- Dans [1], nous avons présenté une nouvelle méthode d'estimation multi-canal basée sur l'égalisation aveugle MMSE ZF (Minimum Mean Square Error Zéro Forcing). Notre approche est liée à la méthode proposée par Tsatsanis et al. [5] qui correspond à une égalisation MMSE non biaisée. Nous interprétons cette approche en termes de prédiction linéaire bidirectionnelle, appelée "smoothing" par Tong [8]. Nous établissons les liens existants entre les approches MMSE, MOE (Minimum Output Energy) et MMSE ZF, et nous prouvons l'équivalence entre eux sous la contrainte du non biais dans le cas sans bruit. Notre analyse indique comment appliquer de façon correcte le principe de Capon [4] pour la formation de voies LCMV (Linearly Constrained Minimum Variance) à l'égalisation multi-canal. Nous démontrons aussi que l'application du principe de Capon dans la méthode de Tsatsanis et l'estimation du canal dans l'approche de Tong deviennent non biaisées uniquement à des hauts SNRs. Alors que le but est de faire MMSE ZF, il est plus facile mais équivalent d'aborder le problème par UMMSE (Unbiased MMSE) appliqué sur la composante signal du signal reçu. Donc la matrice de covariance du signal reçu doit être "débruitée" avant son utilisation dans la méthode d'estimation aveugle. Nous proposons une approche sans décomposition propre de la matrice de covariance qui présente des performances excellentes. En plus nous présentons une manière simple et efficace pour y incorporer la détection de l'ordre du canal. Les résultats de simulation sont présentés pour démontrer les performances des approches discutées

AYADI, Jaouhar

SLOCK, Dirk T. M.

I-Revues

Estimation Multi-canal Aveugle par Egalisation MMSE ZF
avec Detection Conjointe de l'Etalement Temporel
Jaouhar Ayadi et Dirk T.M. Slock
Institut EURECOM,
B.P. 193, 06904 Sophia Antipolis Cedex, FRANCE
fayadi, slockg@eurecom.fr
Resume { Dans [1], nous avons presente une nouvelle methode d'estimation multi-canal basee sur l'egalisation aveugle MMSE ZF
(Minimum Mean Square Error Zero Forcing). Notre approche est liee a la methode proposee par Tsatsanis et al. [5] qui correspond
a une egalisation MMSE non biaisee. Nous interpretons cette approche en termes de prediction lineaire bidirectionnelle, appelee
\smoothing" par Tong [8]. Nous etablissons les liens existants entre les approches MMSE, MOE (Minimum Output Energy)
et MMSE ZF, et nous prouvons l'equivalence entre eux sous la contrainte du non biais dans le cas sans bruit. Notre analyse
indique comment appliquer de facon correcte le principe de Capon [4] pour la formation de voies LCMV (Linearly Constrained
Minimum Variance) a l'egalisation multi-canal. Nous demontrons aussi que l'application du principe de Capon dans la methode
de Tsatsanis et l'estimation du canal dans l'approche de Tong deviennent non biaisees uniquement a des hauts SNRs. Alors que
le but est de faire MMSE ZF, il est plus facile mais equivalent d'aborder le probleme par UMMSE (Unbiased MMSE) applique
sur la composante signal du signal recu. Donc la matrice de covariance du signal recu doit e^tre \debruitee" avant son utilisation
dans la methode d'estimation aveugle. Nous proposons une approche sans decomposition propre de la matrice de covariance qui
presente des performances excellentes. En plus nous presentons une maniere simple et ecace pour y incorporer la detection de
l'ordre du canal. Les resultats de simulation sont presentes pour demontrer les performances des approches discutees.
Abstract { In [1], we presented a new multichannel estimation method based on blind MMSE ZF Equalization. The recently
proposed method by Tsatsanis et al. [5] corresponds to unbiased MMSE Equalization. We interpret this approach in terms
of Two-Sided Linear Prediction (TSLP), also called smoothing by Tong [8]. We establish the links between MMSE, Minimum
Output Energy (MOE) and MMSE ZF and we prove equivalence under the unbiasedness constraint in the noiseless case. Our
analysis shows how to properly apply Capon's principle [4] for Linearly Constrained Minimum Variance (LCMV) beamforming
to blind multichannel equalization. Furthermore, we show that Tsatsanis's application of Capon's principle becomes only correct,
and Tong's channel estimate becomes only unbiased, at high SNR. Whereas the goal is to do MMSE ZF, it is easier but equivalent
to approach the problem via Unbiased MMSE (UMMSE) on noiseless data. Hence, the covariance matrix of the received signal
has to be \denoised" before using it in the blind estimation method. We provide an approach without eigen decomposition that
gives excellent performance. Furthermore, we present a simple and ecient procedure to simultaneously detect the channel order.
Simulation results are presented to support our claims.
1 Introduction
Les techniques d'identication aveugle multi-canal mono-
utilisateur exploitent une formulation multi-canal mono-
entree/multi-sorties. Le surechantillonnage du signal recu
permet d'obtenir une representation vectorielle polyphase
mono-entree/multi-sorties du canal. Les canaux a reponse
impulsionnelle nie (RIF) obtenus dans cette representa-
tion par surechantillonnage peuvent e^tre aussi obtenus a
partir des signaux recus au niveau d'un reseau d'antennes
(dans le cas des communicationsmobiles [2],[3]) ou a partir
d'une combinaison des deux. Pour m canaux, la relation
entree/sortie qui regit le systeme peut s'ecrire comme suit:
y(k) =
N 1
X
i=0
h(i)a(k,i) + v(k) =HA
N
(k) + v(k) (1)
ou y(k) = [y
1
(k)    y
m
(k)]
T
;h(i) = [h
1
(i)   h
m
(i)]
T
,
v(k) = [v
1
(k)    v
m
(k)]
T
,H = [h(N,1)   h(0)], A
N
(k) =
[a(k,N+1)   a(k)]
T
et
T
designe l'operateur de trans-
position. SoitH(z) =
P
N 1
i=0
h(i)z
 i
= [H
1
(z)   H
m
(z)]
T
la fonction de transfert mono-entree/multi-sorties du canal
et h =

h
T
(0)   h
T
(N,1)

T
le vecteur des ccients
du canal. Considerons un bruit temporellement et spa-
tialement blanc, additif, gaussien et circulaire v(k) :
r
vv
(k,i) = Ev(k)v(i)
H
= 
2
v
I
m

ki
. Si M echantillons
sont recus, la relation vectorielle qui regit le systeme est
la suivante:
Y
M
(k) = T
M
(h)A
M+N 1
(k) + V
M
(k) (2)
ou Y
M
(k) = [y
T
(k,M+1)   y
T
(k)]
T
et V
M
(k) est deni
de facon similaire. T
M
(h) est une matrice bloc Toeplitz
remplie avec les ccients du canal. La notation dans (2)
peut e^tre simpliee en prenant k = M,1
Y = T A+ V : (3)
Nous supposons que mM > M+N,1, dans quel cas la
matrice de convolution du canal T possede plus de lignes
que de colonnes. Le canal est dit irreductible si H
i
(z); i =
1; : : : ;m n'ont pas de zeros communs, et reductible sinon.
Pour des raisons evidentes, l'espace colonne de T est ap-
pelle l'espace signal et son complement orthogonal l'espace
bruit.
2 La Methode de Capon
Un principe bien connu en traitement d'antennes lorsque
la direction d'arrivee et la reponse du reseau d'antennes
sont connues, est le formateur de voies MVDR (Minimum
Variance Distortionless Response). Ce dernier minimise
les signaux des interfereurs sans apporter de distortion au
signal de l'utilisateur d'intere^t. La methode de Capon [4]
part du principe MVDR pour deriver des solutions aveu-
gles (sans avoir a conna^tre la direction). Considerons le
cas d'une seule source dans la direcion de 
0
plus un bruit
blanc spatialement :
Y (k) = S(
0
)a(k) + V (k):
La sortie du formateur de voies est donnee par ba(k) =
F
H
Y (k). La contrainte de distorsion nulle du signal etant
F
H
S(
0
) = 1, le formateur de voies LCMV satisfait le
critere de minimisation suivant:
min
F :F
H
S(
0
)=1
Ekba(k)k
2
, min
F :F
H
S(
0
)=1
F
H
R
YY
F
) F =
1
S
H
(
0
)R
 1
Y Y
S(
0
)
R
 1
YY
S(
0
);
MV =
 
S
H
(
0
)R
 1
YY
S(
0
)

 1
. La methode de Capon
stipule que si 
0
est, maitenant, inconnu, de prendre alors
^
 = argmax

MV et donc
^
 = argmax

 
S
H
()R
 1
Y Y
S()

 1
= argmin

S
H
()R
 1
Y Y
S()
= S
 1
(V
max
(R
Y Y
)) = 
0
ou V
max
(A) designe le vecteur propre correspondant a la
valeur propre maximale de A. Dans le cas de l'estimation
multi-canal, le formateur de voies devient un egaliseur,
ba(k,d)F
H
Y (k) et le parametre inconnu devient le canal.
Pour appliquer le principe de capon, la question essentielle
est maintenant : quelle est la bonne contrainte de distor-
sion nulle ? Pour Tsatsanis [5], c'est l'absence du biais, ce
qui est exprime par
F
H
T
M;1
e
d
= F
H
2
4
0
h
0
3
5
= F
H
~
h = 1: (4)
Dans ce cas, les interferences entre symboles (IES) faussent
l'estimation du canal en presence du bruit. La bonne
contrainte pour exprimer la distorsion nulle est au fait
le forcage a zero des IES :
F
H
T
M;1
= [0   0
| {z }
d
10   0] = e
H
d
:
3 Relations entre Criteres
Le critere MMSE non biaise est equivalent au critere MOE
non biaise. En eet,
MSE = 
2
~a
= Eja
k d
, a^j
2
= Eja
k d
, F
H
Y j
2
= 
2
a
, F
H
R
Y a
, R
aY
F + F
H
R
YY
F
= 
2
a
, 
2
a
F
H
~
h, 
2
a
~
h
H
F + F
H
R
Y Y
F
| {z }
OE
= OE , 
2
a
si non biase
) arg min
F :F
H
~
h=1
MSE = arg min
F :F
H
~
h=1
OE; F
UMMSE
= F
UMOE
:
Dans le cas ou les symboles sont non correles, nous avons
SINR =

2
a
F
H
~
h
~
h
H
F
F
H

R
YY
, 
2
a
~
h
~
h
H

F
) SINR
 1
=

2
a
F
H
~
h
~
h
H
F

2
a
jF
H
~
hj
2
, 1;
max
F
SINR , min
F
SINR
 1
, min
F

2
a
F
H
R
YY
F

2
a
jF
H
~
hj
2
, min
F :F
H
~
h=1
F
H
R
YY
F:
Donc F
MSINR
= F
UMOE
. Dans le cas sans bruit, en plus,
nous obtenons :
F
UMOE
=F
ZFMOE
=F
UMMSE
=F
ZFMMSE
=T
 
T
H
T

 1
e
d
:
Puisqu'il est plus facile d'appliquer le principe de Capon
avec la contrainte de zero biais pluto^t que la contrainte ZF,
on applique la contrainte de zero biais avec des covariances
debruitees.
4 Egalisation Aveugle MMSE ZF
La resolution du critere min
F
F
H
R
YY
F se fait en deux
etapes selon l'approche de Capon :
{ etape 1 : Le critere d'optimisation min
F :F
H
~
h=1
F
H
R
Y Y
F
donne comme solutionF =
1
~
h
H
R
 1
Y Y
~
h
R
 1
YY
~
h : egaliseur
MMSE non biaise.
{ etape 2 :
max
h:khk=1
min
F :F
H
~
h=1
F
H
R
YY
F
= max
h:khk=1

~
h
H
R
 1
YY
~
h

 1
ou min
h:khk=1
~
h
H
R
 1
YY
~
h
:
(5)
Comme
~
h =
2
4
0
h
0
3
5
=
2
4
0
I
0
3
5
h = T
1
h, le probleme
d'optimisation donne par (5) devient
min
h:khk=1
h
H
 
T
H
1
R
 1
YY
T
1

h) h = V
min
 
T
H
1
R
 1
Y Y
T
1

;
(6)
ou V
min
(A) designe le vecteur propre correspondant
a la valeur propre minimale de A.
5 Interpretation en Termes de Pre-
diction Lineaire Bidirectionelle
Considerons la matrice T
2
denie comme T
2
=
2
4
I 0
0 0
0 I
3
5
.
T
2
peut e^tre interpretee comme engendrant le comple-
ment orthogonal de T
1
: T
2
= T
?
1
, puisque T
H
2
T
1
= 0
et P
T
2
+ P
T
1
= I (P
T
2
= P
?
T
1
), ou P
?
X
= I , P
X
=
I , X(X
H
X)
 1
X
H
. A partir du lemme d'inversion ma-
tricielle (LIM), la matrice T
H
1
R
 1
YY
T
1
qui appara^t dans
(6) peut e^tre ecrite comme

T
H
1
R
YY
T
1
, T
H
1
R
YY
T
2
 
T
H
2
R
YY
T
2

 1
T
H
2
R
YY
T
1

 1
:
(7)
Considerons maintenant
~
Y = T
H
1
Y ,QT
H
2
Y (voir gure
1), ou la matrice Q =
 
T
H
1
R
YY
T
2
  
T
H
2
R
YY
T
2

 1
est op-
timisee pour minimiser R
~
Y
~
Y
.
~
Y est l'erreur de prediction
de la partie T
H
1
Y de Y a partir des parties voisinantes
T
H
2
Y . Alors la matrice qui appara^t dans (7) est R
 1
~
Y
~
Y
,
ceci demontre aussi que V
min
 
T
H
1
R
 1
YY
T
1

donne eective-
ment h. Nous avons
~
Y = ha
k d
) h = V
max
(R
~
Y
~
Y
) :
 
 
 
 
 
 






 
 


T
H
1
Y
T
H
2
Y
Y T
=
A
d
A
k;d
d
a
k,d
Fig. 1: Prediction lineaire bidirectionelle.
6 Relation avec d'Autres Approches
Dans cette section, nous etablissons les liens reliant notre
methode d'egalisation aveugle MMSE ZF avec d'autres
approches recemment proposees. Notre formulation con-
stitue l'application correcte du principe de Capon pour
la formation de voies LCMV, a l'egalisation multi-canal,
alors que la formulation de Tsatsanis devient correcte unique-
ment a des hauts SNRs. Notre prediction lineaire bidi-
rectionnelle correspond a une solution en une etape de
l'approche multi-etapes de Gesbert et Duhamel [9]. Le
\Least-Squares Smoothing" (LSS) introduit par Tong et
al. [8] donne des estimees biaisees du canal : la meth-
ode garde uniquement le sous-espace signal (le sous-espace
bruit est elimine par l'operation SVD) mais la contribution
du bruit aux valeurs propres signales n'est pas eliminee.
Notre prediction lineaire bidirectionnelle correspond a une
version de la methode de Tong, ou le biais a ete elimine,
et qui evite le calcul de la SVD de la matrice de covari-
ance du signal recu. En fait, la presence de biais dans la
methode de Tong montre que le point de vu deterministe
sur lequel sa derivation est basee est inapproprie.
7 Detection de l'Ordre du Canal
La methode proposee permet de trouver le canal comme
etant le vecteur propre maximal d'une matrice de covari-
ance d'erreurs de predictionR
~
Y
~
Y
. Avec les statistiques ex-
actes, R
~
Y
~
Y
= 
2
a
hh
H
ce qui implique que le rang de R
~
Y
~
Y
est un. Quand la longueur de h est surestimee de p, le rang
de R
~
Y
~
Y
devient p + 1. Par contre, quand cette longueur
est sousestimee, R
~
Y
~
Y
est idealement zero (et donc n'a pas,
en pratique, de structure particuliere). Par consequent,
une methode ecace pour detecter l'ordre du canal con-
siste a trouver l'ordre pour lequel R
~
Y
~
Y
s'approche le plus
d'une matrice de rang un. Dans le cas des statistiques
exactes, en considerant les valeurs propres de R
~
Y
~
Y
ordon-
nees dans un ordre decroissant : 
1
 
2
     
mN
et en calculant le rapport r = 
1
=
2
, comme R
~
Y
~
Y
est
de rang 1, r!1. Lorsque le bruit est present et lorsque
l'ordre du canal est sousestime (ou surestime), la valeur de
r sera plus petite que sa valeur a l'ordre correct du canal.
Donc la variation de r en fonction des dierentes valeurs
de l'ordre du canal est une fonction qui presente un maxi-
mum a l'ordre correct du canal. En eet, la matrice R
~
Y
~
Y
peut e^tre ecrite comme la somme de sa meilleure approx-
imation de rang un (
b
R
~
Y
~
Y
) et de l'erreur d'approximation
(
e
R
~
Y
~
Y
) : R
~
Y
~
Y
= 
1
V
1
V
H
1
+
X
i>1

i
V
i
V
H
i
=
b
R
~
Y
~
Y
+
e
R
~
Y
~
Y
et r =

1

2
=
k
1
V
1
V
H
1
k
2
k
X
i>1

i
V
i
V
H
i
k
2
=
k
b
R
~
Y
~
Y
k
2
k
e
R
~
Y
~
Y
k
2
:
8 Debruitage de la Matrice de Co-
variance
En presence de bruit, la matrice de covariance du signal
recu doit e^tre debruitee et donc les egaliseurs MMSE ZF
sont derives via le critere MMSE utilisant la matrice de
covariance debruitee R
d
Y Y
(
d
designe la matrice obtenue
apres l'operation de debruitage). Nous considerons deux
operations alternatives de debruitage de la matrice de co-
variance. Dans la premiere operation, nous eliminons la
contribution du bruit estimee comme etant la valeur pro-
pre minimale de
b
R
YY
. Nous constatons que la valeur pro-
pre minimale de
b
R
YY
sous-estime la puissance du bruit et
par consequent, la partie du bruit que nous eliminons de
b
R
YY
n'est pas susante. Nous proposons, donc, dans une
operation alternative de debruitage d'estimer la puissance
du bruit par la methode SRM [6] : b
2
v
= 
min
(SRM ).
Avec un nombre ni de donnees cette methode va aussi
sous-estimer la puissance du bruit mais l'estimee qu'elle
donne est proche de la vraie valeur. Le debruitage avec
un b
2
v
> 
min
(
b
R
Y Y
) rend la matrice debruitee
b
R
YY
,b
2
v
I
indenie. Puisqu'une matrice de covariance est necessaire-
ment positive semi-denie, on ne garde que la partie semi-
denie positive de la matrice debruitee : b
b
R
Y Y
,b
2
v
> Ic
+
(cette operation peut e^tre eectuee par une decomposition
LDU). Au fait, pour bien debruiter
b
R
YY
, on introduit un
facteur d'ajustement  : b
2
v
= 
min
(SRM ). Le fac-
teur  est idealement choisi tel que 
2
v
/
c

2
v
< 
SS
min
, ou
SS
min
designe la plus petite valeur propre de l'ensemble des
valeurs propres de R
YY
correspondantes au sous-espace
signal. On peut remarquer que si b
2
v
satisfait ces con-
traintes, le sous-espace signal n'est pas aecte.
9 Resultats des Simulations
Nous considerons une longueur de la trame des donnees
M = 200, un canal complex H genere de facon aleatoire
de longueur N = 3 avec m = 2 sous-canaux. Les symboles
sont i.i.d.QPSK. Le SNR est deni comme (khk
2

2
a
)=(m
2
v
).
Les methodes d'estimation aveugle donnent une estimee
du canal
^

h avec k
^

hk = 1, nous ajustons le facteur d'echelle
 tel que h
H
o
(
^

h) = h
H
o
h
o
ou h
o
est le vrai canal (voir [7]):
l'estime nal est
b
h = 
^

h. La mesure de performance est
faite par l'intermediaire de l'erreur quadratique moyenne
normalisee (NMSE), moyennee sur 100 realisations Monte-
Carlo et denie comme NMSE = kh ,
b
hk
2
=khk
2
. Dans
la gure 2, nous comparons notre approche de prediction
lineaire bidirectionnelle avec d'autres methodes d'estimation
du canal et avec sa borne de Cramer-Rao (CRB). Nous
utilisons une matrice empirique
b
R
Y Y
de longueur L = 3N .
La methode de Tsatsanis [5] donne la performance la plus
mauvaise et une amelioration dans cette me^me perfor-
mance peut e^tre constatee au fur et a mesure que le SNR
cro^t (cette constatation est conforme avec le fait que la
formulation de Tsatsanis devient correcte uniquement a
des hauts SNRs). La methode LSS de Tong [8] donne des
performances comparables a celle de la methode de Tsat-
sanis a cause de la presence du biais dans l'estimee du
canal. Nous avons trace les courbes qui correspondent aux
dierents strategies proposees pour debruiter la matrice
b
R
Y Y
et qui sont expliquees dans la section precedente.
Nous estimons la variance du bruit comme la valeur pro-
pre minimale de
b
R
YY
puis par la methode SRM [6] et nous
utilisons deux facteurs d'ajustement  = 1:5 et  = 2. Il
est clair qu'avec  = 2 nous atteignons la me^me perfor-
mance que celle de la methode PQML [10] ce qui implique
que
b
R
YY
est parfaitement debruitee et en consequence la
performance de la prediction lineaire bidirectionnelle est
optimale. Notons que l'elimination de la contribution du
bruit des valeurs propres dans la methode LSS aboutit
aussi a la me^me performance optimale. Pour le me^me
10 15 20 25
10−4
10−3
10−2
10−1
SNR
N
M
SE
Tsatsanis: RYYTsatsanis: RYY − λmin(RYY) I
SRM
LS Smoothing
PQML[RYY−1.5λmin(SRM) I]+[RYY−2λmin(SRM) I]+
CRB
Fig. 2: Performance des dierents algorithmes.
canal, nous avons considere le probleme de la surestima-
tion ou sousestimation de l'ordre du canal (l'ordre correct
du canal etant 3). Dans la gure 3, nous avons trace,
a dierentes valeurs du SNR, le rapport r = 
1
=
2
en
fonction des dierentes valeurs supposees pour l'ordre du
canal. Les courbes sont moyennees sur 100 realisations
Monte-Carlo. Il est clair que la fonction tracee donne un
maximum net a l'ordre correct du canal.
1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
12
14
16
Channel order
λ 1
/λ
2
SNR=10dB, True channel order=3
1 2 3 4 5 6
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Channel order
λ 1
/λ
2
SNR=20dB, True channel order=3
1 2 3 4 5 6
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Channel order
λ 1
/λ
2
SNR=30dB, True channel order=3
1 2 3 4 5 6
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Channel order
λ 1
/λ
2
SNR=40dB, True channel order=3
Fig. 3: Detection de l'ordre du canal.
References
[1] J. Ayadi and D.T.M. Slock. \Multichannel Estima-
tion by Blind MMSE ZF Equalization". In Proc.
SPAWC 99 Workshop, Annapolis, Maryland, USA,
May 1999
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tion, Perfect-Reconstruction Filter Banks and Mul-
tichannel Linear Prediction". In Proc. ICASSP 94
Conf., Adelaide, Australia, April 1994.
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Fractionally-Spaced Equalization Based on Cyclo-
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[4] J. Capon. \High-resolution Frequency-wavenumber
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pages 2408{1418, August 1969.
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France, April 1997.
[7] E. de Carvalho and D.T.M. Slock. \Cramer-Rao
Bounds for Semi-blind, Blind and Training Sequence
Based Channel Estimation". In Proc. SPAWC 97,
Paris, France, April 1997.
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Conf., Seattle , Washington, USA, May 1998.
[9] D. Gesbert and P. Duhamel. \Robust Blind Identi-
cation and Equalization Based on Multi-step Predic-
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[10] J. Ayadi, E. de Carvalho and D.T.M. Slock. \Blind
and Semi-blind Maximum Likelihood Methods for
FIR Multichannel Identication". In Proc. ICASSP
98 Conf., Seattle, Washington, USA, May 1998.


Estimation multi-canal aveugle par egalisation MMSE ZF avec détection conjointe de l'etalement temporel

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