L'algorithme SMF permet d'estimer le coefficient du terme de plus haut degré d'un signal à phase polynômiale et à amplitude constante à partir de moments invariants dans le temps des observations. Cet algorithme fait intervenir des moments d'ordre inférieur à la transformée de phase polynômiale (TPP) et ne nécessite pas de maximisations. La contribution majeure de cette communication est une expression analytique de la variance de l'erreur d'estimation de SMF à fort rapport signal sur bruit. Ce résultat permet de montrer l'efficacité asymptotique de SMF si une dépendance entre le nombre de moments et le nombre d'observations est introduite. En outre, il permet de mettre en évidence la supériorité de SMF par rapport à TPP moyennant un choix judicieux du nombre de moments

ALENGRIN, Gérard

BENIDIR, Messaoud

FERRARI, André

I-Revues

Analyse Statistique de SMF pour l'étude des signaux
à phase polynômiale.
André Ferrari
1
, Gérard Alengrin
1
, Messaoud Benidir
2
1
UMR 6525 Astrophysique
Université de Nice Sophia-Antipolis, Parc Valrose,
06108 Nice CEDEX 2, FRANCE
2
LSS Supelec
Plateau de Moulon
91190 Gif-sur-Yvette, FRANCE
ferrari@unice.fr, alengrin@unice.fr, benidir@lss.supelec.fr
Résumé  L'algorithme SMF permet d'estimer le coecient du terme de plus haut degré d'un signal à phase polynômiale et à
amplitude constante à partir de moments invariants dans le temps des observations. Cet algorithme fait intervenir des moments
d'ordre inférieur à la transformée de phase polynômiale (TPP) et ne nécessite pas de maximisations. La contribution majeure de
cette communication est une expression analytique de la variance de l'erreur d'estimation de SMF à fort rapport signal sur bruit.
Ce résultat permet de montrer l'ecacité asymptotique de SMF si une dépendance entre le nombre de moments et le nombre
d'observations est introduite. En outre, il permet de mettre en évidence la supériorité de SMF par rapport à TPP moyennant un
choix judicieux du nombre de moments.
Abstract  The SMF algorithm is designed for the estimation of the higher degree coecient of a constant amplitude polynomial
phase signal. It relies on shift invariant signal moments with lower degrees than the generalized ambiguity function (GAF) and
it does not require maximization. The major contribution of the communication is the derivation of an analytic expression of
the SMF error variance for high signal to noise ratios. This result proves the asymptotic eciency of SMF when a dependency
between the number of moments and the number of samples is introduced. Moreover, it underscores the superiority of SMF on
GAF with an appropriate choice of the number of moments.
1 Introduction
Cette communication est consacrée à l'estimation des
paramètres d'un signal bruité à phase polynômiale et à
amplitude constante. Ce modèle est susamment général
pour représenter un nombre important de signaux réels,
on pourra se référer par exemple à [5] pour avoir une liste
détaillée d'applications faisant intervenir ce type de signal.
L'analyse paramétrique des signaux à phase polynômiale
a suscité un intérêt croissant ces dernières années,[2, 8, 4].
La solution généralement retenue pour résoudre ce pro-
blème est la transformée de phase polynômiale (TPP), [6].
La première étape consiste à transformer le signal en une
fréquence pure. Ceci est obtenu itérativement par des dif-
férenciations successives de la phase : à chaque itération,
la diérenciation est obtenue en multipliant l'échantillon
à l'instant n par l'échantillon à l'instant n    conjugué.
Dans le cas bruité, le coecient de la phase du plus haut
degré est alors estimé par le maximiseur global du pé-
riodogramme du signal transformé. Outre sa simplicité,
l'estimateur ainsi obtenu possède l'avantage d'être asymp-
totiquement ecace.
Malgré ces avantages, cette approche présente bien sûr
des inconvénients. Le premier est que la réduction fait in-
tervenir des produits de 2
M 1
termes du signal où M re-
présente le degré de la phase. Pour M élevé, le nombre
important de termes va avoir pour eet une dégradation
rapide des performances de la méthode. Le second est bien
sûr qu'elle nécessite une maximisation globale.
An de palier ces inconvénient, l'algorithme SMF (Sta-
tionary Moments Fitting) a été récemment proposé dans
[3]. Le principe de cette méthode repose sur le fait que,
bien que ce signal soit non stationnaire, certains de ses mo-
ments sont invariants par translation. Cette propriété est
alors utilisée pour estimer les paramètres de la phase de
façon itérative. Dans [3], les performances de l'algorithme
ont été étudiées par la méthode de Monte-Carlo. Ces si-
mulations ont montré en particulier que, pour un nombre
réduit d'échantillons, les performances de SMF sont supé-
rieures à celles de TPP, [6]. Le but de cette communication
est de faire une analyse plus approfondie des performances
de SMF, en particulier par l'intermédiaire d'une analyse
statistique de la précision.
La section suivante présente un bref rappel de SMF. Une
expression analytique de la variance du terme de plus haut
degré est donnée dans la deuxième section. Dans la troi-
sième section, ce résultat est d'abord validé et ensuite uti-
lisé pour établir l'ecacité asymptotique de l'estimateur.
Enn, ce résultat est utilisé pour obtenir une sélection op-
timale des paramètres intervenant dans l'algorithme.
2 L'algorithme SMF
On suppose que y
n
est un signal à phase polynômiale
d'ordre M , bruité :
y
n
= A expfj
n
g+ w
n
= A expfj
M
X
q=0
a
q
n
q
g+ w
n
; (1)
où w
n
bruit blanc complexe Gaussien circulaire N
c
(0; 
2
w
)
et a
0
 U(0; 2).
Nous avonsmontré dans [3] que seuls des moments d'ord-
re supérieur ou égal à 2M peuvent être invariants dans le
temps. De plus, ces statistiques ne permettent que l'iden-
tication de a
M
. On se propose alors d'estimer a
M
à partir
des moments stationnaires d'ordre 2M et de même que [6]
d'estimer itérativement les autres paramètres. On notera
L
M
et L

M
les deux ensembles disjoints desM retards cor-
respondants à des échantillons du signal non-conjugués et
conjugués
1
. Le moment stationnaire d'ordre 2M de y
correspondant est alors :
M
2M;y
(L
M
;L

M
)
4
= E
(
p
Y
k=1
y

k
;n
k
n+l
k
)
= A
2M
expf( 1)
M
jMa
M
Y
fkj
k
= 1g
l
n
k
k
g;
où l
1
< l
2
<    < l
p
désignent les p retards distincts, n
k
leur ordre de multiplicité et 
k
= 1 indique si y
n+l
k
est
conjugué ou non. Avec ces notations, on a donc :
p
X
k=1

k
n
k
= 0: (2)
En remarquant que (rL
M
; rL

M
), r = 1; : : : ; L condui-
sent aussi à des moment stationnaires, nous proposons
d'estimer a
M
par moindre carré à partir des angles de
ces L moments :
a^
SMF
M
=
P
L
r=1
r
M
angle(m^
y
(r))
( 1)
M
M
Q
fkj
k
= 1g
l
n
k
k
P
L
r=1
r
2M
; (3)
avec :
m^
y
(r))
4
=
^
M
2M;y
(rL
M
; rL

M
)
=
1
N   rl
p
N rl
p
X
k=1
p
Y
q=1
y

q
;n
q
k+rl
q
: (4)
3 Étude des Performances
3.1 Analyse statistique
La proposition suivante, qui constitue la contribution
majeure de la communication, donne une expression de la
1. Des tables donnant ces retards pour diérentes valeurs de M
sont données dans [3].
variance de a^
M
.
Proposition 1 Pour SNR
4
= A
2
=
2
w
 1,
varfa^
SMF
M
g 
1
2M
2
SNR
Q
fkj
k
= 1g
l
2n
k
k
:
1
(
P
L
r=1
r
2M
)
2





L
X
r=1
r
M
N   rl
p
u
r





2
(5)
où u
r
est un vecteur 1N dont les composantes non nulles
sont :
 u
r
(k) =
P
q
l=1

l
n
l
pour q = 1; : : : ; p 1 et 1+ rl
q

k < rl
q+1
.
 u
r
(k) =
P
p
l=q+1

l
n
l
pour q = 1; : : : ; p   1 et N  
r(l
p
  l
q
) < k  N   r(l
p
  l
q+1
).
Dém. : Si on note w = w
r
+jw
i
le vecteur des échantillons
de bruit, on peut écrire pour un fort SNR:
a^
M
= G(w
r
; w
i
)
 G(0; 0) +
dG(w
r
; w
i
)
dw
r




t
w=0
w
r
+
dG(w
r
; w
i
)
dw
i




t
w=0
w
i
Or, si w = 0, il est facile de constater que m^
y
(r) =
m
x
(r) et donc G(0; 0) = a
M
. En utilisant la circularité de
w, on obtient alors:
varfa^
M
g =

2
w
2
 




dG(w)
dw
r




w=0




2
+




dG(w)
dw
i




w=0




2
!
(6)
Dans notre cas, le calcul des gradients de G(w) se ra-
mène au calcul des gradients de l'angle de m^
y
(r). Le terme
associé au gradient par rapport à la composante réelle est
ainsi égal à :




dG(w)
dw
r




w=0




2
=
1
M
2
Q
fkj
k
= 1g
l
2n
k
k
(
P
L
r=1
r
2M
)
2
:





L
X
r=1
r
M
Imag

1
m^
y
(r)
dm^
y
(r)
dw
r





w=0





2
En remplaçant (4) dans l'expression de la n-ième com-
posante d'un des gradients précédents, on obtient :
Imag

1
m^
y
(r)
dm^
y
(r)
dw
r;n





w=0
=
:
1
N   rl
p
N rl
p
X
k=1
Imag
 
1
m^
y
(r)
d
Q
p
q=1
y

q
;n
q
k+rl
q
dw
r;n
!





w=0
(7)
Les dérivée précédentes sont non nulles si n = k + rl
q
et dans ce cas :
Imag
 
1
m^
y
(r)
d
Q
p
q=1
y

q
;n
q
k+rl
q
dw
r;n
!





w=0
= Imag

n
q
x

q
n

=  
1
A
n
q

q
sin
n
:
En utilisant (2) et l'expression précédente, il est alors
possible de calculer l'expression de la somme intervenant
dans (7) pour les diérentes valeurs de n. On montre ainsi
que :
Imag

1
m^
y
(r)
dm^
y
(r)
dw
r





w=0
=  
1
A(N   rl
p
)
Su
r
; (8)
où S est une matrice diagonale N N dont les éléments
sont fsin
1
; : : : ; sin
N
g.
En suivant un raisonnement identique, on montre que:
Imag

1
m^
y
(r)
dm^
y
(r)
dw
i





w=0
=
1
A(N   rl
p
)
Cu
r
; (9)
où C est une matrice diagonale dont les éléments sont
fcos
1
; : : : ; cos
N
g. L'utilisation de (8,9) dans (6) ter-
mine la démonstration.
 Il est important de souligner que le vecteur u
r
ne
possède que 2rl
p
termes non nuls. Le calcul de la
norme intervenant dans l'expression précédente ne
va donc pas faire intervenir une somme de N termes
mais seulement de 2Ll
p
termes.
 Considérons le cas d'un signal à phase cubique;M =
3. Une solution consiste à choisir des moments sta-
tionnaires d'ordre 6 de la forme :
M
6;y
(f0; 3; 3g; f1; 1; 4g) = E

y
n
y
2
n 3
(y
2
n 1
y
n 4
)

	
:
On a donc p = 4 et :
l
1
= 0 l
2
= 1 l
3
= 3 l
4
= 4
n
1
= 1 n
2
= 2 n
3
= 2 n
4
= 1

1
= 1 
2
=  1 
3
= 1 
4
=  1
Les composantes non nulles de u
r
sont alors :
1  k < r + 1 u
r
(k) = 1
r + 1  k < 3r + 1 u
r
(k) =  1
3r + 1  k < 4r + 1 u
r
(k) = 1
N   4r < k  N   3r u
r
(k) =  1
N   3r < k  N   r u
r
(k) = 1
N   r < k  N u
r
(k) =  1
4 Simulations
4.1 Comparaison avec Monte-Carlo
La première simulation a pour but de comparer l'ex-
pression théorique de la variance obtenue dans la section
précédente avec la variance estimée par la méthode de
Monte-Carlo.
Les simulations ont été réalisées dans le cas d'un signal
à phase cubique pour les retards (f0; 3; 3g; f1; 1; 4g). Le
nombre d'échantillons est N = 20 et L = 3. Les variances
ont été estimées à partir de 500 réalisations indépendantes
du bruit pour chaque valeur du rapport signal sur bruit.
La gure 1 montre la bonne adéquation entre la variance
estimée par Monte Carlo et l'expression (5). La borne de
Rao Cramer de a^
3
dérivée dans [7] est également présentée
sur la courbe.
4.2 Performances asymptotiques
Pour une valeur de L donnée, (5) montre que la variance
de a^
M
est en 1=N
2
. La borne de Rao Cramer de a^
M
étant
10 15 20 25 30 35 40
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1/
M
SE
 (d
B)
SNR (dB)
SMF
SMF Monte Carlo
Borne de Rao Cramer
Fig. 1: Comparaison entre variance théorique et Monte
Carlo.
en 1=N
2M+1
, SMF n'est donc pas un estimateur asymp-
totiquement ecace pour L constant. Or, l'expression de
m^
y
(r)) donnée plus haut, montre que L peut prendre des
valeurs jusqu'à (N   1)=l
p
.
Une possibilité pour rendre l'estimateur ecace consiste
donc à choisir L comme étant une fonction croissante de
N . On peut par exemple choisir L de la forme (N  
1)=l
p
   . Dans ce cas l
p
représente le nombre mini-
mum de termes moyennés dans l'estimation des moments.
Cette solution est analogue à celle utilisée en analyse spec-
trale classique lors du fenêtrage du corrélogramme [9] an
d'en réduire sa variance. Le choix du paramètre  repose
donc sur un compromis entre la réduction de la variance
de l'estimateur et la mauvaise qualité des estimateurs des
derniers moments du à un faible moyennage de termes
dans (4). Il faut cependant souligner que les moments (4)
sont toujours non biaisés.
An d'étudier les performances de cet estimateur on
dénit le rapport :

N
4
=
s
varfa^
SMF
M
g
CRLBfa^
M
g
(10)
pour SNR  1. Il est important de remarquer que ce
rapport est indépendant du rapport signal sur bruit. La
gure 2 représente 
N
en fonction de N pour  = 11.
Ce résultat montre clairement que dans ce cas SMF est
asymptotiquement ecace.
4.3 Comparaison avec TPP
An de comparer les performances de SMF avec la trans-
formée de phase polynômiale, on dénit :

N
4
=
s
varfa^
SMF
M
g
varfa^
TPP
M
g
: (11)
Les deux expressions des variances sont obtenues dans le
cas SNR  1. L'expression analytique de la variance de
a^
TPP
M
a été d'abord calculée dans [6] et ensuite sous des
hypothèses moins restrictives dans [1].
120 130 140 150 160 170 180 190 200
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
η N
N
Fig. 2: Ecacité asymptotique de SMF.
15 20 25 30 35 40
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
ν N
N
L=3
L=4
L=5
L=6
Fig. 3: Comparaison entre SMF et TPP pour a^
3
.
La gure 3 représente 
N
en fonction de N dans le cas
M = 3 pour les retards (f0; 3; 3g; f1; 1; 4g) et pour dié-
rentes valeurs de L. Ces courbes montrent que pour une
valeur de L xée, 
N
passe par un minimum, qui est bien
une valeur inférieure à 1. Ces résultats permettent donc, en
fonction du nombre de points mesurés, de déterminer une
valeur de L optimale. Par ailleurs, ces courbes montrent
qu'il est toujours possible de choisir L de façon à obtenir
une variance de SMF inférieure à celle de TPP.
5 Conclusion et perspectives
Cette communication donne une expression théorique
de la variance de l'erreur de l'algorithme SMF pour l'es-
timation du coecient de plus haut degré d'un signal à
phase polynômiale. Cette expression a conduit à une mo-
dication de l'algorithme de façon à obtenir son ecacité
asymptotique. En outre elle a permis de conrmer, moyen-
nant un choix correct des paramètres, sa supériorité par
rapport à la transformée de phase polynômiale.
Compte tenu de ces résultats positifs, il est possible
d'envisager un certain nombre d'extensions à cette ap-
proche. La première consiste à modier la TPP en rédui-
sant le signal à phase polynômiale en une fréquence pure
en utilisant les retards de [3]. Dans ce cas, l'ordre des mo-
ments intervenants dans l'algorithme est 2:2(M   1) =
4(M   1). Cet ordre est cependant supérieur à celui de
SMF pour M > 2.
Une seconde voie d'investigation est bien sûr constituée
par les signaux à amplitude variable. Dans ce contexte, on
distingue d'abord le cas d'une amplitude aléatoire, pour
laquelle l'approche par moments stationnaires prend tout
son sens. On montre en eet aisément que le moment sta-
tionnaire de l'observation est le produit de celui de l'ampli-
tude et de celui du signal à phase polynômiale. Si l'on sup-
pose par exemple que l'amplitude est Gaussienne blanche
de moyenne positive, tous les moments de l'amplitude sont
positifs ce qui permet l'application immédiate de (3). L'ex-
tension dans le cas d'une amplitude déterministe pouvant
prendre des valeurs de signes diérents est elle plus déli-
cate compte tenu des variations de signe que peuvent avoir
ses moments.
Références
[1] M. Benidir and A. Ouldali. Polynomial phase signals
analysis based on the polynomial derivatives decom-
positions. IEEE Transactions on Signal Processing,
1998. à paraître.
[2] P.M. Djuri¢ and S.M. Kay. Parameter Estimation
of Chirp Signals. IEEE Transactions on Acoustics,
Speech and Signal Processing, 38:21182126, 1990.
[3] A. Ferrari, C. Theys, and G. Alengrin. Polynomial
phase signal analysis using stationary moments. EUR-
ASIP Signal Processing, 54:239248, nov 1996.
[4] R.M. Liang and K.S. Arun. Parameter Estimation for
Superimposed Chirp Signals. In IEEE International
Conference on Acoustics, Speech and Signal Proces-
sing, pages 273276, 1992.
[5] A. Ouldali. Approches pour l'analyse des signaux à
phase polynômiale. Eets d'un bruit multiplicatif et
d'une amplitude constante. PhD thesis, Université de
Paris-Sud, centre d'Orsay, 1998.
[6] S. Peleg and B. Friedlander. The discrete polynomial-
phase transform. IEEE Transactions on Signal Pro-
cessing, 43(8):19011912, August 1995.
[7] S. Peleg and B. Porat. The Cramer-Rao Lower
Bound for signals with constant amplitude and polyno-
mial phase. IEEE Transactions on Signal Processing,
39(3):749752, March 1991.
[8] S. Peleg and B. Porat. Estimation and Classication
of Polynomial-Phase Signals. IEEE Transactions on
Information Theory, 37(2):1991430, mar 1991.
[9] Petre Stoica and Randolph Moses. Introduction to
Spectral Analysis. Prentice Hall, 1997.


Analyse statistique de SMF pour l'étude des signaux à phase polynômiale

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