- L'objet de ce travail est la reconstruction de la forme d'un défaut compact dans un milieu homogène en tomographie X pour des applications en contrôle non destructif. Nous modélisons la forme du défaut par un polyèdre et estimons les coordonnées de ses sommets directement à partir des projections. L'estimateur choisi est le maximum a posteriori et l'algorithme proposé est de type recuit simulé ou descente itérative par coordonnées. L'initialisation se fait à l'aide d'une méthode qui estime les moments géométriques de l'objet à partir des projections. Le caractère multirésolution intervient au niveau algorithmique : nous utilisons la solution obtenue à une résolution donnée comme initialisation à la résolution plus fine suivante

MOHAMMAD-DJAFARI, Ali

SOUSSEN, Charles

I-Revues

Approche multiresolution pour la reconstruction 3D
de defaut en tomographie X
Charles Soussen, Ali Mohammad{Djafari
Laboratoire des Signaux et Systemes (CNRS{SUP

ELEC{UPS)
Supelec, Plateau de Moulon, 91192 Gif{sur{Yvette Cedex, France
soussen@lss.supelec.fr, djafari@lss.supelec.fr
Resume { L'objet de ce travail est la reconstruction de la forme d'un defaut compact dans un milieu homogene en tomographie X
pour des applications en contro^le non destructif. Nous modelisons la forme du defaut par un polyedre et estimons les coordonnees
de ses sommets directement a partir des projections. L'estimateur choisi est le maximum a posteriori et l'algorithme propose est
de type recuit simule ou descente iterative par coordonnees. L'initialisation se fait a l'aide d'une methode qui estime les moments
geometriques de l'objet a partir des projections. Le caractere multiresolution intervient au niveau algorithmique : nous utilisons
la solution obtenue a une resolution donnee comme initialisation a la resolution plus ne suivante.
Abstract { This work handles the 3D shape reconstruction from X-ray tomographic projection data in nondestructive testing
applications. We model the shape of a homogeneous compact default in a homogeneous background by a polyhedron and estimate
directly its vertices coordinates from the data. This estimation is dened as the maximum a posteriori (MAP) estimate, and
the MAP criterion is optimized either by simulated annealing or by iterative coordinate descent techniques. The initial solution
is obtained by computing the geometric moments of the object from the data. The multiresolution step is here part of the
optimization process. It consists of using the solution obtained at a given resolution level as an initial solution for the following
ner resolution level.
1 Introduction
La detection et la reconstruction tomographique de de-
fauts homogenes compacts dans un fond homogene a par-
tir d'un faible nombre de projections a angles limites sont
des problemes typiques du contro^le non destructif (CND).
Les materiaux qui constituent les defauts et le fond etant
en general connus, nous pouvons supposer sans perte de
generalite, que leur densites valent 1 et 0. Le milieu se
modelise alors sous la forme d'une image binaire 2D ou
3D.
Plusieurs categories de methodes traitent le probleme de
la reconstruction d'images 3D binaires avec des contours
fermes. La plus classique modelise l'objet par un ensemble
de voxels binaires [1] et estime ces derniers au sens du
maximum a posteriori (MAP) en utilisant une modelisa-
tion markovienne. La fermeture des contours peut alors
faire partie des informations a priori . D'autres methodes
proposent une reconstruction directe du contour ferme de
l'objet en le modelisant comme le passage a zero d'une
fonction de dimension superieure (methodes dites par cour-
bes de niveaux ou level{set) [2]. Enn, il existe des metho-
des qui modelisent le contour par des formes geometriques
deformables dont les parametres sont estimes a partir des
donnees [3, 4]. La methode que nous proposons rentre dans
cette derniere categorie. Sa particularite est de modeliser
l'objet par un polyedre dont les sommets sont estimes au
sens d'un critere MAP, avec une information a priori
markovienne sur leurs positions. L'avantage d'une telle
approche est la reduction considerable du nombre de pa-
rametres a estimer, malgre la non linearite du probleme,
inherente a la modelisation geometrique. Du point de vue
algorithmique, nous proposons une methode multiresolu-
tion. Elle consiste a realiser des estimations iteratives de
polyedres, ou la premiere iteration correspond la resolution
la plus grossiere. Le nombre de sommets du polyedre aug-
mente alors a mesure que la resolution s'aÆne.

A chaque
iteration, la maximisation du critere a posteriori est realisee
par une methode de type recuit simule [5] ou descente
iterative par coordonnees (ICD, [1]). L'initialisation a la
resolution la plus basse est un ellipsode obtenu en es-
timant les moments geometriques de l'objet a partir des
donnees. Aux autres resolutions, l'initialisation correspond
au resultat de l'iteration precedente.
2 Modelisation polyedrale
L'expression generale des donnees en tomographie a
rayons X est
p
i
(t) =
ZZZ
R
3
f(x) Æ (r
i
(x)  t ) dx+ b
i
(t); (1)
i = 1; : : : ; n, ou x = (x; y; z) represente les coordonnees
d'un point dans l'espace, t = (; ) celles d'un point dans
le plan d'une projection. r
i
(x) dsigne les coordonnees du
point d'intersection d'un rayon, dni par la source et le
point x, avec le plan de la i-eme projection. n est le nombre
de projections, Æ la fonction de Dirac 2D, et b
i
le bruit
inherent a la modelisation et a la i-eme mesure, suppose
blanc et gaussien.
Dans les approches qui modelisent l'objet sous forme de
voxels, une discretisation de (1) aboutit a
p = Af + b; (2)
ou les vecteurs f et p representent l'ensemble des voxels
et des donnees, et A est une matrice dont les elements ne
dependent que de la geometrie du probleme. L'estimation
de f au sens duMAP est obtenue en optimisant un critere
de la forme
J (f ) = kp Afk
2
+ U(f ); (3)
ou U(f) est la fonction d'energie du modele markovien
choisi pour l'objet.
Dans l'application consideree, nous supposons que le defaut
recherche represente une seule zone compacte du domaine
investi. Ce defaut peut neanmoins e^tre non convexe et
donc complexe a reconstruire. Nous avons donc choisi de
modeliser cette zone par un polyedre P :
f(x) =

1 si x 2 P ;
0 sinon.
(4)
Dans ce qui suit, nous notons P = (V ;F ) ou
V = (V
1
; : : : ; V
N
) contient les coordonnees des sommets
du polyedre et F represente ses faces, supposees triangu-
laires. Le probleme direct (1) s'ecrit alors :
p
i
(t) =
ZZZ
P
Æ (r
i
(x)  t ) dx+ b
i
(t); i = 1; : : : ; n: (5)
Le probleme de l'estimation du defaut se ramene alors
a l'estimation du polyedre P a partir des donnees.

Etant
donne un ensemble de sommets, il existe plusieurs polyedres
qui possedent ces sommets. De facon a simplier le probleme
de reconstruction, nous supposons xes les indices des
sommets qui composent chaque face. Le probleme direct
se simplie alors sous la forme
p = A(V ) + b; (6)
ou A est un operateur non lineaire sur les sommets. Nous
estimons V dans un cadre bayesien. L'estimateur mini-
mise
J (V ) = kp A(V )k
2
+ 
N
X
i=1

 
V
j
  V
0
j

; (7)
ou (V ) = kV k

; 1 6  6 2, et V
0
j
designe le barycentre
des voisins du sommet V
j
. La technique de minimisation
est basee sur l'algorithme ICD [1], ou les sommets du
polyedre sont visits cycliquement. Le sommet V
j
prend
une position sur la droite (V
j
V
0
j
) ; il est modie suivant
un processus aleatoire, et sa nouvelle position est acceptee
si elle induit une diminution du critere J . Ce balayage
sommet par sommet permet une mise jour du critre peu
cou^teuse puisqu'il n'engendre qu'une modication locale
du polyedre. On calcule ainsi la valeur du critere en la
conguration modiee a partir de celle de la conguration
anterieure en ne considerant que la partie du polyedre qui
a subi un changement.
L'initialisation est realisee par une methode qui consiste
a evaluer les moments geometriques de l'objet jusqu'a un
certain ordre (habituellement 2 ou 3) a partir des donnees.
Puis, le polyedre initial est estime a partir des moments
geometriques evalues [6].
3 Algorithme multiresolution
La methode proposee en section 2 est une generalisation
de la modelisation polygonale de defauts pour le probleme
equivalent en dimension 2 [7], qui donne satisfaction et
permet une reconstruction rapide. Cependant, certaines
diÆcultes techniques apparaissent en 3D. En particulier, il
est frequent d'obtenir, apres un grand nombre d'iterations,
des congurations singulieres dans lesquelles une are^te et
une face du polyedre s'intersectent. Pour pallier a cette
p
1
p
2
p
0
V0V1
x
V2
0
VN
y
a)
p
0
V0V1
V2
1
VN
p
1
p
4
3
p
3
p
2
p
5
y
x
V
b)
p
0
p
1
p
4
p
3
p
2
p
5
V
x
2
3V
V1
V0
1
VN
y
c)
Fig. 1 { Illustration en 2D d'une iteration de la methode
multiresolution : a) solution a l'iteration r 1, b) ajout de
sommets sur les are^tes les plus longues de ce polygone et
augmentation du nombre de donnees disponibles, c) solu-
tion a l'iteration r courante.
diÆculte et pour accelerer la reconstruction, nous avons
choisi une strategie multiresolution. Son principe est de
commencer par un faible nombre de sommets pour obtenir
une solution qui est utilisee comme solution a priori a
l'etape suivante. Puis, le rajout progressif de sommets au
polyedre permet d'aÆner la reconstruction. Le principe de
cette methode est illustre sur la gure 1
1
.
1. Pour cause de complexite des graphiques 3D, nous considerons
sur cette gure le probleme analogue en dimension 2, dans lequel
l'objet est un polygone.
En notant r le niveau de resolution courant et R+ 1 le
nombre total de niveaux (en general inferieur a 5), l'algo-
rithme se resume :
{ r = 0. Calculer une premiere reconstructionP
0
= (V
0
;F
0
)
a N
0
sommets par la methode monoresolution, a partir
des donnees (1) sous-echantillonnees.
{ Pour r = 1; : : : ; R,
{ Sous-echantillonner les donnees initiales avec une fre-
quence multiple de celle du pas precedent.
{ Augmenter le nombre total de sommets N
r 1
du
polyedre. Transformer le polyedre P
r 1
en une con-
guration equivalente P
0
r
= (V
0
r
;F
r
) a N
r
sommets.
{ Reconstruire P
r
= (V
r
;F
r
) par l'algorithme mono-
resolution en utilisant P
0
r
comme solution initiale.

A chaque etape r > 1, l'augmentation du nombre de som-
mets est obtenue en dupliquant les faces dont les surfaces
sont superieures a un seuil S
r
, ou S
r
est la surface de P
r
,
et  > 0 est un parametre arbitraire. Pour limiter le vo-
lume de calculs, les donnees initiales sont echantillonnees ;
le nombre de donnees intervenant dans J est d
r R
n M ,
ou d est le pas de sous-echantillonnage. Le nombre de
pixels par projection, note M , est suppose e^tre une puis-
sance de d.
4 Resultats de simulation
4.1 Cas bidimensionnel
La simulation presentee sur la gure 2 correspond a
la donnee de 5 projections bruitees d'un objet compact,
avec un rapport signal sur bruit (RSB) de 20 dB. Nous
avons choisi R = 4 niveaux de resolution et un poly-
gone initial a 5 sommets. Pour des raisons de simplicite,
le passage d'un niveau de resolution au suivant s'eectue
en placant un nouveau sommet au barycentre de chaque
are^te. Le nombre de sommets du polygone deformable est
donc double.  est xe a 1 et  a 2. Le nombre d'iterations
est de 50 en monoresolution et de 10 pour chaque resolution
en multiresolution. Les resultats des deux algorithmes sont
analogues et proches de l'objet reel mais l'algorithme mul-
tiresolution reduit sensiblement la complexite numerique.
4.2 Cas tridimensionnel
Nous presentons une simulation en 3D sur les gures
3 et 4. Les donnees simulees correspondent a 9 projec-
tions bruitees d'un objet compact, avec un rapport si-
gnal sur bruit de 20 dB. Nous avons considere 2 niveaux
de resolution. Les parametres  et  sont xes a 1 et
1.2. Le parametre  est xe a la premiere iteration de
chaque resolution de telle sorte que le terme de delite
aux donnees represente 90 % de la fonction d'energie.
Le polyedre deformable contient 58 sommets et 112 faces
a la premiere resolution, puis 102 sommets et 200 faces
a la seconde. Il est important de noter que l'initialisa-
tion a la seconde resolution et le resultat de la premiere
ne dierent que par leur nombre de sommets, la forme
des deux polyedres etant exactement la me^me. En eet,
chaque sommet rajoute est deni comme le barycentre
d'une face preexistante et ne modie donc pas cette face.
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
f(x,y)
x
y
−30 −20 −10 0 10 20 30
−30
−20
−10
0
10
20
30
a) b)
−30 −20 −10 0 10 20 30
−30
−20
−10
0
10
20
30
−30 −20 −10 0 10 20 30
−30
−20
−10
0
10
20
30
c) d)
−30 −20 −10 0 10 20 30
−30
−20
−10
0
10
20
30
−30 −20 −10 0 10 20 30
−30
−20
−10
0
10
20
30
e) f)
Fig. 2 { Cas bidimensionnel ; Donnees et reconstructions
par les methodes directe et multiresolution. a) l'objet et ses
projections bruitees, b) initialisation (contour elliptique)
et reconstruction par l'algorithme monoresolution, c-f)
reconstructions pour les 4 niveaux de l'algorithme mul-
tiresolution. Sur chacun des graphes c-f) sont representes
l'objet reel, l'initialisation et le resultat de la reconstruc-
tion pour la resolution courante.
5 Conclusions
Dans cette presentation, nous avons expose une methode
originale de reconstruction d'un objet tridimensionnel com-
pact homogene dans un fond homogene en tomographie
a rayons X. Cette approche modelise le defaut par un
polyedre dont les sommets sont estimes a partir des don-
nees dans un contexte bayesien. Nous considerons les resul-
tats de la section 4 tres encourageants, notre methode
permettant la reconstruction de formes relativement com-
plexes de facon rapide. Nos travaux futurs s'orientent vers
une amelioration de l'initialisation, qui conditionne forte-
ment la qualite des reconstructions. Nous pensons egale-
ment explorer d'autres strategies stochastiques d'optimi-
sation (methode de type Monte Carlo), qui pourraient per-
mettre d'eviter la convergence de l'algorithme vers des mi-
nima locaux de la fonction d'energie.
a)
10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
50
60
b)
Fig. 3 { Cas tridimensionnel. a) objet original, b) donnees
simulees : 9 projections bruitees a angles limites sur un
detecteur identique. Chaque projection contient 64  64
pixels, le rapport signal sur bruit vaut 20 dB.
References
[1] C. A. Bouman et K. D. Sauer, (( A unied approach to
statistical tomography using coordinate descent optimiza-
tion )), IEEE Trans. Image Processing, vol. 5, n
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3, pp. 480{
492, mars 1996.
[2] F. Santosa, (( A level-set approach for inverse problems
involving obstacles )), Control, Optimisation and Calculus
of Variations, vol. 1, pp. 17{33, 1996.
[3] Y. Amit et K. M. Manbeck, (( Deformable template models
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vol. 12, n
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[4] K. M. Hanson, G. S. Cunningham, et R. J. McKee, (( Un-
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mable models )), in Image Processing, K. M. Hanson, ed.,
Proc. SPIE, vol. 3034, pp. 276{286, 1997.
[5] S. Geman et D. Geman, (( Stochastic relaxation, Gibbs
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IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. PAMI-6,
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6, pp. 721{741, novembre 1984.
[6] C. Soussen et A. Mohammad-Djafari, (( Recovery of mo-
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projection data )), soumis a Graphical Models and Image
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[7] A. Mohammad-Djafari et Y. Khayi, (( Array processing
techniques and shape reconstruction in tomography )), in
Proc. IEEE ICASSP, Munich, Germany, avril 1997, vol. II,
pp. 3785{3789.
a)
b)
c)
d)
Fig. 4 { Reconstruction de la forme polyedrale avec 2 ni-
veaux de resolution. a) initialisation par un ellipsode, b)
reconstruction monoresolution apres 10 iterations, c) pas-
sage au second niveau de resolution { ce polyedre, utilise
comme initialisation au second niveau de resolution, est
identique a b) mais possede davantage de sommets et de
faces, d) reconstruction nale obtenue apres 10 iterations.


Approche multirésolution pour la reconstruction 3D de défaut en tomographie X

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