Depuis plusieurs années un grand nombre de méthodes de goniométrie bande étroite ont été développées pour mesurer les directions des sources incidentes. Dans un contexte de radiocommunication on reçoit des signaux ayant des caractéristiques spectrales très différentes qui peuvent être bande étroite avec une canalisation en fréquence normalisée ou bien large bande comme les émissions à étalement de spectre de type PN (Pseudo Noise). Pour prendre en compte simultanément les caractéristiques spectrales et large bande des signaux incidents il est nécessaire de réadapter les techniques bande étroite en appliquant une méthode [1][7] exploitant la structure spatio-fréquentielle des sources incidentes. Comme cette dernière méthode est très coûteuse en temps de calcul, l'objectif de ce papier est de réduire ce coût en déduisant un spectre dépendant uniquement de l'incidence des sources

FERREOL, Anne

I-Revues

Mise en œuvre d’une Goniométrie spatio-fréquentielle large
bande
Anne FERREOL
THONSON-CSF  COMMUNICATIONS
66 rue du Fossé Blanc, 92231 Gennevilliers, France
anne.ferreol@tcc.thomson-csf.com
Résumé – Depuis plusieurs années un grand nombre de méthodes de goniométrie bande étroite ont été développées pour mesurer les
directions des sources incidentes. Dans un contexte de radiocommunication on reçoit des signaux ayant des caractéristiques spectrales très
différentes qui peuvent être bande étroite avec une canalisation en fréquence normalisée ou bien large bande comme les émissions à
étalement de spectre de type PN (Pseudo Noise).  Pour prendre en compte simultanément les caractéristiques spectrales et large bande des
signaux incidents il est nécessaire de réadapter les techniques bande étroite en appliquant une méthode [1][7] exploitant la structure spatio-
fréquentielle des sources incidentes. Comme cette dernière méthode est très coûteuse en temps de calcul, l’objectif de ce papier est de
réduire ce coût en déduisant un spectre dépendant uniquement de l’incidence des sources.
Abstract – Since several years a great number of narrow band direction finding methods have been developed in order to estimate the
DOA’s (Direction Of Arrival’s ) of impinging sources. In radiocommunication context we received emitters with various spectrum
characterisations that is either narrow band with normalized frequency channels or wide band such as spread spectrum signals as PN
(Pseudo Noise). In order to take into account at the same time the spectrum and wide band characterisations of impinging signals, it is
necessary to remove the narrow band direction finding methods by using technics [1][7] that exploit the space-frequency structure of sources.
As this last method is high cost, the purpose of this paper is the reduce this cost by a simplification of the direction finding function.
1. Introduction
Les diverses méthodes de goniométrie permettent de
mesurer les incidences en azimut ou bien azimut-site des
émetteurs reçus sur un réseau d'antennes. Pour ce faire, il
existe en hypothèse bande étroite des méthodes à haute
résolution tel que MUSIC[4]. Dans un contexte de
radiocommunication les signaux peuvent être d’une part
bande étroite avec une canalisation en fréquence normalisée
et d’autre part large bande comme les émissions à étalement
de spectre de type PN (Pseudo Noise). On reçoit donc des
signaux ayant des caractéristiques spectrales très différentes.
Classiquement, la goniométrie est réalisée systématiquement
canal par canal après découpage régulier de la bande
fréquentielle en canaux. Cette technique ne tient pas compte
d’une part de l’occupation fréquentielle des émetteurs  et
d’autre part est inadaptée aux signaux large bande s’étalant
sur plusieurs longueurs d’ondes : En effet les performances
dépendent du produit BT (Bande de traitement x Temps
d'intégration ).
Lorsque la bande de traitement des signaux est large, elle
peut s’étaler sur plusieurs longueurs d’onde et les techniques
de goniométrie bande étroite ne sont plus applicables. Pour
cela on peut soit appliquer une technique de focalisation
[5][6] permettant de se ramener à un modèle bande étroite
équivalent soit appliquer une méthode large bande [1][7]
exploitant la structure spatio-fréquentielle des sources
incidentes. Ces méthodes spatio-fréquentielles ont tout
d’abord l’avantage d’être directes (non itérative) par rapport
aux techniques de focalisation et ensuite de réaliser une
analyse spectrale conjointe à la goniométrie. En conséquence
on réalise une goniométrie adaptée à l’occupation
fréquentielle des signaux. Toutefois ces méthodes ont
l’inconvénient d’être coûteuses en temps de calcul car
nécessitent l’optimisation d’un spectre multi - dimensionnel
dépendant des paramètres fréquence et direction d’arrivée
des sources.
 L’objectif de ce papier est de réduire ce coût de calcul en
déduisant de ces méthodes spatio-fréquentielles un spectre
dépendant uniquement des directions d’arrivées des sources.
Après avoir décrit la structure du signal nous rappelons le
principe de la goniométrie spatio-fréquentielle et proposons
une version optimisée de cet algorithme.  Pour terminer nous
illustrons  ces traitements par des simulations.
2. Hypothèses et formulation du
problèmes
Considérons un réseau avec N antennes et appelons x(f) le
vecteur des signaux présents en sortie des capteurs à la
fréquence f. Chaque capteur est supposé recevoir un mélange
instantané de M sources décorrélées et bruitées. Sous ces
hypothèses, le vecteur x(f) s’écrit :
x(f) = ∑
=
M
m 1
a(θm,f)  sm(f) + b(f)                  (1)
où b(f) est le vecteur bruit , a(θ,f) est la réponse du réseau
de capteur à une source de fréquence f et d’azimut θ, sm(f)
correspond à l’amplitude complexe de la mième source à la
fréquence f. Sachant que le signal temporel x(t) en sortie des
capteurs est reçu à travers un récepteur de largeur de bande
B centré autour de la fréquence f0, on en déduit que la
relation entre x(t) et x(f) est la suivante :
x(t) = ∫
+
−
2/
2/
0
0
Bf
Bf
x(f)  ej2pift  df                         (2)
Dans un contexte de radiocommunication les sources
reçues dans cette bande B ont des caractéristiques spectrales
variées, c’est à dire des bandes passantes et des fréquences
centrales distinctes. Sachant que Bm et fm sont
respectivement la bande et la fréquence centrale de la mième
source, l’expression du signal x(t) d’après (2) et (1) devient :
x(t) = ∑
=
M
m 1
∫
+
−
2/
2/
mm
mm
Bf
Bf
a(θm,f)  sm(f)  ej2pift  df     + b(t)     (3)
Contrairement à l’expression (1) où le vecteur x(f) est la
résultante de M termes dépendant des vecteurs directeurs
a(θm,f) de chaque source, on s’aperçoit que le vecteur signal
x(t) est la résultante d’un plus grand nombre de termes.
Ainsi une source large bande se décompose non seulement
suivant sa direction θm mais aussi suivant les fréquences de
sa bande de largeur Bm. C’est pourquoi sous l’hypothèse
large bande il est possible d’appliquer une méthode de
goniométrie spatio-fréquentielle qui détermine
conjointement des couples incidence-fréquence (θm,f) où les
sources sont associées à plusieurs couples tel que fm-Bm/2<f<
fm+Bm/2. Toutefois une méthode de goniométrie utilisant les
statistiques d’ordre 2[4] s’applique lorsque le nombre de
termes composant le vecteur x(t) est strictement inférieur à la
longueur N de ce vecteur.
C’est pourquoi les méthodes spatio-fréquentielles des
références [1][7][2] craient un vecteur observation y(t) =[
x(t)T x(t-Ts)T … x(t-(L-1)Ts)T]T plus grand  composé de L
observations x(t-lTs) décalées dans le temps. D’après (3) le
vecteur x(t-kTs) s’écrit:
x(t-kTs)= ∑
=
M
m 1
∫
+
−
2/
2/
mm
mm
Bf
Bf
a(θm,f) e-j2pif k Ts sm(f)  ej2pift df + b(t)
On en déduit donc l’expression suivante du vecteur y(t) :
y(t)= ∑
=
M
m 1
∫
+
−
2/
2/
mm
mm
Bf
Bf
a(θm,f)⊗z(f) sm(f)  ej2pift  df   + bL(t)    (4)
où ⊗ désigne le produit de kronecker, le vecteur z(f)=[1 e-j2pifTs
  … e
-j2pif(L-1)Ts]T et le vecteur bruit bL(t)=[ b(t)T b(t-Ts)T
… b(t-(L-1)Ts)T]T. Le vecteur y(t) est ici la combinaison
linéaire de termes dépendant des vecteurs directeurs
a(θm,f)⊗z(f). Avec ce nouveau vecteur observation de
longueur NL on peut identifier au maximum NL-1 termes
spatio-fréquentiels paramétrés par (θm,f). Ainsi avec y(t) on
peut goniométrer un plus grand nombre de sources large
bande qu’avec x(t).
Il est montré dans [7] que chaque source peut être vu
comme Dm sources ponctuelles. L’entier Dm dépend à la fois
de la bande Bm ainsi que du nombre de décalages temporels
L. Dans ces conditions l’expression (4) devient :
y(t)= ∑
=
M
m 1
∑
=
mD
p 1
a(θm,fpm)⊗z(fpm)  sm(fpm,t)  ej2pifpt + bL(t)     (5)
Où le signal temporel sm(fpm,t) peut être considéré comme
la sortie d’un filtre de bande passante B/L et d’entrée sm(t).
Ainsi, une source bande étroite telle qu’une porteuse se
décomposant sur une fréquence aura un poids de Dm=1
tandis qu’une source s’étalant sur toute la bande B
d’acquisition se décomposera sur au moins Dm=L sources
ponctuelles lorsque Ts=1/B.
L’objectif de ce papier est d’appliquer une méthode à
haute résolution , spatio-fréquentielle et optimisée à l’ordre 2
[4] sur le vecteur observation y(t) pour traiter le cas de
sources large bande ayant des caractéristiques spectrales
variées avec un coût de calcul réduit.
3. Hypothèses des méthodes à haute
résolution
Les méthodes à hautes résolution ont pour objectif de
chercher les paramètres pk des K composantes d’une
observation vectorielle u(t) de longueur J bruitées par n(t) tel
que :
u(t) = ∑
=
K
k 1
d(pk)  αk(t) + n(t)                       (6)
Où pk est un vecteur de paramètres associé à la kième
composante de u(t) et d(p) est un vecteur dont on connaît
l’expression analytique en fonction du vecteur p. Les
méthodes utilisant les statistiques d’ordre 2 calculent la
matrice de covariance suivante :
Ru = E[u(t) u(t)† ]                               (7)
Où E[ . ] désigne l’espérance mathématique. En
supposant que les variables aléatoires αk(t) soient décorrélées
du bruit n(t) spatialement blanc, la méthode MUSIC [4]
extrait de la matrice Ru de rang K un projecteur bruit Πb
orthogonal à tous les vecteurs d(pk) (1<k<K). Ainsi les K
paramètres pk recherchés minimisent la fonction suivante :
Fspectre( p ) = )p(d)p(d
)p(d)p(d
†
†
bΠ
                              (8)
L’estimation des paramètres pk (1<k<K) sera possible
lorsque le rang K de la matrice de covariance Ru,
correspondant au nombre de combinaisons linéaires du
vecteur observation u(t), est strictement inférieur à J.
4. Application aux méthodes spatio-
fréquentielles[1][7][2]
Ces méthodes consistent à appliquer une méthode à haute
résolution à l’ordre 2 sur le vecteur observation y(t) pour
estimer en priorité les directions θm des sources incidentes.
En comparant les équations (5) et (6) on constate que le
vecteur des paramètres à déterminer est composé du couple
incidence-fréquence tel que p=[θ  f]T, d’où le nom de
méthode spatio-fréquentielle. De plus, le nombre de
combinaisons linéaires constituant y(t) vaut K=Σ Dm et un
algorithme de type MUSIC est applicable sur Ry= E[y(t)y(t)†]
avec le vecteur directeur spatio-fréquentiel b(θ,f)=
a(θ,f)⊗z(f). D’après l’équation (8), on estime les K couples
(θm,fmp) en minimisant le pseudo-spectre suivant :
SL(θ,f)= f),(bf),(b
f),(bf),(b
†
†
θθ
θθ byΠ
                           (9)
Où Πby est le projecteur bruit déduit de Ry. Cette méthode
permet l’estimation conjointe des angles θm et des fréquences
appartenant à la bande des sources : On réalise donc
simultanément une goniométrie et une analyse spectrale
évaluant la largeur de bande Bm et la fréquence centrale fm de
chaque source. Sachant que la longueur du vecteur
observation y(t) vaut NL on peut au maximum goniométrer
NL-1 porteuses. Ainsi en présence de signaux à bande
limitée on peut localiser plus de sources que de capteurs.
5. Optimisation des méthodes spatio-
fréquentielles
On constate que pour mettre en œuvre directement une
méthode spatio-fréquentielle il faut calculer un spectre multi-
dimensionnel SL(θ,f) dépendant de l’incidence θ et de la
fréquence f. La méthode est alors très coûteuse en temps de
calcul. C’est pourquoi nous proposons d’utiliser la structure
particulière du vecteur directeur b(θ,f) pour réaliser une
recherche séparée de l’azimut θ et de la fréquence f. On
estime tout d’abord les incidences θm des sources pour en
déduire dans un second temps les fréquences fpm ( 1<p<Dm)
associées.
5.1 Estimation des angles d’incidence
La première étape de l’algorithme d’estimation des angles
consiste à séparer la contribution de l’azimut et de la
fréquence en écrivant le vecteur directeur sous le forme
b(θ,f)=U(θ) k(f) et la seconde à appliquer un algorithme de
type Ferrara-Parks [8] pour en déduire un spectre dépendant
uniquement de la direction θ.
1ière étape : Transformation de b(θ,f) en U(θ) k(f) :
Sachant que d’après (2) les signaux incidents sont dans une
bande de traitement B autour d’une fréquence centrale f0, il
est possible de réaliser une interpolation polynomiale du
vecteur directeur a(θ,f) en fonction de f-f0 tel que :
a(θ,f)= ∑−
=
1
0
I
i
vi(θ) (f-f0)i  = VI(θ) dI(f)                (10)
où   VI(θ)=[v0(θ) …  vI-1(θ)]   et   dI(f)=[1 (f-f0) … (f-f0)I-
1]T. La longueur de l’interpolation I sera d’autant plus
importante que les vecteurs a(θ,f0±B/2) seront différents du
vecteur a(θ,f0) utilisé en hypothèse bande étroite. Cette
hypothèse sera vérifiée lorsque les vecteurs de bout de bande
a(θ,f0±B/2) sont pratiquement égaux à a(θ,f0). L’ordre I de
l’interpolation dépendra alors de la corrélation entre les
vecteurs a(θ,f0) et a(θ,f) dans la bande B des récepteurs:
Avec un vecteur a(θ,f) nécessitant une interpolation linéaire
d’ordre I, une source de largeur de bande B se décompose
suivant Dm=I sources ponctuelles lorsque L=1 (5)(3). De
cette interpolation (10) on en déduit l’expression suivante de
b(θ,f):
b(θ,f)=a(θ,f)⊗z(f) =










−−
−
)1(2
2
),(
),(
),(
LfTj
fTj
s
s
efa
efa
fa
pi
pi
θ
θ
θ
 
=U(θ) k(f)    (11)
Où U(θ)=










)000
000
00)0
000)
(V
(V
(V
I
I
I

  et k(f)=










−−
−
)1(2
2
)(
)(
)(
LfTj
I
fTj
I
I
s
s
efd
efd
fd
pi
pi

La matrice U(θ) est de dimension NLxLI et k(f) est un
vecteur de longueur LI.
2ième étape : Déduction d’un spectre dépendant de
l’incidence θ : En remplaçant l’expression du vecteur b(θ,f)
dans l’équation (9) on obtient :
SL(θ,f) =   (f)k)()((f)k
(f)k)()((f)k
††
††
θθ
θθ
UU
UU byΠ
                (12)
En utilisant la technique de [8] on minimise dans chaque
direction θ le spectre SL(θ,f) en fonction k(f) et on obtient un
spectre Smin(θ) dépendant uniquement de l’azimut tel que :
SLmin(θ)=λmin{ U(θ)†ΠbyU(θ),U(θ)†U(θ) }               (13)
λmin{ Q1 ,Q2 } : valeurs propres généralisées minimales
des matrices Q1 et Q2. Ainsi la goniométrie va consister à
estimer les incidences θm des sources (1<m<M) qui annulent
la fonction SLmin(θ). On évite ainsi de faire une recherche
multi-dimensionnelle en angle et fréquence.
La détermination de la valeur propre minimale λmin
nécessite une non dégénérescence de la matrice
U(θ)†ΠbyU(θ), c’est pourquoi le rang du projecteur bruit Πby
doit être supérieur à celui de U(θ)†U(θ). Comme la matrice
U(θ) est formée de vecteurs non colinéaires, le rang de
U(θ)†U(θ) vaut LI. En conséquence il faut que Πby ait un
rang supérieur à LI et le nombre maximale de composantes
spatio-fréquentielles (θm,fmp) identifiables vaut K=NxL-(LI)
ou encore (N-I)xL.
5.2 Estimation des fréquences
L’objectif est de déduire de l’incidence θm de la mième
source les fréquences fpm ( 1<p<Dm) associées. Dans ces
conditions les matrices U(θm)†ΠbyU(θm) et U(θm)†U(θm) ont
Dm valeurs propres généralisées prochent de zéro associées
aux vecteurs propres généralisées em(i) qui sont alors des
combinaisons linéaires des vecteurs k(fpm) tel que:
em(i)= ∑
=
mD
p 1
γip  k(fpm)     pour      1< i <Dm            (14)
Comme cette dernière expression est du même type que
(6), on peut appliquer sur les observations em(i) un
algorithme de type MUSIC pour identifier les fréquences fpm
de la mième source en utilisant k(f) comme vecteur directeur.
6. Simulations
Dans les simulations suivantes nous utilisons un réseau
composé de N=5 capteurs. Le signal reçu est centré autour de
f0=100Mhz dans une bande passante de B=20MHz. La
longueur de l’interpolation en fréquence des vecteurs
directeurs vaut I=2 et le nombre de décalages temporels vaut
L=3. Le temps d’intégration des matrices de covariance est
de 3000 échantillons indépendants et les sources sont à 10dB
de rapport signal sur bruit. Comme nous traçons les spectres
de goniométrie en –10log10() les maxima correspondent aux
incidences estimées des sources.
 Sur les figures FIG.1 et FIG.2 nous simulons 3 sources
d’incidences θ1=60° , θ2=75° et  θ3=150° de largeur de
bande B1=0MHz , B2=10MHz  et B3=0MHz centrées autour
de f1=104MHz , f2=100MHz et f3=103MHz. Comme
l’indique le spectre de la méthode spatio-fréquentielle de
FIG.1, le signal y(t) se décompose suivant K=5 termes spatio-
fréquentielles dont 3 sont associés à la source large bande
d’incidence θ2=75° et les 2 suivantes aux sources bande
étroite d’incidences θ1=60° et  θ3=150°. La figure FIG.2
montre que la méthode spatio-fréquentielle optimisée permet
bien de localiser les 3 sources tandis que la méthode bande
étroite utilisant les vecteurs à la fréquence f0 sépare mal les
sources d’incidences θ1=60° et θ2=75°.
(θ1,f11) (θ3,f31)
(θ2,f21)
(θ2,f22)
(θ2,f23)
FIG. 1 : Spectre de la méthode spatio-fréquentielle
Méthode proposée
MUSIC en f0
0 50 100 150
10
20
30
40
50
60
θ(deg)
Sp
ec
tr
e 
(dB
)
FIG. 2 : Méthode spatio-fréquentielle optimisée
Sur la figure FIG.3 nous simulons 6 porteuses d’incidence
θ1=30° θ2=56° θ3=89° θ4=125° θ5=44°  θ6=159° et de
fréquence f1=108.5MHz f2=103.3MHz f3=97.8MHz
f4=105.4MHz f5=95 MHz et f6=92.9MHz. On peut donc
goniométrer plus de sources que de capteurs car dans cet
exemple on identifie 6 sources pour 5 capteurs.
0 50 100 150
10
20
30
40
50
θ(deg)
Méthode proposée
MUSIC en f0
FIG. 3 : Cas avec plus de sources que de capteurs
7. Conclusions
L’algorithme spatio-fréquentielle optimisée permet de
goniométrer des sources large bande ayant des
caractéristiques spectrales variées avec un coût de calcul
réduit. De plus on réalise une analyse spectrale sur les
sources incidentes conjointement à la goniométrie. Cette
méthode a l’avantage de goniométrer plus de sources que de
capteurs en présence de signaux à bande fini Bm strictement
inférieure à la bande B de réception.
Références
[1] Y.Grenier et Ph.Loubaton  Localisation de sources
large bande par des méthodes temporelles  12ième
Colloque GRETSI, Juans les Pins , juin 1989.
[2] G. Bienvenu  Eigensystem properties of the sample
space correlation matrix, ICASSP 83, Boston, pp 332-
335.
[3] B.Senadji et Y.Grenier  Broadband source localization
by regularization techniques , ICASSP 93, pp 321-324.
[4] R.O Schmidt  A signal subspace approach to multiple
emitters location and spectral estimation, PhD Thesis,
Stanford University, CA , Nov 1981.
[5] H.Wang et M.Kaveh Coherent Signal Subspace
processing for the detection and estimation of multiple
wideband sources, IEEE trans on ASSP, vol 33,
n°4,pp823-831,1985
[6] H.Wang et M.Kaveh Wideband adaptative array based
on the coherent signal-subspace transformation",
ICASSP 87, Dallas, pp2011-2014.
[7] KM Buckley , LJ.Griffiths Eigenstructure Based
broadband Source Location Estimation, ICASSP 86
Tokyo. 
[8] Ferrara, Parks Direction finding with an array of
antennas having diverse polarizations,  IEEE trans on
antennas and propagation, mars 1983.


Mise en oeuvre d'une Goniométrie spatio-fréquentielle large bande

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