Les images scintigraphiques sont utilisées dans nombreux domaines tels que la médecine nucléaire, le contrôle non destructif. Cependant, elles sont de qualité très médiocre à cause de plusieurs sources de dégradation. Nous proposons une restauration basée sur l'approche Bayes-Markov. La détection de discontinuités et la restauration des zones homogènes sont réalisées efficacement par un modèle markovien avec processus de ligne implicite. La qualité des images restaurées est mise en évidence par les mesures du contraste autour des transitions et d'uniformité dans les régions homogènes en comparaison avec deux autres méthodes existantes

GUILLEMIN, Hervé

NGUYEN, Mai Khuong

I-Revues

Approche Bayes-Markov et restauration d’images
scintigraphiques
Mai Khuong NGUYEN1 et Hervé GUILLEMIN2
1ETIS (CNRS URA 2235- ENSEA- Université de Cergy-Pontoise),
Ecole Nationale Supérieure de l’Electronique et ses Applications, 6 Av. du Ponceau, 95014 Cergy-Pontoise, France
2Laboratoire de Biophysique, Faculté de médecine de Besançon, 2 Place St Jacques, 25000 Besançon, France
nguyen@ensea.fr
Résumé – Les images scintigraphiques sont utilisées dans nombreux domaines tels que la médecine nucléaire, le contrôle non destructif.
Cependant, elles sont de qualité très médiocre à cause de plusieurs sources de dégradation. Nous proposons une restauration basée sur
l’approche Bayes-Markov. La détection de discontinuités et la restauration des zones homogènes sont réalisées efficacement par un modèle
markovien avec processus de ligne implicite. La qualité des images restaurées est mise en évidence par les mesures du contraste autour des
transitions et d’uniformité dans les régions homogènes en comparaison avec deux autres méthodes existantes.
Abstract – Scintigraphic imagery is widely used in nuclear medicine and in industrial testing. However, the image quality is very poor due to
several degradations. We propose a restoration based on the Bayes-Markov approach. The discontinuity recovery and the homogenous zones
restoration  are improved thanks to the Markov random field model (MRF) with implicit line process. The performance of this approach are
shown through the quality measures in terms of contrast around the edges and uniformity in the images, in comparison to two other existing
methods.
1. Introduction
L’imagerie scintigraphique suscite un grand intérêt dans
nombreux domaines : imagerie fonctionnelle en médecine
nucléaire, détection de défauts ou de sources radioactives en
contrôle non-destructif. Elle permet de mettre en évidence des
phénomènes difficilement observables directement, et
constitue en ce sens une source d’informations irremplaçable.
Nous nous sommes intéressé à l’imagerie scintigraphique
en médecine nucléaire. L’objectif est de reconstruire la
projection sur un plan de la répartition volumique du traceur
radio-isotopique au sein d’un organe à partir de la détection
du rayonnement gamma produit par ce marqueur radioactif.
Des zones à niveau de gris plus ou moins élevé par rapport au
reste de l’image donnent accès à des informations
fonctionnelles sur l’organe étudié.
Cependant, les images scintigraphiques sont de qualité très
médiocre. Les causes de dégradation sont nombreuses : bruit
Poissonien du processus d’émission photonique, diffusion des
photons gamma dans les différents milieux traversés,
atténuation du faisceau de photons gamma dans les tissus
biologique, non uniformité de la réponse impulsionnelle de la
caméra gamma et mauvaise résolution tant spatiale
qu’énergétique du détecteur gamma. Ces phénomènes se
traduisent globalement par un flou spatial non stationnaire
dans l’image. L’ensemble de ces défauts empêche de détecter
correctement les éventuelles zones hétérogènes de petites
tailles [1], [2], [3] Dans ces conditions, la restauration des
images scintigraphiques s’inscrit dans la classe des problèmes
inverses mal-posés, au sens de Hadamart [4], [5].
La résolution d’un tel problème  passe par l’introduction
des contraintes a priori (régularisation) sur l’image
recherchée.
Le but de notre travail est d’améliorer la qualité des images
scintigraphiques en vue d’augmenter le seuil de détectabilité
des régions malades. La capacité de détection des parties
atteintes les plus petites possibles dans les organes est très
important en médecine nucléaire (par exemple, détection des
nodules chauds ou froids cachés dans la thyroïde). Il est
indispensable non seulement de restaurer l’objet original
(organe) régulier dans l’ensemble, mais aussi de détecter les
faibles discontinuités (parties susceptibles d’être atteintes
dans un organe).
La méthode traditionnelle de régularisation par un a priori
de type quadratique (gaussien par exemple) n’est pas adaptée
à  la restauration des discontinuités.
Nous proposons une nouvelle méthode de restauration des
images scintigraphiques basée sur l’approche Bayes-Markov.
Cette approche duale fournit un cadre théorique unifiant et
puissant pour régulariser un problème mal-posé : une
estimation bayésienne au sens du Maximum A Posteriori
(MAP) permet de combiner des informations de différentes
natures sur la solution, et l’intérêt essentiel des modèles
markoviens (MM) réside dans la prise en compte des
interactions locales au niveau de pixel (énergie locale).
L’énergie globale est définie comme une somme d’énergies
locales. Bien que le modèle ainsi défini soit un modèle global,
il n’en demeure pas moins à caractère local. Les champs
markoviens autorisent en outre l’introduction d’un processus
non observé (processus de ligne l) pour modéliser les
discontinuités du processus x à estimer [6].
Lorsqu’un processus de ligne est explicite, des variables
auxiliaires sont introduites pour localiser et préserver les
discontinuités. Les variables de ligne peuvent être binaires  ou
à valeurs continues. Dans le premier cas et pour un modèle
markovien d’ordre un, le processus de ligne est défini en
chaque site  par une variable booléenne qui prend la valeur 1
(ou 0) si une discontinuité existe (ou non). L’énergie a priori
portant sur (x et l) est conjointe. La restauration d’image
nécessite de résoudre un problème de double estimation :
estimation du champ x et celle du processus de ligne l. Une
telle estimation conduit souvent à un problème de calcul
prohibitif et limite ses applications en routine clinique.
Nous proposons un MM avec un processus de ligne
implicite et continu (MM-PLIC ) inspiré de [7]. Dans ce cas,
la fonction d’interactions locales entre les pixels est construite
de façon à préserver implicitement les discontinuités sans
introduire des variables auxiliaires visant à les localiser.
Les avantages du modèle MM-PLIC sont nombreux :
- La détection de faibles transitions ainsi que la
restauration des zones homogènes sont réalisées correctement
sans introduire des variables supplémentaires, mais plutôt en
choisissant judicieusement la fonction d’interactions non
convexe associée au champ markovien,.
- A l’étape d’optimisation, un algorithme basé sur le
principe de Non Convexité Graduelle (GNC: Graduated Non
Convexity) peut être appliqué au processus de ligne implicite,
ce qui n’est pas le cas pour un processus de ligne explicite
[8], [9]. Malgré sa solution sous-optimale, le GNC présente
plusieurs atouts: c’est un algorithme de relaxation
déterministe, rapide, indépendant du système de voisinage,
peu sensible au schéma de relaxation, aux paramètres de
régularisation et au point initial, et dont la solution est stable.
- Nous préférons un processus de ligne continu (les
variables de ligne ont les valeurs continues dans un intervalle)
à un processus de ligne booléen car le dernier peut entraîner
des problèmes de non-continuité de la solution par rapport
aux données, donc conduire à des solutions instables.
Nous avons appliqué la méthode au cas des images
scintigraphiques de thyroïdes. Les données réelles sont
acquises sur une caméra gamma à partir d’un fantôme.
Les résultats sont comparés aux images restaurées par la
méthode du Maximum de Vraisemblance (MV) proposée
dans [10] et celle du MAP avec régularisation gaussienne
(MAP-Gauss) proposée dans [11]. L’amélioration apportée
par cette nouvelle approche est mise en évidence par
différentes mesures de qualité : contraste autour des
discontinuités et uniformité (variance) dans les régions
homogènes des images originale et restaurée.
Les méthodes et algorithmes proposés fournissent de bons
résultats après un temps de calcul très raisonnable (réduction
du temps par un facteur dix par rapport aux algorithmes de
relaxation stochastique de recuit simulé).
2.
 
 Méthode et algorithme
Le processus de formation des images est régi par un
modèle linéaire avec bruit blanc Poissonien. Nous notons
respectivement x et y, les vecteurs des images recherchée et
observée. Le nombre Yi de photons détectés au site pixel i
dans l’image observée suit une loi de Poisson de paramètre
E[Yi] = mi, où mi représente le nombre moyen de photons
détectés au pixel i par la caméra gamma :
E[Yi] = mi = C xij j
j
N
i. ( . )
=
å
=
0
1
C x (1)
Chaque composante Cij de la matrice C peut être considéré
comme la probabilité qu’un photon émis à la position réelle j
dans l’image recherchée soit détecté au pixel i par la caméra
gamma.
Du fait du mauvais conditionnement de cette matrice, la
restauration des images scintigraphiques est typiquement un
problème inverse mal-posé [4]. Nous proposons de résoudre
ce problème dans un cadre Bayésien. L'image restaurée  est
celle qui maximise la probabilité a posteriori suivant la règle
de Bayes [12]:
p(X=x|Y=y) = p(Y=y|X=x).p(X=x) / p(Y=y) (2)
Le premier terme, p(Y=y|X=x), assure la fidélité de la
solution aux données observées. Il dépend uniquement du
modèle de formation des images :
p Y X
y
i
y
i
i
i
N i
( ) ( . )
!
.exp( ( . ) )= = = -
=
-
Õ
y x
C x C x
0
1
(3)
Le second, p(X=x), reflète les caractéristiques (contraintes
a priori) de l'objet recherché.
Dans notre travail, le champ X étant modélisé par un
champ de Markov, la densité de probabilité p(X=x) prend la
forme particulière suivante :
p(X=x) = 1/Z.exp[-U(x)] with 
å
˛
=
z
a
c
cVU )()( xx (4)
où Z est une constante de normalisation, Vc est la fonction de
potentiel d’interactions locales associée au champ de Markov,
z  est l’ensemble de toutes les cliques associé au système de
voisinage choisi.
En vue de modéliser à la fois les discontinuités et les
régions homogènes, nous avons construit Vc  à partir de la
fonction d’interactions inspirée dans [7], [8], [9]:
22
.3
)(
d+
=
u
u
uVc (5)
où u symbolise les approximations numériques des gradients
horizontaux et verticaux en chaque pixel (dans le cas d’un
voisinage d’ordre un), d  est un paramètre liée aux seuils de
transitions entre les différentes régions de l’image. (5) est
une fonction d’interactions locales particulière. Elle est
concave dans (0, ¥ ) et a le comportement asymptotique fini :
limu->¥  Vc(u) < ¥ . Une telle fonction définit implicitement un
processus de ligne continu qui permet de détecter
efficacement des discontinuités sans introduire les variables
de ligne [7].
Le maximum de la probabilité a posteriori s'obtient alors
en minimisant une somme pondérée entre les deux termes
suivants :
( )F( y Vi i i
i
N
c
c
x C x C x x) .ln(( . ) ) ( . ) . ( )= - + +
= ˛
å å
0
1
 a
z
(6)
où a  joue le rôle du paramètre de régularisation.
La solution est celle qui minimise (6) :
xmap = Argmin F(x).
L’image restaurée est le minimum global de la fonction
(6). Malheureusement cette fonction est non convexe par
rapport à x car son Hessien est une matrice non définie
positive. La résolution du MAP devient donc un problème
variationnel  qui consiste à la minimisation d’une fonction
non convexe.
Les méthodes de relaxation stochastique convergent
théoriquement vers le minimum global [13], [14]. Leur
principal inconvénient est dû à des temps de calculs beaucoup
trop longs.
Nous avons développé un algorithme de relaxation
déterministe basé sur le GNC présenté pour la première fois
dans [8] en segmentation d’images, puis généralisé au cas des
problèmes inverses dans [9]. Le principe du GNC consiste à
approximer une fonction non convexe  F(x) par une suite de
fonctions Fr(x) continûment dérivables, convergent vers F
lorsque r tend vers l’infini, et telle que F0 soit convexe.
Contrairement à la méthode de recuit simulé, l’algorithme
GNC n’assure pas de converger vers le minimum global de
l’expression. Cependant, pour des temps de calculs beaucoup
plus courts, il offre une solution qui en reste proche. De plus,
cette solution demeure peu sensible au choix du schéma de
relaxation et du paramètre de régularisation. Dans toutes nos
expériences, une solution convenable est atteinte après des
temps de calculs beaucoup plus courts (un facteur de 10 a pu
être observé par rapport au recuit simulé). Il est donc
conseillé d’appliquer l’algorithme GNC en routine clinique.
Il est noté que le GNC n’est applicable qu’à un processus
de ligne implicite. Ce qui justifie à nouveau notre choix du
modèle markovien avec ce processus de ligne.
3. Résultats
La méthode proposée a été appliquée à des données
simulées et réelles acquises par une caméra gamma.
Dans la première expérience, l’image originale comporte
deux nodules froids de diamètre 20mm situés à 6mm l’un de
l’autre et placés dans un cylindre radioactif. La Largeur à Mi
Hauteur (LMH) de la réponse impulsionnelle est d’environ
23mm. L’image observée (données) a été simulée par la
méthode de Monte-Carlo. Sur la figure 1 sont présentées les
images originale, observée et restaurées par les différentes
méthodes : MV, MAP avec l’a priori gaussien (MAP-Gauss)
et  méthode proposée du MAP avec processus de ligne
implicite et continu (MAP-PLIC).
La qualité des images restaurées par ces méthodes a été
évaluée par les mesures du contraste au niveau des nodules et
la variance (uniformité) dans les régions homogènes. Ces
mesures de qualité sont  présentées dans le tableau 1.
FIG. 1 : données simulées comportant 2 nodules distants
de  6mm et images restaurées.
De haut en bas et de gauche à droite :
-  Image originale
- Image observée (données simulées par méthode de
Monte-Carlo).
- Restauration par MV et algorithme EM.
- Restauration par (MAP-Gauss).
- Restauration par MAP et (MM-PLIC) avec le GNC.
TAB. 1 : mesures de performance pour chaque méthode.
Modèle  de 2 nodules
Contraste Uniformité
Image originale 1 0
Image observée 0.02 120.74
MV 0.18 123.25
MAP-Gauss 0.41 86.21
MAP-PLIC 0.71 29.13
La TAB. 1 montre que l’image restaurée par (MAP-PLIC)
a les mesures de qualité (en terme de contraste au tour de
discontinuités et d’uniforme dans les régions homogènes) les
plus proches de celles de l’image originale. Les performances
de la méthode proposée vont dans le sens de l’objectif que
nous nous sommes fixé, à savoir l’amélioration de la
détectabilité de nodules. Au contraire, la méthode du MAP
avec régularisation gaussienne fournit une image très lisse,
donc très homogène mais  très peu contrastée et la méthode
du MV sans régularisation donne une image de mauvaise
qualité.
La deuxième expérience concerne la restauration de
l’image d’un fantôme conique comportant deux nodules
cylindriques de 10mm de diamètre situés à 5mm l’un de
l’autre. L’acquisition de l’image observée a été réalisée par
une caméra gamma. La LMH de la réponse impulsionnelle
vaut cette fois environ 9mm.
Les images restaurées par les trois méthodes ( MV, MAP-
Gauss et MAP-PLIC) sont  présentées sur la figure 2.
En effectuant une série de tests pour différentes tailles des
nodules et différentes distances entre nodules, nous montrons
que les images réelles présentées ici correspondent à la taille
et à la distance limites de détectabilité pour la réponse
impulsionnelle utilisée [1].
    
    
FIG. 2 : données réelles acquises à partir du fantôme
conique comportant 2 nodules distants de 5mm et images
restaurées.
De haut en bas et de gauche à droite :
- Image observée (données acquises par la caméra gamma).
- Restauration par MV et algorithme EM.
- Restauration par (MAP-Gauss).
- Restauration par MAP et (MM-PLIC) avec le GNC.
4. Perspectives
Les méthode et algorithme proposés donnent des résultats
encourageants tant en terme qualitatif qu’en temps de calculs.
Cependant, nous notons que la restauration pourrait encore
être améliorée si l’information concernant la diffusion des
photons gamma était intégrée au traitement (dans le modèle
de formation d’images et l’ a priori). Nos futures travaux vont
dans ce sens [15].
Références
[1] H. Guillemin, « Amélioration de la résolution spatiale des
images scintigraphiques de médecine nucleaire.
Application à la glande thyroïde ,» Thèse de Sciences,
Université de Cergy-Pontoise, 1997.
[2] T. A Iinuma and T Nagai, « Image restoration in
radioisotope imaging systems, » Phys med biol, vol. 12,
no. 4, pp. 501-509, 1967.
[3] I. Buvat, H. Benali, A. Todd-Pokropeck and R. Di Paola,
“Scatter correction in scintigraphy : the state of the art,”
European Journal of Nuclear Medicine, vol. 21, no. 7,
pp. 675-694, 1994.
[4] G. Demoment, « Reconstruction and restoration:
overview of common estimation structures and
problems, » IEEE Trans. Acoust., Speech and Signal
Processing, vol. 37, pp. 2024-2035, December 1989.
[5] A. N. Tikhonov et V. Y. Arsenin, “Méthodes de
résolution des problèmes mal posés ,”  Edition MIR,
Moscou 1976.
[6] S. Geman and D. Geman, « Stochastic relaxation, Gibbs
distributions, and the Bayesian restoration of images,»
IEEE Trans Pat Anal Mach Int, vol. PAMI-6, no. 6,
March 1984.
[7] D. Geman and G. Reynolds, « Constrained restoration
and the recovery of discontinuities,» IEEE Trans Pat
Anal Mach Int, vol. 14, no. 3, March 1992.
[8] A. Blake and A. Zisserman, «Visual reconstruction,»
MIT Press, Cambridge MA, 1987.
[9] M. Nikolova, J. Idier and A. Mohammad-Djafari,
“ Inversion of large-support ill-posed linear operators
using a piecewise Gaussian MRF, ” IEEE IP, vol. 7, pp.
571-585, Apr. 1998.
[10] L. A. Shepp and Y. Vardi, “Maximum likelihood
reconstruction for emission tomography”, IEEE Trans.
Med. Im., vol. MI-1, no. 2, October 1982.
[11] E. Levitan and G. T. Herman, “A maximum a posteriori
probability expectation maximization algorithm for
image reconstruction in emission tomography,” IEEE
Trans. Med. Im., vol. MI-6, no. , September 1987.
[12] M. K. Nguyen and A. Mohammad-Djafari, « Bayesian
approach with the Maximum Entropy principle in image
reconstruction from micro wave scattered field data, »
IEEE Trans. Med. Im., vol. 3, no. 2, June 1994.
[13] J. K. Óruanaidh and W. J. Fitzgerald, « Numerical
Bayesian methods applied to signal processing,» Springer
Verlag, 1996.
[14] G. Winkler, « Image analysis, random fields and dynamic
Monte Carlo methods, » Springer Verlag, 1995.
[15] C. Faye, M. K. Nguyen, L. Eglin and P. Duvaut, “A joint
energy-spatial model for formation of a gamma image
sequence indexed in energy,” SPIE Medical Imaging,
February 1999.


Approche Bayes-Markov et restauration d'images scintigraphiques

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