Dans cet article, nous présentons un développement du schéma classique de compression d'images en niveaux de gris par IFS. Nous proposons une amélioration des fonctions de collage traditionnellement utilisées afin d'en accroître les performances sur les zones à contenu haute fréquence. Pour cela, nous introduisons des fonctions harmoniques ainsi qu'une nouvelle méthode de résolution du problème inverse

CHASSERY, Jean-Marc

LAURENT, Nathalie

ROBERT, Guillaume

I-Revues

Nouvelles fonctions de collage pour les schemas de
compression d'images par IFS
Guillaume Robert
1
, Nathalie Laurent
1
, Jean-Marc Chassery
2
1
France Telecom - CNET / DIH, CCETT
4, rue du Clos Courtel, 35512 Cesson Sevigne, France
2
Equipe Infodis / TIMC
Grenoble, France
Guillaume.Robert@imag.fr, Nathalie.Laurent@cnet.francetelecom.fr
Jean-Marc.Chassery@imag.fr
Resume { Dans cet article, nous presentons un developpement du schema classique de compression d'images en niveaux de gris
par IFS. Nous proposons une amelioration des fonctions de collage traditionnellement utilisees an d'en accro^tre les performances
sur les zones a contenu haute frequence. Pour cela, nous introduisons des fonctions harmoniques ainsi qu'une nouvelle methode
de resolution du probleme inverse.
Abstract { In this paper, we present an evolution of IFS-based image compression schemes, well adapted to high frequency
contents. We propose to substitute the usual ane mass map which tends to smooth irregular surfaces, by an harmonic based
map. This change implies the creation of a new IFS determination algorithm for solving the inverse problem.
1 Introduction
Aussi contradictoire que cela puisse para^tre, les codeurs
fractals descendant des travaux de Jacquin[6] sourent
d'un manque de robustesse pour le traitement des zones
fortement texturees [13]. En realite, certains travaux ont
montre qu'il est possible d'apprehender delement une
large classe de textures, mais reposent sur l'hypothese
forte que celles-ci sont fractales [8]. Malheureusement les
textures naturelles ne possedent generalement pas cette
propriete d'auto-similarite sur laquelle repose les methodes
par IFS.
Dierentes directions ont ete explorees an d'ameliorer
les performances des IFS sur les surfaces chaotiques.
Parmi les premieres idees, on peut souligner l'utilisation de
partitions adaptatives qui visent a creer des petits blocs
sur les zones riches et de larges blocs sur les zones ho-
mogenes. Davoine presente dans [5] un resume des dierents
types de partitions utilises pour resoudre le probleme in-
verse : quadtree, HV, triangulaire, polygonale, regions com-
plexes.
Une autre voie pour l'amelioration des performances des
IFS, est l'hybridation avec d'autres methodes de traite-
ment d'image. Ces schemas hybrides, fournissent de tres
bons resultats car ils tirent partie des avantages des deux
methodes. Parmi les dierentes hybridations on peut noter
IFS-DCT [1] [12], IFS-sous bande [2] [7], IFS-QV [11] [4].
Comparees aux autres elements de la cha^ne de codage
par IFS, les fonctions de collage n'ont pas ete reellement
etudiees et demeurent la plupart du temps des fonctions
anes. An de contourner un probleme d'embo^tement
des blocs sources et destinations, Monro propose dans
[10] l'utilisation de fonctions de collage polynomiales. Plus
recemment Lutton introduit dans [9] des fonctions de col-
lage denies par des arbres de fonctions et recourt a la
programmation genetique pour resoudre le probleme in-
verse ainsi devenu tres complexe.
Considerant les textures comme la be^te noire des IFS,
nous proposons une nouvelle famille de fonctions de col-
lage remplacant avantageusement les fonctions anes: les
fonctions harmoniques. Cette approche peut e^tre vue comme
une sorte d'hybridation IFS-DCT, mais avec l'avantage
d'une optimisation conjointe des parametres des deux me-
thodes.
Dans la section 2 nous proposons une formulation math-
ematique des fonctions de collage harmoniques. Dans la
section 3 nous exposons un processus de resolution du
probleme inverse pose a l'aide de ces fonctions. Nous pre-
senterons les resultats dans la section 4 puis conclurons
dans la section 5 sur les ameliorations a venir.
2 Collage massique harmonique
An d'accorder un intere^t plus marque aux hautes fre-
quences, nous introduisons une nouvelle famille de fonc-
tions de collage massique appelees fonctions harmoniques.
Celles ci s'appliquent aux blocs source decimes

D
(i)
par
une des methodes antecedentes connues: dans un dictio-
nnaire issu de l'image elle me^me on selectionne un bloc
source D
(i)
auquel on applique une transformation spa-
tialement contractante !
(i)
S
dont le support des images
est le support du bloc destination R
i
a approximer [3][5].
L'expression d'une fonction de collage massique har-
monique !
(i)
M
appliquee au bloc decime

D
(i)
an de
generer le bloc
^
R
(i)
approximant le bloc destination R
i
est donnee pour un pixel p par :
^
R
(i)
p
= !
(i)
M
(

D
(i)
p
)
= b+
P
k2[0::N
c
[
P
l2[0::N
c
[
c
(i)
kl


D
(i)
p

cos(
k
 p
x
) cos(
l
 p
y
)
(1)
Ou b 2 Z represente l'oset, 
l
=
2
2
l+
avec l 2 [0::N
S
[
representent les pulsations xees et associees a chaque
fonction de base avec un decalage  2 N, (p
x
; p
y
) 2 N
2
represente la position relative du pixel p dans

D
(i)
et
c
(i)
2 R
N
c
N
c
represente la matrice des amplitudes des
fonctions de base.
Le nouvel objectif consiste donc a determiner les valeurs
c
(i)
kl
et b qui minimisent l'erreur de collage E
(i)
entre
^
R
(i)
et R
i
. L'erreur choisie est la distance L
2
entre les
deux blocs :
E
(i)
=
P
p2support(R
i
)
(R
i
p
 
^
R
(i)
p
)
2
=
P
p2support(R
i
)
(R
i
p
  !
(i)
M
(

D
(i)
p
))
2
(2)
Des equations 1 et 2 decoule l'expression de l'erreur d'un
collage harmonique :
E
(i)
=
P
p2support(R
i
)
((
P
k2[0::N
c
[
P
l2[0::N
c
[
c
(i)
kl


D
(i)
p

cos(
k
 p
x
) cos(
l
 p
y
) ) R
i
p
)
2
(3)
3 Resolution du probleme inverse
La determination des coecients c
(i)
kl
et b minimisant
l'erreur de collage E
(i)
, est obtenue par annulation de
sa derivee par rapport a c
(i)
kl
et b. Cela se traduit par le
systeme suivant :
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
@E
(i)
@c
(i)
00
= 0
.
.
.
@E
(i)
@c
(i)
N
c
 1N
c
 1
= 0
@E
(i)
@b
= 0
(4)
Apres simplications, 4 peut se reecrire comme une
equation lineaire matricielle :
AX = B (5)
Ou
A =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
A
00
00
   A
00
0N
c
 1
A
00
10
   A
00
N
c
0
.
.
.
A
0N
c
00
A
1N
c
00
.
.
.
A
N
c
0
00
   A
N
c
0
0N
c
 1
A
N
c
0
10
   A
N
c
0
N
c
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
et
B =
0
B
B
B
@
B
00
.
.
.
B
N
c
 1N
c
 1
B
N
c
 1N
c
1
C
C
C
A
En introduisant la fonction  
kl
p
= cos(
k
p
x
)cos(
l

p
y
), les coecients de la matrice connue A 2 M
N
2
c
+1
(R )
deviennent :
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
A
kl
mn
=
P
p2support(R
i
)
(

D
(i)
p
)
2
  
mn
p
  
kl
p
;
8k 2 [0::N
c
[ ; 8l 2 [0::N
c
[ ;
8m 2 [0::N
c
[ ; 8n 2 [0::N
c
[
A
N
c
N
c
mn
=
P
p2support(R
i
)

D
(i)
p
  
mn
p
;
8m 2 [0::N
c
[ ; 8n 2 [0::N
c
[
A
kl
N
c
0
=
P
p2support(R
i
)

D
(i)
p
  
kl
p
;
8k 2 [0::N
c
[ ; 8l 2 [0::N
c
[
A
N
c
N
c
N
c
0
= card(R
i
)
et les coecients du vecteur connu B 2 R
N
2
c
+1
devien-
nent :
8
>
>
>
<
>
>
>
:
B
kl
=
P
p2support(R
i
)

D
(i)
(p)
R
p
 
kl
p
;
8k 2 [0::N
c
[ ; 8l 2 [0::N
c
[
B
N
c
 1N
c
=
P
p2support(R
i
)
R
p
Ce systeme peut alors e^tre resolu par le biais d'une fac-
torisation LDL
t
.
4 Resultats
Comme le montre la gure 1.c, des fonctions de collage
massique basees sur des fonctions harmoniques telles que
le cosinus, permettent une bonne apprehension des hautes
frequences d'une image, ce qu'un schema IFS classique (a
fonction de collage massique ane) ne parvient pas a faire,
gure 1.b . D'autre part, les details tels que la riviere de la
gure 1.a, sont delement restitues tout en limitant l'ap-
port de hautes frequences parasites.
Le temps CPU necessaire a la determination d'un IFS
harmonique, est fortement dependant du nombre de fonc-
tions de la base harmonique. Pour une base de deux fonc-
tions, quatre c
kl
et b doivent e^tre determines, ce qui prend
environ 5 minutes pour une image 256256 sur un PII350.
Ce temps passe a une heure pour une base de trois fonc-
tions comme necessaire pour la gure 1.c.
5 Conclusion
Dans cette article, non avons propose l'utilisation de
fonctions de collage massique harmoniques en remplace-
ment des fonctions de collage massique ane generalement
utilisees dans les schemas de compression d'images par
IFS. L'intere^t de cette nouvelle famille de fonction est son
bon comportement en presence de bloc au contenu tex-
ture.
De futurs travaux viseront a reduire le surcou^t en temps
de calcul induit par le recours a cette famille de fonctions,
au moyen d'une approche hierarchique. La quantication
des coecients est egalement une etape delicate qu'une
etude statistique pourra permettre d'ameliorer.
References
[1] K. U. Barthel, J. Schuttemeyer, T. Voye, and P. Noll, A
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[2] G. Davis, Adaptive self-quantization of wavelet subtrees: a
wavelet-based theory of fractal image compression, SPIE
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Department of Electrical Engineering, Linkoping Univer-
sity (1993).
[13] G.E. ien, R. Hamzaoui, and D. Saupe, On the limitations
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a. Image originale
b. IFS-Ane a 0:31bpp
c. IFS-Cosinus a 0:30bpp
Fig. 1: Comparaison de notre algorithme IFS base sur
des collages massiques a fonctions harmoniques avec un
algorithme IFS classique base sur des collages massiques
a fonctions anes.


Nouvelles fonctions de collage pour les schémas de compression d'images par IFS

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