Nous proposons dans cet article un nouvel opérateur pour mesurer le caractère impulsionnel du bruit d'image. L'objectif est d'obtenir un opérateur robuste vis-à-vis des non stationnarités de l'image. Cet opérateur est invariant par translation et facteur d'échelle. Il permet d'estimer le caractère impulsionnel du bruit dans une région de taille relativement faible

BOLON, Ph.

ISSA, I.

TABIZA, M.

I-Revues

 Introduction
 
L’amélioration des performances des opérateurs de filtrage et
d’analyse d’image passe par une meilleure modélisation et une
plus forte prise en compte des informations disponibles sur les
données brutes. Les techniques de filtrage de Volterra et de
filtrage d’ordre reposent sur l’utilisation des connaissances sur
la distribution du bruit et en particulier de son caractère plus ou
moins impulsionnel, dépendant du poids des queues de
distribution.
Classiquement, ce comportement est caractérisé
quantitativement par le paramètre de kurtosis, moment centré
d’ordre quatre normalisé. Hogg [1] a montré que cet opérateur
manquait de fiabilité et de robustesse. Il est en effet très
sensible à la présence de non stationnarités. Pour pallier cette
difficulté, il propose la statistique V(
 
b
 
) (décrite en section III)
calculée à partir des statistiques d’ordre du signal d’entrée.
Cette statistique a été reprise par Restrepo et Bovik [2] pour la
conception d’un filtre d’ordre adaptatif et réemployée dans une
version améliorée en [3].
Nous proposons ici un nouvel opérateur ayant pour but
d’identifier le caractère plus ou moins impulsionnel du bruit
d’image. Par rapport aux deux opérateurs ci-dessus, l’objectif
est d’améliorer les performances en présence de non
stationnarités (transitions entre régions) dans le but d’une
utilisation sur des images naturelles.
Le manuscrit comporte trois parties :
- Structure de l’opérateur.
- Etude des performances.
- Application à des images réelles.
 
1- Structure de l’opérateur
 
Spécifications
 
Pour limiter l’influence des non stationnarités dans l’image, la
statistique sera calculée par accumulation de valeurs
numériques issues de fenêtres d’analyse locales. Afin d’être
caractéristique, elle doit vérifier les propriétés suivantes :
• invariance par translation de valeur moyenne : l’image X et 
l’image X-a, avec a=cte, fournissent la même valeur pour 
la statistique.
• invariance par facteur d’échelle : les image X et 
 
l
 
X four-
nissent la même valeur pour la statistique. 
En chaque pixel de l’image on définit une fenêtre d’analyse
(FA) de taille NxN (avec N=2n+1).
 
détermination du segment le plus homogène
 
Soit  l’ensemble des segments de
droite discrets passant par le pixel central et joignant les pixels
du bord de la fenêtre d’analyse (cf. Fig.1). A l’aide d’un critère
d’étendue (c.a.d Max-min), on sélectionne dans cette ensemble
le segment le plus homogène. Soit S
 
d0
 
 ce segment. 
(Eq.1)
Soit  les intensités des pixels situés sur
le segment S
 
d0
 
.
 
 
 
Après tri par ordre croissant de ces données, on 
obtient les statistiques d’ordre. 
On définit alors les variables y
 
i
 
 par : 
(Eq.2)
où k est un paramètre entier vérifiant 1 
 
£ 
 
k 
 
£ 
 
n-1. 
Les variables y
 
i
 
 sont telles que : y
 
i
 
 
 
£
 
 y
 
i+1, 
 
y
 
1+k
 
 = 0 et y
 
N-k
 
 = 1
Elles sont invariantes par translation et changement d’échelle
S1 … Sd … S4n, , , ,{ }
d0 min Etendue Sd( )arg= d
1
4n 2 C: pixel courant.N
… d …
C
segment discret S2
Fig. 1 :  Segments discrets dans une fenêtre d’analyse, de taille 5x5
x1 … xd … xN, , , ,{ }
x 1( ) x 2( ) … x N( )£ £ £
yi
x i( ) x 1 k+( )–
x N k–( ) x 1 k+( )–
----------------------------------------=
 
- Résumé -
 
Nous proposons dans cet article un nouvel opérateur pour
mesurer le caractère impulsionnel du bruit d’image. L’objectif
est d’obtenir un opérateur robuste vis-à-vis des non
stationnarités de l’image. Cet opérateur est invariant par
translation et facteur d’échelle. Il permet d’estimer le caractère
impulsionnel du bruit dans une région de taille relativement
faible.
 
mots clés : statistique d’ordre, bruit d’image, classification du
bruit, caractère impulsionnel, filtrage directionnel.
 
- Abstract - 
 
In this paper we introduce a new operator aiming at
characterize noise impulsiveness. This operator is invariant
with respect to location shift and scale factor of the input
distribution. It is robust against image non stationarities. It can
be applied either to the whole image or to local regions. The
minimal region size required for the estimation is 16x16.
 
key words: order statistics, image noise, noise classification,
noise impulsiveness, directional filtering.
 
Estimation du caractère impulsionnel du bruit 
dans une image non stationnaire
 
Ph. BOLON, I. ISSA, M. TABIZA
 
Laboratoire d’Automatique et MicroInformatique Industrielle
LAMII / CESALP - Université de Savoie - B.P 806 - F.74016 Annecy Cedex (France) 
(CNRS Gdr ISIS)
email: {bolon, issa, tabiza}@esia.univ-savoie.fr
 
SEIZIÈME COLLOQUE GRETSI — 15-19 SEPTEMBRE 1997 — GRENOBLE 1355
 des niveaux de gris.
 
Histogramme local
 
Les variables y
 
i
 
 sont ensuite réparties en N classes
La largeur des classes centrales est 1/(N-1-2k). Les classes
extrêmes sont non bornées.
Les variables y
 
1+k
 
 et y
 
N-k
 
 ne sont pas comptabilisées, puisque
leur valeur est indépendante de la distribution du bruit.
 
Calcul de la statistique d’impulsionalité
 
Soit RD une fenêtre de décision de taille LxM, L 
 
‡ 
 
N et M 
 
‡ 
 
N.
Les histogrammes locaux issus de chaque fenêtre d’analyse FA
sont accumulés pour former un histogramme global
. L’allure de cet histogramme dépend du
caractère plus ou moins impulsionnel du bruit. Elle peut être
décrite simplement par la statistique Y :
(Eq.3)
En pratique, nous pouvons limiter le nombre de classes à trois,
les deux classes extremales et une classe centrale, déterminées
à l’aide d’un seuil s. La classification se fait alors comme ci-
dessous :
• si y
 
i
 
 £ 
 
-s alors y
 
i
 
 est classé dans la classe 1
• si y
 
i
 
 ‡ 
 
1+s alors y
 
i
 
 est classé dans la classe 3
• sinon y
 
i
 
 est classé dans la classe centrale.
 
Dimensionnement
 
Pour déterminer les valeurs adéquates de taille de fenêtre
d’analyse, de seuil et de paramètre k, nous définissons le
contraste 
 
t
 
 par : 
(Eq.4)
où Y
 
ex
 
 et Y
 
un
 
 sont les valeurs de Y correspondant
respectivement aux distributions exponentielle et uniforme, et
 est l’écart-type empirique maximal de Y. On cherche alors
à maximiser 
 
t
 
. Les meilleurs résultats sont obtenus pour N=7
ou N=9. Les courbes des figures 3 à 5 montrent l’évolution de
 
t
 
 en fonction des différents paramètres dans le cas stationnaire
et non stationnaire (image de la figure 7). Nous choisissons
parmi l’ensemble des paramètres possibles ceux maximisant le
critère 
 
t
 
. Dans tout les cas, les résultats montrent que la valeur
optimale du décalage est k=1. Le tableau suivant résume
l’ensemble des valeurs des seuils obtenus.
C1 C1+k CN-k CN
y
0 1
h 1[ ] … h N[ ], ,( )
Y h 1[ ] h N[ ]+
2 h i( )
i
å
-----------------------------=
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
1 3 5 7 9 11
exponentiel
uniforme
gaussien
parabolique
Fig. 2 : Histogramme global- Taille de la fenêtre d’analyse: 11 x 11
t Yex Yun–( ) s Y⁄=
s Y
 
N=7 N=9
k=1 k=2 k=1 k=2
stationnaire 0.4 0.9 0.4 0.75
non stationnaire 0.4 0.9 0.4 0.85
 
Tableau 1: valeurs optimales des seuils
0
1
2
3
4
5
6
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fig. 3 : Evolution de t  en fonction du seuil et du décalage pour 
une fenêtre d’analyse de taille 9. Image non stationnaire
k=1
k=2
k=3
s
t
Fig. 4 : Evolution de t  en fonction du seuil et du décalage pour 
une fenêtre d’analyse de taille 7. Image non stationnaire
s
t
0
1
2
3
4
5
6
7
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
k=1
k=2
-2
0
2
4
6
8
10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fig. 5 : Evolution de t  en fonction du seuil et du décalage pour 
une fenêtre d’analyse de taille 9. image stationnaire
k=1
k=2
k=3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
k=1
k=2
Fig. 6 : Evolution de t  en fonction du seuil et du décalage pour 
une fenêtre d’analyse de taille 7. image stationnaire
 
1356
 Le caractère impulsionnel du bruit est mesuré par le poids plus
ou moins important des classes extremales. Par construction, la
statistique Y est invariante par translation et changement
d’échelle des niveaux de gris. Reposant sur un calcul local
adaptatif en direction, elle ne dépend pas de l’orientation des
structures présentes dans l’image.
 
2- Etude des performances
 
Dans cette section, nous étudions les performances statistiques
du nouvel opérateur dans des situations stationnaires et non
stationnaires. Nous les comparons avec celles obtenues en
estimant le kurtosis ou en utilisant la statistique de Hogg. Pour
limiter l’effet des non stationnarités, le kurtosis est estimé
localement dans la fenêtre NxN puis moyenné sur toute
l’image.
La statistique de Hogg est définie, pour une fenêtre NxN par :
(Eq.5)
où 
• K=N
 
2
 
 est le nombre de pixels de la fenêtre
• H(
 
b
 
) est la moyenne des 
 
b
 
K plus grandes valeurs dans la 
fenêtre
• L(
 
b
 
) est la moyenne des 
 
b
 
K plus faibles valeurs dans la 
fenêtre.
On effectue ensuite la moyenne sur toutes les fenêtres de
l’image.
 
cas d’une zone stationnaire
 
A partir d’une image constante perturbée par un bruit blanc, on
teste les trois opérateurs avec des bruits à distribution uniforme,
triangulaire, gaussienne et exponentielle. Les résultats sont
donnés dans le tableau 2. 
Les valeurs théoriques du kurtosis et de V(
 
b
 
), pour les
distributions précédentes, sont données dans le tableau 3.
On remarque le biais, introduit essentiellement par le terme
quadratique du dénominateur, dans l’estimation du paramètre
de kurtosis.
 
cas non stationnaire
 
Dans cette section nous présentons les résultats obtenus sur une
image non stationnaire comportant des structures allongées
ainsi que sur l’image savoise.gdr du GdR ISIS. L’image de test
est celle représentée en figure 2-A. Le rapport signal/bruit est
de 4.8. Les résultats du test sont donnés dans le tableau 3.
On remarque la forte sensibilité de l’estimation du kurtosis
ainsi que celle de la statistique de Hogg. La discrimination
entre les différents types de bruit n’est plus possible. En effet,
lorsque la fenêtre d’analyse chevauche deux régions, la
distribution des niveaux de gris est totalement différente de la
distribution parente du bruit. Bimodale, à kurtosis faible sur les
pixels contours, elle devient asymétrique à fort kurtosis de part
et d’autre de la transition. La statistique Y est plus robuste. 
Les figures 7 et 8 montrent les résultats de classification
obtenus en appliquant le nouvel opérateur sur les images test et
savoise.gdr. Comparé avec l’opérateur V(
 
b
 
) [3] on remarque
que cet opérateur n’est pas sensible à la présence de structures
dans l’image. Cette robustesse peut être interprétée à l’aide
image stationnaire
bruit kurtosis V(0.05) V(0.2) Y
exponentiel 5.40 3.230 1.908 0.203
gaussien 2.95 2.560 1.753 0.193
triangulaire 2.41 2.355 1.732 0.189
uniforme 1.82 1.904 1.682 0.172
 
Tableau 2: Valeurs empiriques du kurtosis, V(
 
b
 
) et Y. 
FA = 11x11 pour le kurtosis et V(
 
b
 
), FA =7x7, RD = 41x41 et
k=1 pour la statistique Y. Image stationnaire 256x256, bruit
blanc d’écart-type 
 
s
 
=10
 
bruit kurtosis V(0.05) V(0.2)
exponentiel 6.0 3.3 1.92
gaussien 3.0 2.59 1.76
triangulaire 2.4 2.37 1.74
uniforme 1.8 1.90 1.60
 
Tableau 3: Valeurs théoriques du kurtosis et de V(
 
b
 
).
V b( ) H b( ) L b( )–
H 1 2⁄( ) L 1 2⁄( )–-------------------------------------------=
image non stationnaire
bruit kurtosis V(0.05) V(0.2) Y
exponentiel 1.467 1.697 1.374 0.201
gaussien 1.437 1.664 1.403 0.189
triangulaire 1434 1.652 1.411 0.186
uniforme 1.432 1.613 1.433 0.157
Tableau 4: Valeurs empiriques du kurtosis et de V(b ) (FA=11x11) et 
la statistique Y (FA =7x7 et FD=41x41). Image non stationnaire 
256x256, bruit blanc d’écart-type s =10
Fig. 7 : Image de test
A) image test bruitée avec les 4 bruits. 
B) image des décisions, N=7 et k=1. (0fi exponentiel,
85fi gaussien, 170fi triangulaire, 255fi uniforme).
A B
E T
G U
Fig. 8 : Image savoise.gdr
A) image bruitée (1 type de bruit par quadrant).
B) image des décisions (0fi exponentiel, 85fi gaussien,
170fi triangulaire, 255fi uniforme), N=7 et k=1.
C) image des décisions obtenue avec l’opérateur V(b ),
N=7. (0fi contours, 63fi exponentiel, 127fi gaussien,
196fi triangulaire, 255fi uniforme) 
A B C
E T
G U
1357
d’un modèle simplifié à deux régions ayant une frontière de
largeur L.
 
Sur l’ensemble des fenêtres d’analyse intersectant deux régions 
de l’image (fig. 9) le kurtosis et la statistique de Hogg
fournissent des résultats aberrants. Le nombre total de fenêtres
FA dans la situation précédente est L(N-1). Par contre, comme
la variable yi est évaluée sur le segment le plus homogène, le
cas le plus défavorable [4] se produit lorsque la fenêtre
d’analyse est centrée sur le contour. Par conséquent, le nombre
total de FA fournissant un résultat aberrant est L. 
3- Application à des images réelles
Dans cette section, nous présentons des résultats obtenus sur
des images naturelles de la banque du GdR ISIS.
Dans l’image irm.gdr, on note que le bruit est reconnu comme
assez impulsionnel sur la région de fond. Dans le cas de
l’angiographie, l’image des décisions fournit déjà un élément
pour la segmentation. Dans l’image muscle.gdr, il apparaît que
la caractéristique du bruit change selon que l’on est dans une
cellule sombre ou claire.
Conclusion
Nous proposons un opérateur estimant le caractère
impulsionnel du bruit d’image. Comparé aux opérateurs
classiques (kurtosis, Hogg), il présente, du fait de sa structure,
une plus grande robustesse vis-à-vis des non stationnarités dans
les images. Il peut donc être utilisé pour adapter le choix des
paramètres de filtres non linéaires ou même directement dans
un but de caractérisation de régions dans une image. Par
construction, cet opérateur peut être étendu à l’analyse
d’images 3D.
Références
[1] R. V. Hogg, “More light on the kurtosis and related
statistics”, J. Amer. Statist. Assoc., Vol. 62, pp. 1179-
1186, 1967.
[2] A. Restrepo, A. C. Bovik, “Adaptative Trimmed Mean
Filters for Image Restoration”, IEEE Trans. ASSP vol.
36, August 1988, pp. 1326-1337
[3] I. Issa, Ph. Bolon, “Filtrage adaptatif pour le prétraite-
ment d’images naturelles”, 15e Colloque GRETSI
1995, Juan-les-Pins, Sep. 1995, pp.451-454
[4] J.L.Vila, Ph.Bolon, “Directional adaptive image filte-
ring : application to DNA sequence analysis”, Proc. of
Int. Conf. on Image Processing (IEEE/ICIP 94), vol. I,
Austin, USA, Nov. 1994, pp. 382-386
Annexe
Valeurs des seuils de classification de la statistique Y.
classification :
si  Y > s1 Þ  bruit exponentiel
si s1 ‡ Y >s2 Þ  bruit gaussien
si s2 ‡ Y >s3 Þ  bruit triangulaire
si s3 ‡ Y Þ  bruit uniforme.
R1
R2
LN-1N-1
Fig. 9 : modèle simplifié d’ima-
ge contenant deux régions.
L : longueur du contour
FA
FAN
N
Fig. 10 : image irm.gdr
A) image originale. B) image des décisions 
FA: N=7, k=1. RD : 32x32
Fig. 11 : image angiogra.gdr
A) image originale. B) image des décisions 
FA: N=7, k=1. RD : 32x32
Fig. 12 : image muscle.gdr
A) image originale. B) image des décisions 
FA: N=7, k=1. RD : 32x32
N=7
k=1 k=2
s1 0.185 0.420
s2 0.173 0.405
s3 0.165 0.393
1358


Estimation du caractère impulsionnel du bruit dans une image non stationnaire

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