- Ce papier traite de l'estimation du nombre de sources dans des mélanges convolutifs bruités. Les traitements sont réalisés dans le domaine fréquentiel. Nous cherchons le nombre de composantes décorrélées dans chaque canal de fréquence. Les méthodes AIC et MDL habituellement utilisées supposent que les bruits sont gaussiens et spatialement blancs. Malheureusement les données réelles possèdent souvent des bruits spatialement corrélés. Lorsque les supports de corrélation des bruits sont plus faibles que ceux des sources, l'estimation reste possible. A l'aide d'observations temporellement décalées nous construisons une matrice interspectrale "débruitée". Cette matrice n'est ni hermitienne ni définie positive. Sa décomposition en valeurs singulières fournit deux matrices distinctes de vecteurs propres contenant chacune une base du sous-espace signal. Nous proposons deux critères pour estimer la dimension de ce sous-espace à partir des vecteurs propres. Des simulations confirment la robustesse de la méthode pour de forts niveaux de bruit

FABRY, Pierre

LACOUME, Jean-Louis

SERVIERE, Christine

I-Revues

Estimation du nombre de sources dans les melanges
multi-entrees multi-sorties perturbes par
des bruits spatialement correles
Pierre Fabry, Christine Servi

ere, Jean-Louis Lacoume
LIS, UPRESA CNRS 5083
ENSIEG, BP 46, 38402 Saint-Martin d'Heres Cedex, France
pierre.fabry@lis.inpg.fr, christine.serviere@lis.inpg.fr, jean-louis.lacoume@lis.inpg.fr
Resume { Ce papier traite de l'estimation du nombre de sources dans des melanges convolutifs bruites. Les traitements sont
realises dans le domaine frequentiel. Nous cherchons le nombre de composantes decorrelees dans chaque canal de frequence. Les
methodes AIC et MDL habituellement utilisees supposent que les bruits sont gaussiens et spatialement blancs. Malheureusement
les donnees reelles possedent souvent des bruits spatialement correles. Lorsque les supports de correlation des bruits sont plus
faibles que ceux des sources, l'estimation reste possible. A l'aide d'observations temporellement decalees nous construisons une
matrice interspectrale \debruitee". Cette matrice n'est ni hermitienne ni denie positive. Sa decomposition en valeurs singulieres
fournit deux matrices distinctes de vecteurs propres contenant chacune une base du sous-espace signal. Nous proposons deux
criteres pour estimer la dimension de ce sous-espace a partir des vecteurs propres. Des simulations conrment la robustesse de la
methode pour de forts niveaux de bruit.
Abstract { We are interested in estimating the source number in noisy convolutive mixtures. The observed signals are processed
in the frequency domain. The problem is to estimate the number of uncorrelated source components at each frequency bin. The
usual AIC and MDL criteria perform an hypothesis testing on the eigen values of the covariance matrix. Both methods assume
that the noises are gaussian and spatially white. Unfortunately experimental data have very often correlated noises. When the
noise correlation lengths are lower than the source ones, it is however possible to determine the source number. The proposed
method is based on interspectral matrices computed from delayed observation vectors to cancel the noise inuence. The SVD
provides two matrices of eigenvectors getting each one a basis of the signal subspace. We derive two criteria to estimate the rank
of the signal subspace using the eigenvectors. Simulation results are good for low SNR.
1 Introduction
Considerons un systeme lineaire et stationnaire a p en-
trees et n (n > p) sorties. Les entrees inconnues sont de-
nommees \sources". Elles sont centrees et decorrelees entre
elles. Les sorties observables sont des melanges convolutifs
des sources, perturbes par des bruits additifs. Les bruits
sont centres et decorreles des sources. Ils peuvent e^tre cor-
reles entre eux. Dans le domaine frequentiel, le nombre de
composantes source melangees n'est pas necessairement le
me^me a toutes les frequences. En vue de traitements fre-
quentiels ulterieurs (separation de signaux par exemple)
nous souhaitons determiner le nombre de sources presentes
dans chaque canal de frequence. Les traitements sont rea-
lises a partir des Transformees de Fourier Discretes (TFD)
de N echantillons. On dispose alors d'un melange frequen-
tiel instantane par canal de frequence. Notons c le nombre
de composantes source presentes au canal discret f . On
note r
t
(f) le vecteur des TFD des observations tempo-
relles sur la fene^tre [t; : : : ; t+N   1]. Il est modelise par :
r
t
(f) = H (f) s
t
(f)
| {z }
y
t
(f)
+ b
t
(f)
{ H (f) est la matrice (n c) de melange aectee des
racines carrees des densites spectrales des sources,
{ s
t
(f) est le vecteur (c 1) des sources normalisees,
{ b
t
(f) est le vecteur (n  1) des bruits.
Dans la suite de l'expose nous omettons la notation
frequentielle (f). La matrice spectrale des observations
est denie par R
rr
= E
n
r
t
 (r
t
)
+
o
ou ()
+
designe le
transpose-conjugue. Les bruits etant centres et decorre-
les des sources, R
rr
= R
yy
+ R
bb
. La matrice spectrale
des melanges R
yy
est de rang c et s'ecrit R
yy
=HH
+
en
raison de la normalisation des sources. En introduisant la
decomposition en valeurs singulieres (DVS) de H :
H = V
1=2

+
,
8
>
>
<
>
>
:
V; unitaires n c et c c

1=2
=
2
6
4
p
d
1
0
.
.
.
0
p
d
c
3
7
5
(1)
on obtient la decomposition en valeurs propres (DVP) :
R
yy
= VV
+
ou V represente une base du sous-espace
signal S. Notre probleme se ramene donc a estimer le rang
de R
yy
(ou le nombre de vecteur de V) a partir des ob-
servations r
t
.
Les methodes AIC et MDL ([3]) couramment utilisees
supposent que les bruits sont gaussiens et spatialement
blancs (R
bb
= 
b
I
n
ou I
n
est l'identite de rang n). Sous
cette hypothese la DVP de R
rr
s'ecrit :
R
rr
=

V;V
 
+ 
b
I
c
0
0 
b
I
n c

V
+
V
+

ouV est une base du sous-espace complementaire orthogo-
nal au sous-espace engendre par V, dans l'espace des ma-
trices (n  n). Un test du Maximumde Vraissemblance est
eectue sur les valeurs propres de R
rr
. Malheureusement,
les valeurs propres sont tres sensibles aux perturbations
[1]. Pour peu que les bruits soient spatialement correles,
de puissances dierentes, ou que la matrice spectrale ne
soit pas assez bien estimee, le test d'hypotheses est mis en
defaut.
Nous presentons une methode qui accepte la presence
de bruits spatialement correles, de lois et de fonctions de
correlation inconnues. Cette methode suppose simplement
que les supports de correlation des bruits sont plus faibles
que ceux des sources.
Nous montrons en section 2 qu'en utilisant des observa-
tions temporellement decalees il est possible d'obtenir une
matrice interspectrale \debruitee" que nous denommons
\matrice spectrale dissymetrique". Sa DVS fournit une
matrice diagonale de valeurs singulieres et deux matrices
distinctes de vecteurs propres. En theorie, seules les c pre-
mieres valeurs singulieres ne sont pas nulles. Les vecteurs
propres qui leur sont associes a gauche et a droite consti-
tuent deux bases du sous-espace signal S. En presence
de perturbations (matrice spectrale mal estimee, mauvais
choix du retard, bruit tres fort) les ecarts relatifs entre les
c premieres valeurs singulieres changent et les dernieres
valeurs singulieres ne sont plus nulles. En revanche les c
premiers vecteurs de gauche et de droite restent fortement
representatifs de S. Il est donc preferable d'exploiter les
vecteurs propres pluto^t que les valeurs singulieres pour
determiner la dimension de S.
Aux sections 3 et 4 nous proposons deux criteres pour
estimer la dimension de S a partir des vecteurs propres de
la matrice spectrale dissymetrique.
Enn nous illustrons les performances de ces methodes
par des resultats de simulations en fonction du Rapport
Signal a Bruit.
2 Matrice spectrale dissymetrique
Denissons la matrice spectrale dissymetrique des ob-
servations par :
R

rr
= E

r
t

 
r
t+

+
	
= R

yy
+R

bb
ou r
t
et r
t+
sont les TFD des observations temporelles sur
les fene^tres debutant respectivement aux indices t et t+ .
Notons 
s
le plus petit support de correlation des sources
et 
B
le plus grand support de correlation des bruits. Si
l'on peut choisir un retard  tel que N +
B
<   
s
alors
r
t
et r
t+
sont issus d'echantillons de bruit decorreles et
d'echantillons de signal correles. Par consequent R

bb
est
nulle et :
R

rr
= R

yy
=HR

ss
H
+
(2)
En raison de la normalisation et de l'independance des
sources, R

ss
est une matrice diagonale d'exponentielles
complexes, encore notee  :
R

ss
= E
n
s
t

 
s
t+

+
o
=
2
6
4
e
j
1
0
.
.
.
0 e
j
c
3
7
5
=  (3)
En remplacant (1) et (3) dans (2) on obtient :
R

rr
= V
|{z}
nc

1=2

+

1=2+
| {z }
A
V
+
|{z}
cn
(4)
La matriceA, de rang c, admet aussi une DVS de la forme
A = Y
1=2
Z
+
,
8
>
>
<
>
>
:
Y; Z unitaires c  c

1=2
=
2
6
4
p

1
0
.
.
.
0
p

c
3
7
5
(5)
ou les valeurs singulieres verient 
1
 : : :  
c
> 0. En
remplacant (5) dans (4) on obtient une ecriture reduite de
la DVS de R

rr
:
R

rr
= E
c

1=2
F
+
c
avec

E
c
= VY
F
c
= VZ
(6)
On constate que E
c
et F
c
sont lies aV par une transforma-
tion orthogonale. Elles constituent deux bases distinctes
de S. Les transformations orthogonales sont induites par
la matrice de phases  qui, dans le cas general, n'est pas
proportionnelle a l'identite. L'ecriture complete de la DVS
de R

rr
s'ecrit
R

rr
=

E
c
; E
c

| {z }
E


1=2
0
0 0


F
c
; F
c

| {z }
F
+
(7)
ou E et F de dimension n n sont les matrices unitaires
de vecteurs propres contenant chacune :
{ une base orthonormee de S (respectivement E
c
et
F
c
de dimension n c),
{ une base orthonormee du complementaire S
?
(res-
pectivement E
c
et F
c
de dimension n (n  c)).
Pour estimer c nous proposons tout d'abord un critere
heuristique qui analyse l'ensemble des produits scalaires
entre les vecteurs de E et F. Ensuite nous envisageons
un critere algebrique qui analyse l'ensemble des distances
entre les sous-espaces.
3 Critere heuristique
Si nous realisons les produits scalaires entre les vecteurs
propres a gauche et a droite de R

rr
, nous obtenons la
matrice unitaire :
A = E
+
F =
"
E
+
c
F
c
E
+
c
F
c
E
+
c
F
c
E
+
c
F
c
#
Les sous-matrices E
+
c
F
c
et E
+
c
F
c
sont nulles car le sous-
espace engendre par E
c
et F
c
est orthogonal a celui en-
gendre par E
c
et F
c
. Les sous-matrices E
+
c
F
c
= Y
+
Z et
E+
c
F
c
sont unitaires. Nous les denommerons respective-
ment A
1
et A
2
. La matrice A possede donc une structure
particuliere :
A =

A
1
0
0 A
2

c
n  c
c n  c
La relation (4) nous indique que lorsque  est proportion-
nelle a l'identite, les c premiers vecteurs propres a gauche
et a droite de R

rr
sont identiques. Par consequent A
1
est l'identite de rang c. Cette situation (ou une situation
proche) peut se produire pour certaines valeurs du retard
 . La matrice A
2
quant a elle est generalement pleine.
En eet, les vecteurs colonne de E
c
n'ont aucune raison
d'e^tre identiques a ceux de F
c
puisqu'ils sont associes a
des valeurs singulieres nulles et qu'ils sont, de ce fait, tres
sensibles aux perturbations [1]. La sous-matrice A
2
pos-
sede une structure qui la rend plus facilement detectable
que A
1
et qui permet de determiner les dimensions de
S et S
?
. La gure 1 represente les modules des produits
scalaires dans le cas de 2 sources et de 6 capteurs sous un
Rapport Signal a Bruit de -5 dB.
0.2
0.4
0.6
0.8
5 10 15
5
10
15
Fig. 1: j A j, 2 sources, 6 capteurs, RSB=-5dB
Ce critere visuel nous autorise a traiter jAj = (ja
ij
j)
comme une image pour detecter les contours gauche et
superieur de jA
2
j. Nous commencons par dilater jAj d'un
facteur 3 en lignes et en colonnes de facon a pouvoir appli-
quer des ltres RIF bidimensionnels. Un ltre Laplacien
3 3 permet de rehausser les contrastes (gure 2).
0.5
1
1.5
5 10 15
5
10
15
Fig. 2: resultat du ltrage Laplacien
Il est suivi d'un seuillage ou les pixels positifs sont rem-
places par la valeur 1 et les autres par la valeur 0. On
constate alors (gure 3) que les contours gauche et supe-
rieur de jA
2
j (indice 3  c = 6) ont ete remplaces par une
suite de 1 et denissent la separation entre S de dimension
c et S
?
de dimension n  c.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5 10 15
5
10
15
Fig. 3: resultat du seuillage
Le cas ou jAj est une matrice pleine correspond soit
a l'absence de sources soit a la presence de n sources.
Pour lever l'ambiguite nous supposons que le nombre de
capteurs est toujours strictement superieur au nombre de
sources. Le critere heuristique permet donc de determiner
la presence de 0 a n  1 sources.
Pour ameliorer la stabilite de la methode nous utilisons
deux matrices spectrales dissymetriques (retards 
1
et 
2
)
de facon a disposer de 4 matrices de vecteurs propres et a
obtenir jAj par la moyenne de 12 produits scalaires. Ceci
permet de s'assurer que les contours de jA
2
j ne possedent
pas de \trous". La detection est amelioree.
4 Distance entre sous-espaces
Dans le but de denir un critere algebrique nous consi-
derons toutes les partitions d'indice k de E et F, pour k
variant de 1 a n  1 :
E =
"
E
k
nk
; E
k
n(n k)
#
; F =
"
F
k
nk
; F
k
n(n k)
#
La seule partition pour laquelle E
k
et F
k
engendrent le
me^me sous-espace est celle d'indice k egal a c. Il sut donc
de mesurer la distance entre les sous-espaces engendres par
E
k
et F
k
, notes respectivement = (E
k
) et = (F
k
). D'apres
[1], cette distance est denie par la norme-2 matricielle
de l'ecart entre les projecteurs orthogonaux sur = (E
k
) et
= (F
k
) (8). En eet, le projecteur orthogonal sur un espace
vectoriel est unique ; il est deni par XX
+
ou X est une
base orthonormee de cet espace. La distance entre = (E
k
)
et = (F
k
) est donc denie par :
d
k
=


E
k
E
+
k
  F
k
F
+
k


2
(8)
Du point de vue numerique, l'estimation de c est obte-
nue par
bc = arg

min
k
(d
k
)

Ce critere permet de determiner entre 1 et n 1 sources,
car d'une part il existe toujours un minimum et d'autre
part pour k = n la distance est toujours nulle (E
n
= E et
F
n
= F sont deux bases de l'espace complet).
5 Resultats de simulation
Deux frequences pures proches ltrees par des ltres
AR1 sont recues sur six capteurs. Les observations sont
perturbees par des bruits gaussiens temporellement blancs.
Nous avons simule le cas de bruits spatialement blancs
pour pouvoir comparer les nouvelles methodes aux criteres
AIC et MDL et le cas de bruits spatialement correles. Les
TFD sont calculees sur des blocs de 64 echantillons four-
nissant une resolution de
1
64
t 0:016 en frequence reduite.
Les frequences reduites des sources etant f
1
= 0:10 et
f
2
= 0:11, une analyse spectrale a cette resolution ne per-
met pas de les dissocier. Les traitements sont realises au
canal f = 0:11 pour dierents RSB. Les matrices inter-
spectrales sont estimees sur 600 blocs. Le retard  est de
67 echantillons. Nous presentons des probabilites de succes
estimees a l'aide de 100 realisations pour chaque niveau
de bruit.
La gure 4 represente des probabilites de succes en fonc-
tion du RSB dans le cas de bruits spatialement blancs. La
methode heuristique qui utilise des traitements d'image
est notee ti et la methode par distance minimale entre
sous-espaces qui utilise les projecteurs orthogonaux est
notee po. On constate la superiorite de la methode par
distance entre sous-espaces.
−20 −15 −10 −5 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
RSB en dB
pr
ob
ab
ili
té
 d
e 
su
cc
ès
aic
md
ti 
po 
Fig. 4: probabilite de succes en presence de bruits
spatialement blancs
La gure 5 represente des probabilites de succes en fonc-
tion du RSB dans le cas de bruits spatialement correles.
On constate que les performances de nos deux criteres
sont peu aectees par la presence de bruits spatialement
correles. Les methodes AIC et MDL (non representees) ne
fonctionnent absolument pas, dans ce contexte.
6 Conclusions
Dans ce papier nous nous sommes interesses aux me-
langes MIMO (Multiple Input Multiple Output) pertur-
bes par des bruits spatialement correles. Le probleme etait
de determiner le nombre de composantes melangees par
bande de frequence. En supposant que les supports de cor-
relation des sources sont plus grands que ceux des bruits,
nous developpons une methode qui utilise un retard pour
supprimer l'inuence du bruit. Aucune hypothese n'est
necessaire, concernant les lois des bruits. Contrairement
aux methodes classiques qui exploitent les valeurs propres
−20 −15 −10 −5 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
RSB en dB
pr
ob
ab
ili
té
 d
e 
su
cc
ès
ti
po
Fig. 5: probabilite de succes en presence de bruits
spatialement correles
d'une matrice de covariance, nos criteres exploitent les vec-
teurs propres d'une matrice de covariance dissymetrique.
Nous avons propose deux criteres pour retrouver la dimen-
sion du sous-espace signal a partir des vecteurs propres.
Nos criteres sont robustes aux correlations spatiales des
bruits et permettent d'envisager de faibles valeurs de RSB.
Dans le cas de bruits spatialement blancs, nos criteres
donnent de meilleurs resultats que les methodes classiques
(AIC et MDL). Ceci s'explique par une meilleure stabilite
des vecteurs propres aux perturbations.
References
[1] G.H. Golub and F. Van Loan. Matrix Computations.
The Johns Hopkins University Press, 1983.
[2] V.L. Koliadin. Determination of the signal-subspace
dimension : A nonparametric approach based on the ei-
genvectors analysis. Signal Processing VII, pages 268{
271, 1994.
[3] G. Schwarz. Estimating the dimension of a model. The
Annals of Statistics, Vol. 6(No. 2):461{464, 1978.
[4] P. Stoica and M. Cedervall. Detection tests for ar-
ray processing in unknown correlated noise elds.
IEEE transactions on signal processing, 45(9):2351{
2362, September 1997.
[5] Q.T. Zhang and Kon Max Wong. Information theore-
tic criteria for the determination of the number of si-
gnals in spatially correlated noise. IEEE Transactions
on signal processing, 41(4):1652{1663, April 1993.


Estimation du nombre de sources dans les mélanges multi-entrées multi-sorties perturbés par des bruits spatialement corrélés

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