consacrée aux résultats expérimentaux.
2. Décomposition en ondelettes
surfaciques.
Dans le procédé de décomposition en ondelettes surfaciques,
un maillage "germe" (par exemple un tétraèdre, figure 1.a) est
subdivisé (figure 1.b) et déformé (figure 1.c) pour qu'il
épouse la surface à approximer. Le processus de subdivision
consiste simplement à partager chaque triangle du maillage en
quatre nouveau triangles. Ces opérations sont itérées jusqu'à
la précision souhaitée.
a)    b)           c)
Figure 1 : Le processus de subdivision
 L'analyse multirésolution est ensuite réalisée à l'aide de deux
filtres Aj et Bj pour chaque niveau de résolution j. La
reconstruction est assurée par les deux filtres de synthèse Pj et
Qj. Ces filtres sont représentés sous une forme matricielle. Si
nous appelons Ci la matrice N(j)x3 donnant les coordonnées
de chaque sommet du maillage à la résolution j, les relations
suivantes apparaissent:
Cj=Aj+1.Ci+1 (1)
Dj=Bj+1.Cj+1 (2)
Cj+1= Pj.Cj+Qj.Dj (3)
Dj représente les coefficients d'ondelettes, nécessaires pour
reconstruire Cj+1 en partant de Cj. Le procédé de lifting [6] est
utilisé pour construire une base d'ondelettes orthogonales aux
fonctions d'échelle (fonctions "chapeau")  dans un espace 3D
fixé par la topologie du maillage. Sans le procédé de lifting,
l'analyse multirésolution consisterait en un simple sous
échantillonnage du maillage ; avec le lifting, le maillage à la
résolution j est la meilleure approximation au sens des
moindres carrés du maillage au niveau j+1. L'outil primordial,
utilisé lors du lifting, est le produit scalaire entre deux
fonctions.
Lounsbery a utilisé la définition suivante :
< >=



∈∈ ∫∑f g
K
aire
f s g s dsj
sM
, ( ) ( ). ( ).( ) τ ττ ∆
(4)
∆(M)  est l'ensemble des triangles τ du maillage et Kj est une
constante pour un niveau de résolution donné (Kj=4-j). Il faut
remarquer que cette formulation induit l'hypothèse que les
triangles du maillage possèdent tous la même aire. Une
conséquence directe est qu'un maillage à la résolution j sera
effectivement la meilleure approximation d'un maillage à la
résolution j+1 seulement si les aires des différents triangles
sont égales. La figure 2.b illustre les effets du lifting appliqué
sur une fonction ondelette non orthogonalisée (figure 2.a).
a) b)
Figure 2 : fonctions ondelettes en 3D
Les ondelettes surfaciques constituent un outil puissant pour
l'analyse multirésolution. Toutefois, dans le processus de
simplification, l'inconvénient majeur est la fusion
systématique des faces par groupes de 4. Si le maillage ne
permet pas de telles fusions sur son intégralité, un
rééchantillonnage du maillage devient obligatoire et conduit à
un maillage ayant plus de faces que l'original [5]. Le but de ce
travail est donc de résoudre ce problème en généralisant le
processus de subdivision, comme le décrit le chapitre suivant.
3. Proposition de subdivision irrégulière 
Dans la méthode proposée ici, le processus de subdivision est
modifié: chaque face du maillage n'est pas systématiquement
subdivisée en 4 faces, mais peut aussi être partagée en 3 ou 2
faces, ou rester inchangée. Un exemple de quatre subdivisions
possibles est montré dans la figure 3.
Ce changement nous permet de simplifier les maillages même
si certaines faces ne peuvent être fusionnées 4 par 4. L'étape
de simplification fait entrer en jeu un algorithme qui fusionne
les faces d'un maillage donné, en respectant certaines
contraintes établies par le processus de subdivision. La figure
4 donne un exemple où l'algorithme réduit un ensemble de 15
faces en 6 faces, en formant un groupe de 4 faces (G2), deux
de 3 faces (G3, G6), deux groupes de 2 faces (G1 et G4) et en
laissant une face intacte (G5).
Figure 3 : Quelques cas de subdivision
G1
G2
G3
G6 G5
G4
Figure 4 : un exemple de simplification
Afin de faciliter la simplification du maillage haute résolution
et d’éviter une recherche exhaustive, une modification de
celui-ci est permise, facilitant la simplification. Durant cette
modification, certains segments voient leurs sommets
changer, comme le montre la figure 5. Il faudra donc
mémoriser cette étape pour retrouver exactement le maillage
original lors de la reconstruction, garantissant ainsi la
réversibilité du procédé.
Figure 5 : une modification de maillage
Il reste ensuite à réaliser l'approximation du maillage haute
résolution avec le maillage simplifié, à l'aide de la méthode de
Lounsbery, nous fournissant ainsi les filtres Aj, Bj, Pj et Qj.
Nous proposons ici une reformulation du produit scalaire
entre deux fonctions. Dans (4) Kj devient Kj(τ) et varie selon
la face considérée. Par exemple, pour une face se partageant
en trois durant la subdivision : Kj(τ)=3 et pour les trois faces
résultantes de cette subdivision : Kj+1(τ)=1. Ce choix tient
compte des différences d'aires entre les triangles (la face
initiale sera approximativement trois fois plus grande que les
faces résultantes)
4. Compression sans pertes
Une surface 3D est représentée par les coordonnées des
sommets des faces, ainsi que par leur connectivité. Le nombre
de bits nécessaires à la définition des sommets dépend de la
dynamique des coordonnées. Par exemple, si un objet 3D est
borné par un cube d’arête de longueur L=1024, 10 bits par
coordonnées sont nécessaires, soit 30 bits par sommet.
Dans le cas général, le nombre de bits nécessaire au codage
de chaque sommet est :
Bs=3log2(L) (5)
 Le nombre de bits nécessaires au codage de la connectivité
d’une face à la résolution j dépend directement du nombre de
sommets Nsj et vaut :
Bjf=3log2(Nsj) (6)
Dans notre approche multirésolution, il est nécessaire de
coder l’objet à la résolution la plus basse et les informations
nécessaires pour reconstruire la surface à un niveau supérieur,
pour tous les niveaux de résolution. Ces dernières
informations sont des coefficients d’ondelettes et les
caractéristiques des subdivisions de chaque face.
Le codage de la surface à la plus basse résolution est basé sur
un algorithme de découpage de la surface détaillé en [8]. Ce
découpage permet un codage efficace des faces (méthode
arborescente) et des coordonnées des sommets (méthode
prédictive). L’expérience a montré que le codage optimal était
atteint en employant une prédiction linéaire à deux ancêtres.
Le codage des coefficients d’ondelettes est réalisé par codage
entropique (codeur arithmétique). Ce choix résulte de
l’observation de la concentration de l’histogramme des
coefficients d’ondelettes autour de la valeur zéro.
Le codage des caractéristiques des subdivisions est réalisé
en donnant la liste des nouveaux sommets qu’elles
engendrent : si Nsj est le nombre de sommets d’un maillage,
Nfj le nombre de faces et Naj le nombre d’arêtes, on peut
établir l’approximation :
Nfj=Naj=2.Nsj (7)
Il  faudra, pour chaque segment, déterminer si un sommet doit
y être créé, ce qui représente un total de Naj=Nfj bits. Il
faudra aussi, pour les faces subdivisées en 2 ou 3 (Figure 5),
des informations supplémentaires pour déterminer
précisément leur type de subdivision. Ces informations
nécessitent un maximum de deux bits par face, ce qui se
traduit par un coût supplémentaire maximum de 2.Nfj bits.
Face qui se subdivise en 3 :
1 bit supplémentaire
               0
                1
Face qui se subdivise en 2 :
1 ou 2 bits supplémentaires
               0
                1
                      0
                       1
Figure 5: subdivisions nécessitant un surplus d’information
La quantité totale d’information à transmettre sera donc au
maximum égale à 3.Nf bits. Lors du passage d’un niveau de
résolution au niveau supérieur, le nombre de faces et de
sommets double en moyenne. Les subdivisions auront donc
créé Nf nouvelles faces, à partir d’une quantité de 3*Nf bits.
Ces nouvelles faces auront donc été codées en moyennes sur
3 bits/face. Nous avons donc d’après (5), (6), et (7):
∑
=
∆+=
j
k
kj NNN
1
0 (8)
11 33 −− +=∆ jjjjcoeff
j NfNsHN α (9)
1≅α (10)
j
jjj
j
N
NsNfLNsT )(log3)(log3 22 += (11)
jN  est la quantité d’information (en bits) nécessaire au
codage de la surface à la résolution j.
∆N j  est la quantité d’information (en bits) nécessaire pour
passer de la résolution j-1 à la résolution j.
 Hcoeff
j
 est l’entropie des coefficients d’ondelettes à la
résolution j.
 
jT est le taux de compression pour une représentation au
niveau de résolution j.
On notera que la compression réalisée est sans pertes, grâce à
l'utilisation d'une arithmétique sur des nombres entiers, en
accord avec [9]. Une compression avec pertes controlées est
possible en ne stockant ou en ne transmettant que les
coefficients d'ondelettes les plus grands.
5. Resultats
Le tableau 1 illustre les résultats obtenus avec notre méthode
sur un maillage du cœur. Le maillage initial est une
triangulation construite selon [7], dont les coordonnées sont
codées sur 7 bits. Le nombre d’octets situé au dessous du
nombre de faces est le volume de données nécessaire pour
reconstruire le niveau concerné en partant du niveau qui le
précède (pour le niveau 0, il s’agit du volume de données
nécessaire pour le construire)
Le tableau 2 donne des résultats supplémentaires sur divers
maillages : cerveau, torse et poumon.
Nous pouvons remarquer qu'aux niveaux de résolution
intermédiaires, utiles dans les applications pratiques, la
qualité de l'approximation reste bonne en termes de forme et
de taille du volume 3D.
Tableau 1 : résultats sur un maillage du coeur
Niveau 6
1008 faces
413 octets
Niveau 5
446 faces
226 octets
Niveau 4
208 faces
123 octets
Niveau 3
94 faces
65 octets
Niveau 2
46 faces
36 octets
Niveau 1
22 faces
22 octets
Niveau 0
8 faces
40 octets
Bilan global :
fichier original : 4730 octets
fichiers compressés : 925 octets
Taux de compression : 5.1 : 1
Tableau 2 : résultats complémentaires
Original
3584 faces
8 niveaux
Niveau 4
524 faces
Fichier original :
19493 octets
Fichier compressé :
3246 octets
Taux de
compression :
6 : 1
original
4454 faces
10 niveaux
Niveau 5
306 faces
Fichier original :
25894 octets
Fichier compressé :
4062 octets
Taux de
compression :
6.4 : 1
Original
1916 faces
10 niveaux
Niveau 5
168 faces
Fichier original :
9705 octets
Fichier compressé :
1801 octets
Taux de
compression :
5.4 : 1
6. Conclusion :
Nous avons proposé une nouvelle méthode permettant de
réaliser une analyse multirésolution sur des maillages
triangulés quelconques. Contrairement à [4], où une refonte
du maillage doit être effectuée pour le simplifier, notre
procédé s'applique directement sur la surface originale. Cette
méthode concerne de nombreuses applications potentielles,
comme la compression de maillages, la transmission
progressive et l'affichage accéléré.
Remerciements: les auteurs remercient  les professeurs E.
Rittman et R. Robb pour la fourniture des données
angiographiques, et J. Lotjonen pour la construction des
maillages originaux.
Ce travail de recherche s'inscrit dans les thématiques
scientifiques du PRC-GDR ISIS.
Références:
[1] P. S. Heckbert, M. Garland, Survey of polygonal surface
simplification algorithms, School of computer science,
Carnegie Mellon University, Pittsburgh. URL :
http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/user/garland/www/multires/sur
-vey.html
[2] M. Soucy, D. Laurendau, Multiresolution surface
modeling based on hierarchical triangulation,  Computer
vision and image understanding, volume 63, No 1, January
1996, pages 1-14.
[3] H. Hoppe, Progressive meshes. Computer Graphics
(SIGGRAPH '96 Proceedings), pages 99-108. URL :
http://www.research.microsoft.com/~hoppe/
[4] M. Lounsbery. Multiresolution Analysis for Surfaces of
Arbitrary Topological Type. PhD thesis, Dept. of Computer
Science and Engineering, U. of Washington, 1994.
URL : ftp.cs.washington.edu/pub/graphics/LounsPhd.ps.Z
[5] M. Eck, T. DeRose, T. Duchamp, H. Hoppe, M.
Lounsbery and Werner Stuetzle. Multiresolution Analysis of
Arbitrary Meshes. Technical report #95-01-02, Janvier 1995.
URL: http://www.cs.washington.edu/research/projects/grail2/
www/pub/abstracts.html
[6] Wim Sweldens, The Lifting Scheme : A Custom-Design
Construction of Biorthogonal Wavelets, Applied and
Computational Harmonic Analysis, Vol. 3, No. 2, April
1996, pp.186-200.
[7 ] J. Lotjonen, P.J. Reissman, I.E. Magnin, J. Nenonen and
T. Katila, A triangulation method of an arbitrary point set
for biomagnetic problem, IEEE Trans. on Magnetics, Vol
34, No 4, July 1998
[8] G. Taubin, J. Rossignac, Geometric Compression
Through Topological Surgery, IBM Research Report. URL :
http://www.research.ibm.com/vrml/binary/
[9] H.Y. Jung, R. Prost, Lossless Subband Coding System
Based on Rounding Transform, IEEE Trans. On Signal
Processing, vol. 46, No 9, pp. 2535-2540, Sept. 1998.


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